数学（浙江卷02）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

11 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（浙江卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在，，，中，负数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．我国低空经济呈现快速增长态势，据中国民航局预计，到2025年，国内低空经济市场规模将达到1.5万亿元．数据“1.5万亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．人体许多特征都是由基因决定的，如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有三种，其中基因为和的人能卷舌，基因为的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因分别是，，则他们的子女可卷舌的概率为（   ） A． B． C． D． 6．下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C．D． 7．如图，已知四边形内接于圆O，，，若，则的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．在下列函数图象上任取不同两点、，一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程的解为正数，且关于的一元一次不等式组的解集为，则满足条件的整数的乘积是（    ）． A．24 B．0 C． D． 10．如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．    13．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元． 14．如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是 ．（结果保留） 15．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 16．如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，当时，的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）（1）解方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（8分）人工智能()，英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．、智谱清言、讯飞星火认知等模型的发布，给人们的生活工作带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，从该校3000名学生中随机抽取了部分学生参加人工智能知识测试(满分100)，将成绩统计整理，绘制成如下图表： 成绩统计表 成绩x(分) 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： (1)本次测试的成绩统计表中 ，并补全条形统计图． (2)抽取学生测试成绩的中位数在 (填“A”“B”“C”“D”或“E”)组． (3)请估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数． 20．（8分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为（，，，结果保留一位小数）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且丄于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 21．（8分）如图1，，要求用尺规在上取一点，使得平分，下面是两位同学的做法． 小明：如图，以点为圆心，适当长度为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接并延长交于点． 小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图，以为圆心为半径画弧，与的交点就是点． (1)请证明小明的做法是正确的； (2)小红的做法正确吗，请说明理由． 22．（10分）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标． 24．（12分）如图，已知菱形，以为直径的与对角线交于点，与边交于点，连接，，为上一点，连接． (1)求证：点，，三点共线； (2)若点为的中点，求证：是的切线； (3)若的半径长为，，求的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在，，，中，负数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的定义和有理数的乘方运算，解题的关键是掌握负数的定义，需要注意并不是有负号的数就一定是负数．先把需要化简或者计算的数算出来，再根据负数的定义去判断． 【详解】解：是正数， 是负数， 是负数， 是负数， ∴一共有3个负数． 故选：B． 2．青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据俯视图是从上面往下看即可获得答案． 【详解】解：从上面往下看青溪龙砚是一个圆环形状， 故选：C． 3．我国低空经济呈现快速增长态势，据中国民航局预计，到2025年，国内低空经济市场规模将达到1.5万亿元．数据“1.5万亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：1.5万亿， 故选：B． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项，单项式的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式是解答本题的关键． 根据合并同类项，单项式的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A选项中，，故A项错误； B选项中，，故B项错误； C选项中，，故C项正确； D选项中，，故D项错误． 故选：C． 5．人体许多特征都是由基因决定的，如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有三种，其中基因为和的人能卷舌，基因为的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因分别是，，则他们的子女可卷舌的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．画树状图列出所有等可能的情况，从中找出符合条件的情况，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， 由图可知，共有4种等可能的结果，其中他们的子女可以卷舌的结果有2种， ∴他们的子女可以卷舌的概率为． 故选：A． 6．下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿直线对折后两边完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 7．如图，已知四边形内接于圆O，，，若，则的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，以及三角函数综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，作于点，利用同弧或等弧所对的圆周角相等，以及三角函数综合，得到，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题． 【详解】解：连接，作于点， ，， 又 ，， ，， ，， ， ， 整理得， ，， ， ， 故选：B． 8．在下列函数图象上任取不同两点、，一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的解析式，解决本题是根据函数的解析式把函数值用含的代数式表示出来，再把代数式代入整理后再判断代数式的值的正负性． 【详解】解：A选项：根据， 可知、， ， 整理得：， ， ， ， 故A选项正确； B选项：根据， 可知、， ， 整理得：， ， ， 但是不一定是负数， 故B选项错误； C选项：根据， 可知、， ， ， ， 故C选项错误； D选项：根据， 可知、， ， 故D选项错误． 故选：A． 9．若关于的分式方程的解为正数，且关于的一元一次不等式组的解集为，则满足条件的整数的乘积是（    ）． A．24 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式组，不等式的整数解．解分式方程求得分式方程的解，依据已知条件列出不等式得到的取值范围；解不等式组求得的取值范围，得到关于的不等式组，解不等式组并取的整数解后再相加，即可得出结论． 【详解】解：， 去分母得： ， 移项，合并同类项得： ， ． 分式方程有可能产生增根3， ， ． 关于的分式方程的解为正数， ， ． 关于的一元一次不等式组的解集为， ， ， 综上，的取值范围为且， 为整数， ，，，． 所有满足条件的整数的乘积是， 故选：A． 10．如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，证得DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′-EF即可得出结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，如图所示： 矩形中，，，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 是定值， 当、、、四点共线时，定值最小，最小值， 的最小值为， 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12．如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出，由可得，得，由勾股定理可求出，． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵六边形是轴对称图形， ∴是它的一条对称轴， ∴ ∵，即 ∴ ∴， 在中， ∴ 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 13．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元． 【答案】7.3 【分析】本题考查中位数，将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为这组数据的中位数，据此进行求解即可． 【详解】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3， ∴中位数为7.3； 故答案为：7.3． 14．如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是：将阴影部分的面积转化为扇形的面积． 连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、． ∵，是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 16．如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，当时，的长为 ． 【答案】1或2或 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，特殊角度三角函数，根据得到，再以为边构造等边三角形，根据和在等边三角形上找对应的点即可． 【详解】解：如图，取中点，沿翻折，点对应点，取中点，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴由翻折可得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，取中点，取中点， ∴， ∴， ∵现将线段绕点顺时针旋转 得到线段，， ∴，， ∴点分别与、、重合， 当点与点重合时，， ∴点与点重合时，， ∴点与点重合时，， 故答案为：1或2或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．先计算零指数幂，化简绝对，代入特殊三角函数值，再计算乘法，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18．（8分）（1）解方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减法进行解方程，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：（1）， 由，得③ ，得， 解得． 将代入②，， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式组的解集如图所示： 19．（8分）人工智能()，英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．、智谱清言、讯飞星火认知等模型的发布，给人们的生活工作带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，从该校3000名学生中随机抽取了部分学生参加人工智能知识测试(满分100)，将成绩统计整理，绘制成如下图表： 成绩统计表 成绩x(分) 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： (1)本次测试的成绩统计表中 ，并补全条形统计图． (2)抽取学生测试成绩的中位数在 (填“A”“B”“C”“D”或“E”)组． (3)请估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数． 【答案】(1)，图见解析； (2)； (3)估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数为人． 【分析】本题考查了条形统计图，统计表，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用减去其它四组所占的百分比即可得到，算出组的人数，补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义可得答案； （3）根据用样本估计总体，用乘以组所占的百分比即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； 抽取调查的人数为：（人）， 组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：将这名学生成绩按从小到大的顺序排列，排在第和第名的学生成绩均在组， ∴这名学生成绩的中位数在组， 故答案为：； （3）解：（人）， ∴估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数为人． 20．（8分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为（，，，结果保留一位小数）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且丄于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 21．（8分）如图1，，要求用尺规在上取一点，使得平分，下面是两位同学的做法． 小明：如图，以点为圆心，适当长度为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接并延长交于点． 小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图，以为圆心为半径画弧，与的交点就是点． (1)请证明小明的做法是正确的； (2)小红的做法正确吗，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)正确，理由见解析． 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明可得结论； （）利用等边对等角，平行线的性质证明即可. 【详解】（1）证明：如图中，连接，， 由作图可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：正确，理由如下： 如图中，连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 22．（10分）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 【答案】(1)图见详解，一次 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． (1)根据表格中的数据，可以得到R与m符合初中学习过的哪种函数关系； (2)根据(1)中的结果，可以设出相应的函数解析式，然后根据表格中的数据，即可得到关于m的函数关系式； (3)将代入(2)中的函数关系式，即可得到人的质量m应为多少． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示： 由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系， 故答案为∶一次； （2）解：设R关于m的函数关系式为， 将代入， 得， 解得， 即R关于m的函数关系式为， 验证：当时，满足关系式； （3）解：当时，， 解得，， 即当可变电阻R为时，人的质量m应为． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，设，则，故，根据二次函数性质可得答案； （3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立方程组，即可解得点的坐标． 【详解】（1）解：把、，代入， 可得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为， 把代入得，， 解得，， 直线的函数表达式为； （2）解：过作轴交于，如图所示： 设，则， ， ， ， 当时，取最大值， 此时的坐标为； （3）解：直线下方存在点，使得，理由如下： 过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图所示： 由（2）知， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把、的坐标代入可得，， 解得： 直线的解析式为：， 则 解得，或 的坐标为． 24．（12分）如图，已知菱形，以为直径的与对角线交于点，与边交于点，连接，，为上一点，连接． (1)求证：点，，三点共线； (2)若点为的中点，求证：是的切线； (3)若的半径长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）通过圆周角定理的推论得，结合菱形的性质得即可求解； （2）连接、，利用菱形的性质得，；利用圆周角定理可得；为的中点，通过等腰三角形的性质——三线合一得，结合，推出即可得证结论； （3）连接、，由（2）得，推出，，设，利用勾股定理，在和中，，得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为的直径。 ，即． 四边形是菱形， ，即． 点，，三点共线． （2）证明：如图，连接、． 由（1）得点，，三点共线， 四边形是菱形， ，， 又，， ． ， ． 又为的中点， ． ， ． 又， ． ， ． 又为的半径， 为的切线． （3）解：如图，连接，． 由（2）得， ， ． 的半径长为， ． 四边形是菱形， ． 为的直径， ， ． 设，则， 在中，， 在中，， ，解得． 的长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、切线的判定以及勾股定理，熟练掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解题关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在，，，中，负数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．我国低空经济呈现快速增长态势，据中国民航局预计，到2025年，国内低空经济市场规模将达到1.5万亿元．数据“1.5万亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．人体许多特征都是由基因决定的，如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有三种，其中基因为和的人能卷舌，基因为的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因分别是，，则他们的子女可卷舌的概率为（   ） A． B． C． D． 6．下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C．D． 7．如图，已知四边形内接于圆O，，，若，则的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．在下列函数图象上任取不同两点、，一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程的解为正数，且关于的一元一次不等式组的解集为，则满足条件的整数的乘积是（    ）． A．24 B．0 C． D． 10．如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．    13．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元． 14．如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是 ．（结果保留） 15．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 16．如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，当时，的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）（1）解方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（8分）人工智能()，英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．、智谱清言、讯飞星火认知等模型的发布，给人们的生活工作带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，从该校3000名学生中随机抽取了部分学生参加人工智能知识测试(满分100)，将成绩统计整理，绘制成如下图表： 成绩统计表 成绩x(分) 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： (1)本次测试的成绩统计表中 ，并补全条形统计图． (2)抽取学生测试成绩的中位数在 (填“A”“B”“C”“D”或“E”)组． (3)请估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数． 20．（8分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为（，，，结果保留一位小数）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且丄于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 21．（8分）如图1，，要求用尺规在上取一点，使得平分，下面是两位同学的做法． 小明：如图，以点为圆心，适当长度为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接并延长交于点． 小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图，以为圆心为半径画弧，与的交点就是点． (1)请证明小明的做法是正确的； (2)小红的做法正确吗，请说明理由． 22．（10分）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标． 24．（12分）如图，已知菱形，以为直径的与对角线交于点，与边交于点，连接，，为上一点，连接． (1)求证：点，，三点共线； (2)若点为的中点，求证：是的切线； (3)若的半径长为，，求的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C A B B A A B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13．7.3 14． 15．15 16．1或2或 三、解答题:本大题有8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分） 【详解】解：原式 ．（8分） 18．（8分） 【详解】解：（1）， 由，得③ ，得， 解得． 将代入②，， ∴， ∴原方程组的解为；（4分） （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为．（6分） 在数轴上表示不等式组的解集如图所示： （8分） 19．（8分） 【详解】（1）解：， 故答案为：； 抽取调查的人数为：（人）， 组的人数为：（人），（2分） 补全条形统计图如下： （4分） （2）解：将这名学生成绩按从小到大的顺序排列，排在第和第名的学生成绩均在组， ∴这名学生成绩的中位数在组， 故答案为：；（6分） （3）解：（人）， ∴估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数为人．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：，， ， ， （3分） （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ，（5分） ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为．（8分） 21．（8分） 【详解】（1）证明：如图中，连接，， 由作图可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分；（4分） （2）解：正确，理由如下： 如图中，连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分．（8分） 22．（10分） 【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示： 由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系， 故答案为∶一次；（3分） （2）解：设R关于m的函数关系式为， 将代入， 得， 解得， 即R关于m的函数关系式为， 验证：当时，满足关系式；（7分） （3）解：当时，， 解得，， 即当可变电阻R为时，人的质量m应为．（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：把、，代入， 可得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为， 把代入得，， 解得，， 直线的函数表达式为；（3分） （2）解：过作轴交于，如图所示： 设，则， ， ， ， 当时，取最大值， 此时的坐标为；（6分） （3）解：直线下方存在点，使得，理由如下： 过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图所示： 由（2）知， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ，（8分） 设直线的解析式为， 把、的坐标代入可得，， 解得： 直线的解析式为：， 则 解得，或 的坐标为．（10分） 24．（12分） 【详解】（1）证明：如图，连接． 为的直径。 ，即． 四边形是菱形， ，即． 点，，三点共线．（3分） （2）证明：如图，连接、． 由（1）得点，，三点共线， 四边形是菱形， ，， 又，， ． ， ．（5分） 又为的中点， ． ， ． 又， ． ， ． 又为的半径， 为的切线．（7分） （3）解：如图，连接，． 由（2）得， ， ． 的半径长为， ． 四边形是菱形，（9分） ． 为的直径， ， ． 设，则， 在中，， 在中，， ，解得． 的长为．（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第三次模拟考试（浙江卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分）