第25讲 等腰三角形 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第25讲 等腰三角形 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列条件不能得到等边三角形的是（    ） A．有两个内角是 60°的三角形 B．三个外角都相等的三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．有一个角是 60°的等腰三角形 2．如图，已知，，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B．平分 C．如果取边上的中点M，联结交于N，那么 D．点N是的中点 3．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，在中， ，，，垂足为点，延长至点，取．若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 5．已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（  ） A． B．△BCD是等边三角形 C．AD垂直平分BC D． 6．如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ ） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值 D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 9．如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的点（不与顶点重合）．给出下列两个结论： ①存在无数个是等边三角形； ②存在无数个是等腰直角三角形． 关于这两个结论的说法，正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 10．如图，C为线段上一动点（不与A，D重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中完全正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么 ． 12．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 . 13．在等边三角形中，，与相交于点，，垂足为，则 ． 14．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 ． 15．如图，等腰直角三角形中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的度数为 ． 16．如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．若，，则 ．（用含、的代数式表示） 17．如图，在中，，点是上一点（点不与两点重合），将沿着翻折，点的对应点为点和交于点．若，则 （用含的代数式表示）． 18．已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ． 三、解答题 19．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程． 已知：如图1，线段a和线段b 求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的中线为b 作法：如图2 ①作射线BM，并在射线BM上截取BC=a ②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D ③以D为圆心，b为半径作弧，交PQ于A ④连接AB和AC 则△ABC为所求作的图形 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明： 证明：由作图可知BC=a，AD=b． ∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上， ∴AB=AC（___ ）（填依据） 又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D ∴BD=CD（___ ）（填依据） ∴AD为BC边上的中线，且AD=b 20．如图，在中，，，，，，，分别是，上一动点，连接，交于点． (1)若平分，求证：为等腰三角形； (2)在（1）的基础上，若平分，过点作的平行线交于点，交于点，求的周长； (3)若为的中线，且，求证：． 21．在△ABC中，∠B=2∠C． （1）如图1，点H在BC边上，AH=AB，求证：点H在边AC的垂直平分线上； （2）如图2，若AF平分∠BAC． ①求证：AC=AB+BF； ②如图3，若AD为△ABC的高，求证：AC=FC+2DF． 22．如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中． (1)求证：； (2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：； (3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长． 23．综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】 （3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 24．如图，在中，，，以为边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)作的垂直平分线分别交，于点，． ①如图1，，求证：； ②如图2，，，求的值． 25．在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲 等腰三角形 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列条件不能得到等边三角形的是（    ） A．有两个内角是 60°的三角形 B．三个外角都相等的三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．有一个角是 60°的等腰三角形 【答案】C 【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形． 【解析】A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意； B、三个外角相等说明该三角形中三个内角相等，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意； C、等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意； D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理． 2．如图，已知，，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B．平分 C．如果取边上的中点M，联结交于N，那么 D．点N是的中点 【答案】D 【分析】设，根据等腰三角形的性质可得，利用外角的性质可得，进而得出，再根据三角形内角和定理可得；根据，，可得平分；根据等腰三角形“三线合一”可得，再利用外角的性质可得；最后根据三角形中位线的性质可判断D选项错误． 【解析】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即，故A选项结论正确，不合题意； ，， 平分，故B选项结论正确，不合题意； ，点M是边上的中点， ， ，故C选项结论正确，不合题意； 与不平行，， ，即点N不是的中点，故D选项结论错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【解析】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 4．如图，在中， ，，，垂足为点，延长至点，取．若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明是等边三角形，结合，得三线合一，所以，，由得，所以，得，再根据三角形的周长公式即可求解． 【解析】解： ，， 是等边三角形， 的周长为， ， ， 是高线也是边上的中线、的平分线， ，， ， ， ， ， 的周长为：， 故选：C． 5．已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（  ） A． B．△BCD是等边三角形 C．AD垂直平分BC D． 【答案】D 【分析】根据作图过程及所作图形可知，得出△BCD是等边三角形；又因为，，推出，继而得出；根据，，可知AD为的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC； 四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和，为． 【解析】解：∵ ∴△BCD是等边三角形 故选项B正确； ∵， ∴ ∴ 故选项A正确； ∵， ∴据三线合一得出AD垂直平分BC 故选项C正确； ∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和 ∴ 故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大． 6．