精品解析：重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度七年级下期期中考试 数学试题 （满分：150分，检测时间：120分钟） 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 一．选择题（共10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列各数为无理数的是（ ） A B. C. D. 2. 点所在象限为(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列生活现象中，属于平移的是（ ） A. 升降电梯的上下移动 B. 荡秋千运动 C. 把打开的课本合上 D. 钟摆的摆动 4. 下列说法正确的是（ ） A. 9的平方根是3 B. 的平方根是 C. 没有平方根 D. 2是4的一个平方根 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 不相交的两条直线叫平行线 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C. 互相垂直的两条线段一定相交 D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6. 下列实数中，与4最接近的是（ ） A. 3.5 B. C. D. 7. 如图，能判断直线的条件是（　　） A. B. C. D. 8. 某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 9. 某工艺品店推出每件价格分别为元、元、元三种工艺品，小安用元买了这三种工艺品共件，则单价为元的数量比单价为元的数量多（ ） A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 10. 如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分） 11. 的算术平方根是_______． 12. 比较大小：_____．（天“＞”“＜”或“＝”） 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值为 _________ ． 14. 如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线上，一锐角顶点B在直线上，若，则的度数是______. 15. 如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，则四边形面积是_____ 17. 如图，将长方形纸带沿直线折叠，A，D两点分别与，对应．若，则的度数为 ________ ． 18. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （1）如图1所示幻方，则__________；（2）如图2所示幻方，则_______，_________； 9 x 1 图1 12 7 图2 三．解答题（共8小题，其中19题8分，20--26题每小题10分共78分） 19 （1）计算； （2）解方程． 20. 解方程组： （1） （2） 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）若把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，直接写出点的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ）； （2）在图中画出平移后； （3）将线段平移到线段，点A平移到E，若平移后点E，F恰好都在坐标轴上，请直接写出点E坐标． 22. 补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，．求的度数． 解：∵， ，（已知） ∴，（ ① ） ∴．（ ② ） ∴．（ ③ ） ∵，（已知） ∴ ④ ．（ ⑤ ） ∴．（ ⑥ ） ∴．（ ⑦ ） ∵，（已知） ∴．（ ⑧ ） ∵，（已知） ∴． ∵，（ ⑨ ） ∴．（等式性质） ∵，（已证） ∴，（ ⑩ ）. 23. 列二元一次方程组解应用题： 某工厂生产两种型号的智能手表：型号A和型号B．生产每块型号A需要消耗120克稀有金属和180毫升电子溶液，生产每块型号B需要消耗150克稀有金属和90毫升电子溶液．某日工厂收到一份紧急订单，生产完成后统计发现，当日共消耗千克稀有金属和升电子溶液．请问当天工厂分别生产了多少块型号A和型号B的手表？ 24. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，是的小数部分． （1）求，，，的值． （2）求的平方根． 25. 【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为，，，．所以的立方根是两位数； 第二步：因为的个位上的数是，而在~中，只有的立方的个位上的数是，所以的立方根的个位上的数是； 第三步：划去后面的三位得到数，而，，，所以的十位上的数是． 综上，可得． 【方法迁移】 第一步：，，则的立方根是________位数； 第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是________； 第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是________，因此的立方根是________． 【解决问题】 （1）将上述过程补充完整； （2）现在换一个数，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 26. 在平面直角坐标系中，点O为原点，点是y轴负半轴上一点，将点B向右平移6个单位得到点A． （1）点A的坐标为________； （2）如图2，动点F从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当点F运动到点B时，停止运动．设点F运动时间为t秒，用含t的式子表示F点的坐标；当t为何值时，的面积为6？求出此时点F的坐标； （3）过点F作直线交x轴正半轴于E，交线段于D，若，的平分线相交于点N，，请用含的式子表示的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度七年级下期期中考试 数学试题 （满分：150分，检测时间：120分钟） 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 一．选择题（共10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，难度低，熟练掌握无理数的定义是解题关键，利用无理数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，故选项A不合题意； B、，是分数，属于有理数，故选项B不合题意； C、，是无理数，故选项C符合题意； D、，是整数，属于有理数，故选项D不合题意． 故选C． 2. 点所在象限为(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】∵点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点所在象限为第二象限． 故选：B． 3. 下列生活现象中，属于平移的是（ ） A. 升降电梯的上下移动 B. 荡秋千运动 C. 把打开的课本合上 D. 钟摆的摆动 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、升降电梯的上下移动符合平移的定义，属于平移，故本选项正确； B、荡秋千运动，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； C、把打开的课本合上，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； D、钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而选择错误．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 9的平方根是3 B. 的平方根是 C. 没有平方根 D. 2是4的一个平方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 9的平方根是，选项错误，不符合题意； B. 没有平方根，选项错误，不符合题意； C. 的平方根为，选项错误，不符合题意； D. 2是4的一个平方根，选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 不相交的两条直线叫平行线 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C. 互相垂直的两条线段一定相交 D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法不符合题意； B．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B说法不符合题意； C．平面内，互相垂直的两条直线一定相交，而平面内，互相垂直的两条线段不一定相交，故C说法不符合题意； D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法符合题意； 故选：D． 6. 下列实数中，与4最接近的是（ ） A. 3.5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用估算无理数的大小方法得出最接近4的实数. 【详解】解：∵ <0 ∴与4最接近的是 故选：C 【点睛】此题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的大小估算方法是解题关键. 7. 如图，能判断直线的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角互补和条件，可得，再根据同位角相等，两直线平行可得结论． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，均无法判定，故A、B、D均不符合要求； ∵， ∴， ∴，故C符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练运用． 8. 某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到电压表数量和电流表数量的等量关系． 【详解】解：若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表， 由题意，得． 故选：D． 9. 某工艺品店推出每件价格分别为元、元、元三种工艺品，小安用元买了这三种工艺品共件，则单价为元的数量比单价为元的数量多（ ） A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系．设购买单价为元的工艺品件，购买单价为元的工艺品件，则购买单价为元的工艺品件，根据题意列出二元一次方程，进而得到，代入即可求解． 【详解】解：设购买单价为元的工艺品件，购买单价为元的工艺品件，则购买单价为元的工艺品件， 根据题意得：， 整理得：， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， ∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°， ∴∠1=∠DEC， 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠DEC+∠2=90°， ∴∠C=90°， ∴∠B+∠C=180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∴∠ADN=∠BAD， ∵∠ADC+∠ADN=180°， ∴∠BAD+∠ADC=180°， 又∵∠AEB≠∠BAD， ∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误； ∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1， ∴∠2=∠4， ∴ED平分∠ADC，故③正确； ∵∠1+∠2=90°， ∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°． ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°． ∵AE⊥DE， ∴∠3+∠4=90°， ∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°， ∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分） 11. 算术平方根是_______． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：∵的平方为，∴的算术平方根为．故答案为． 考点：算术平方根． 12. 比较大小：_____．（天“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】求出各数的6次方进行比较，从而得出已知两个数的大小． 【详解】解∶ ， ， 故答案为∶＜． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握常见的几种比较数的方法． 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值为 _________ ． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键．先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解 ∴ ∴ ， 故答案为：2025． 14. 如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线上，一锐角顶点B在直线上，若，则的度数是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度间的计算，根据题意易得，根据可得，由，可求得． 【详解】解：如图， ∵直角三角板的直角顶点C在直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知： 则 ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：11． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是_____ 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形的面积转换成三角形面积． 连接，根据即可求解； 【详解】连接， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，将长方形纸带沿直线折叠，A，D两点分别与，对应．若，则的度数为 ________ ． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，翻折性质，平行线性质等．根据题意可得，再利用平行线性质列式即可求出本题答案． 【详解】解：∵长方形纸带沿直线折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 18. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （1）如图1所示幻方，则__________；（2）如图2所示幻方，则_______，_________； 9 x 1 图1 12 7 图2 【答案】 ①. 5 ②. 4 ③. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． （1）根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 故答案：． （2）解：根据题意得：， 解得：； 故答案为：，． 三．解答题（共8小题，其中19题8分，20--26题每小题10分共78分） 19. （1）计算； （2）解方程． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求立方根的方法解方程： （1）先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，最后计算加减法即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴． 20. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练进行计算是解题的关键． （1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）若把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，直接写出点的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ）； （2）在图中画出平移后的； （3）将线段平移到线段，点A平移到E，若平移后点E，F恰好都在坐标轴上，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平移性质，画平移后图象等． （1）利用平移性质求出点坐标即可； （2）由（1）中求出点坐标依次连接即可； （3）先设设平移后的点，，再分两种情况讨论，根据坐标性质分别求出的值，继而求出本题答案． 【小问1详解】 解：∵， 把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到， ∴，，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得：，，， 依次连接点坐标，如下图所示： 【小问3详解】 解：∵平移后点E，F恰好都在坐标轴上，， 设平移后的点，， ①当在轴上，在轴上时， ∴，即：， ，即：， ∴； ②当在轴上，在轴上时， ∴，即：， ，即：， ∴． 22. 补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，．求的度数． 解：∵， ，（已知） ∴，（ ① ） ∴．（ ② ） ∴．（ ③ ） ∵，（已知） ∴ ④ ．（ ⑤ ） ∴．（ ⑥ ） ∴．（ ⑦ ） ∵，（已知） ∴．（ ⑧ ） ∵，（已知） ∴． ∵，（ ⑨ ） ∴．（等式性质） ∵，（已证） ∴，（ ⑩ ）. 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据平行线的判定及性质进行推理即可解答． 【详解】解：，（已知） ∴，（垂线的定义） ．（垂直于同一直线的两直线平行） ．（两直线平行、同旁内角互补） ，（已知） ．（同角的补角相等） ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（垂直的定义） ，（平角定义） ．（等式性质） （已证）， ．（两直线平行，同位角相等）． 23. 列二元一次方程组解应用题： 某工厂生产两种型号的智能手表：型号A和型号B．生产每块型号A需要消耗120克稀有金属和180毫升电子溶液，生产每块型号B需要消耗150克稀有金属和90毫升电子溶液．某日工厂收到一份紧急订单，生产完成后统计发现，当日共消耗千克稀有金属和升电子溶液．请问当天工厂分别生产了多少块型号A和型号B的手表？ 【答案】当天工厂生产了块型号A和型号B的手表． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组得应用．根据题意设当天工厂生产了块型号A和型号B的手表，再列出方程组即可． 【详解】解：设当天工厂生产了块型号A和型号B的手表， 根据题意可得：， 解得：， 答：当天工厂生产了块型号A和型号B手表． 24. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，是的小数部分． （1）求，，，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的估算等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3， ∴ ， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， 解得：， ∵，是的整数部分，是的小数部分， ∴； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴的平方根为． 25. 【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为，，，．所以的立方根是两位数； 第二步：因为的个位上的数是，而在~中，只有的立方的个位上的数是，所以的立方根的个位上的数是； 第三步：划去后面的三位得到数，而，，，所以的十位上的数是． 综上，可得． 【方法迁移】 第一步：，，则的立方根是________位数； 第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是________； 第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是________，因此的立方根是________． 【解决问题】 （1）将上述过程补充完整； （2）现在换一个数，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 【答案】（1），，，； （2）能，，推理过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查了数的立方，解题的关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数． （）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可求得立方根； （）利用以上规律求解即可． 【小问1详解】 解：第一步：，，则的立方根是位数； 第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是； 第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是，因此的立方根是． 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：，，， ， 的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 的个位数字是． 如果划去后面的三位得到数，而，，， ， ，即的十位数字是． ． 26. 在平面直角坐标系中，点O为原点，点是y轴负半轴上一点，将点B向右平移6个单位得到点A． （1）点A的坐标为________； （2）如图2，动点F从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当点F运动到点B时，停止运动．设点F运动时间为t秒，用含t的式子表示F点的坐标；当t为何值时，的面积为6？求出此时点F的坐标； （3）过点F作直线交x轴正半轴于E，交线段于D，若，的平分线相交于点N，，请用含的式子表示的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）F点的坐标为；此时点F的坐标为； （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由平移的性质即可得到点A的坐标； （2）利用平移的性质求得F点的坐标；利用三角形面积公式可求出答案； （2）过点N作轴，平行线的性质及角平分线的性质可得出 ，，再利用三角形外角性质，即可得出的度数． 小问1详解】 解：∵将点向右平移6个单位得到点A的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴F点的坐标为； ∴， 解得， 此时点F的坐标为； 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点N作轴，如图， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标变换—平移，平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$