精品解析：江苏省盐城市阜宁县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷

2025年春学期八年级期中学情调研数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 下列调查中，不适合用普查的是（ ） A. 调查全班同学的身高 B. 检查发射前“天空一号”空间站的零部件状况 C. 对旅客上飞机前的安检 D. 调查某种导弹的杀伤半径 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可． 【详解】解：A．调查全班同学的身高，人数较少，得到的结果要准确，适合采用全面调查，故此选项不符合题意； B．检查发射前“天空一号”空间站的零部件状况，精确度要求高，适合采用全面调查，故此选项不符合题意； C．对旅客上飞机前的安检，事关重大，适合采用全面调查，故此选项不符合题意； D．调查某种导弹的杀伤半径，是具有破坏性的调查，适合采用抽样调查，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 对于调查：“从一批乒乓球（1000个）中随机抽取10个，调查这批乒乓球的直径大小．”有以下说法：①这批乒乓球中每个乒乓球的直径大小是个体，②从中抽取的10个乒乓球是总体的一个样本，③样本容量是10，其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查总体，个体，样本，样本容量，根据相关定义，逐一进行判断即可．注意样本容量没有单位． 【详解】解：这批乒乓球中每个乒乓球的直径大小是个体；故①正确； 从中抽取的10个乒乓球的直径大小是总体的一个样本；故②错误； 样本容量是10；故③正确； 故选C． 4. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴； 故选A． 7. 如图，将绕点B顺时针旋一定角度后，得到，此时点A、B、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练地掌握对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角是解题的关键． 根据旋转的性质可知，用减去的度数再除以2即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转，得到， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查动点及平行四边形的性质，解题关键是由已知明确两条线段之间的数量关系． 由已知表示出,,根据平行四边形的判定，由，所以当时为平行四边形．根据此列出关于t的方程求解． 【详解】解：在四边形中，， , ,， 时，四边形是平行四边形， ， ； 故答案为：B． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 在数字20250421中，0出现的频率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率频数总次数是解答本题的关键． 根据频率频数总次数，进行计算即可得到最后答案． 【详解】解：数字20250421中，一共有8个数字，其中有2个0， ， ∴在数20250421中，数字“2”出现的频率是， 故答案为：． 10. “某人骑车经过十字路口，刚好遇到绿灯”属于____事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定不会发生的事件是不可能事件，进行判断即可． 【详解】解：“某人骑车经过十字路口，刚好遇到绿灯”可能发生也可能不发生，是随机事件； 故答案为：随机． 11. 中华五岳是中国古代文化中的五大名山，五岳不仅代表了中国山水之美，更承载着中华民族的文化传统和精神象征．为了更清楚地展示它们的海拔高度，最合适的是____统计图，（填“扇形”、“折线”或“条形”） 【答案】条形 【解析】 【分析】本题考查统计图的旋转，根据统计图的特点：条形图能够表示具体数据，折线图能够表示变化趋势，扇形图能够表示百分比，根据海拔高度为具体的数值，进行判断即可． 【详解】解：由题意，最合适的是条形统计图； 故答案为：条形． 12. 转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字______的区域的可能性最小． 【答案】2 【解析】 【分析】整个圆面被等分成八份“1”占了3份，“2”占了2份，“3”占了3份，根据概率计算公式可求出答案． 【详解】解：根据转盘可知，圆面被等分成8份，“1”占了3份， ∴指针指向“1”的概率为：； “2”占了2份， ∴指针指向“2”的概率为：； “3”占了3份， ∴指针指向“3”的概率为：． ∵＜， ∴指针指向“2”的可能性最小， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了几何概率的求法，考查学生对简单几何概型掌握情况，避免了单纯依靠公式机械计算，又可体现数学知识在生活中的应用，解题关键在于对等可能性事件概率的熟练掌握． 13. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________． 【答案】两直线平行 【解析】 【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案． 【详解】已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同，故假设不成立，即如果同位角不相等，那么这两条直线不平行． 故答案为：两直线平行． 【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键． 14. 如图，在四边形中中，，点E、F、G分别是、、的中点，连接、．若，则____． 【答案】7 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线性质，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 直接利用三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质解答即可． 【详解】证明：点E、F分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 是的中点，， ． 故答案为：7． 15. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，，则四边形的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据正方形的性质得到，继而得到，得出四边形是菱形，得到，求出四边形的面积为． 【详解】解：如图，作于点， 根据题意得， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为____． 【答案】5或20##20或5 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理的应用，正确画出图形，做到数形结合，是解决问题的关键． 由矩形的性质得到，，，根据已知条件得到，推出四边形是矩形，四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质、勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，， ∵，， ，， ， ∴四边形是矩形， 同理四边形是矩形， ，， ∵将沿所在直线翻折得到， ，， 当点在边上时，点恰好落在直线上，如图所示： 在中， ， ， ， ， 在中，， 即， ； 当点在边延长线上时，点恰好落在直线上，如图所示： 同理可求， ， 在中，， 即， ； 故答案为5或20． 三、解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知△ABC顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图． （1）△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； （2）画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可； （2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可； 【小问1详解】 解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示； 【小问2详解】 解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示； 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型． 18. 如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考场正方形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，得到，等边对等角，求出，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.30 0.298 0301 （1）请你估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近____（精确到0.1）； （2）估计盒子里有白球____个； （3）若先从袋子中取出个白球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于； （2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量； （3）由题意得，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当很大时，摸到白球的频率将会接近． 故答案为：； 【小问2详解】 解：摸到白球的频率将会接近， 盒子里白球的数量为（个）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意得， 解得， 的值为． 20. 为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次共抽查了____名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，文学类所占圆心角的度数为____； （4）若该校共有3000名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“科技类”书籍的学生人数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体等知识．从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）用最喜欢“其他类”学生人数除以所占百分比求出被抽查的总人数，即可得到答案； （2）由题意知，最喜欢艺术类人数为人，然后条形补图即可 （3）计算即可得到答案； （4）计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次抽查的学生人数为（人）， 故答案为： 【小问2详解】 解∶ 最喜欢艺术类人数为（人）， 补全条形统计图如下； 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，文学类所占圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 估计全校最喜欢“科技类”书籍的学生人数为人． 21. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点E，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）18 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的性质，得到，即可得出结论； （2）证明四边形为平行四边形，得到，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形为菱形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 22. 证明三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，点M、N分别为边、的中点，连接． 求证：，． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 延长至，使，连接，先证明，得，，再证明四边形是平行四边形，可得结论． 【详解】证明：延长至，使，连接． ∵点M、N分别为边、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ∴． 23. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，，． （1）求的长； （2）仅用无刻度的直尺，在上找一点G，使得． 【答案】（1）4 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键： （1）证明，利用求出的长即可； （2）连接交于点，连接并延长，交于点，点即所求． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图①，在四边形中，如果对角线和相交且互相垂直，那么我们把这样的四边形称为垂角线四边形． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是垂角线四边形（填写图形名称） ②若M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点，当对角线、还需要满足______时，四边形是正方形； （2）已知在垂角线四边形中，，，，则 ①如图②，当时，四边形的面积是______； ②如图③，当时，求四边形的面积； 【答案】（1）①菱形；② （2）①12；② 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形和正方形的判定等知识， （1）①根据菱形的对角线相交且互相垂直即可得到答案，②先根据中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据得到四边形是矩形，最后根据正方形四条边相等即可得到答案； （2）①先证明，再证明，即可得到答案；②设和交于点O，过点C作于点H，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得到，最后根据勾股定理建立方程，解方程求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解，①∵菱形的对角线相交且互相垂直， ∴菱形一定是垂角线四边形， 故答案为：菱形； ②如下图所示， ∵M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， 当时，矩形是正方形， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①设和交于点O，如下图所示， ∵， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，四边形的面积为：， 故答案为：12； ②设和交于点O，过点C作于点H，如下图所示， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解方程得， ∴， ∴． 25. 数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图①，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． 【问题初探】 （1）如图②，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，求的长度； 【问题再探】 （2）如图③，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，点、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； 【深度探究】 （3）在（2）的条件下，如图④，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 【答案】（1）2；（2）正确，理由见详解；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质得，，用勾股定理求出，即可用线段和差求解； （2）连接，，证明，得，，进而得，可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质及平行公理可得结论； （3）连接，，根据四边形平行四边形，得，设，，根据勾股定理建立方程求出即可求解． 【详解】（1）矩形中，，． ，， 中，， ； （2）创新小组同学的发现正确， 理由∶连接，， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在同一条直线上； （3）连接，， 四边形是平行四边形， ， 设，， 在中，， 即①； 在中，， 即②， 得，， 整理得， ，， ，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期八年级期中学情调研数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，不适合用普查的是（ ） A. 调查全班同学的身高 B. 检查发射前“天空一号”空间站的零部件状况 C. 对旅客上飞机前的安检 D. 调查某种导弹的杀伤半径 3. 对于调查：“从一批乒乓球（1000个）中随机抽取10个，调查这批乒乓球的直径大小．”有以下说法：①这批乒乓球中每个乒乓球的直径大小是个体，②从中抽取的10个乒乓球是总体的一个样本，③样本容量是10，其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，将绕点B顺时针旋一定角度后，得到，此时点A、B、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 在数字20250421中，0出现的频率是____． 10. “某人骑车经过十字路口，刚好遇到绿灯”属于____事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 11. 中华五岳是中国古代文化中的五大名山，五岳不仅代表了中国山水之美，更承载着中华民族的文化传统和精神象征．为了更清楚地展示它们的海拔高度，最合适的是____统计图，（填“扇形”、“折线”或“条形”） 12. 转动如图转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字______的区域的可能性最小． 13. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________． 14. 如图，在四边形中中，，点E、F、G分别是、、中点，连接、．若，则____． 15. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，，则四边形的面积为____． 16. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为____． 三、解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图． （1）△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； （2）画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 18. 如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 19. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.30 0.298 0.301 （1）请你估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近____（精确到0.1）； （2）估计盒子里有白球____个； （3）若先从袋子中取出个白球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求的值． 20. 为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次共抽查了____名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，文学类所占圆心角的度数为____； （4）若该校共有3000名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“科技类”书籍的学生人数． 21. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点E，若，求的长． 22. 证明三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在中，点M、N分别为边、的中点，连接． 求证：，． 23. 如图，在平行四边形中，平分线交于点E，，． （1）求长； （2）仅用无刻度的直尺，在上找一点G，使得． 24. 如图①，在四边形中，如果对角线和相交且互相垂直，那么我们把这样的四边形称为垂角线四边形． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是垂角线四边形（填写图形名称） ②若M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点，当对角线、还需要满足______时，四边形是正方形； （2）已知在垂角线四边形中，，，，则 ①如图②，当时，四边形的面积是______； ②如图③，当时，求四边形的面积； 25. 数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图①，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． 【问题初探】 （1）如图②，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，求的长度； 【问题再探】 （2）如图③，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，点、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； 【深度探究】 （3）在（2）的条件下，如图④，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $