第8章 认识概率（思维导图+知识梳理+易错点拨+4大考点讲练+优优选真题难度分层练 共32题）-2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末培优知识串讲

2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习重点难点培优讲练（优等生培优版） 第8章 认识概率 （思维导图+知识梳理+易错点拨+4大考点讲练+优选真题难度分层练 共32题） 讲义简介 1 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：确定事件与随机事件 2 知识点梳理02：频率与概率 2 易错考点点拨汇总 3 易错知识点梳理01：随机事件与确定性事件 3 易错知识点梳理02：概率的定义与性质 3 易错知识点梳理03：概率的计算方法 4 易错知识点梳理04：概率的应用 4 易错知识点梳理05：概率与日常生活的联系 4 期末真题考点汇编讲练 4 期末考向一：确定事件与随机事件 4 重点考点讲练01：事件的分类 4 期末考向二：可能性的大小 6 重点考点讲练02：判断事件发生的可能性的大小 6 期末考向三：频率与概率 7 重点考点讲练03：由频率估计概率 7 重点考点讲练04：用频率估计概率的综合应用 9 优选真题难度分层练 11 中档题—夯实基础能力 11 压轴题—强化解题技能 18 同学你好，本套讲义结合课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 【易错点剖析】 （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点梳理02：频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 【易错点剖析】 ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 易错知识点梳理01：随机事件与确定性事件 随机事件：学生可能难以区分随机事件与确定性事件，容易将某些受随机因素影响的事件误认为是确定性事件。 定性事件：包括必然事件和不可能事件，学生需要明确哪些事件是一定会发生的（必然事件），哪些事件是绝对不会发生的（不可能事件）。 易错知识点梳理02：概率的定义与性质 概率的定义：学生可能混淆概率的两种定义方式（古典定义和频率定义），特别是在计算具体事件的概率时。 概率的性质：包括概率的加法公式、乘法公式等，学生在应用这些公式时容易出错，特别是当事件之间存在依赖关系时。 易错知识点梳理03：概率的计算方法 古典概型：在计算样本空间的大小和事件包含的基本事件个数时，学生容易遗漏或重复计算。 频率估计概率：在通过实验估计概率时，学生可能由于样本量不足或实验条件不一致而导致估计结果不准确。 条件概率：在计算条件概率时，学生需要明确条件是什么，以及如何在给定条件下计算事件的概率。这通常涉及到对概率公式的灵活运用。 易错知识点梳理04：概率的应用 决策分析：在利用概率进行决策时，学生可能无法准确评估各种可能的结果及其概率，从而做出错误的决策。 随机模拟：在使用随机模拟方法（如蒙特卡洛模拟）时，学生需要理解模拟的基本原理和步骤，以及如何根据模拟结果得出结论。这通常涉及到对随机数的生成和使用。 易错知识点梳理05：概率与日常生活的联系 概率解释：学生可能难以将概率概念与日常生活中的实际情境相结合，从而无法准确解释和预测随机事件的结果。 概率思维：培养概率思维是这一章节的重要目标之一。学生需要学会用概率的眼光看待问题，这包括理解随机性、评估风险、做出合理决策等。然而，这种思维方式对于初学者来说可能比较抽象和难以掌握。 期末考向一：确定事件与随机事件 重点考点讲练01：事件的分类 【母题精讲】下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 C．如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等 D．三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合 【答案】D 【思路点拨】根据随机事件是指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，是必然事件，不符合题意； B、，用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形是不可能事件，不符合题意； C、如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等是必然事件，不符合题意； D、等腰三角形底边上的高线与这条边上的中线互相重合， ∴三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合是随机事件，符合题意； 故选D． 【训练1】（2020·湖北武汉·一模）下列成语所描述的事件是随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．不期而遇 C．海枯石烂 D．水中捞月 【答案】B 【思路点拨】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【规范解答】解：A、旭日东升，是必然事件，不符合题意； B、不期而遇，是随机事件，符合题意； C、海枯石烂，是不可能事件，不符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 【训练2】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列事件中必然事件有（　　） ①当x是非负实数时，≥0； ②打开数学课本时刚好翻到第12页； ③13个人中至少有2人的生日是同一个月； ④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可． 【规范解答】①当x是非负实数时，0，是必然事件； ②打开数学课本时刚好翻到第12页，是随机事件； ③13个人中至少有2人的生日是同一个月，是必然事件； ④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球，是不可能事件． 必然事件有①③共2个． 故选B． 期末考向二：可能性的大小 重点考点讲练02：判断事件发生的可能性的大小 【母题精讲】某校开设了文艺、体育、科技和学术四类社团，要求每位学生从中任选一类社团参加.现统计出八年级（1）班40名学生参加社团的情况，如下图：如果从该班随机选出一名学生，那么该生是体育类社团成员的可能性大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据条形统计图可得，选体育的学生总人数的比值，从而可以解答本题． 【规范解答】由条形统计图可得， 选体育的学生的可能性是：， 故选B． 【训练1】（22-23八年级上·北京丰台·期末）下列说法错误的是（     ） A．任意抛掷一个啤酒瓶盖，落地后印有商标一面向上的可能性大小是 B．一个转盘被分成8块全等的扇形区域，其中2块是红色，6块是蓝色. 用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是 C．一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. 从这个盒子中随意摸出一个球，摸到白球的可能性大小是 D．100件同种产品中，有3件次品. 质检员从中随机取出一件进行检测，他取出次品的可能性大小是 【答案】A 【思路点拨】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可． 【规范解答】A．啤酒盖的正反两面不均匀，任意抛掷一个啤酒瓶盖，落地后印有商标一面向上的可能性大小不是，故本选项错误； B．一个转盘被分成8块全等的扇形区域，其中2块是红色，6块是蓝色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是，故本选项正确； C．一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．