专练02（最新好题速递）随机变量及其分布必刷题型（10大题型55题）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专练02 随机变量及其分布必刷题型（10大题型55题） 题型1 条件概率 一、单选题 1．（24-25高二下·河北邢台·期中）某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出事件、的概率，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可得， 事件男生甲与两名女生被选中，则， 因此，. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，求的是条件概率，根据条件概率的概率计算公式计算即可. 【详解】设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”， 则，，所以，，． 所以． 所以． 故选：A 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.  在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为； 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：条件概率的公式内容为. 4．（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率求相应的概率即可. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A和事件B， 则，， . 故选：B. 二、填空题 5．（2025高二下·天津·专题练习）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 【答案】 【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为， 故， 又事件的总数为，所以， 事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为， 所以，所以. 故答案为：. 6．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 【答案】 0.8/ 0.6/ 【分析】空1，空2：利用条件概率公式结合韦恩图计算即可. 【详解】由题意得， ， ， ， 故答案为：0.8；0.6.    题型2 全概率公式与*贝叶斯公式 一、单选题 1．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）三条生产线生产同一型号产品，若A、B、C三条生产线生产该类产品的次品率依次为0.05，0.1，0.1，A、B、C三条生产线生产的产品分别占总数的，任取一个产品，则取得的产品是次品的概率为（   ） A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06 【答案】A 【分析】先由题意确定各条件概率，然后由全概率公式计算即可. 【详解】根据题意，设任取一个产品，分别来自A，B，C生产线的事件分别为A，B，C，设任取一个产品为次品为事件D， 则，，，，，， 所以 ， 故选：A． 2．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述， . 因此，子三代中基因型为是的概率是. 故选：D. 3．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解. 【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知： ，， 故. 故选：C. 4．（24-25高二下·山东济宁·期中）为保证华为尊界S800的预订活动顺利进行，现开通华为汽车APP、华为官网、华为商城3个预定通道，消费者选择其中一个通道进行预订．由AI对预订情况进行统计．实施更新预订数据．据统计，在有意向预订的消费者中，选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订的概率分别为、、，且对应预订成功的概率分别为、、，则在消费者预订成功的条件下，选择华为汽车APP预订的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，再根据条件概率公式运算求解. 【详解】记选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订分别为事件，预订成功为事件， 由题意可得：，， 则， 所以. 故选：C. 二、填空题 5．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知事件满足：，则 . 【答案】0.68 【分析】由条件概率乘法公式及全概率公式求得，再由对立事件概率公式即可求解. 【详解】解：因为 所以 所以 故答案为：0.68 6．（2025高二·北京·专题练习）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件，经检验发现取到的产品为不合格品，它是由机器 生产出来的可能性最大. 【答案】乙. 【分析】根据条件转化为全概率公式和贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设“任取一个零件为不合格品”，“零件为机器甲生产”，“零件为机器乙生产”，“零件为机器丙生产”，根据全概率公式即可求出，再由条件概率公式求出，然后比较大小可得. 设“任取一个零件为不合格品”，“零件为机器甲生产”， “零件为机器乙生产”，“零件为机器丙生产”， 则，且互斥， 依题意知， ， 所以 . 因为， ， . 所以，即由机器乙生产的概率最大. 故答案为：乙. 7．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据条件概率和全概率公式的概率公式求解. 【详解】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况. 设事件表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件表示第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量. 考虑三个箱子的摆放顺序，可得. 当发生时，这两个箱子的货物组合只能是和和和三种可能，故. 当不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得. 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是 求出，以及，利用全概率公式求解. 8．（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【答案】 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解；再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又， 故答案为：. 【点晴】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，再由全概率公式及贝叶斯公式进行求解. 题型3 二项分布 一、单选题 1．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望值和方差公式以及方差性质列方程组即可求得，可判断B正确. 【详解】根据题意由可得； 由可得，即； 所以， 解得，即A、C、D均错误； 易知，即B正确. 故选：B 2．（23-24高二上·重庆·开学考试）某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试.已知该同学每次投篮的成功率为，则该同学通过测试的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设第一次投篮成功后，通过的概率为，再列出关于的等式，求后，再求解通过测试的概率. 【详解】设投篮只成功一次后通过，概率为，那么投篮只失败过一次后，下一次若投篮失败，则不通过，故投篮只失败过一次后通过概率为， 故，解得：， 故通过的概率为. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查独立事件乘法的意义，本题的思路是不从第一次投篮的概率算起，而是计算投篮只成功一次后通过的概率. 