精品解析：山东省济南市济南舜耕中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

舜耕中学七年级阶段性检测数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 计算的结果是（ ） A. B. ﹣ C. D. ﹣ 2. 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，则图中∠1与∠2的关系是 A. 对顶角 B. 一对相等的角 C. 互余的两个角 D. 互补的两个角 3. 科学家在实验中检测出某微生物细胞直径约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为( ) A. 3.5×106 B. 3.5×10－6 C. 3.5×10－5 D. 35×10－5 4. “七年级下册数学课本共173页，某同学随手翻开，恰好翻到第63页”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确 5. 已知如图直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是( ) A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3 C. ∠1＝∠4 D. ∠2+∠5＝180° 6. 计算下列各式，其结果为的是（ ） A B. C. D. 7. 如果是个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 8 B. C. D. 8或 8. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ） A. 30° B. 32° C. 42° D. 58° 9. 对于a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则x的值是（ ） A. 21 B. 22 C. 33 D. 34 10. 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ） A B. C. 1 D. 2 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是___________ 12. 动车上二等座车厢每排都有A，B，C ，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位．若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则座位是靠窗的概率为________． 13. 已知，，则等于______． 14. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题,如图所示：已知AB∥CD,∠BAE=87°,∠DCE=121°,则∠E度数是_____ 15. 已知，，则代数式的值是________． 16. 有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为______． 三、计算题：（共86分） 17. 计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 18. 先化简再求值：，其中，． 19. 补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：． 解：因为（__________） 所以__________（__________） 因为（已知）， 所以____________________（__________） 所以____________________（__________） 所以__________（__________）． 因为（__________）， 所以（__________）． 20. （1）在如图所示方格纸中（单位长度为1），经过线段外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段的垂线和平行线． （2）判断的位置关系是______． （3）连接和，则三角形的面积是______． 21. “五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； （4）若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 22. 如图，∠1=∠ABC，∠2=∠3，FG⊥AC于F，判断BE与AC有怎样的位置关系，并说明理由. 23. 规定两数a、b之间一种运算，记作（a，b）：如果，那么（a，b）=c． 例如：因为，所以（2，8）=3． （1）根据上述规定，填空： （5，125）= ，（-2，4）= ，（-2，-8）= ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即 ∴，即， ∴． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． (4，5)＋(4，6)=(4，30) 24. 原题呈现：若，求a、b的值． 方法介绍： ①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经验运用： （1）若，求的值． （2）当a，b，c分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值． 25. 【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 舜耕中学七年级阶段性检测数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 计算的结果是（ ） A. B. ﹣ C. D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：=． 故选A． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟知积的乘方计算法则是解题的关键． 2. 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，则图中∠1与∠2的关系是 A. 对顶角 B. 一对相等的角 C. 互余的两个角 D. 互补的两个角 【答案】C 【解析】 【分析】EO⊥AB，∠2与∠DOB互余；∠1与∠DOB是一组对顶角，所以相等；故∠1与∠2互余． 【详解】解：∵EO⊥AB， ∴∠2+∠DOB=90°， ∵∠1=∠DOB， ∴∠1+∠2=90°． 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义（一条线与另一条线成直角，这两条直线互相垂直），余角的定义（如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角）和对顶角的性质． 3. 科学家在实验中检测出某微生物细胞直径约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为( ) A. 3.5×106 B. 3.5×10－6 C. 3.5×10－5 D. 35×10－5 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】0.0000035=3.5×10﹣6， 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. “七年级下册数学课本共173页，某同学随手翻开，恰好翻到第63页”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件分类，理解并掌握随机事件、必然事件和不可能事件的定义和区别是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可求解． 【详解】解：“七年级下册数学课本共173页，某同学随手翻开，恰好翻到第63页”，这个事件是随机事件． 故选：C． 5. 已知如图直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是( ) A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3 C. ∠1＝∠4 D. ∠2+∠5＝180° 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵∠1=∠2， ∴a∥b； 故选A． 6. 计算下列各式，其结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可． 【分析】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，平方差公式和完全平方公式． 7. 如果是个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 8 B. C. D. 8或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式结构求解即可． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴，则或， 故选：D． 8. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ） A. 30° B. 32° C. 42° D. 58° 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，过点A作， ∴∠3=∠1=58°， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠4=90°﹣∠3=32°， ∵ ∴， ∴∠2=∠4=32°， 故选B． 9. 对于a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则x的值是（ ） A. 21 B. 22 C. 33 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，计算多项式乘以多项式，解一元一次方程，正确理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 先根据新定义，然后根据平方差公式，和多项式乘以多项式运算法则化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得：， 故选：B． 10. 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把原式前面乘，进一步利用平方差公式计算即可； 【详解】解：原式= =2． 故选：D． 【点睛】此题考查平方差公式，掌握平方差公式的灵活运用是解决问题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据另一边长等于面积除以一边长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：另一边长是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式法则是解题的关键． 