从这个盒子中随意摸出一个球，摸到白球的可能性大小是，故本选项正确； D.100件同种产品中，有3件次品．质检员从中随机取出一件进行检测，他取出次品的可能性大小是，故本选项正确； 故选A． 【训练2】（22-23八年级上·江苏泰州·期末）“同时抛掷两枚普通的骰子，向上一面的点数之和为13”是 （选填“必然事件”，“不可能事件”，或“随机事件”）． 【答案】不可能事件 【思路点拨】直接利用不可能事件的定义分析得出答案． 【规范解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，最多只能两枚都是6，点数和最多是12，所以向上一面的点数之和是13，是不可能事件． 故答案为不可能事件． 期末考向三：频率与概率 重点考点讲练03：由频率估计概率 【母题精讲】（20-21九年级上·山西·期中）综合实践小组的同学做了某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如表，那么这种黄豆发芽的概率约为 ．（结果精确到） 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 【答案】 【思路点拨】观察表格得到这种黄豆发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种黄豆发芽的概率． 【规范解答】当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，黄豆发芽的概率估计值是0.95． 故答案为：0.95． 【训练1】（19-20八年级下·江苏徐州·期末）某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数 优等品的频数 优等品的频率 从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值为 ． 【答案】0.94 【思路点拨】结合频率估计概率的性质，即可得到答案 【规范解答】结合题意，随着抽取的篮球数n的数量逐渐增大，频率逐步稳定在0.94 ∴用频率估计概率，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值为：0.94 故答案为：0.94． 【训练2】（老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下： 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 八组 九组 十组 摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 摸到白球的次数 41 39 40 43 38 39 46 41 42 38 请你估计袋子中白球的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4，由此知袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4，据此根据概率公式可得答案． 【规范解答】解：由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在0.4， ∴在袋子中摸出一个球，是白球的概率为0.4， 设白球有x个， 则=0.4， 解得：x=2， 故选：B． 重点考点讲练04：用频率估计概率的综合应用 【母题精讲】（2022·浙江宁波·模拟预测）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在0.6，则估计口袋中大约有红球（    ） A．24个 B．10个 C．9个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】设口袋中红球有x个，用黄球的个数除以球的总个数等于摸到黄球的频率，据此列出关于x的方程，解之可得答案． 【规范解答】解：设口袋中红球有x个， 根据题意，得：＝0.6， 解得x＝4， 经检验：x＝4是分式方程的解， 所以估计口袋中大约有红球4个， 故选：D． 【训练1】（22-23八年级下·江苏南京·期末）在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： （1）上表中的a= ； （2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1） （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【答案】(1) 0.58;(2) 0.6;(3)白球12(个),黑球8 (个) 【思路点拨】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.60； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.60，然后利用概率公式计算白球的个数． 【规范解答】(1)a= =0.58， 故答案为0.58； (2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60， 故答案为0.60； (3)由(2)摸到白球的概率估计值为0.60， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12(个),黑球20−12=8(个). 答：黑球8个，白球12个. 【训练2】（22-23八年级下·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示： 移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000 成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915 成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861 在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵. 【答案】 0.86 5 【思路点拨】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （2）利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可．然后用样本概率估计总体概率即可确定答案． 【规范解答】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率 ∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86． （2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件． 【规范解答】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平均分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意； B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意； D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列事件是随机事件的是（　） A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B．用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形 C．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【规范解答】解：A、从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除是必然事件，不符合题意； B、∵， ∴用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形是不可能事件，不符合题意； C、投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，符合题意； D、在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列词语描述的事件为随机事件的是（   ） A．