山东省泰安市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学试题参考答案 第 页 （共6页） 高 二 年 级 考 试 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题： 题 号 答 案 1 D 2 D 3 C 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 二、多项选择题： 题 号 答 案 9 AC 10 BD 11 ABD 三、填空题： 12. 448 13. 12（或0.5） 14. { 1 4 }⋃ (-∞, - 1 ]（或{ a|a ≤ -1或a = 1 4 }） 四、解答题： 15.（13分） 2025.04 解：（1）当n = 6时，展开式的通项为 Tk + 1 = Ck6 (2x2 )6 - k ( 1 x )k = 26 - kCk6x12 - 5 2 k…………………………………… 3分 令12 - 52 k = 2，解得 k = 4…………………………………………………… 4分 ∴展开式中含 x2项的系数为22C46 = 60 …………………………………… 6分 （2）展开式的通项Tk + 1 = Ckn (2x2 )n - k ( 1 x )k = 2n - kCkn x2n - 5 2 k…………………………………………… 9分 ∵展开式含有常数项 ∴ 2n - 52 k = 0 ∴ n = 54 k …………………………………………………………………… 11分 ∵ k ∈ N,n ∈ N ∴当 k = 4时，n取最小值5，此时展开式含有常数项 ∴最小的正整数n的值为5 ……………………………………………… 13分 16.（15分） （1）若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为 3 10， 取到小球的个数X ∽ B (3, 310 )…………………………………………………… 2分 ∗ 1 高二数学试题参考答案 第 页 （共6页） 方法一： ∴ P (X = 0 ) = C03 ( 310 )0 ( 7 10 )3 = 343 1000 ………………………………………… 3分 P (X = 1 ) = C13 ( 310 )( 7 10 )2 = 441 1000 …………………………………………… 4分 P (X = 2 ) = C23 ( 310 )2 × 7 10 = 189 1000……………………………………………… 5分 P (X = 3 ) = C33 ( 310 )3 = 27 1000 …………………………………………………… 6分 ∴ X的分布列为 ………………………… 7分 方法二： ∴ P (X = k ) =Ck3 ( 310 )k ( 7 10 )3 - k, k = 0, 1, 2, 3…………………………………… 7分 （2）若每次抽取后都不放回，取到小球的个数Y服从超几何分布 ………………… 9分 P (X = 0 ) = C05C35 C310 = 112 ………………………………………………………… 10分 P (X = 1 ) = C15C25 C310 = 512 ………………………………………………………… 11分 P (X = 2 ) = C25C15 C310 = 512 ………………………………………………………… 12分 P (X = 3 ) = C35C05 C310 = 112 ………………………………………………………… 13分 ∴ Y的分布列为 ……………………… 14分 E (Y ) = 1 × 512 + 2 × 5 12 + 3 × 1 12 = 3 2 ……………………………………… 15分 17.（15分） 解：（1）∵ f ( x ) = a ( x + 1 ) + x ln x ∴ f '( x ) = a + ln x + 1 ……………………………………………………… 1分 ∵ f ( x )在 [ e, + ∞ )上为增函数 ∴ a + ln x + 1 ≥ 0即a ≥ -ln x - 1在 [ e, + ∞ )上恒成立 …………………… 2分 ∴ a ≥ ( -1 - ln x ) max ………………………………………………………… 3分 ∵ y = -1 - ln x在 [ e, + ∞ )上单调递减 X P 0 343 1000 1 441 1000 2 189 1000 3 27 1000 X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12 2 高二数学试题参考答案 第 页 （共6页） ∴ x = e时 ymax = -2 ………………………………………………………… 5分 ∴ a ≥ -2 ∴ a的取值范围是 [ -2, + ∞ ) ……………………………………………… 6分 （2）当a = 1时，f ( x ) = x + 1 + x ln x 当 x > 1时，不等式 k ( x - 1 ) + 1 ≤ f ( x )等价于 k ≤ x + xlnx x - 1 ……………………………………………………………… 7分 即 k ≤ x + xlnx x - 1 对任意 x > 1恒成立 设g ( x ) = x + xlnx x - 1 ,x > 