如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【解析】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即垂直平分， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】过点A作于点N，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断⑤正确；证明，根据，得出，判断②正确；证明，得出，判断④错误． 【解析】解：过点A作于点N，如图所示：    ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵在和中， ∴， ∴，故⑤正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ， ∴， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有4个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 8．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ ） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值 D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 【答案】B 【解析】试题分析：本题主要考查等腰三角形的性质和外角的性质，掌握等边对等角和三角形的外角等于不相邻两内角的和是解题的关键．根据等边对等角，可找到角之间的关系，再利用外角的性质可找到∠CDE和∠1之间的关系，从而得到答案． 解： A∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∠ADC=∠α+∠B， ∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠α+∠B-∠CDE， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠γ=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B， ∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B， ∴∠1=2∠CDE， ∴当∠α为定值时，∠CDE为定值， 故选B． 考点：等腰三角形的性质． 9．如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的点（不与顶点重合）．给出下列两个结论： ①存在无数个是等边三角形； ②存在无数个是等腰直角三角形． 关于这两个结论的说法，正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，由等边三角形的性质可得，，当可得，即得，即得到，得到是等边三角形，有无数，即可判断①；再根据等腰直角三角形的定义画出图形可判断②，综上即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【解析】解：如图中， ∵是等边三角形， ∴，， 当时，可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形，这样的三角形有无数个， 如图中，当，时，是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个，见图， ∴①正确，②正确， 故选：． 10．如图，C为线段上一动点（不与A，D重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中完全正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】①证明，即可得到；②证明，得到，进而得到为等边三角形，得到，即可得到；③由，即可得证；④，得到，进而得到；⑤根据，得到，再根据对顶角相等和三角形内角和定理，即可得到． 【解析】解：①和均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴，，． ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故②正确； ③由②知：， ∴，故③正确； ④∵、为正三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； ⑤由①知：， ∴， 又∵， ∴，故⑤正确； 综上：正确的有共4个； 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 二、填空题 11．如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，代数式求值，等边三角形的性质，根据对称性得到，解方程组得到a，b的值，然后代入计算即可． 【解析】解：由题意可得，解得， ∴， 故答案为：． 12．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 . 【答案】1 【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可． 【解析】过点P作交于点F，如图， ∴，，是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∴，， ∵，， ∴， ∵， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键． 13．在等边三角形中，，与相交于点，，垂足为，则 ． 【答案】/120度 【分析】由“”可证≌，可得，即可求解． 【解析】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为； 【解析】如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴； 如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键． 15．如图，等腰直角三角形中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】该题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 由旋转得：，则，根据得，即可求解； 【解析】解：∵，设旋转角为， 根据旋转可得， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．若，，则 ．（用含、的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法． 【解析】解：如图，延长至，使，连接，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 17．如图，在中，，点是上一点（点不与两点重合），将沿着翻折，点的对应点为点和交于点．若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得，则，再根据平行线的性质及翻折的性质，然后根据三角形内角和定理得，进而根据可得出答案． 【解析】解：在中，，， ， ， ， ， 由翻折的性质得：， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键． 18．已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论即可． 【解析】解：∵和都是等腰三角形，且，顶角， ∴，，， 又∵线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， 当时， ∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，连接    ∵， ∴ ∴， ∴点三点共线， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 补充说明：∵，， ∴， ∴. ∴点三点共线，此时的图形应修正为下图：    综上所述，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，正确找出两种情况并利用两种情况推导角度是解题的关键． 三、解答题 19．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程． 已知：如图1，线段a和线段b 求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的中线为b 作法：如图2 ①作射线BM，并在射线BM上截取BC=a ②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D ③以D为圆心，b为半径作弧，交PQ于A ④连接AB和AC 则△ABC为所求作的图形 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明： 证明：由作图可知BC=a，AD=b． ∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上， ∴AB=AC（___ ）（填依据） 又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D ∴BD=CD（___ ）（填依据） ∴AD为BC边上的中线，且AD=b 【答案】（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，中点定义 【分析】（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质即可证明． 