第18讲 三角形压轴题（5个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题九 解答压轴题 第18讲 三角形压轴题 （思维导图+5种题型） 题型01、三角形性质综合问题 题型02、三角形旋转变换的综合问题 题型03、三角形背景下的最值问题 题型04、三角形对称变换下的综合问题 题型05、等腰三角形背景的综合问题 题型01、三角形性质综合问题 1．（2025·浙江宁波·一模）在中，点分别在边上，线段相交于点． (1)若是正三角形，，求的值． (2)设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：． 2．（2023·浙江·模拟预测）如图，和是两个全等的直角三角形，与交于F，，若，请回答以下问题： (1)求证； (2)求的值． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出和的关系是本题解题的关键． （1）过作，根据直角三角形内各边关系，以及勾股定理求出和的关系，然后根据相似三角形的判定定理求解即可； （2）根据（1）的结论，得到是直角三角形，为，从而可以求出． 证明：过作于， 3．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践 【模型探究】 （1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：． 【尝试建构】 （2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值． 4．（22-23九年级上·浙江金华·期中）（1）如图，已知和均为直角三角形， 【发现问题】①如图1，连接，若，则的长为______． 【探索问题】②如图2，若，求的长． 【解决问题】（2）如图3，在凸四边形中，，过作，交延长线于点．那么的面积是否定值若为定值，请求出这个值，请求出这个值；若不是，请说明理由． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）在中，，，D为边上一动点，且（n为正整数），在直线上方作，使得． (1)如图1，在点D运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由； (2)如图2，若，M为中点，当点E在射线上时，求的长； (3)如图3，设的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）． 6．（2023·浙江宁波·一模）（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：． （2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接． ①[思考探究]如图2，当时，求的长． ②[拓展延伸]如图3，当时，求的长． （1）证明，即可得证； （2）①取中点F，连接，则为的中位线，证明，得到，列式计算即可； ②取中点，连接，过点E作，垂足为G，证明，得到，进行计算即可． 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，和是直角三角形，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，若，， ，，过A作交延长线于Q，求的值． 8．（2023·浙江·三模）在中，平分交于点D，点E是射线上的动点（不与点D重合），过点E作交直线于点F，的角平分线所在的直线与射线交于点G．    (1)如图1，点E在线段上运动． ①若，，则__________°； ②若，求的度数； (2)若点E在射线上运动时，探究与之间的数量关系． 9．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】 如图1，P是内部一点，在射线上取点D、E，使得．求证：； 【尝试应用】 如图2，在中，，，D是上一点，连接，在上取点E、F，连接，使得．若，求的长； 【拓展提高】 如图3，在中，，，D是上一点，连接，在上取点E，连接．若，，求的正切值．      10．（2025·重庆·模拟预测）已知在中，，，为直线上一动点，连接． (1)如图1，若为线段上的一点且满足，若，求线段的长； (2)如图2，若为线段上的一点，过点作∥交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论； (3)如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 题型02、三角形旋转变换的综合问题 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，中，，，，分别取，的中点，，连结．如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，连结，． (1)在旋转过程中，与之间存在怎样的数量关系？ (2)当点落在边上时（如图3），求的长． 12．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若，求的值． 13．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点．请猜想：①______．②锐角的度数______． (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点F，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3是将绕点旋转到一定角度得到，当时，则线段的长______． 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在直角三角形中，，，将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，，，分别为，的中点，连接，． 猜想证明： （1）如图1，当恰好经过点B时，与的位置关系是________，数量关系是________． 问题解决： （2）如图2，当恰好经过点B时． ①试猜想与AE的位置关系和数量关系，并说明理由． ②连接，若，请直接写出线段的长． 15．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)将绕点逆时针旋转一定的角度到如图，若，，，求的长． 16．（22-23九年级上·浙江台州·期末）问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)请帮助小明完成他的证明过程； 证明：将绕点C顺时针旋转得到， __________，__________，． ， ， ，即三点共线． ， __________， __________，即平分． (2)应用：在图1中，若，则__________； (3)迁移：如图2，，若，求的长； (4)拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案） 17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； (3)若，，求的长． 18．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 （一）动手操作 如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．延长分别交于点F，交于点G，连接．    （二）思考探究 (1) °， °； (2)若，则①求的度数；②求的值． (3)开放拓展：如图2，若改变旋转角，已知，当时，的面积为 ． 19．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）定义：如图1，在．中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”，的边上的中线叫做的“倍旋中线”． ①                        ②                           ③ (1)如图①，当，时，“倍旋中线”的长为______； (2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为______． (3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明． 20．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，已知，，C为y轴上的一个动点，连接，把线段分别绕着点O逆时针方向旋转得到，连接．    (1)求证：． (2)当时，求的面积． (3)在点C的运动过程中，是否存在为直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（2023·浙江宁波·一模）已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围． 22．（2023·浙江温州·模拟预测）阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． (1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程． (2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，． ①请你判断线段与的数量关系，并给出证明； ②若，，请直接写出的长． 23．（2024·辽宁·模拟预测）在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究． (1)【问题初探】 如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现． 请你帮助他们证明这一发现． (2)【问题应用】 如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G． ①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：； ②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长． (3)【问题拓展】 如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________．     24．（2025·河北·模拟预测）在中，，，，如图1，将沿着进行翻折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，射线与边交于点（点不与点重合），与边交于点，线段与交于点． (1)在图1中，求证：； (2)在图2中，绕点旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)在绕点旋转的过程中． ①如图3，当时，求的长； ②当经过点时，直接写出的长． 题型03、三角形背景下的最值问题 25．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示） (3)当为何值时，的值最小，并求出最小值． 26．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点． (1)若，求的长． (2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点 P运动的路程． (3)连结，求的最小值． 27．（2020·浙江衢州·三模）如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM． （1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似； （2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长； （3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值． 28．（2021·浙江宁波·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC=4，BA＝8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P． (1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：        、            ． (2)利用图2，证明你在（1）中的猜想． (3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长． (4)在旋转过程中，直接写出△PBC面积的最大值． 29．（2024·河北唐山·模拟预测）如图1，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接． (1)当时，求的长； (2)如图2，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积． 30．（2024·河南驻马店·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动． (1)问题发现 如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M． 