12. 动车上二等座车厢每排都有A，B，C ，D，F五个座位，其中A和F是靠窗座位．若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则座位是靠窗的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，共有5种等可能的结果，其中座位是靠窗的结果有2种，利用概率公式可得答案．本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中座位是靠窗的结果有2种， 座位是靠窗的概率为． 故答案为：． 13. 已知，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法逆运算，幂的乘方逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．利用同底数幂的除法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题,如图所示：已知AB∥CD,∠BAE=87°,∠DCE=121°,则∠E的度数是_____ 【答案】34° 【解析】 【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=87°，可得∠CFE=87°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE． 【详解】如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD,∠BAE=87°， ∴∠CFE=87°， 又∵∠DCE=121°， ∴∠E=∠DCE−∠CFE=121°−87°=34°， 故答案为34° 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形外角性质，解题关键在于作辅助线. 15. 已知，，则代数式的值是________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形计算． 【详解】∵，， ∴=， 故答案为：19． 【点睛】此题考查完全平方公式，熟记完全平方公式并正确变形计算是解题的关键． 16. 有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 三、计算题：（共86分） 17. 计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，平方差公式和单项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，再计算加减即可； （2）把化为，再利用平方差公式计算即可； （3）单（多）项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （4）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 小问4详解】 . 18. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先将括号内的根据完全平方公式和平方差公式化简后再计算除法得最简结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 19. 补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：． 解：因为（__________） 所以__________（__________） 因为（已知）， 所以____________________（__________） 所以____________________（__________） 所以__________（__________）． 因为（__________）， 所以（__________）． 【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，等量代换得到，即可证明得到，再由，即可证明． 【详解】解：因为（已知） 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 20. （1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段的垂线和平行线． （2）判断的位置关系是______． （3）连接和，则三角形的面积是______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）10 【解析】 【分析】本题考查了平行线、垂线，关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线、垂线的方法，还要熟练掌握三角形的面积公式． （1）过点C作的矩形的对角线所在的直线，可得的垂线和平行线； （2）根据平行线公理的推论得出与的位置关系是：垂直； （3）设小方格的边长为1，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：（1）如图，垂线和平行线即为所求． （2）的位置关系是， 理由：∵， ∴． 故答案为：． （3）如图，连接和， 设小方格的边长为1，则三角形的面积是． 故答案为：10． 21. “五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； （4）若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 【答案】（1）个 （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】此题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率公式． （1）用球的总数乘以红球的概率即可求解； （2）设白球有个，则黄球有个，根据题意列出方程求出白球的个数，再根据概率公式求解即可； （3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化，根据概率公式求解即可； （4）用乘以白球的概率即可求解． 【小问1详解】 解：红球的个数为： （个）； 【小问2详解】 设白球有个，则黄球有个， 根据题意得：， 解得：， 摸出一个球是白球的概率为：； 【小问3详解】 取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化， 从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是； 【小问4详解】 获得一等奖的人数：（人）． 22. 如图，∠1=∠ABC，∠2=∠3，FG⊥AC于F，判断BE与AC有怎样的位置关系，并说明理由. 【答案】BE⊥AC，理由见解析 【解析】 【详解】BE⊥AC ． 理由如下：∵FG⊥AC， ∴∠GFC=90° ， ∵∠1=∠ABC， ∴DE∥BC， ∴∠2=∠EBC， 而∠2=∠3， ∴∠3=∠EBC， ∴FG∥BE， ∴∠BEC=∠GFC=90°， ∴BE⊥AC ． 23. 规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果，那么（a，b）=c． 例如：因为，所以（2，8）=3． （1）根据上述规定，填空： （5，125）= ，（-2，4）= ，（-2，-8）= ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下证明： 设，则，即 ∴，即， ∴． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． (4，5)＋(4，6)=(4，30) 【答案】（1）3；2；3；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断； （2）设，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】解：（1）∵53=125， ∴（5，125）=3； ∵(-2)2=4， ∴（-2，4）=2； ∵(-2)3=-8， ∴（-2，-8）=3； 故答案为：3，2，3； （2）设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即(4，5)＋(4，6)=(4，30)． 【点睛】本题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解题的关键． 24. 原题呈现：若，求a、b的值． 方法介绍： ①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经验运用： （1）若，求的值． （2）当a，b，c分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值． 【答案】（1）； （2）当，时，代数式有最小值，最小值为5． 【解析】 【分析】（1）将已知等式整理，配方，利用偶次方的非负性可求得a和b的值，从而的值可求； （2）将已知等式整理，配方，利用偶次方的非负性即可求解． 【小问1详解】 解：已知等式整理得：， 即， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：已知等式整理得： ， ∵，，， ∴， ∴当，，，即，时， 代数式有最小值，最小值为5． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 25. 【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 【答案】（1）；（2），，之间的数量关系为：或者或者；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）分点在线段上，点在线段右侧，点在线段左侧三种情况，过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可； （3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过点P作，则：， ， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2），，之间的数量关系为：或者或者． ①当点在线段上时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ②当点在线段右侧时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； ③当点在线段左侧时，；理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； （3）过点P作，过点Q作，如图， 由（2）的结论可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，． ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$