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）甲抛掷均匀硬币2025次，乙抛掷均匀硬币2024次，下列四个随机事件的概率是0.5的是（    ） ①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】甲抛掷均匀硬币2025次，乙拋掷均匀硬币2024次，每次抛掷时出现正面的概率都是0.5，出现反面的概率也都是0.5，由此能求出结果． 【详解】依题意，甲抛掷均匀硬币2025次，乙拋掷均匀硬币2024次，每次抛掷时出现正面的概率都是0.5，出现反面的概率也都是0.5， 在①中，甲比乙多抛掷一次硬币，设甲乙都抛掷2024次时，正面向上次数相等时的概率为， 甲抛出正面次数多于乙抛出正面次数的概率为，甲抛出正面次数少于乙抛出正面次数的概率为， 则，甲再抛一次，甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多的概率为，①是； 在②中，甲比乙多抛掷一次硬币，设甲乙都抛掷2024次时，甲反面次数与乙正面次数相等时的概率为， 甲抛出反面次数多于乙抛出正面次数的概率为，甲抛出反面次数少于乙抛出正面次数的概率为， 则，甲再抛一次，甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少的概率不大于，②不是； 在③中，甲抛掷均匀硬币2025次，甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多的概率是0.5，③是； 在④中，乙抛掷均匀硬币2024次，乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多的概率为，④不是， 所以四个随机事件的概率是0.5的是①③. 故选：A 二、填空题 4．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则 ． 【答案】 196 【分析】由题意可得，然后利用二项分布的方差公式及性质求解即可. 【详解】因为一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，其中X表示抽到的二等品件数， 所以抽到二等品的件数符合二项分布，即， 所以， 因为检测费用Y元与二等品件数X满足：， 所以， 故答案为：，196 5．（24-25高二下·河北保定·期中）袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是 .①；②；③；④. 【答案】①③④ 【分析】根据不放回抽取，确定红球个数的可能取值以及黑球个数为的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得，的期望和方差，判断①，②；按放回抽取，可知，求出其期望和方差，即可判断③，④. 【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数的可能取值为，黑球个数Y的可能取值为， 则， ， ， ， 由，可得，，， 故， 所以，故①正确； ， ，所以，故②错误； 抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为，则， 所以，， 所以，，故③④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题 6．（24-25高二下·浙江·期中）DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，． 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，利用全概率公式计算可得； （3）的可能取值是，，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望，而，根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】（1）因为小张能全部回答正确的概率； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 由题意知，，， 则， 所以 ； （3）已知小张答对的题数为，则的可能取值是，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以， 已知DeepSeek答对的题数为，则， 故， 所以． 7．（24-25高二下·浙江丽水·期中）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)求的期望和方差； (2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）依题意可得，根据二项分布的期望与方差公式计算可得； （2）根据、求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意， 所以，. （2）因为， 所以，， ，， 又， 所以，，. 所以甲获胜有以下情况：，；，；，. 所以甲获胜的概率. 8．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在计算机领域中，有真随机与伪随机两种随机概念．真随机是伴随物理实验，例如：掷硬币、掷骰子、电子元件噪声、核裂变等，其结果符合三个特点：1．随机性：2．不可预测性3．不可重复性；伪随机是通过多种不同的算法，获取随机值，不是真的随机．在日常使用计算中情景中，如音乐随机播放、壁纸随机切换、电脑模拟硬币正反面等都是伪随机．假设有一个抽奖活动，主办方给出了两种抽奖方式，第一种抽奖方式为真随机，即每次抽中的概率为，每次抽奖的结果都是相互独立的．第二种抽奖方式为伪随机，第一次抽中的概率为，若第一次不中，第二次抽中的概率增加，即若某次抽奖不中那么下一次中奖概率会增加，直到．若已中奖，则下一次抽中的概率恢复到． (1)分别计算两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率； (2)如果你有抽奖3次的机会，那么你选择抽奖方式是第一种还是第二种？请说明理由． 【答案】(1)两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率都为0.48 (2)选第一种抽奖方式，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式直接求解即可； （2）分别求出两种抽奖方式的中奖次数的分布列及数学期望，进而求解 【详解】（1）第一种抽奖方式抽两次中奖一次的概率为， 第二种抽奖方式抽两次中奖一次的概率为. （2）选第一种抽奖方式，理由如下： 第一种抽奖方式，抽奖3次，设中奖次数为，的可能取值为， 则， ， ， ， 所以. 第二种抽奖方式，抽奖3次，设中奖次数为，的可能取值为， 则， ， ， ， 所以. 综上所述，由于，所以选第一种抽奖方式. 题型4 二项分布中的概率最大问题 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）设随机变量，记，，下列说法正确的是（    ） A．当k由0增大到n时，先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 【答案】C 【分析】对于ABC：根据二项分布的概率公式列式，结合组合公式计算分析最值；对于D：根据二项分布的期望公式分析判断. 【详解】对于ABC：因为，，， 由，得， 解得， 若为正整数，则或时，取最大值，故B错误； 若为非整数，则取的整数部分时，取最大值，故C正确； 综上所述，当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大. 故A错误； 对于D：因为，故D错误. 故选：C. 二、解答题 3．（2025·湖南永州·三模）某学校为调查高二年级的体育开展情况，随机抽取了20位高二学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 (1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； (2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高二年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X. （ⅰ）若，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若，当k为何值时，最大？ 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）时，最大 【分析】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”，根据对立事件结合古典概型计算即可得概率； （2）（ⅰ）时，，结合二项分布求解概率分布列与数学期望；（ⅱ）时，，由于最大，结合二项分布的概率计算可得解不等式可得符合的的值. 【详解】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”， 则， 故所选的2位学生分数不同的概率为； （2）设“学生分数不小于3”，则， （ⅰ）若，的可能取值为，由题意可得, 又，， ，， 所以的分布列为： 由于，则； （ⅱ）若，则， 所以， 由于最大， 所以， 即， 因为，，所以时，最大. 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用分层抽样得到抽取的12名学生中位于和的人数，得到可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望； （2）由频率分布直方图求解出每天的运动时间不低于40分钟的频率，得到，故，令，得到不等式组，计算出答案. 【详解】（1）因为体育活动时间位于和的频率分别为0.28和0.2， 所以抽取的12名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布， 故， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （2）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： . 设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则， ， 设， 则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时， 有， 即， 化简得，解得， 因为且，所以时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 题型5 超几何分布 一、单选题 1．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及超几何分布求解即得. 【详解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布， 则，，， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 3．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【详解】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D 二、解答题 4．（24-25高二下·北京·阶段练习）某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.4 (2) 【分析】（1）由在3小时内完成各科作业的人数为40，利用古典概型的概率求解； （2）由X的可能取值为0，1，2，3，利用超几何发布，分别求得其概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）在3小时内完成各科作业的人数为40， 所以在3小时内完成各科作业的概率为； （2）完成各科作业的总时长在2.5小时内共有7人， 其中完成各科作业的总时长在2小时内有3人， 若从这7人中随机取3人， 则X的可能取值为0，1，2，3， 则， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【答案】(1)①；② (2)； 【分析】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率. （2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差. 【详解】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． 6．（24-25高二·全国·课堂例题）为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率； (2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数的分布列； (3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)1，理由见解析 【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可； （2）先写出的可能取值，再求出每个值的概率即可求解； （3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，比较的大小关系，由此可得出结论. 【详解】（1）由题意，得甲每批次被抽到的概率为， 则甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率． （2）的可能取值为0，1，2． ．所以的分布列为 0 1 2 （3）设为第二批次抽到没有支教经验的教师人数，则的可能取值为0，1，2． ， ， ． 因为，所以第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是1． 题型6 正态分布 一、单选题 1．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（    ） A．4400 B．4500 C．4600 D．4900 【答案】B 【分析】由已知，可得，则，则可求得该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数. 【详解】因为灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且， 所以， 所以， 则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为 个， 故选：B. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）某市高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，女生的身高单位：近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．男生身高高于185cm的概率超过 B．女生身高低于161cm的概率不超过 C．女生身高在的概率为 D．女生身高在的人数和男生身高在的人数一样多 【答案】B 【分析】利用正态分布的计算公式结合对称性逐项判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； 女生身高在和男生身高在的概率一样，人数未知，D错误． 故选：B 3．（24-25高二下·甘肃白银·阶段练习）某校高二学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】由题得，，所以，， ，， 因为，， 所以， 根据比例成绩大于分为优秀， 因为， 根据比例成绩在到之间的为良好， ， 根据比例成绩在到之间的为合格， ， 根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 4．（23-24高二下·福建福州·期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【答案】D 【分析】对于A，由即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算即可判断 【详解】对于A，当满足时， 江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误； 对于，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时， 此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误； 对于C，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误； 对于D，若出门， 江先生乘坐地铁上班， 当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解. 二、多选题 5．（24-25高二下·湖南·期中）早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若随机变量，则 A．曲线关于直线对称 B．曲线在处达到峰值 C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高” D．若，则 【答案】AD 【分析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断ABC，根据正态分布原则计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以曲线关于直线对称，故A正确； 对于B，因为当时，单调递增，则单调递增， 当时，单调递减，则单调递减，故曲线是单峰的. 又，则，因此，当且仅当时，等号成立，即曲线在处达到峰值，故B错误； 对于C，由选项B可知，当越小时，峰值越大，则曲线越“瘦高”，当越大时，峰值越小，则曲线越“矮胖”，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD. 三、解答题 6．（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出的值； （2）（i）由题意可得出，，则，可得出，即可得解； （ii）分析可知，，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）由频率分布直方图可得. （2）（i）由题意可得，，则， 所以，； （ii）由题意可知，，故. 7．（24-25高二上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高二年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 【答案】(1)1587名 (2)， 【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次； （2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布， 由题意可得， ， ,即，解得， 甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， ， 答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为0，9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ， 的数学期望为. 题型7 其他离散型随机变量的分布列 一、解答题 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知一个口袋中有3个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，6的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉. 1 2 3 4 5 6 (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P； (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号，求X的数学期望的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；或者利用全概率公式求解， （2）随机变量的取值有：3，4，5，6，求出对应的概率，从而可得分布列及数学期望 【详解】（1）（方法一）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 （方法二）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 （2）（方法一）随机变量X的取值有：3，4，5，6 又，， ， 所以随机变量X的分布列为 3 4 5 6 所以随机变量的数学期望为. （方法二）随机变量X的取值有：3，4，5，6 又，， ， 3 4 5 6 所以随机变量的数学期望为. 2．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． (1)1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ (2)设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 【答案】(1)3班进入决赛的可能性最大 (2)答案见解析 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出1班，2班，3班进入决赛的概率，比较大小确定结论； （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）1班进入决赛的概率为， 2班进入决赛的概率为， 3班进入决赛的概率为， 因为， 所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大. （2）由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 3．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高二（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高二（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有0，1，2分三种情况解决． （2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得100分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可． 【详解】（1）设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，X的取值有， ， ， ， 分布列如下： 0 1 2 （2）依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为，， 乙已得100分，甲若想获胜情况有： 甲得200分：其概率为； ②甲得100分，乙再得分，其概率为； ③甲得0分，乙再得分，其概率为； 故乙先得100分后甲获胜的概率为. 4．（2024·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出，从而得到和，得到分布列. 【详解】（1）7人中随机选择2人，共有种情况，其中含甲的情况有种， 6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种， 则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为， 和同级的玩家对抗并获胜的概率为， 故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 考虑，需考虑甲直接从号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室， 故①， 考虑，则甲从号门进行密室①，且从密室①走出密室， 故②， 联立①②，可得， 所以，故， 故分布列如下： 1 2 5．（2024·湖南株洲·一模）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列； (2)当时， ①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率； ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②答案见解析 【分析】（1）计算每种排序的值以及对应概率，由此可得的分布列； （2）①先计算出的值，然后可求；②先分析续三轮测试中，都有的概率，然后根据概率值的大小进行分析即可. 【详解】（1）的排序共有种，且每种排序等可能， 此时可取， 又时，的排序为， ， 时，的排序为或，， 时，的排序为或或，， 所以的分布列为： （2）①的排序共有种，且每种排序等可能， 而，故中有偶数个奇数，故必为偶数， 当时， 的排序与第一次排序无变化时， 此时仅有种排序：，则， 当时， 的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时， 此时有种排序：、、，， 所以； ②因为各轮测试相互独立， 所以“连续三轮测试中，都有”的概率为， 所以是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测. 【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量与概率的综合运用，着重考查学生理解问题与分析问题的能力，难度较大.