请直接写出的度数为______； (2)类比探究 如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究： 点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？ 若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； (3)拓展应用 如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值． 31．（2023·重庆铜梁·模拟预测）已知如图，在中，，点是上一点，；    (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积． 32．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 33．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 34．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 题型04、三角形对称变换下的综合问题 35．（2023·浙江·一模）如图1，中，，，．为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连接．    (1)如图2，当时，求的长． (2)当翻折得到的中有一边与垂直时，求的长． 36．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作验算 如图1，是等腰直角三角形纸片，，为上一点，．甲同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点． ①求的值； ②若，求、的值； (2)迁移探究 如图2，是等腰直角三角形纸片，，为线段上任意一点．乙同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点． 探究与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图3，是等腰直角三角形纸片，，丙同学在取点，使，沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕交线段于点，连接，求证：． 37．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质. 圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论. 类型 ．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关． 问题.若，，则________． 【变式探究】 类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点 ． 问题 ．若 ，则 ． 请猜测 与 有何关系，并证明． 【拓展思考】 方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到． 问题．若，，求的长． 38．（2023·浙江台州·模拟预测）已知直角，，，，为边上一动点，沿折叠，点与点重合，设的长度为． (1)如图①，若折痕的两个端点、在直角边上，则的范围为 ； (2)如图②，若等于2.5，求折痕的长度； (3)如图③，若m等于，求折痕的长度． 39．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点在边上，且．点从点出发沿边向终点运动，点关于所在直线的对称点为，连接、． (1)求线段的长． (2)点与点的最短距离为________． (3)当点落在内部时，求线段长的取值范围． (4)当所在直线与的某一条边垂直时，直接写出线段的长． 40．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图① ，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 41．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 42．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图,在矩形中,,在的延长线上取点,射线与射线交于点,点关于直线的对称点记为点,连接并延长交的延长线于点．设,,已知． (1)求与的长． (2)记,,的面积分别为,,,且,求的值． (3)连结,若与以,,为顶点的三角形相似,求的值． 43．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上． ①若，则______． ②若，与的周长分别为，则______，______． 【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长． 44．（2025·湖北武汉·模拟预测）操作与思考 在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，； （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，，，求值． 迁移与应用 如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值． 题型05、等腰三角形背景的综合问题 45．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，是的角平分线，以B为圆心，为半径画弧交于E． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 46．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 47．（2024·浙江·模拟预测）如图，在面积为12的等腰三角形中，底边的长为6． (1)求的长． (2)若点M在直线上运动，连接．则在点M运动过程中，问： ①当成为等腰三角形时，直接写出的长． ②不再连接其他线段，当图中存在某个角为时，求BM的长，并指出相应的角． 48．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，和中，，直线与交于点H． (1)如图1，当时，延长交直线于点H，交于点F，求的度数（用含a的式子表示）； (2)当时，将绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线右侧时，求证：； ②当时，若，请直接写出线段的长． 49．（2024·浙江杭州·一模）已知：如图，，，,，垂足为点，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，若,，求的长． （1）由，是的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得； （2）由，，根据等边对等角，证得，即可根据证得； （3）由全等三角形的性质得，，得到垂直平分线，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，即可求出答案． 50．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点． (1)求证：； (2)连接，若时， ①求的值； ②设的面积为，四边形的面积为，求的值． 51．（2023·浙江丽水·一模）如图1，A，B分别在射线上，且为钝角，现以线段为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，点C，D，E分别是，的中点．    (1)求证：； (2)延长交于点R． ①如图1，若，求证：为等边三角形； ②如图3，若，求大小和的值． 52．（2023·浙江金华·一模）如图，在中，，，点P是射线上的动点，连结，在的右边作，交射线于点Q． (1)当时，求点P到的距离． (2)当点P在线段上运动时，记，，求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (3)在点P的运动过程中，不再连结其他线段，当图中存在某个角为时，求的长，并指出相应的角． 53．（2023·浙江台州·一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F． (1)点C到的距离为______； (2)如图1，当点E在的外部时． ①求证：； ②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若，请直接写出的长． 54．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】 （1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为______；的度数为______． 【类比探究】 （2）如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图，，，，，请直接写出的值． 试卷第2页，共155页 2 / 156 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题九 解答压轴题 第18讲 三角形压轴题 （思维导图+5种题型） 题型01、三角形性质综合问题 题型02、三角形旋转变换的综合问题 题型03、三角形背景下的最值问题 题型04、三角形对称变换下的综合问题 题型05、等腰三角形背景的综合问题 题型01、三角形性质综合问题 1．（2025·浙江宁波·一模）在中，点分别在边上，线段相交于点． (1)若是正三角形，，求的值． (2)设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明得到，那么，即可求解； （2）连接，设，利用共高三角形面积比化为底之比得到，即，则，而，即可证明． 【详解】（1）解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了求一个角的正弦值，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积问题，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（2023·浙江·模拟预测）如图，和是两个全等的直角三角形，与交于F，，若，请回答以下问题： (1)求证； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出和的关系是本题解题的关键． （1）过作，根据直角三角形内各边关系，以及勾股定理求出和的关系，然后根据相似三角形的判定定理求解即可； （2）根据（1）的结论，得到是直角三角形，为，从而可以求出． 【详解】（1） 证明：过作于， 在中， ， ， ，，， ， ， ， 在中， ， 即， 解得：或（舍去）， ， ，， ， 又， ， 和是两个全等的直角三角形， ； （2） 解：由（1）知，， ，， ． 3．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践 【模型探究】 （1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：． 【尝试建构】 （2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）证明即可得到结论； （2）延长交于H，证明，得到，根据直角三角形的性质求出； （3）如图3，过点E作于F，证得，推出，由得到，证得，设，则，由勾股定理列得，求出，，则，求得． 【详解】（1）证明：∵点O为边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下：如图2，延长交于H， ∵点O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）如图3，过点E作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，熟练掌握各定理是解题的关键． 4．（22-23九年级上·浙江金华·期中）（1）如图，已知和均为直角三角形， 【发现问题】①如图1，连接，若，则的长为______． 【探索问题】②如图2，若，求的长． 【解决问题】（2）如图3，在凸四边形中，，过作，交延长线于点．