冬去春来 B．水中捞月 C．缘木求鱼 D．不期而遇 【答案】D 【思路点拨】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【规范解答】解：A、冬去春来是必然事件，故不符合题意； B、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； C、缘木求鱼是不可能事件，故不符合题意； D、不期而遇是随机事件，故符合题意； 故选：D． 4．（23-24九年级上·河北张家口·期中）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【思路点拨】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【规范解答】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 5．（24-25八年级上·北京顺义·期末）春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查概率的求法与运用．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【规范解答】解：该消费者中奖的可能性是， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件的概念即可得出答案． 【规范解答】∵事件为随机事件． ∴“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∵， ∴m的值是2； 故答案为：2． 7．（23-24八年级上·福建漳州·期末）数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球实验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．第一小组进行了若干次试验后，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率； (2)求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数； (3)若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？ 【答案】(1)条形统计图见解析； (2) (3)不一定；理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计图的特点，是解题的关键． （1）先根据条形统计图和扇形统计图求出摸球的总数，然后求出摸出白球的频数，补全条形统计图即可；根据摸出黄球的频数和摸球总数求出摸出黄球的频率即可； （2）根据第一小组摸出黑球所占的百分比求出所对应的扇形的圆心角的度数即可； （3）根据实验的随机性进行回答即可． 【规范解答】（1）解：实验总次数为：（次）， 摸出白球的频数为：， 摸出黄球的频率为：， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数为： ； （3）解：因为进行实验时具有随机性，所以当第二小组与第一小组的试验次数相同时，他们摸出的各种球的频率很接近，但不会完全相同，因此他们两组的实验结果不一定会完全一样． 8．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）某学校为了解在校生的体能素质情况，从全体八年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀，B级：良好，C级：及格，D级：不及格），其中B级占30%．解答下列问题： (1)除去题中文本和统计图中所给信息外，请再写出两条信息，并简要说明理由； 信息1： ； 理由： ； 信息2： ； 理由： ； (2)如果从该校八年级学生中随机抽取一位学生，你预测抽到哪个等级的学生可能性最大 ． 【答案】(1)信息1： 总人数40人；理由见解析；信息2：C级人数为14人；理由见解析； (2)C级 【思路点拨】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）信息1：根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数； 信息2：用总人数分别减去A级，B级，D级得到C级人数； （2）分别求出A级，C级，D级各级人数在总人数中的百分比和B级所占百分比进行比较即可． 【规范解答】（1）信息1：本次抽样测试的学生人数是40； 本次抽样测试的学生人数是（人）， 故答案为：40； 信息2：C级人数为14人， C级的人数为：（人）； 故答案为：14； （2）由（1）可知A级可能性为： ， C级可能性为： ； D级可能性为： ， ∴ ∴抽到C级的学生可能性最大． 故答案为：C级. 9．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 【答案】(1)B (2)见解析（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查可能性大小的判断，解题的关键是理解概率的计算公式． （1）分别求出获得手机，平板，水壶，和球拍的可能性大小，然后进行解答即可； （2）根据可能性的大小，保证“水壶”有3张，“球拍”有2张，“手机”有1张即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知一共有9个数，其中对应“手机”的有1个，则抽到“手机”奖品的可能性是：；对应“平板”、水壶和球拍的数字有2个，则抽到“平板”、水壶和球拍的可能性均为， ∴得到“手机”的可能性最小， 故选：B． （2）解：∵抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性 ∴设计六张牌中有3张对应水壶，2张对应球拍，1张对应手机，如图所示： 如图所示， 10．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)0.59，116 (2)0.6 (3)除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【思路点拨】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【规范解答】（1）解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116． 故答案为：0.59，116； （2）解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； （3）解：18÷0.6-18=12（个）． 答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·北京延庆·期末）下列事件中，随机事件是（   ） A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是 D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是事件的分类，三角形内角和，勾股定理，实数的定义．根据事件发生的可能性大小判断． 【规范解答】解：A、在数轴上取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意； B、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意； C、画一个三角形，它的内角和是，是必然事件，不符合题意； D、，则把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 12．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列事件为必然事件的是（    ） A．