解答第三问的关键在于，能通过独立事件的概率计算公式求解出目标事件的概率并能对概率值的大小进行分析，一般认为小于的概率为小概率. 题型8 概率中的决策性问题 一、解答题 1．（2025·河北秦皇岛·一模）某大学舞蹈社有4名男生、2名女生，现要举办社团巡礼活动，拟从这6人中抽取2人参加巡礼活动中的相应比赛，比赛有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三项，被选中的人可以根据自身情况选择参加比赛的项数，具体如下： 参加一项的可能性 参加两项的可能性 参加三项的可能性 女生 0.5 0.5 0 男生 0 0.5 0.5 每参加1项比赛，社团的积分将增加100分. (1)在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率； (2)求该舞蹈社团最终的积分为600分的概率； (3)现学校对参加比赛的社团提出两种嘉奖方案． 方案一：每个社团奖励“参与奖”400元； 方案二：对参加比赛的社团最后获得的积分以“1积分=1元”奖金进行兑换. 若你是舞蹈社社长，以获得的奖励金额的期望为决策依据，判断哪种方案比较有利. 【答案】(1)； (2)； (3)方案二更有利. 【分析】（1）利用条件概率公式结合古典概型概率计算公式即可求解； （2）根据题意，“积分为600分”说明“总共参加了6场比赛”即“2人都是男生，且都参加了三项比赛”，分步计算概率，相乘即可； （3）针对方案二，进行积分的可能取值和相应概率计算，再根据数学期望公式得到，与方案一比较即可得出结论. 【详解】（1）根据题意，设“抽取的2人至少有1名男生”为事件A，设“有女生参加比赛”为事件B. 则，， 利用条件概率公式，可得. （2）根据题意，该舞蹈社团最终的积分为600分，说明抽取的2人都是男生，且2人都参加了三项比赛，所求概率. （3）对于方案二，设参加比赛的社团最后获得的奖金为，则所有可能取值为200,300,400,500,600. 则， ， ， ， . 所以， 即获得的奖励金额的期望大于400，故方案二更有利. 2．（24-25高二下·山东济宁·期中）甲、乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有8个红球和2个白球，乙箱中有5个红球和5个白球． (1)现从甲、乙两个箱子中各摸出1球，记摸到红球的个数为，求的分布列． (2)现做如下试验：先在两个箱子中选择一个并从中随机摸一球，若摸出的球是白球，则该试验结束；若摸出的球是红球，则从另一个箱子中再随机摸一球，无论摸出的球是白球还是红球，该试验都结束．假设从甲箱子中摸出一球是红球得奖金100元，否则不得奖金；从乙箱子中摸出一球是红球得奖金200元，否则不得奖金．为使累计得奖金额的均值最大，如果摸球顺序由你选择，你应该先从哪个箱子开始摸球？并说明理由． 【答案】(1)答案见详解； (2)从甲箱开始摸球，理由见详解. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式求出相应概率，然后可得分布列； （2）分别求出从甲箱开始和从乙箱开始所得奖金的期望，比较其大小即可作出判断. 【详解】（1）记从甲箱摸出1个球是红球为事件，从乙箱摸出1个球是红球为事件， 则， 从甲、乙两个箱子中各摸出1球，摸到红球的个数的取值有， 易知事件、相互独立，则， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 （2）记从甲箱开始摸球所得奖金为，其所有可能取值为， ， ， 分布列为： 0 100 300 所以（元）； 记从乙箱开始摸球所得奖金为，其所有可能取值为， ， ， 分布列为： 0 200 300 所以（元）. 因为，所以先从甲箱开始摸球. 3．（2025·新疆·二模）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． (1)求小李独立成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； (3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小李需要聘请一位技术员，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式得到小李独立成功完成三道工序的概率； （2）分三种情况，求出相应的概率，再相加得到答案； （3）分别求出没有聘请技术员参与比赛，和聘请技术员参与比赛，收益的期望值，比较后得到结论. 【详解】（1）设事件“小李独立成功完成三道工序” 则． （2）设事件“小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 故． （3）若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为， ，所以， 若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为， 有如下几种情况： 技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时， 由（1）知，， 技术员参与补救并成功完成三道工序，此时，由（2）知， 技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时， ， 所以， 因为，所以小李需要聘请一位技术员． 4．（24-25高二下·广东·阶段练习）新高考数学试卷出现多项选择题，每小题的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； (1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得分的分布列？ (2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为.现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案： 方案一：随机选一个选项：方案二：随机选两个选项. （i）若，且学生乙选择方案一，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率？ （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案一最好？ 【答案】(1)答案见解析 (2)① ，；② 【分析】（1）根据不同得分情况，结合各选项判断正确、错误及不选的概率，利用相互独立事件概率公式计算得分的概率，进而得到分布列； （2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解； 对于②，分别计算方案I和方案Ⅱ的数学期望，根据数学期望的大小关系列不等式可得的取值范围. 【详解】（1）因为正确答案为AC，所以X的取值为0，3，6， 得3分即只选对了A或只选对了C， 得6分即选对了A和C，且没选B和D， 所以； 所以； 所以学生甲答此题得分的分布列 0 3 6 （2）①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， . ②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则的所有可能取值为0，2，3， 则， ， ， 所以； 对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， ， ， 所以； 要使唯独选择方案I最好，则 解得：，故P的取值范围为． 5．（2025·吉林长春·一模）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 【答案】(1)①；②分布列见解析，数学期望为； (2)先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【分析】（1）①根据独立性事件乘法公式即可得到答案； ②可取1，2，3，再分别计算出其对应概率，再利用数学期望公式即可得到答案； （2）首先分析出前两人应从A和B中选，C最后派出，再分类讨论作差比较两种方案即可. 【详解】（1）①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则 . ②可取1，2，3， ，， ， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. （2）若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而，所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出期望表达式，再分析C最后派出，最后分类讨论并比较大小即可. 