那么的面积是否定值若为定值，请求出这个值，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】[发现问题]；[探索问题] ；[解决问题]不变， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形； （1）[发现问题]①连接，证明，得到，在中，，，勾股定理求出，得到答案； [探索问题]②连接，证明，得到 ，求出的长，得到的长． （2）[解决问题]证明，进而得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接， ， ，即， 又，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ，， ， ； ②在中，， ， ， ， ， ， ，， ，又，， ， ． [解决问题] （2）解：如图所示，过作，交延长线于点，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）在中，，，D为边上一动点，且（n为正整数），在直线上方作，使得． (1)如图1，在点D运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由； (2)如图2，若，M为中点，当点E在射线上时，求的长； (3)如图3，设的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据，得到，，可推出，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可解题． （2）作于点，根据勾股定理算出，根据线段中点的定义和直角三角形斜边上的中线性质，得到，利用，求出，利用，求出，推出，根据，证明，利用相似的性质，先求得，再求出，即可解题． （3）取的中点，连接，根据三角形中位线性质得到，，得出点在经过中点，且垂直于的直线上运动， 因为在点D从点C运动到点B的过程中，当D与C重合时，P与N重合，当D与B重合时，最大，所以线段的长，即为点P运动的路径长，根据勾股定理算出，利用相似三角形性质求得，推出，即可解题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ； （2）解：作于点， ， ，，且， ， ， M为中点， ， ， ，解得， ， ，解得， ， 由（1）可知，， ，， ， ， ， ，即，解得， ， ，解得． （3）解：取的中点，连接， 的中点为P， ，， ， 点在经过中点，且垂直于的直线上运动， ，，， ， 在点D从点C运动到点B的过程中，当D与C重合时，P与N重合，当D与B重合时，最大， 线段的长，即为点P运动的路径长， 当D与B重合时， ， ， ， ， 点P运动的路径长． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理、线段中点的定义、直角三角形斜边上的中线性质、解直角三角形、三角形中位线性质，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题关键． 6．（2023·浙江宁波·一模）（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：． （2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接． ①[思考探究]如图2，当时，求的长． ②[拓展延伸]如图3，当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）①．② 【分析】 （1）证明，即可得证； （2）①取中点F，连接，则为的中位线，证明，得到，列式计算即可； ②取中点，连接，过点E作，垂足为G，证明，得到，进行计算即可． 【详解】（1）证明∵， ∴， ∴， ∴． （2）①取中点F，连接， ∵， ∴，， ∵E为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴ 解得，（舍去）， ∴． ②取中点，连接，过点E作，垂足为G，设， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，． ∴， 解得，（舍去）． ∴． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解一元二次方程．解题的关键是添加辅助线，构造三角形的中位线，证明三角形相似． 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，和是直角三角形，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，若，， ，，过A作交延长线于Q，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． （1）通过证明，可得，，可得结论； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）由锐角三角函数可求，由直角三角形的性质可求，，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，在上截取，连接， ， ， ，， 设，则，， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 8．（2023·浙江·三模）在中，平分交于点D，点E是射线上的动点（不与点D重合），过点E作交直线于点F，的角平分线所在的直线与射线交于点G．    (1)如图1，点E在线段上运动． ①若，，则__________°； ②若，求的度数； (2)若点E在射线上运动时，探究与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或 【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出，代入进行计算即可； ②由①的方法得出，进而满出，代入计算即可； （2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段AD上时，有成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有或成立． 【详解】（1）如图1，    ①， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， 又， ， 故答案为：； ②由①得， ； （2）当点在线段上时，如图（2），   ， ，， 平分， ， ； 当点在射线上时，如图（3）由（1）得，，    ； 综上所述，与之间的数量关系为：或． 答：若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或． 【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三角形内角和定理是解题关键． 9．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】 如图1，P是内部一点，在射线上取点D、E，使得．求证：； 【尝试应用】 如图2，在中，，，D是上一点，连接，在上取点E、F，连接，使得．若，求的长； 【拓展提高】 如图3，在中，，，D是上一点，连接，在上取点E，连接．若，，求的正切值．      【答案】【基础巩固】见解析 【尝试应用】 【拓展提高】 【分析】【基础巩固】利用两角相等的三角形相似证明即可；【尝试应用】根据等腰直角三角形的性质可得，,再推导，然后利用等腰三角形的性质得到，计算解题；【拓展提高】如图所示，在上取点F，使，作于点，则可得到，即，，进而证明，得到，设，可以求出解题即可． 【详解】【基础巩固】证明：∵,， ∴, 又∵,,， ∴, ∴. 【尝试应用】解：∵, ∴，, 即：， 又∵，， 即：， 又. ∴, 又∵，， ∴, ∴, ∴， ∴， 故CE的长为：. 【拓展提高】解：如图所示，在上取点F，使，作于点，    ∵， ∴，. 即：， 又∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴令，则 ∴， 又∵ ∴在中，， ∴， 由勾股定理可得：， 又∵， ∴∠， ∴， ∴， ∴， 设，则，. ∴， 解得：, ∴, ∴ 故的正切值为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形上午外角，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（2025·重庆·模拟预测）已知在中，，，为直线上一动点，连接． (1)如图1，若为线段上的一点且满足，若，求线段的长； (2)如图2，若为线段上的一点，过点作∥交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论； (3)如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）过点作于点．求出，得，，证明是等腰直角三角形，得，根据求出，从而得出结论； （2）如图2中，延长交的延长线于点T．证明，推出，，证明，推出，可得结论； （3）将绕点逆时针旋转得到．证明，当'时，有最小值．过点作于点，延长交直线于点，连接，证明，求出，，得，求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点． ∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：结论：． 证明如下：如图2，延长交的延长线于点． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的最小值为． 如图3，将绕点逆时针旋转得到． 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴． ∵是定点， ∴点在直线上运动， ∴当'时，有最小值． 过点作于点，延长交直线于点，连接， ∵在中，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型02、三角形旋转变换的综合问题 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，中，，，，分别取，的中点，，连结．如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，连结，． (1)在旋转过程中，与之间存在怎样的数量关系？ (2)当点落在边上时（如图3），求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理可得，由图1中的、分别为、的中点可得，，进而可得，由旋转的性质可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，由此即可得出结论； （2）由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由旋转的性质及邻补角互补可得，由（1）可得，，则，由勾股定理可得，然后根据即可求出的长． 【详解】（1）解：如图2，当点不在直线上时， ，，， ， 图1中的、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 答：在旋转过程中，与之间始终保持； （2）解：图1中的、分别为、的中点， ，，，， ， 如图3， 点在上， ， 由（1）可得：，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段中点的有关计算，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，两直线平行同位角相等，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握旋转的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，，求得，而，由旋转得，则，所以，则； （2）由旋转得，，，，则，所以，即可根据证明； （3）由旋转得，，，则，，，所以，而，所以，则，因为，所以，所以，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）证明：由旋转得，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：由旋转得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 13．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点．请猜想：①______．②锐角的度数______． (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点F，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3是将绕点旋转到一定角度得到，当时，则线段的长______． 【答案】(1)①；② (2)（1）中的两个结论还成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可推出、都是等腰直角三角形，分别求出、的长即可解答①；利用等腰直角三角形的性质得到平分，再利用三线合一性质得到，进而得到，最后利用平行线的性质即可解答②； （2）由旋转的性质和相似三角形的判定，推出，利用相似三角形的性质得到的值，以及，再利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结论； （3）由题意得，分类点在直线上方或下方进行讨论，作交于点，交延长线于点，利用勾股定理求出的三边长，再通过证明得到和的长，再利用勾股定理得到的长，结合（2）中的结论得：，即可求出的长． 【详解】（1）解：绕点按顺时针方向旋转得到， ，，，， 、都是等腰直角三角形，，， ，，， ，平分， ， ， ， ， ， 综上所述，，． 故答案为：①；②． （2）解：（1）中的两个结论还成立，理由如下： 由旋转的性质得，，，， ， ， ，； 设与相交于点， ， ， ， ，， ， 综上所述，，． （1）中的两个结论还成立． （3）解：①若点在直线上方， 如图，作交于点，交延长线于点， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，， 由（2）中的结论得：， ； ②若点在直线下方， 如图，作交于点，交于点， 同理①可得，，，， ， 在中，， 由（2）中的结论得：， ； 综上所述，线段的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理求线段的长度，利用相似三角形的性质求比例和角度是解题的关键，本题属于几何综合题，需要较强的推理论证能力，适合有能力解决几何难题的学生． 