1，则g'( x ) = x - ln x - 2 ( x - 1 )2 ………………………… 8分 设h ( x ) = x - ln x - 2, x > 1，则h'( x ) = 1 - 1 x = x - 1 x > 0 ∴ h ( x )在 (1, + ∞ )单调递增 ∵ h (3 ) = 1 - ln 3 < 0, h (4 ) = 2 - ln 4 > 0 ……………………………… 10分 ∴存在 x0 ∈ (3,4 )使h ( x0 ) = 0即 x0 - ln x0 - 2 = 0 ……………………… 11分 ∴当1 < x < x0时，h ( x ) < 0, g ( x )单调递减 当 x > x0时，h ( x ) > 0, g ( x )单调递增 ………………………………… 12分 ∴ g ( x ) min = g ( x0 ) = x0 + x0 ln x0x0 - 1 = x0 + x0 ( x0 - 2 ) x0 - 1 = x0 2 - x0 x0 - 1 = x0 ∈ (3,4 ) …………………………………………………………………………… 14分 ∴ k ≤ x0且 k ∈ Z ∴ k的最大值为3 ………………………………………………………… 15分 18.（17分） 解：（1）由题意可知： 2 3 × p = 1 3 ∴ p = 12 ……………………………………………………………………… 2分 （2）当n = 3时，甲，乙两人共投篮3次 由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进 设A = “n = 3时，比赛结束”，B = “乙获胜” P ( A ) = 12 × 2 3 × 1 2 × 2 3 + 1 2 × 1 2 × 1 3 × 1 2 = 11 72 P ( AB ) = 12 × 1 2 × 1 3 × 1 2 = 1 24 ……………………………………………… 5分 P (B | A ) = P ( AB ) P ( A ) = 1 2411 72 = 311 ……………………………………………… 6分 3 高二数学试题参考答案 第 页 （共6页） （3）若甲在3轮比赛之内获胜，则两人可能的投篮总次数为3，4，5，6 设C = “甲获胜”，Ai = “n = i时比赛结束” 当n = 3时，若甲胜，两人的投篮情况一定为 甲进，乙不进，甲进 ∴ P ( A3C ) = 12 × 2 3 × 1 2 × 2 3 = 1 9 …………………………………………… 8分 当n = 4时，若甲胜，两人的投篮情况一定为 乙不进，甲进，乙不进，甲进 则P ( A4C ) = 12 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 = 1 18 ……………………………………… 10分 当n = 5时，若甲胜，两人的投篮情况可能为 甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进 ∴ P ( A5C ) = 12 × 1 3 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 + 1 2 × 2 3 × 1 2 × 1 3 × 1 2 × 2 3 + 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 = 227 …………………………………………………………………… 13分 当n = 6时，若甲胜，则乙先投篮，两人的投篮情况可能为 乙不进，甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 乙不进，甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 乙不进，甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； 乙进，甲进，乙不进，甲进，乙不进，甲进 ∴ P ( A6C ) = 12 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 1 3 × 1 2 × 2 3 + 1 2 × 1 2 × 1 3 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 + 12 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 + 1 2 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 × 1 2 × 2 3 = 118 …………………………………………………………… 16分 ∴甲在3轮比赛之内获胜的概率为 P = 19 + 1 18 + 2 27 + 1 18 = 8 27 ……………………………………………… 17分 19.（17分） 解：（1）∵ f ( x ) = ax + 1 ex ∴ f '( x ) = a - 1 - ax ex ………………………………………………………… 1分 ①当a = 0时，f ′( x ) = -1 ex < 0 ∴ f ( x )在R上单调递减 ……………………………………………………… 2分 4 高二数学试题参考答案 第 页 （共6页） ②当a > 0时令 f ′( x ) > 0得 x < a - 1 a 令 f ′( x ) < 0得 x > a - 1 a ………………………………………… 3分 ③当a < 0时令 f ′( x ) > 0得 x > a - 1 a 令 f ′( x ) < 0得 x < a - 1 a ………………………………………… 4分 综上：当a = 0时，f ( x )在R上单调递减 当a > 0时，f ( x )在 ( -∞ , a - 1 a )单调递增,在 ( a - 1 a , +∞ )单调递减 当a < 0时，f ( x )在 ( -∞ , a - 1 a )单调递减,在 ( a - 1 a , +∞ )单调递增 ………………………………………………………………………………… 5分 （2）∵ f ( x )与g ( x )为“互补函数” ∴存在m,n使 f (m ) + g (n ) = 0 （i）若m + n = 0,则 f (m ) + g ( -m ) = 0 即 m + 1 em + ( -m ) ⋅ e-m + 1 = 0 ∴ m = 1 e - 1 , n = 1 1 - e ………………………………………………… 8分 （ii）设f (m ) = K 则 f (n ) = -K 即 ì í î ï ï m + 1 em = K nen + 1 = -K 即 ì í î m + 1 = Kem ① n = -Ke-n - 1 ② …………………………………… 9分 ∴① + ②得m + n + 1 = K (em - e-n - 1 ) ③ ① - ②得m - n + 1 = K (em + e-n - 1 )④ ③ ④ 得 m + n + 1 m - n + 1 = em - e-n - 1 em + e-n - 1 ………………………………………… 11分 ∴ m - n + 1 = (em + e-n - 1 ) em - e-n - 1 (m + n + 1 ) = em + n + 1 + 1 em + n + 1 - 1 (m + n + 1 ) … 12分 ∵ m + n ∈ [ a, 0 ) ∴ m + n + 1 ∈ [ a + 1, 1 ) ∵ a ∈ ( -1, 0 ) ∴ a + 1 ∈ (0,1 ) ∴[ a + 1, 1 ) ⊆ (0, 1 ) …………………………………………………… 13分 5 高二数学试题参考答案 第 页 （共6页） 设h ( x ) = (ex + 1 ) x ex - 1 , x ∈ (0, 1 )，则h′( x ) = e2x - 2xex - 1 (ex - 1 )2 ……………… 14分 设m ( x ) = e2x - 2xex - 1，则m′( x ) = 2e2x - 2ex - 2xex = 2ex (ex - x - 1 ) 设φ ( x ) = ex - x - 1，则φ′( x ) = ex - 1 > 0在 (0, 1 )上恒成立 ∴ φ ( x )在 (0, 1 )上单调递增 ∴ φ ( x ) > 0 ∴ m′( x )在 (0, 1 )上恒大于0 ∴ m ( x )在 (0, 1 )上单调递增 ∴ m ( x ) > m (0 ) = 0 ∴ h′( x ) > 0在 (0, 1 )上恒成立 ∴ h ( x )在 [ a + 1, 1 )上单调递增 ∴(m - n + 1 ) min = h (a + 1 ) = (e a + 1 + 1 )(a + 1 ) ea + 1 - 1 ……………………… 16分 ∴ m - n的最小值为 (ea + 1 + 1 )(a + 1 ) ea + 1 - 1 - 1…………………………… 17分 6 试卷类型：A 高二年级考试 数学试题 2025.04 注意事项 1、答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.乘积(a1+a2+a)(b1+b2)(c1+c2+c+c)展开后的项数为 A.9 B.12 C.18 D.24 2.函数f(x)=e+e的图象在点(0，f(0)处的切线方程为 A.3x-y+1=0 B.2x-y+2=0 C.x-3y+6=0D.3x-y+2=0 3.已知随机变量X的分布列为 X 0 2 1 1 4 m 12+m 则E(X)= A B c 4.(1+2x2)(1+x)的展开式中x的系数为 A.12 B.16 C.20 D.24 5.函数f(x)=x+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则a+b= A.5 B.-7 C.0 D.0或-7 6.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到花样滑冰，冰球，冰壶3个项目进行培训，每名志 愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则甲，乙两人分配到同一个项 目的概率为 A号 B、6 25 D.5 高二数学试题第1页（共4页） 扫描全能王创建 7.