题型9 概率结合导数 一、解答题 1．（23-24高二下·上海·期中）某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取4件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立 (1)求4件产品中恰有2件不合格品的概率，并记为； (2)求的最大值点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率,求得, （2）对(1)求导,利用导数在相应区间上的符号,确定其单调性,从而得到其最大值点. 【详解】（1）件产品中恰有件不合格品的概率为. （2）因为. 令,得. 当时,;当时,. ∴在单调递增，在单调递减， 的最大值点为. 2．（2025·河北石家庄·一模）在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立. (1)当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率； (2)若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6次. ①甲在一轮游戏中恰好投掷了5次游戏结束的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用对立事件概率的关系求事件的概率. （2）①明确投掷5次游戏结束的具体情况，可求得其概率； ②明确的可能取值，求出对应概率，得到的分布列，求其期望，再结合导数与函数的单调性，求的最大值. 【详解】（1）设事件表示第次正面向上，其中.且，， 设事件：“至少出现一次正面向上”. （2）①设事件：“恰好投掷了5次游戏结束”，则. 故 . 所以. ②由题意知， ， ， . . 则. 令，， 当时，，即在上单调递减，故， 因此，的最大值为. 3．（2025·四川南充·三模）甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 【答案】(1)（i）；（ii）分布列见解析，. (2)时，P最大. 【分析】（1）（i）利用对立事件计算概率；（ii）根据题意计算概率，再分布列和求数学期望； （2）列出概率，设，利用导数与单调性、最值得关系求解. 【详解】（1）（i）设事件：小明4次摸球中，至少摸出1个白球， 则. （ii）由题可知，可能的取值为， 甲口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， , , ， ， ， 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以. （2）小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率P， 因为， 所以， 令，则， 所以当时，；当时，； 所以函数在单调递增，单调递减， 所以当，即时，P最大，最大值为. 题型10 概率中的新定义问题 一、解答题 1．（2025·江西鹰潭·一模）预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 7 18 25 没接种疫苗 19 6 25 合计 26 24 50 (1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值. (3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)接种该疫苗与预防该疾病有关. (2) (3)分布列见解析，. 【分析】（1）求得卡方值，比较临界值即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求解； （3）由题意确定，进而可求解； 【详解】（1）根据列联表可得 ， 所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关. （2）由于. 所以，， , 由列联表中的数据可得，，所以. （3）由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18只和6只，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为， 则由题意可知，且， ，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. (1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率； (2)在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （i）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为，试利用这组样本并结合（i）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）记抽到的4个数字互不相同为事件，用排列数求得事件A包含的基本事件个数，再求得事件的总个数，由古典概型概率公式计算概率； （2）（i）根据均值公式计算；（ii）求出4个数的均值和它们平方后的均值，代替（i）中，列方程组求得． 【详解】（1）记抽到的4个数字互不相同为事件， 则事件包含的基本事件个数是. 甲同学随机抽取4次的不同结果个数是 故抽到的4个数字互不相同的概率； （2）（i）依题意的可能取值为 且且， 所以，.. 依题意的可能取值为 且且， 所以 . （ii）依题意样本数据为期望（平均数）为， 则为期望（平均数）为 消去得 整理得 又因为 所以 3．（2025高二·全国·专题练习）在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球. (1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率； (2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为，不同的个数为，求证：； (3)结合实例，解释协方差的实际含义. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出总的基本事件数和满足题意的基本事件数，利用古典概型的概率计算公式进行求解即可， （2）求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，利用数学期望公式及其性质求出的数学期望，求出的分布列，即可得证，或者求解的分布列，进而得数学期望，根据期望的性质化简计算即可求解， （3）根据的正负，即可结合（2）求解. 【详解】（1）将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球的所有情况有（种）， 1号球在2号盒子中时，有种情况，1号球在3或4号盒子中时，有种情况 1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中包含的情况有（种），记“1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中”为事件， 则. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，4，且， ，， ，， 故的分布列为 0 1 2 4 所以，. 解法一：因为， 所以， 令，则的分布列为 0 则. 解法二： 因为，所以时，，时，， 则， 时，，则， 时，，则， 故. . （3）令， 可知当时，和同时大于或同时小于各自的数学期望； 当时，和相对于各自数学期望的大小情况相反. 因此，刻画了和之间的变化趋势： 如果，表示和的变化趋势相同； 如果，表示和的变化趋势相反. 在第（2）问中，表示“所放小球号码与盒子号码相同”的个数和“所放小球号码与盒子号码不同”的个数的变化趋势相反，与实际情况相吻合. 【点睛】关键点点睛：求解本题第（1）问的关键是分析1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中包含哪些情况；求解本题第（2）问的关键是借助的关系，求或对协方差公式进行等价转化；求解本题第（3）问的关键是理解协方差的概念，分析出协方差刻画的问题本质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专练02 随机变量及其分布必刷题型（10大题型55题） 题型1 条件概率 一、单选题 1．（24-25高二下·河北邢台·期中）某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.  