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在直角三角形中，，，将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，，，分别为，的中点，连接，． 猜想证明： （1）如图1，当恰好经过点B时，与的位置关系是________，数量关系是________． 问题解决： （2）如图2，当恰好经过点B时． ①试猜想与AE的位置关系和数量关系，并说明理由． ②连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；；（2）①； ；② 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，根据等边三角形性质得出，，根据平行线的判定得出结论即可； （2）①根据旋转得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，证明四边形为矩形，得出； ②根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理得出． 【详解】解：（1）在直角三角形中，，， ∴， ∵将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点B， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）①与的位置关系是，数量关系是． 理由：在直角三角形中，，， ∴， ∵将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点B， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）∵在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵点E为的中点， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ． ∴线段的长为． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 15．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)将绕点逆时针旋转一定的角度到如图，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据题意得出，，根据相似三角形的性质得出，进而即可得证； （2）根据题意设，则，根据 得出，，进而根据正弦的定义，即可求解； （3）连接，证明，得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ 设，则， 在中，， ∵ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，连接， 在中，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 16．（22-23九年级上·浙江台州·期末）问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)请帮助小明完成他的证明过程； 证明：将绕点C顺时针旋转得到， __________，__________，． ， ， ，即三点共线． ， __________， __________，即平分． (2)应用：在图1中，若，则__________； (3)迁移：如图2，，若，求的长； (4)拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)；（或）；； (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质，补角的性质，等腰三角形的性质进行解答即可； （2）先求出，根据为等腰直角三角形，求出即可； （3）将绕C点顺时针至．先证明B，A，三点共线，根据，求出，根据等腰直角三角形性质得出； （4）过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G．证明，得出，证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，求出；当在左侧时，连接．求出，得出． 【详解】（1）证明：将绕点C顺时针旋转得到， ，，， ， ， ，即三点共线， ， ， ∴，即平分 故答案为：；（或）；；． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，将绕C点顺时针至， ， ， ， ， ∴B，A，三点共线， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ． （4）解：如图，过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G． ， ∴设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ； 当在左侧时，连接， ， ∴，， ∵， ， ， ． 综上，或． 故答案为：或． 【点睛】本题属于探究型题目，主要考查三角形的旋转和全等三角形的应用．各小问之间的关系较为密切．往往前一问的结论可作为下一问的条件或是作为下一问的思考方向．本题（1）问中引入了全等三角形的旋转模型，这便为后面几问的解答给予启发，第（2）问可直接以（1）中的结论为条件得出答案，（3）（4）则顺着（1）中的思考方向作为解答，通过对所求线段进行藏转，构造垂直关系和全等三角形，从而使问题得以解决．注意第（4）问中对进行旋转时，方向具有不确定性，需进行分类讨论． 17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，邻补角的定义得到，于是得到，证明，根据全等三角形的性质即可的结论； （2）证得，根据相似三角形的性质得到，即； （3）过点D，E分别作，垂足分别为H，G，利用含30度的直角三角形及勾股定理求出，进而得到，证明，得到，即可求出，进而得出结果． 【详解】（1）证明：，，是中线， 是的角平分线， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图，过点D，E分别作，垂足分别为H，G， ，，由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 （一）动手操作 如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．延长分别交于点F，交于点G，连接．    （二）思考探究 (1) °， °； (2)若，则①求的度数；②求的值． (3)开放拓展：如图2，若改变旋转角，已知，当时，的面积为 ． 【答案】(1)45，90 (2)①；② (3) 【分析】（1）由旋转的性质可证四边形是正方形，即得出， ； （2）①由正方形的性质可求，，由平行线的性质可求；②由对顶角可知，可证，再由相似三角形的性质求解即可； （3）由勾股定理可求，结合旋转的性质可证明，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． ∵为对角线， ∴， 故答案为：45，90； （2）解：①∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴ ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ②∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴． ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题关键． 19．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）定义：如图1，在．中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”，的边上的中线叫做的“倍旋中线”． ①                        ②                           ③ (1)如图①，当，时，“倍旋中线”的长为______； (2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为______． (3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析． 【分析】（1）如图1，首先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题； （2）如图2，过点作，证，根据易得结论． （3）延长到，使得，连接，证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论． 【详解】（1）如图1， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：． （2）如图2， ∵，， ∴ 根据“倍旋中线”知等腰三角形， 过作，垂足为 ∴， ， ∵是等边三角形的边的中点， 且 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （3）结论： 理由：如图，延长到，使得，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 20．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，已知，，C为y轴上的一个动点，连接，把线段分别绕着点O逆时针方向旋转得到，连接．    (1)求证：． (2)当时，求的面积． (3)在点C的运动过程中，是否存在为直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)在点C的运动过程中，存在为直角三角形，此时点D的坐标为或或或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，进而利用证明即可； （2）先求出，如图所示，过点F作轴于H，证明，得到，进而求出；如图所示，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N，同理可得，求出，则，即可得到； （3）如图3-1所示，当点C在x轴上方时，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N，设点C的坐标为，同理可证，可得到；如图3-2所示，当点C在x轴下方时，过点D作轴，同理可得，可得到，综上所述，当点C的坐标为时，点D的坐标为，同理可得，当点C的坐标为时，点F的坐标为，利用勾股定理得到，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴，即， ∴；    （2）解：∵，，， ∴， 如图所示，过点F作轴于H， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）解：如图3-1所示，当点C在x轴上方时，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N， 设点C的坐标为， 同理可证， ∴， ∴；    如图3-2所示，当点C在x轴下方时，过点D作轴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当点C的坐标为时，点D的坐标为， 同理可得，当点C的坐标为时，点F的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ， 当时，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当时，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述，在点C的运动过程中，存在为直角三角形，此时点D的坐标为或或或．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质等等，通过证明三角形全等从而确定点D和点F两点坐标与点C坐标之间的关系是解题的关键． 21．（2023·浙江宁波·一模）已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长交于点，利用勾股定理求出和，然后代入即可； （3）取的中点，连接、，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：如下图： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）延长交于点， ∵， ∴， ∵是等边三角形且边长为，等边的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． （3）取的中点，连接、， ∵是等边三角形且边长为，是等边三角形且边长为， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴在中，，当、、共线时取等号， ∴， ∴旋转过程中的取值范围是． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形三边关系定理．灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 22．（2023·浙江温州·模拟预测）阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． (1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程． (2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，． ①请你判断线段与的数量关系，并给出证明； ②若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②2或4 【分析】（1）延长至，使，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论； （2）①延长至点，使，连接、，先证（），得，，则，再证（），得，，然后证是等边三角形，即可得出结论； ②分两种情况，当为的中位线时，，可求出答案；当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，证明（），得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：延长至，使，连接，    在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：线段与的数量关系为：， 证明如下：延长至点，使，连接、，如图所示：    ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ②解：的长为或． 当为的中位线时，， ∴为的中点， ∴， ∴， 如图，当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，    ∵为等腰三角形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∴，即， ∴，即， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理的证明、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（2024·辽宁·模拟预测）在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究． (1)【问题初探】 如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现． 请你帮助他们证明这一发现． (2)【问题应用】 如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G． ①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：； ②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长． (3)【问题拓展】 如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 (3) 【分析】（1）证明，根据旋转得出，，即可证明； （2）①根据M，N分别为边与的中点．得出，证明，即可得．由旋转可知，，证明，即可证明． ②分为当点G在线段上时，和当点G在线段延长线上时，分别画出图形，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）取中点P，连接，根据三角形中位线定理得出．．再结合，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴．     由旋转可知，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：①证明：如图3， ∵M，N分别为边与的中点． ∴， ∴， ∴． 由旋转可知，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在与中， ∵， ∴． ②解：如图4，当点G在线段上时， ∵在中，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图5，当点G在线段延长线上时， 同理可得，． （3）解：取中点P， ∵K为中点，连接， ∴． ∵H为中点， ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 24．（2025·河北·模拟预测）在中，，，，如图1，将沿着进行翻折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，射线与边交于点（点不与点重合），与边交于点，线段与交于点． (1)在图1中，求证：； (2)在图2中，绕点旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)在绕点旋转的过程中． ①如图3，当时，求的长； ②当经过点时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)①；② 【分析】（1）由折叠的性质得，，，再根据推得，根据平行线的性质得出，，从而得，根据等角对等边即可证明； （2）连接，由旋转的性质得，，据此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系； （3）①过点作于点，交于点，先利用勾股定理求出，再由（1）得，根据三角形中位线的性质得出，根据勾股定理求出，根据矩形的判定和性质得出，根据三角形的面积求出，，根据相似三角形的判定和性质即可求解； ②设，则．由旋转的性质得，，再根据得，根据等边对等角得出，从而得，根据等角对等边得出，然后根据勾股定理求出的值，从而可得的长． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：． 证明如下：连接，如图所示． 由旋转的性质，得，， 在与中， ∴， ∴； （3）解：①过点作于点，交于点，如图所示． 在中，，，， 由勾股定理，得． 由（1）可知，，，， ∴， ∴是的中位线， ∴． 在中，由勾股定理，得． 由旋转的性质，得，， ∴， 四边形HDFQ是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． ②． 如图，设，则． 由旋转的性质，得，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得，即， 解得， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，轴对称的性质、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线． 题型03、三角形背景下的最值问题 25．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示） (3)当为何值时，的值最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2) (3)时，有最小值，为 【分析】（1）设，则，根据勾股定理得计算即可． （2）分和不垂直，两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，配方，利用非负性质计算即可． 【详解】（1）解：设，则． ， ， 故， 解得， 故． （2）解：时，点与点重合，由（1）知，此时． 当与不垂直，且点在点右侧时，如图2，过点作于点，由（1）可得，， ． ， ． 为绕点顺时针旋转得到， 且， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 点在点右侧， 此时， 即，， ． 当点在点的左侧时，同理可得． ； （3）解：由（2）得， ， 当，即时，有最小值，为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，配方法求最小值问题，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 26．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点． (1)若，求的长． (2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点 P运动的路程． (3)连结，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求出，根据，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，再根据当时，为等边三角形，；当时，，得到弧的圆心角为，利用弧长公式即可求解； （3）在 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：连接， ∵，P为的中点，， ∴， ∴点P运动的路线是以C为圆心，2为半径的一段圆弧， 当时，为等边三角形，； 当时，，得到弧的圆心角为， 则 P运动的路程即为圆心角为的弧的长度，即为； （3）解：如图，在上取一点F，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 27．（2020·浙江衢州·三模）如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM． （1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似； （2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长； （3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值． 【答案】（1）t＝3时，△PMQ∽△DCQ；（2）不变化．DE＝3cm；（3）t为9﹣3时，AB'的值最小，最小值为3﹣3． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，然后判断出相似三角形的对应关系可得PM∥DC，即可得出P是AB的中点，从而求出结论； （2）P是AB的中点，根据等边三角形的性质和判定证出△APK是等边三角形，利用AAS证出△PKD≌△QCD，从而证出DK＝DC，即可求出结论； （3）连接AM，易知当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，利用三线合一和勾股定理求出∠BAM和AM，即可求出AB'的最小值，由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，最后根据AB'＝B'P即可求出结论． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠DBQ＝120°， ∵∠BQP＝∠CQD，∠PMQ＞90°， ∴只有当∠PMQ＝∠DCQ＝120°时，△PMQ∽△DCQ， 则PM∥DC， ∵M是BC的中点， ∴P是AB的中点， 即AP＝3＝t， ∴t＝3时，△PMQ∽△DCQ； （2）不变化．理由如下： 如图1中，作PK∥BC交AC于K． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝60°， ∵PK∥BC， ∴∠APK＝∠B＝60°， ∴△APK是等边三角形， ∴PA＝PK， ∵PE⊥AK， ∴AE＝EK， ∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC， ∴△PKD≌△QCD（AAS）， ∴DK＝DC， ∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm； （3）如图2中，连接AM， 则AB'≥AM﹣MB'， 而MB'＝MB， ∴当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小， 即：点B'在AM上，（如图3） ∵BM＝CM＝3，AB＝AC＝6， ∴AM⊥BC， ∴∠BAM＝∠BAC＝30°，， ∵B'M＝BM＝3， ∴AB'的最小值为AM﹣B'M＝， 由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°， ∴∠APB'＝∠PB'M﹣∠BAC＝30°＝∠BAM， ∴AB'＝B'P＝6﹣t＝3﹣3， ∴t＝9﹣3， 即：t为9﹣3时，AB'的值最小，最小值为3﹣3． 【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠的性质，掌握等边三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠的性质是解决此题的关键． 28．（2021·浙江宁波·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC=4，BA＝8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P． (1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：        、            ． (2)利用图2，证明你在（1）中的猜想． (3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长． (4)在旋转过程中，直接写出△PBC面积的最大值． 【答案】(1)AECD，AE＝2CD (2)见解析 (3)或 (4)4+2 【分析】（1）可以猜想：AE⊥CD，AE＝2CD； （2）证明△DBC∽△EAB，即可求解； （3）如图1，当点P在线段AE时，在Rt△PAC中，PA2＝PC2+AC2，即（2a﹣2）2+a2＝（4）2，即可求解；如图2，当点P在AE的延长线上时，同理可解； （4）如图3，当CD（P）与圆B相切时，△PBC面积最大，进而求解． 【详解】（1）解：可以猜想：AE⊥CD，AE＝2CD， 故答案为：AE⊥CD，AE＝2CD； （2）证明：如图2， ∵BD＝BE，BC=AB，∠DBC=∠ABE， ∴△DBC∽△EAB， ∴∠DCB＝∠BAE，AE＝2CD， ∵∠AOP＝∠BOC， ∴∠APC＝∠ABC＝90°， ∴CD⊥AE； （3）解：如图3，当点P在线段AE时， 由（2）知，CP＝AE，设PC＝a，则AE=2a ∵EP＝DE＝2， ∴PA＝2a﹣2， ∵AC= 在Rt△PAC中，PA2+PC2＝AC2，即（2a﹣2）2+a2＝（4）2， 解得a＝（不合题意的值已舍去）； 故PC＝， 如图4，当点P在AE的延长线上时， 由（2）知，CP＝AE，设PC＝a，则AE=2a ∵EP＝DE＝2， ∴PA＝2a+2， 在Rt△PAC中，PA2+PC8＝AC2，即（2a+2）2+a2＝（4）2， 解得a＝（不合题意的值已舍去）； 故PC＝， 综上，PC＝或； （4）解：如图5，当CD（P）与圆B相切时，△PBC面积最大， ∵CD⊥AP，DB⊥CP， ∴四边形BDPE为矩形． ∴PD＝BE＝4， 在Rt△CDB中，BD＝2， ∴∠BCD＝30°， ∴CD=2 ∴PC＝PD+CD=4+2， ∴△PBC面积＝•BD•PC＝4+2． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了切线的性质、矩形的性质、相似三角形和判定与性质、直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 29．（2024·河北唐山·模拟预测）如图1，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接． (1)当时，求的长； (2)如图2，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）作，解和，进而求得结果； （2）连接，，，并延长交于，证明，从而得出，进而得，根据三角形中位线定理，进一步命题得证； （3）作，先得出当、、共线时，最大，先求得的面积，进而求得结果． 【详解】（1）解：如图1， 作于， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ，， ， ； （2）解：，证明如下： 如图2， 连接，，，并延长交于， ， ， 即：， 在和中， ， ， ，， 由三角形的内角和为180度，结合对顶角相等得， 是的中点，是的中点， ，， 同理可得：，， ，，， ∴， ； （3）解：如图3， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的最大值是4， 此时点、、共线， 如图4， 作于，交于， ， ， ，， ， ， ， ， 由折叠性质得， ①， 又②， 由①②得，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形的内角和定理及外角性质，三角形的中位线性质，平行线的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 30．（2024·河南驻马店·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动． (1)问题发现 如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M． 请直接写出的度数为______； (2)类比探究 如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究： 点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？ 若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； (3)拓展应用 如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)不变， 理由见详解 (3)长的最小值为，最大值为 【分析】（1）根据是等边三角形，是的中点，根据等边三角形的性质得出，，再根据即可求解； （2）在等边中，，证明，得出，即可得出； （3）根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变， 即的大小始终不变， 因此点的运动轨迹是过点三点的圆， 得出当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即时，有最小值，当圆心点和点之间时， 即时，有最大值，分别画图计算即可； 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：不变， 理由如下： ∵在等边中，， 又由条件得． ， ， ； （3）解：根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变， 即的大小始终不变， 因此点的运动轨迹是过点三点的圆， 连接，连接并延长交于 ，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即时，有最小值， 此时； 当圆心点和点之间时， 即时，有最大值， 此时． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质等知识点．解题的关键是掌握以上知识点． 31．（2023·重庆铜梁·模拟预测）已知如图，在中，，点是上一点，；    (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得和，进而得出结果； （2）延长，交的延长线于，可证得，从而，，进而证得，从而得出； （3）作等腰三角形，使，，连接，可证得，从而得出，从而，当、、共线时，最大，作于，依次求得，，，进而求得，，四边形的面积，进一步得出结果． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，   ，理由如下： 延长，交的延长线于， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，， 不妨设，则， ， ， ， ． （3）解：如图2，   ，， ，， ，， ， ， 点关于的对称点是， ， 作等腰三角形，使，，连接， ，， ， ， ， 当、、共线时，最大， 如图3，    作于， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 32．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． （3）解：①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 33．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)18 【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； （3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1）， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 同理可证：，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点， ∴， ∴ ∵， 由（2）可得是等边三角形， ∴． ∵ 当A，F，G，E共线时，有最大值． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 34．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 题型04、三角形对称变换下的综合问题 35．（2023·浙江·一模）如图1，中，，，．为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连接．    (1)如图2，当时，求的长． (2)当翻折得到的中有一边与垂直时，求的长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）当时，由勾股定理求出的长，在中，，在中，，求出AP的长，再由，，即可求出的长； （2）当于时，在中，，和的长，由折叠性质得的长，在中，利用勾股定理得出的长，当时，过点作于，由（2）可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，当时，      在中，， ， ， ， 在中，， ，， 在中，， ， ， 由折叠性质可知， 又， ； （2）当时，由（1）可知， 当于时，如图，      在中，， ，， ，， 又， ， 由折叠性质可知，， 又， ， 在中，， ， ， ； 当时，如图    过点作于，由（2）可知，， 由折叠性质可知，， 又 ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 的长可能为或或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及勾股定理，折叠的性质，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 36．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作验算 如图1，是等腰直角三角形纸片，，为上一点，．甲同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点． ①求的值； ②若，求、的值； (2)迁移探究 如图2，是等腰直角三角形纸片，，为线段上任意一点．乙同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点． 探究与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图3，是等腰直角三角形纸片，，丙同学在取点，使，沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕交线段于点，连接，求证：． 【答案】(1)①   ②， (2)；理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）①先得出，得到；②过点作交于点，，，； （2）过点作交于点，交于点，，，得出，根据，得出，再根据，，得出； （3）过点作的平行线交的延长线于点，根据，得出，得到，再证明，得到，，得到，得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ； ②过点作交于点， ， ， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 又， ； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点， ，由（2）可得， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，折叠的性质等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 37．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质. 圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论. 类型 ．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关． 问题.若，，则________． 【变式探究】 类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点 ． 问题 ．若 ，则 ． 请猜测 与 有何关系，并证明． 【拓展思考】 方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到． 问题．若，，求的长． 【答案】问题．；问题 ．；，证明见解析；问题．． 【分析】问题．由折叠可得，，设，则，在中由勾股定理得，解方程求出即可求解； 问题 ．证明可得，进而可得，又由即可求解；．同理即可求证； 问题．连接，与相交于点，由折叠可得，，进而可得为的中位线，得到，利用勾股定理可得，进而得，即可求解； 本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形额判定和性质，三角形中位线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：问题：由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 问题：由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 猜测：． 证明：由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 问题：连接，与相交于点， 由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（2023·浙江台州·模拟预测）已知直角，，，，为边上一动点，沿折叠，点与点重合，设的长度为． (1)如图①，若折痕的两个端点、在直角边上，则的范围为 ； (2)如图②，若等于2.5，求折痕的长度； (3)如图③，若m等于，求折痕的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先在中，求出的长度是多少；然后分两种情况：①当点和点重合时；②当点和点重合时；分别求出的最小值和最大值，即可判断出的取值范围． （2）首先根据，，判断出，再根据点与点关于对称，判断出，；然后根据三角形相似的判定方法，分别判断出，，即可求出、的值各是多少；最后在中，根据勾股定理，求出的长度是多少即可． （3）首先作，垂足为，作，垂足为，连接，根据三角形相似的判定方法，判断出，求出、、的长度各是多少；然后根据三角形相似的判定方法，判断出、，求出、的长度各是多少；最后在中，根据勾股定理，求出的长度是多少即可． 【详解】（1）解：，，， ， 沿折叠，点与点重合， 垂直平分， ①当点和点重合时，的值最小， 此时， ； ②当点和点重合时，的值最大， 此时， ， 综上，可得若折痕的两个端点、在直角边上，则的范围为：； （2）解：，， ， 点与点关于对称， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即， ， ； （3）解：如图③，作，垂足为，作，垂足为，连接， ，， ∴， ， ， ， ，， ； 在中，， ， 解得， ， ，， ， 又， ， ， ， 设，则， ，， ∴， ， ， ， 解得， ． 【点睛】此题主要是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质的应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 39．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点在边上，且．点从点出发沿边向终点运动，点关于所在直线的对称点为，连接、． (1)求线段的长． (2)点与点的最短距离为________． (3)当点落在内部时，求线段长的取值范围． (4)当所在直线与的某一条边垂直时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)的长为或2或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，轴对称的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接 ，由轴对称的性质可得，由，可得当点在上时，有最小值，据此求解即可； （3）分别求出如图3-1所示，当点恰好在上时，如图3-2所示，当点恰好在上时，的值即可得到答案； （4）分当时， 当时，则，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接 ， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴当点在上时，有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：如图所示，当点恰好在上时， 由轴对称的性质可得， 在中，， ∴在，； 如图所示，当点恰好在上时，过点作于H， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，当点落在内部时，； （4）解：如图所示，当时，延长交于G，则， 由折叠的性质可得， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于G， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 综上所述，的长为或2或． 40．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图① ，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据勾股定理计算出，利用平行线分线段成比例定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）利用相似三角形的判定与性质，证明，得出，求出，，计算的值即可； （3）①证明，推出，由此即可解决问题；②证明，推出，，推出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵折叠，使点与点重合，折痕为， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由题意得垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为线段上的一个动点，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质、直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，正确寻找相似三角形是解题的关键． 41．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 或 或 【分析】（），求出，根据折叠得出，求出，最后由平角的定义即可求解； （）根据折叠得出， ，，求出，根据得出即可； （）分情况讨论：当点在线段上，当点在线段延长线上时，当点在线段延长线上，分别画出图形求出结果即可； 本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【详解】（1）∵将沿着进行翻折后得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， 即； （3）将沿进行翻折后得到连接，根据折叠可知，，， ∴，，     若中存在的内角时，分以下几种情况讨论： 当点在线段上，时，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在线段上，时，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在线段延长线上时，如图所示： ∵， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴此时中的角不存在的角； 当点在线段延长线上，时，如图所示： 根据折叠可知，， ∴ ∴， 当点在线段延长线上，时，如图所示， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或 或 或 ． 故答案为：或 或 或 ． 42．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图,在矩形中,,在的延长线上取点,射线与射线交于点,点关于直线的对称点记为点,连接并延长交的延长线于点．设,,已知． (1)求与的长． (2)记,,的面积分别为,,,且,求的值． (3)连结,若与以,,为顶点的三角形相似,求的值． 【答案】(1), (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得出,再利用和即可求出答案; （2）利用三角形角的转化得出,再利用等腰三角形三线合一性质得出边长比例关系,继而找到面积比例关系求出结果; （3）分类讨论3种情况,利用相似三角形判定及性质,勾股定理正确算出边长,继而求出答案． 【详解】（1）解:∵在矩形中,,,,, ∴,, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, 即． ∵, ∴, ∴． （2）解:∵点与点关于直线对称, ∴,, ∴． ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴,即,解得, ∴． （3）解:∵, ∴, ∴, ∴, ①当时,, ∵,,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴． ②当时,, ∵,,, ∴, ∴, ∴. ∴, ∴, ∴． 综上所述:或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质．等腰三角形性质,矩形性质,全等三角形判定及性质,勾股定理知识．熟练应用相似三角形判定及性质是解决本题的关键． 43．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上． ①若，则______． ②若，与的周长分别为，则______，______． 【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长． 【答案】（1）①，②，；或 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质； （1）①根据得到，进而得到； ②设，表示出其他线段及周长后，根据可得计算即可； （2）延长、交于点，可证是等边三角形，进而证明，设，表示出和的边长和周长，最后根据求解即可． 【详解】（1）①∵等边三角形 ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②设，则，， ∴周长分别为， 的周长分别为， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：，； （2）延长、交于点， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ，则 ∵，， ∴，，， ∴周长为， 的周长为， ∴代入可得， 解得， ∴或． 44．（2025·湖北武汉·模拟预测）操作与思考 在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，； （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，，，求值． 迁移与应用 如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值． 【答案】（1）见解析；（2）；迁移与应用： 【分析】由翻折可知：，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 过作于，交于，由（1）可知：，，根据全等三角形的性质可证，，根据平行线的性质可得，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据可证，根据相似三角形的性质可得； 迁移与应用：连接，，延长交于，过作于，设，，根据，可知点、、、在以为直径的圆上，从而可得，可证，根据相似三角形的性质可得，可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，利用相似可得，从而可求． 【详解】证明：由翻折可知：， ， 是中点， ， ， ， 点是中点， 在和中， ， ， ；         解：如图所示，过作于，交于， 由（1）可知：，， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，   迁移与应用：， 理由如下： 如图所示，连接，，延长交于，过作于， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， 设，， 根据折叠的性质可得：， 又点是中点， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ，， ， ， ， ， ，， 根据折叠的性质可知， 在和中， ， ， 于， ， ∴ ∴ ， ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、锐角三角函数，本题的综合性较强，难度较大，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形． 题型05、等腰三角形背景的综合问题 45．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，是的角平分线，以B为圆心，为半径画弧交于E． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）称由三角形角平分线求得，再由三角形外角性质得到，然后由，得到，即可由邻补角性质求解； （2）过点B作于F，利用直角三角形性质可得，由勾股定理可得，设，则，，由等腰三角形性质可得，则，从而求得，继而求得，，然后证明，得，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵以B为圆心，为半径画弧交于E． ∴， ∴， ∴． （2）解：过点B作于F，如图，    ∵是的角平分线，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 由（1）知：，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ 设，则， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ 即 ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和与外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相关性质和过点B作于F，构造直角三角形是解题的关键． 46．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据平行四边形，菱形，正方形和矩形的性质，结合垂美四边形的定义，进行判断即可； （2）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论； （3）①如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得，得出，，运用勾股定理即可求得答案．