甲，乙，丙，丁，戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名 次)，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说“你 当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次不同的排列种数为 A.27种 B.36种 C.54种 D.72种 8已知fe)=2-2x+a=26=(吃)片，c=P-t+6,则fa)f)f()f(m)的大 小关系正确的为 A.f(a)<f(b) B.f(π)>f(c) C.f(a)>f(c) D.f(m)>f(a) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某体育器材厂生产一批乒乓球，设乒乓球的直径为X(单位：厘米)，若X~N(4,),其中 σ>0，则下列结论正确的是 AP心X<4)=号 B.P(3.92<X<3.98)<P(4.02<X<4.06) C.P(X<3.95)=P(X>4.05) D.σ越小，P(X<398)越大 10.已知函数f)=号-2+1，其导函数为"()，则下列结论正确的是 A直线3x+3y-1=0是曲线y=f(x)的切线 B.f(x)有三个零点 C.f'(2+x)=-f'(x) D.若f(x)在(a,a+4)上有最大值，则a的取值范围为(-4，-1] 11.对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想 方法利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒 等式(1+x)=(1+x(1+x(n∈N*),左边x的系数为Cn,而右边(1+x1+x)= (C9+Cx+…+CxXC+Cx+…+Cx),x的系数为CC+CC-+…+CC8 (C}C)2+…+(C)2,因此可得到组合恒等式Cn=(C+(C)2+…+(C)2.利用算 两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是 A.C20s =Cooo Ci05+CiC1025+Ciooo C102s++Ci00CIs B.Ct.Cm-=Cm.Ch c.-(CY-(-irc. D2cgy=[c2+(←1rG1 高二数学试题第2页（共4页） 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.用08这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是 13.已知P(A)=0.55,P(AB)=0.7,P(A|B)=0.4,则P(B)= 14.若函数f(x)=x(2*-a)-x-2有且仅有一个零点，且0>0，则实数a的取值 集合为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在(2x2+1 ”的二项展开式中， (1)若n=6,求展开式中含x2项的系数； (2)若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值. 16.(15分) 在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球 (1)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑 球的个数为X,求X的分布列； (2)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取 到红球的个数为Y,求Y的分布列和均值. 17.(15分) 已知f(x)=a(x+1)+xlnx(a∈R) (1)若函数f(x)在[e,+o)上为增函数，求a的取值范围； (2)当a=1,且k∈Z时，不等式k(x-1)+1≤f(x)在x∈(1，+)上恒成立，求k的最大 值 高二数学试题第3页（共4页） 器 扫描全能王创建 18.(17分) 甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投 篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各 完成一次投篮记为一轮比赛，比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比 2 赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的核率为了，乙每次投进的概率为， 第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为一记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为 n(n>2且neN") (1)求p (2)求在n=3的情况下，乙获胜的概率； (3)求甲在3轮比赛之内获胜的概率， 19.(17分) 已知函数fx)=a*+1 ,aER. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)对于函数f(x)g(x),若存在m,neR,使f(m)+g(n)=0,则称函数f(x)与g(x)为 “互补函数”，m,n为“互补数”.已知当a=1时，函数f(x)与g(x)=e+1为“互补函 数” (i)是否存在m,n使m+n=0?并说明理由； (i)若m+n∈[a,0),a∈(-l,0),请用含有a的代数式表示m-n的最小值 高二数学试题第4页（共4页） 扫描全能王创建