在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025高二下·天津·专题练习）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 ， . 6．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 题型2 全概率公式与*贝叶斯公式 一、单选题 1．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）三条生产线生产同一型号产品，若A、B、C三条生产线生产该类产品的次品率依次为0.05，0.1，0.1，A、B、C三条生产线生产的产品分别占总数的，任取一个产品，则取得的产品是次品的概率为（   ） A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06 2．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 4．（24-25高二下·山东济宁·期中）为保证华为尊界S800的预订活动顺利进行，现开通华为汽车APP、华为官网、华为商城3个预定通道，消费者选择其中一个通道进行预订．由AI对预订情况进行统计．实施更新预订数据．据统计，在有意向预订的消费者中，选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订的概率分别为、、，且对应预订成功的概率分别为、、，则在消费者预订成功的条件下，选择华为汽车APP预订的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知事件满足：，则 . 6．（2025高二·北京·专题练习）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件，经检验发现取到的产品为不合格品，它是由机器 生产出来的可能性最大. 7．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 8．（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 题型3 二项分布 一、单选题 1．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·开学考试）某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试.已知该同学每次投篮的成功率为，则该同学通过测试的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）甲抛掷均匀硬币2025次，乙抛掷均匀硬币2024次，下列四个随机事件的概率是0.5的是（    ） ①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. A．①③ B．①② C．②③ D．②④ 二、填空题 4．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则 ． 5．（24-25高二下·河北保定·期中）袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是 .①；②；③；④. 三、解答题 6．（24-25高二下·浙江·期中）DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小． 7．（24-25高二下·浙江丽水·期中）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为. (1)求的期望和方差； (2)规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率. 8．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在计算机领域中，有真随机与伪随机两种随机概念．真随机是伴随物理实验，例如：掷硬币、掷骰子、电子元件噪声、核裂变等，其结果符合三个特点：1．随机性：2．不可预测性3．不可重复性；伪随机是通过多种不同的算法，获取随机值，不是真的随机．在日常使用计算中情景中，如音乐随机播放、壁纸随机切换、电脑模拟硬币正反面等都是伪随机．假设有一个抽奖活动，主办方给出了两种抽奖方式，第一种抽奖方式为真随机，即每次抽中的概率为，每次抽奖的结果都是相互独立的．第二种抽奖方式为伪随机，第一次抽中的概率为，若第一次不中，第二次抽中的概率增加，即若某次抽奖不中那么下一次中奖概率会增加，直到．若已中奖，则下一次抽中的概率恢复到． (1)分别计算两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率； (2)如果你有抽奖3次的机会，那么你选择抽奖方式是第一种还是第二种？请说明理由． 题型4 二项分布中的概率最大问题 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）设随机变量，记，，下列说法正确的是（    ） A．当k由0增大到n时，先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 二、解答题 3．（2025·湖南永州·三模）某学校为调查高二年级的体育开展情况，随机抽取了20位高二学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 (1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； (2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高二年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X. （ⅰ）若，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若，当k为何值时，最大？ 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 题型5 超几何分布 一、单选题 1．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 二、解答题 4．（24-25高二下·北京·阶段练习）某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 6．（24-25高二·全国·课堂例题）为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分为三批次，每批次支教需要同时派送2名教师，且每批次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率； (2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数的分布列； (3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少？请说明理由． 题型6 正态分布 一、单选题 1．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（    ） A．4400 B．4500 C．4600 D．4900 2．（24-25高二下·全国·课后作业）某市高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，女生的身高单位：近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．男生身高高于185cm的概率超过 B．女生身高低于161cm的概率不超过 C．女生身高在的概率为 D．女生身高在的人数和男生身高在的人数一样多 3．（24-25高二下·甘肃白银·阶段练习）某校高二学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 4．（23-24高二下·福建福州·期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 二、多选题 5．（24-25高二下·湖南·期中）早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若随机变量，则 A．曲线关于直线对称 B．曲线在处达到峰值 C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高” D．若，则 三、解答题 6．