【解析】解：如图所示： （1）即为所求作的图形； （2）证明：由作图可知，． 为线段的垂直平分线，点在上， 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）． 又线段的垂直平分线交于， ． 中点定义）． 为边上的中线，且． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，中点定义． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是准确画图． 20．如图，在中，，，，，，，分别是，上一动点，连接，交于点． (1)若平分，求证：为等腰三角形； (2)在（1）的基础上，若平分，过点作的平行线交于点，交于点，求的周长； (3)若为的中线，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、等边对等角、等角对等边、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，即；等角对等边以及等腰三角形的定义即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得、，再根据平行线的性质可得、，即、，由等角对等边可得、，然后根据三角形的周长公式以及等量代换即可证明结论； （3）如图，延长于点，使，连接．再证可得、；再根据等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【解析】（1）证明：平分，， ， 又∵， ， ， ∴， 为等腰三角． （2）解：平分，平分， ， 又， ，， ， ，， ， 周长为； （3）证明：如图，延长于点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ， 又， ， ， ， ． 21．在△ABC中，∠B=2∠C． （1）如图1，点H在BC边上，AH=AB，求证：点H在边AC的垂直平分线上； （2）如图2，若AF平分∠BAC． ①求证：AC=AB+BF； ②如图3，若AD为△ABC的高，求证：AC=FC+2DF． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）由等边对等角，以及角之间的关系，得到∠HAC=∠C，则AH=CH，即可得证； （2）在AC上截取AG=AB，连接FG．先证明△BAF≌△GAF(SAS)，然后根据角的关系，即可得到结论成立； （3）在DB上截取DM=DF，连接AM，先证明△ADF≌△ADM(SAS)，然后由角平分线的性质，以及角的等量关系进行证明，即可得到结论成立． 【解析】证明：（1）∵AH=AB， ∴∠B=∠AHB， ∵∠B=2∠C， ∴∠AHB=2∠C， ∵∠AHB=∠C+∠HAC， ∴∠HAC=∠C， ∴AH=CH， ∴点H在边AC的垂直平分线上． （2）①如图，在AC上截取AG=AB，连接FG． ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF=∠GAF． 在△BAF和△GAF中，， ∴△BAF≌△GAF(SAS)， ∴BF=FG，∠B=∠AGF， 又∵∠B=2∠C， ∴∠AGF=2∠C， ∵∠AGF=∠C+∠GFC， ∴∠GFC=∠C， ∴FG=GC， ∴AC=AG+GC=AB+BF． ②如图，在DB上截取DM=DF，连接AM， 在△ADF和△ADM中，， ∴△ADF≌△ADM(SAS)， ∴∠DAF=∠DAM， ∴∠AMC=∠AFM， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF=∠FAC， ∴∠BAM+∠MAF=∠AFB－∠C， ∴∠BAM+∠MAD+∠DAF=∠AFB－∠C， ∴∠BAD+∠DAF=∠AFB－∠C， ∴90°－∠B+∠DAF=90°－∠DAF－∠C， ∴2∠DAF=∠B－∠C， ∴∠MAF=∠B－∠C， ∴∠FAC+∠MAF=∠B－∠C+∠FAC， ∴∠MAC=2∠C－∠C+∠FAC， ∴∠MAC=∠AFM， ∴∠MAC=∠AMC， ∴AC=MC=FC+2DF． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，以及几何图形中角的和差关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 22．如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中． (1)求证：； (2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：； (3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得； （3）如图3，过点作于，于，由面积法可求，可证，由直角三角形的性质可求，由“”可证，可得，即可求解． 【解析】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 点在线段上，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图3，过点作于，于， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】 （3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点，使，连接，证明，得，又，有，故，从而，即得； （3）延长至点，使，连接，证明，得，由，平分，得，而，有，可得，故，因，故，可得，又，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【解析】解：（1）如图中，延长至点，使， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等边对等角，等角对等边，角平分线的定义，三角形面积，三角形三边关系等知识，解题的关键是读懂题意，掌握“倍长中线法”． 24．如图，在中，，，以为边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)作的垂直平分线分别交，于点，． ①如图1，，求证：； ②如图2，，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②4． 【分析】（1）由，即可证明，，由三角形外角性质可知，由此即可得出结论； （2）①先证明，再延长到，使，得是等边三角形，再证明，得即可解题； ②在上取一点，使，得到，由此可得，再由（1），从而可得证明是等腰直角三角形，由此即可求出． 【解析】（1）证明：如解图1，作的延长线， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即， （2）①∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如解图2，延长到，使， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②如解图3，在上取一点，使， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故 【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形、等边三角形的性质和判定，解题关键是利用手拉手模型或对称模型构造全等三角形转化线段关系． 25．在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　　； (2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是　 　；此时　 　； (3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1) (2)， (3)猜想：（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）延长至，使，连接，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可表示出的周长，最后根据是周长为9的等边三角形即可得到答案； （2）延长至，使，连接，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可以表示出和的周长，即可得到答案； （3）延长至，使，连接，，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可以表示出和的周长，即可得到答案． 【解析】（1）解：如图1，延长至，使，连接， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周， 等边的周长， ， ， 故答案为：6； （2）解：如图，、、之间的数量关系，此时， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 的周， 等边的周长， ， 故答案为：，； （3）解：猜想：（2）中的结论仍然成立， 证明：如图2，延长至，使，连接， ，，且， ， 又是等边三角形， ， 在与中， ， ． ，． ． 在与中， ， ， ， 的周长， 等边的周长， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建与已知和所求相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$