个人里有人的生日相同 B．标准大气压下，温度低于时冰融化 C．抛出的篮球会下落 D．买一张电影票，座位号是奇数 【答案】C 【思路点拨】本题考查了必然事件、随机事件和不可能事件，根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐项判断即可求解，掌握必然事件、随机事件和不可能事件的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、个人里有人的生日相同，是随机事件，该选项不合题意； 、标准大气压下，温度低于时冰融化是不可能事件，该选项不合题意； 、抛出的篮球会下落是必然事件，该选项符合题意； 、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，该选项不合题意； 故选：． 13．（2023·山西阳泉·二模）从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（    ） A．成语“守株待兔”是随机事件 B．成语“水中捞月”是随机事件 C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 【答案】A 【思路点拨】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，肯定它一定不会发生的事件，称为不可能事件；在一定条件下，肯定它一定会发生的事件，称为必然事件；根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行分析即可． 【规范解答】解：A：“守株待兔”可能发生也可能不发生，故是随机时间，符合题意； B：“水中捞月”是肯定会失败的，是不可能事件，故不符合题意； C：“清明时节雨纷纷” 可能发生也可能不发生，是随机时间，故不符合题意； D：“离离原上草，一岁一枯荣”是肯定会发生的事件，是必然事件，故不符合题意； 故选：A． 14．（20-21八年级上·四川眉山·期末）已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为 ． 【答案】． 【思路点拨】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可． 【规范解答】∵=2， ∴，，0是有理数，，π是无理数， ∴无理数出现的频率为． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【规范解答】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 16．（20-21八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到 色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”) 【答案】白 【思路点拨】分别计算出摸到红、白、黑球的可能性，比较大小后即可得到答案． 【规范解答】∵袋子中装有个红球、个白球和个黑球， ∴摸出红球的可能性是：2÷（2+5+3）=， 摸出白球的可能性是：5÷（2+5+3）=， 摸出黑球的可能性是：3÷（2+5+3）=， ∵＞＞， ∴白球出现的可能性大． 故答案为：白 17．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸到球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）； （2）假如随机摸一次，摸到白球的概率P（白球）＝______； （3）试估算盒子里白色的球有多少个？ 【答案】（1）0.6；（2）0.6；（3）30个 【思路点拨】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率． （2）根据概率与频率的关系即可求解； （3）根据摸到白球的频率即可得到白球数目． 【规范解答】解：（1）由表中数据可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6． （2））∵摸到白球的频率为0.6， ∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)=0.6， 故答案为0.6； （3）盒子里白色的球有50×0.6=30（只）． 18．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了　 　名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有　 　人； （4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是　 　． 【答案】（1）100（2）见解析（3）600（4） 【思路点拨】（1）用娱乐人数除以对应的百分比即可；（2）用总数除以相应百分比，求出各组频数，再画图；（3）估计爱好运用的学生人数为：1500×40%；（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为. 【规范解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40% ∴共调查人数为：40÷40%=100 （2）爱好上网的人数所占百分比为10% ∴爱好上网人数为：100×10%=10， ∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30， 补全条形统计图，如图所示， （3）爱好运动所占的百分比为40%， ∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600 （4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%， ∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为 故答案为（1）100；（3）600；（4） 19．（22-23九年级上·全国·课后作业）大家看过中央电视台“购物街”节目吗？其中有一个游戏环节是大转轮比赛，转轮上平均分布着5、10、15、20一直到100共20个数字．选手依次转动转轮，每个人最多有两次机会．选手转动的数字之和最大不超过100者为胜出；若超过100则成绩无效，称为“爆掉”． (1)某选手第一次转到了数字5，再转第二次，则他两次数字之和为100的可能性有多大？ (2)现在某选手第一次转到了数字65，若再转第二次了则有可能“爆掉”，请你分析“爆掉”的可能性有多大？ 【答案】(1)；（2）. 【规范解答】试题分析：（1）求出第二次转到95的可能性，即为两次数字之和为100的可能性； （2）求出转到数字在35以上的总个数，利用所求情况数（35以上的总个数）与总情况数（20）作比即可. （1）由题意分析可得：要使他两次数字之和为100，则第二次必须转到95，因为总共有20个数字，所以他两次数字之和为100的可能性为 . （2）由题意分析可得：转到数字35以上就会“爆掉”，共有13种情况，因为总共有20个数字，所以“爆掉”的可能性为. 20．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）； （2）试估计袋子中有黑球 个； （3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个 【答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10． 【思路点拨】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果； （2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果； （3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可． 