②分别过点A、D作于点M，于点N，连接，证明，得到，设，勾股定理求出的值，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：②④； （2）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形， ，垂足为，如图， ，，，， ，， ． （3）解：①解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． ②如图3，，分别过点A、D作于点M，于点N，连接， 又∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵点G、H分别是中点，连接， ∴， 在和中，由勾股定理得： ， ∴，即， 解得：，即， ∴． 47．（2024·浙江·模拟预测）如图，在面积为12的等腰三角形中，底边的长为6． (1)求的长． (2)若点M在直线上运动，连接．则在点M运动过程中，问： ①当成为等腰三角形时，直接写出的长． ②不再连接其他线段，当图中存在某个角为时，求BM的长，并指出相应的角． 【答案】(1)5 (2)①或5或或；②当时，或；当时，或；当时，或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）过点A作于D，根据三角形面积公式求出，再由三线合一定理得到，则由勾股定理可得； （2）①分当时，当时，当点M与点C重合时，此时有，当时， 四种情况讨论求解即可；②分当时，当时，当时，三大种情况，六小种情况，画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于D， ∵的面积为12，底边的长为6 ∴，即， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：①如图所示，当时， ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，当时， ∴， 在中，由勾股定理得； 当点M与点C重合时，此时有； 如图所示，当时，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为或5或或； ②如图所示，当时，过点B作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 如图所示，当时，则， ∴； 如图所示，当时，过点M作于H，设， 在中，， ∴在中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴； 如图所示， 当时，同理可得； 如图所示，当时，同理可得； 如图所示，当时，同理可得； 综上所述，当时，或；当时，或；当时，或． 48．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，和中，，直线与交于点H． (1)如图1，当时，延长交直线于点H，交于点F，求的度数（用含a的式子表示）； (2)当时，将绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线右侧时，求证：； ②当时，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等等： （1）证明，得到，进而得到，则； （2）①在线段上截取，连接，同理可得，证明，得到，进而得到，则，据此可证明；②当D、G、E三点共线时，，当点H与点E重合时，，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图所示，在线段上截取，连接， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，当D、G、E三点共线时，， ∵， ∴， ∵， ∴； 同理可证明， ∴， 同理可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 如图所示，当点H与点E重合时， 同理可得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 综上所述，或． 49．（2024·浙江杭州·一模）已知：如图，，，,，垂足为点，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，若,，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】 （1）由，是的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得； （2）由，，根据等边对等角，证得，即可根据证得； （3）由全等三角形的性质得，，得到垂直平分线，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，即可求出答案． 【详解】（1） 证明：，是的中点， （等腰三角形的三线合一）； （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3） 解：设，交于， 由（2）知， ，， 垂直平分线， ， 在中， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行线的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用． 50．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点． (1)求证：； (2)连接，若时， ①求的值； ②设的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据可证明； （2）①证出，即点恰好落在以为直径的圆上，点也落在以为直径的圆上，得出．连接，则，，由直角三角形的性质可得出结论； ②证出．过点作，得出，．则．即可得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， ． 在和中， ， ； （2）解：①由（1）知：， ． ． ． ． 、、、四点共圆． ， ， 即点恰好落在以为直径的圆上，点也落在以为直径的圆上， ， ． 连接，则，， ． ， ． ②如图，连接，设． ， ． ． ， ． ． 过点作， ，． ． ， 即． ． ． ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质等，熟练掌握有关的性质定理是解答此题的关键． 51．（2023·浙江丽水·一模）如图1，A，B分别在射线上，且为钝角，现以线段为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，点C，D，E分别是，的中点．    (1)求证：； (2)延长交于点R． ①如图1，若，求证：为等边三角形； ②如图3，若，求大小和的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②； 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，，则四边形是平行四边形，，由等腰直角三角形的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到得到，即可得到结论； （2）①连接，则与分别是的垂直平分线，，由等腰三角形的性质得到，由四边形内角和得，，进而可证是等边三角形；②由（1）得， ，则，是等腰直角三角形，由，可得，，由，可知此时P，O，B在一条直线上，为直角三角形，且，然后根据等腰直角三角形的性质和正弦等求解即可． 【详解】（1）证明：∵点C、D、E分别是，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， 在与中， ∵， ∴； （2）①解：如图2，连接，    ∴与分别是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②解：由（1）得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴此时P，O，B在一条直线上，为直角三角形，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正弦，线段垂直平分线的性质，对知识的熟练掌握是解题的关键． 52．（2023·浙江金华·一模）如图，在中，，，点P是射线上的动点，连结，在的右边作，交射线于点Q． (1)当时，求点P到的距离． (2)当点P在线段上运动时，记，，求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (3)在点P的运动过程中，不再连结其他线段，当图中存在某个角为时，求的长，并指出相应的角． 【答案】(1) (2) (3)，；，；，；， 【分析】（1）过点A作与点E，过点P作于点F，先根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，再由正弦求解即可； （2）分两种情况讨论：当点P在线段上时，即时，当点P在线段上时，即时，先证明，再利用相似三角形的判定和性质得出，进而求解即可； （3）分四种情况，分别是，，，，分别利用勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）如图，过点A作与点E，过点P作于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 即点P到的距离为； （2）当点P在线段上时，即时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴，， ∴， 整理得； 当点P在线段上时，即时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴，， ∴， 整理得； 综上，； （3）①当时， 如图，过点Q作于D， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； ②当时， 如图，过点P作于H， 同①可得, ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴； ③当时， 如图，过点P作于N， 同①得， 当时，， ∴； ⑤当时， 如图，过点作于E， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，，；，；，；，． 【点睛】本题考查了三角形的动点问题，涉及等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 53．（2023·浙江台州·一模）在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F． (1)点C到的距离为______； (2)如图1，当点E在的外部时． ①求证：； ②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析，② (3)或 【分析】（1）连，直接求的长即可； （2）①设交于点，证明即可； ②延长和交于点，连接，根据手拉手模型证明，，可得，，再根据等腰三角形三线合一可得． （3）分E在上方和E在下方两种情况，分别求得即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵在中，，，D是边上的中点， ∴，， ∴点C到的距离为， 故答案为：； （2）解：①设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵过点D作的垂线交射线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长和交于点，连接， ∵，，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当E在上方时，过D作于H， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当E在下方时， 同理，，， 则， 综上，或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，三角函数定义等知识，属于中考压轴题，综合性强，难度大，对学生要求很高；解题关键是熟练利用“手拉手模型”合理添加辅助线构造全等三角形． 54．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】 （1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为______；的度数为______． 【类比探究】 （2）如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图，，，，，请直接写出的值． 【答案】， ，，理由见解析 8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系． 根据等边三角形的性质可知，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得、； 根据等腰直角三角形的性质可得，，利用利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据全等三角形对应角相等，可知，从而可得； 过点作交于点，由知，根据全等三角形的性质可得，，从而可知，利用勾股定理可得． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ； ， ， ， ； 故答案为：，； ，， 理由如下：和均为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ， ， ； 如下图所示，过点作交于点， 由知， ，， 又， ， 在中，， ， ． 试卷第2页，共155页 2 / 156 学科网（北京）股份有限公司 $$