（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 7．（24-25高二上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高二年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 题型7 其他离散型随机变量的分布列 一、解答题 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知一个口袋中有3个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，6的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉. 1 2 3 4 5 6 (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P； (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号，求X的数学期望的值. 2．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． (1)1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ (2)设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 3．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高二（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高二（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 4．（2024·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 5．（2024·湖南株洲·一模）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列； (2)当时， ①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率； ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由. 题型8 概率中的决策性问题 一、解答题 1．（2025·河北秦皇岛·一模）某大学舞蹈社有4名男生、2名女生，现要举办社团巡礼活动，拟从这6人中抽取2人参加巡礼活动中的相应比赛，比赛有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三项，被选中的人可以根据自身情况选择参加比赛的项数，具体如下： 参加一项的可能性 参加两项的可能性 参加三项的可能性 女生 0.5 0.5 0 男生 0 0.5 0.5 每参加1项比赛，社团的积分将增加100分. (1)在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率； (2)求该舞蹈社团最终的积分为600分的概率； (3)现学校对参加比赛的社团提出两种嘉奖方案． 方案一：每个社团奖励“参与奖”400元； 方案二：对参加比赛的社团最后获得的积分以“1积分=1元”奖金进行兑换. 若你是舞蹈社社长，以获得的奖励金额的期望为决策依据，判断哪种方案比较有利. 2．（24-25高二下·山东济宁·期中）甲、乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有8个红球和2个白球，乙箱中有5个红球和5个白球． (1)现从甲、乙两个箱子中各摸出1球，记摸到红球的个数为，求的分布列． (2)现做如下试验：先在两个箱子中选择一个并从中随机摸一球，若摸出的球是白球，则该试验结束；若摸出的球是红球，则从另一个箱子中再随机摸一球，无论摸出的球是白球还是红球，该试验都结束．假设从甲箱子中摸出一球是红球得奖金100元，否则不得奖金；从乙箱子中摸出一球是红球得奖金200元，否则不得奖金．为使累计得奖金额的均值最大，如果摸球顺序由你选择，你应该先从哪个箱子开始摸球？并说明理由． 3．（2025·新疆·二模）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． (1)求小李独立成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； (3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 4．（24-25高二下·广东·阶段练习）新高考数学试卷出现多项选择题，每小题的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分； (1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得分的分布列？ (2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为.现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案： 方案一：随机选一个选项：方案二：随机选两个选项. （i）若，且学生乙选择方案一，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率？ （ii）以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案一最好？ 5．（2025·吉林长春·一模）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 题型9 概率结合导数 一、解答题 1．（23-24高二下·上海·期中）某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取4件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立 (1)求4件产品中恰有2件不合格品的概率，并记为； (2)求的最大值点； 2．（2025·河北石家庄·一模）在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立. (1)当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率； (2)若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6次. ①甲在一轮游戏中恰好投掷了5次游戏结束的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值. 3．（2025·四川南充·三模）甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 题型10 概率中的新定义问题 一、解答题 1．（2025·江西鹰潭·一模）预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 7 18 25 没接种疫苗 19 6 25 合计 26 24 50 (1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值. (3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. (1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率； (2)在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （i）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为，试利用这组样本并结合（i）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 3．（2025高二·全国·专题练习）在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球. (1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率； (2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为，不同的个数为，求证：； (3)结合实例，解释协方差的实际含义. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$