【规范解答】解：（1）观察表格得：当n很大时， 摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球有：个， 故答案为：； （3）原来白球的数量为：50-30=20， 摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同， ∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30， 若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20， ∴要使摸到黑球的可能性大小为50%， 则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个， 故答案为：10；10． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期末复习重点难点培优讲练（优等生培优版） 第8章 认识概率 （思维导图+知识梳理+易错点拨+4大考点讲练+优选真题难度分层练 共32题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：确定事件与随机事件 2 知识点梳理02：频率与概率 3 易错考点点拨汇总 3 易错知识点梳理01：随机事件与确定性事件 3 易错知识点梳理02：概率的定义与性质 3 易错知识点梳理03：概率的计算方法 4 易错知识点梳理04：概率的应用 4 易错知识点梳理05：概率与日常生活的联系 4 期末真题考点汇编讲练 4 期末考向一：确定事件与随机事件 4 重点考点讲练01：事件的分类 4 期末考向二：可能性的大小 5 重点考点讲练02：判断事件发生的可能性的大小 5 期末考向三：频率与概率 6 重点考点讲练03：由频率估计概率 6 重点考点讲练04：用频率估计概率的综合应用 7 优选真题难度分层练 8 中档题—夯实基础能力 8 压轴题—强化解题技能 11 同学你好，本套讲义结合课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 【易错点剖析】 （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点梳理02：频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 【易错点剖析】 ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 易错知识点梳理01：随机事件与确定性事件 随机事件：学生可能难以区分随机事件与确定性事件，容易将某些受随机因素影响的事件误认为是确定性事件。 定性事件：包括必然事件和不可能事件，学生需要明确哪些事件是一定会发生的（必然事件），哪些事件是绝对不会发生的（不可能事件）。 易错知识点梳理02：概率的定义与性质 概率的定义：学生可能混淆概率的两种定义方式（古典定义和频率定义），特别是在计算具体事件的概率时。 概率的性质：包括概率的加法公式、乘法公式等，学生在应用这些公式时容易出错，特别是当事件之间存在依赖关系时。 易错知识点梳理03：概率的计算方法 古典概型：在计算样本空间的大小和事件包含的基本事件个数时，学生容易遗漏或重复计算。 频率估计概率：在通过实验估计概率时，学生可能由于样本量不足或实验条件不一致而导致估计结果不准确。 条件概率：在计算条件概率时，学生需要明确条件是什么，以及如何在给定条件下计算事件的概率。这通常涉及到对概率公式的灵活运用。 易错知识点梳理04：概率的应用 决策分析：在利用概率进行决策时，学生可能无法准确评估各种可能的结果及其概率，从而做出错误的决策。 随机模拟：在使用随机模拟方法（如蒙特卡洛模拟）时，学生需要理解模拟的基本原理和步骤，以及如何根据模拟结果得出结论。这通常涉及到对随机数的生成和使用。 易错知识点梳理05：概率与日常生活的联系 概率解释：学生可能难以将概率概念与日常生活中的实际情境相结合，从而无法准确解释和预测随机事件的结果。 概率思维：培养概率思维是这一章节的重要目标之一。学生需要学会用概率的眼光看待问题，这包括理解随机性、评估风险、做出合理决策等。然而，这种思维方式对于初学者来说可能比较抽象和难以掌握。 期末考向一：确定事件与随机事件 重点考点讲练01：事件的分类 【母题精讲】下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 C．如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等 D．三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合 【训练1】（2020·湖北武汉·一模）下列成语所描述的事件是随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．不期而遇 C．海枯石烂 D．水中捞月 【训练2】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列事件中必然事件有（　　） ①当x是非负实数时，≥0； ②打开数学课本时刚好翻到第12页； ③13个人中至少有2人的生日是同一个月； ④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 期末考向二：可能性的大小 重点考点讲练02：判断事件发生的可能性的大小 【母题精讲】某校开设了文艺、体育、科技和学术四类社团，要求每位学生从中任选一类社团参加.现统计出八年级（1）班40名学生参加社团的情况，如下图：如果从该班随机选出一名学生，那么该生是体育类社团成员的可能性大小是（     ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23八年级上·北京丰台·期末）下列说法错误的是（     ） A．任意抛掷一个啤酒瓶盖，落地后印有商标一面向上的可能性大小是 B．一个转盘被分成8块全等的扇形区域，其中2块是红色，6块是蓝色. 用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是 C．一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. 从这个盒子中随意摸出一个球，摸到白球的可能性大小是 D．100件同种产品中，有3件次品. 质检员从中随机取出一件进行检测，他取出次品的可能性大小是 【训练2】（22-23八年级上·江苏泰州·期末）“同时抛掷两枚普通的骰子，向上一面的点数之和为13”是 （选填“必然事件”，“不可能事件”，或“随机事件”）． 期末考向三：频率与概率 重点考点讲练03：由频率估计概率 【母题精讲】（20-21九年级上·山西·期中）综合实践小组的同学做了某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如表，那么这种黄豆发芽的概率约为 ．（结果精确到） 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 【训练1】某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数 优等品的频数 优等品的频率 从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值为 ． 【训练2】老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下： 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 八组 九组 十组 摸球的次数 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 摸到白球的次数 41 39 40 43 38 39 46 41 42 38 请你估计袋子中白球的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重点考点讲练04：用频率估计概率的综合应用 【母题精讲】（2022·浙江宁波·模拟预测）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在0.6，则估计口袋中大约有红球（    ） A．24个 B．10个 C．9个 D．4个 【训练1】（22-23八年级下·江苏南京·期末）在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： （1）上表中的a= ； （2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1） （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【训练2】（22-23八年级下·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示： 移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000 成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915 成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861 在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵. 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 2．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列事件是随机事件的是（　） A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B．用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形 C．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球 3．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列词语描述的事件为随机事件的是（   ） A．冬去春来 B．水中捞月 C．缘木求鱼 D．不期而遇 4．（23-24九年级上·河北张家口·期中）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 5．（24-25八年级上·北京顺义·期末）春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是 ． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 7．（23-24八年级上·福建漳州·期末）数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球实验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．第一小组进行了若干次试验后，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率； (2)求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数； (3)若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？ 8．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）某学校为了解在校生的体能素质情况，从全体八年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀，B级：良好，C级：及格，D级：不及格），其中B级占30%．解答下列问题： (1)除去题中文本和统计图中所给信息外，请再写出两条信息，并简要说明理由； 信息1： ； 理由： ； 信息2： ； 理由： ； (2)如果从该校八年级学生中随机抽取一位学生，你预测抽到哪个等级的学生可能性最大 ． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿！”6月18日上午，某商家在万达广场举行有奖销售活动，抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，若只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是______； A．平板    B．手机    C．球拍    D．水壶 (2)请你设计下面翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”、“球拍”、“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手机”的可能性． 10．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 压轴题—强化解题技能 11．（24-25八年级上·北京延庆·期末）下列事件中，随机事件是（   ） A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是 D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 12．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列事件为必然事件的是（    ） A．个人里有人的生日相同 B．标准大气压下，温度低于时冰融化 C．抛出的篮球会下落 D．买一张电影票，座位号是奇数 13．（2023·山西阳泉·二模）从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（    ） A．成语“守株待兔”是随机事件 B．成语“水中捞月”是随机事件 C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 14．（20-21八年级上·四川眉山·期末）已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为 ． 15．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 16．（20-21八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到 色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”) 17．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸到球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）； （2）假如随机摸一次，摸到白球的概率P（白球）＝______； （3）试估算盒子里白色的球有多少个？ 18．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了　 　名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有　 　人； （4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是　 　． 19．（22-23九年级上·全国·课后作业）大家看过中央电视台“购物街”节目吗？其中有一个游戏环节是大转轮比赛，转轮上平均分布着5、10、15、20一直到100共20个数字．选手依次转动转轮，每个人最多有两次机会．选手转动的数字之和最大不超过100者为胜出；若超过100则成绩无效，称为“爆掉”． (1)某选手第一次转到了数字5，再转第二次，则他两次数字之和为100的可能性有多大？ (2)现在某选手第一次转到了数字65，若再转第二次了则有可能“爆掉”，请你分析“爆掉”的可能性有多大？ 20．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）； （2）试估计袋子中有黑球 个； （3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$