河南省驻马店市部分学校2024-2025学年高二下学期4月质量检测数学试卷

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色冕水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范困：北师大版选择性必修第一册第五一七章，选择性必修第二册第一章一第二章第6节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X,则{X=4)表示的试验结 果是 A.第4次投篮命中 B.第4次投篮未命中 C.前3次投篮均未命中 D.投篮命中4次 2.在等比数列{an}中，a3一2a2=4,a4一2a3=-8,则{an}的公比为 A-司 B.-2 c D.2 3.已知函数f(x)=lnx一x2-xf(1),则f(1)= A-是 B号 c- D号 4.已知(2√丘-是)”的二项展开式中，常数项为240，且只有第4项的二项式系数最大，则α= A±2 B.±1 C.1 D.-2 5.现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个 景点中随机选择1个景点游玩.记事件A=“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件B=“两位游客 选择的景点不同”，则P(BA)= A号 B号 c D号 6.曲线y=lnx上的点到直线x-y十1=0的最短距离是 A.√2 B.2 C.2e 0% 7.已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(x)是可导函数，g()=xf().若a=g(e),b=g(-), c=g(x),则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 【高二4月质量检测·数学第1页（共4页）】 北师大 8用蓝色和红色给一排10个方格染色，则蓝色使用次数不少于红色且至多两个蓝色相邻的方法种数为 A.71 B.126 C.171 D.175 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在研究某个特殊的路口闯红灯与发生交通事故的关系时，同学甲向有关部门申请并分别调取了2024 年7月份至2024年12月份该路口行人是否闯红灯以及经过的汽车是否发生交通事故的有关数据，随 机抽取了经过该路口的1000个行人是否闯红灯以及1000辆汽车是否发生交通事故的相关数据.同 学甲针对自已获得的数据，利用2×2列联表计算出卡方的值x2≈3.918，经查表知P(x≥3.841)≈ 0.05.同学甲同时发现每月行人闯红灯次数与汽车发生交通事故次数具有线性相关的关系，并分别求 出了相关系数r(>0)的值以及线性回归方程，则下列说法正确的是 A.有95%的把握认为“发生交通事故与闯红灯有关” B.行人如果不闯红灯，该路口就不会发生交通事故 C,r越大时，每月行人闯红灯次数与汽车发生交通事故次数相关程度越高 D.每月行人闯红灯次数与汽车发生交通事故次数具有正相关关系 10.已知等差数列{an}的前n项和为S.,若a1≠a2,且对于任意正整数n都有Sm≥S2s,则 Aa1<0 且（任}是公差为。巴的等差数列 2 C.S44g≤0 D.3n∈N",aa+1<0 1l.已知函数f(x)=e+kx,g(x)=lnx十x,k∈R,则 A.当k=一e时，g(x)有且只有一个零点 B.当k<一e时，f(x)有两个零点 C.无论.为何实数，都存在正数x使得f(x)=g(x) D.当≠0时，f(x)与g(x)零点个数相同 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某批产品分别来自甲，乙，丙三条生产线，甲生产线生产的产品占50%，次品率为4%；乙生产线生产 的产品占30%，次品率为5%；丙生产线生产的产品占20%，次品率为6%.现从这批产品中随机抽取 一件进行检测，则抽到的产品是次品的概率是 13.若f(x)=6x2-x3在区间(2m,m十1)上单调递减，则实数m的取值范围是 14.若S。是公比为q的等比数列{a.}的前n项和，且S>0对Vn∈N“都成立，则q的取值范围是 【高二4月质量检测·数学第2页（共4页）】 北师大 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=x+2-lnx (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求1≤x≤c时，f(x)的值域. 16.(本小题满分15分) 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分，为了能顺利地完成航天任 务，挑选航天员的要求非常严格.经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标X服从正态 分布N(113,144),航天员在此项指标中的要求为X≥137.为了宣传我国航天事业取得的巨大成就， 某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动.这些学生 首先要进行身体指标X的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔.假设学生通过另外4个环 节的概率依次为宁，合，号，，且每个环节的选拔相互独立 (1)估计这307名学生中符合“X≥137”这个指标的学生人数（四舍五人到个位）； (2)如果符合“X≥137”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔 活动的人数Y的方差 参考数据：若X一N(μ，d2),则P(μ-o<X<u十c)≈0.6827，P(一2a<X<μ十2a)≈0.9545，P(- 3g<X<u十3a)≈0.9973. 17.(本小题满分15分) 已知数列{a.》的前n项和为Sm,Sn一an=n2一n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列侵}的前n项和工，并证明号≤工.<1 【高二4月质量检测·数学第3页（共4页）】 北师大 18.(本小题满分17分) 稀土不是土，而是一种重要的战略资源和“工业维生素”，以稀土磁性材料为主的水磁电机，是新能源 车、风电、工业机器人等领域的核心组成，随着这些高景气度领域需求的持续爆发，带动了稀土需求的 高速增长.某企业为了对其开发的稀土进行合理定价，调研了本企业2019年~2024年开发该稀土每 千克的成本，得到一组数据(x,y)(i=1,2,3,4,5,6),如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 S 6 开发成本y(元/千克) 91 86 82 心 73 70 已知m是实数，5=言含=80，含x0=1606, (1)求m的值； (2)经探究知x,y之间具有线性相关关系，求开发成本y(元/千克)关于年份代码x的回归直线方程 y=bx十a,并预测2026年开发该稀土每千克的成本是多少？（计算时a,b的值精确到整数位） (3):表示由(2)中求出的回归直线方程得到的与x:对应的每千克稀土开发的成本预测值，当其对应 的残差的绝对值小于1时，则将已知的开发成本的数据称为一个“有效数据”.现从已经给出的这 6组数据中任取3组，求“有效数据”个数X的分布列和数学期望 参考公式：6= 2o,- ,a=y-bz 含-n 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)的导函数为f(x),若对于区间I上的任意实数x都有f(x)f(x)≥0，且f(x)f(x) 的值不恒为0，则称f(x)为区间I上的“绝对正函数”，区间I称为f(x)的“绝对正区间” (1)若f(x)=sin(2x+),判断f(x)是否为区间0,5]上的“绝对正函数”，并说明你的理由； (2)已知f(x)=xlnx-ax十a(a∈R) (I)求a=0时，f(x)的“绝对正区间”； (Ⅱ)若f(x)≥0对x≥e恒成立，求a的取值范围， 【高二4月质量检测·数学第4页（共4页）】 北师大高二数学参考答案、提示及评分细则 1.C{X=4}表示前3次投篮均未命中，而第4次可能命中，也可能未命中.故选C. 2.B设{an}的公比为q,则a1-2a3=g(aa-2a2),即4g=-8,解得g=-2.故选B. 3C因为f)=士一2r-f).所以了)=1-2-f),解得f)=-是故选C 4.B(2丘一兰厂'的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，所以n=6,展开式的通项公式为T1=G· (2)·(-)广=2·（一ay·C·片，令，r=0.得=2，所以二项展开式的常数项为2·一·Cg= 2 240,解得a=士L故选B 12 5D由题知PA)=1-号×号-号.PAB)=CX号×号-号所以PBA=0-是-是放选D P(A)13 49 6,A法一：设M,ln)是曲线y=1nx上的任意一点，则点M到直线x一y十1=0的距离d=二+，令 √+(-1)严 =一nx+1(>0,则了x)=1-士，当0<<1时，f)<0,x单调递减：当x>1时，f>0, f(x)单调递增，所以f(x)m=f(1)=2,所以x=1时，d取最小值2.故选A. 法二：设曲线)y一nx在点()处的切线与直线x一y十1=0平行.因为y=士，所以一名-1，解得=1，所以为 =0,即切点坐标为1,0).切点1,0)到直线x一y十1=0的距离为d=门一0+L=2,即曲线y=nr上的点到直 +(-1)严 线x一y十1=0的最短距离是2.故选A. 7.C因为奇函数f(x)在R上是增函数，所以x>0时，f(x)>f(0)=0,且f(x)≥0，又g(x)=xf(x).所以x>0时， g(x)=f(x)十xf(x)>0,所以g(x)在(0，十o©)上单调递增.且g(ax)=xf(x)为偶函数，所以6=g(-号）=g(2) 而>l.>l又n由=<名hn=h心是he<n,所以>e>分a>gt)>g(侵)】， 即g()>g(e)>g(-专)，因此>a>A故选C 8.D按照题意可分为三类，第一类，蓝色使用5次，则5个红色一共产生6个空，蓝色有①1,1.1,1,1，②2,1,1,1，③2,2,1 三种插空法，方法种数有C。+CC+CC=126:第二类，蓝色使用6次，则4个红色一共产生5个空，蓝色有①2,1,1， 1,1,②2,2,1,1，③2,2,2三种插空法，方法种数有C+CC十C=45:第三类，蓝色使用7次，则3个红色一共产生4个 空，蓝色有2,2,2,1一种插空法，方法种数有C=4.综上不同的方法种数为126+45+4=175种.故选D. 9.ACD根据独立性检验的知识知A显然正确：因为行人不闯红灯该路口也可能会发生交通事故，故B错误：样本的相关 系数”的绝对值的大小反映了成对数据之间的线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的相关程度越强，当 |越接近0时，成对样本数据的相关程度越弱，故C正确：因为>0，所以两个变量之间具有正相关关系，故D正确.故 选ACD. 10.ABC因为Sw≥S2a,所以S2es≥S2s,且S2e4≥S2,即aw=S2a一S2g5≥0，a2e=S2-S:2≤0，公差d= a:%一a2es>≥0，又a1≠a2,d=a2一a1≠0，所以d>0,又a2s=a1十2024l≤0，a≤-2024d<0,所以a1<0,故A正 确：因为a是等差数列，所以务-”-士a2-4+,4,斜-各-(a+受) 2 2 2 [山+]=号-22，所以（倍}是公差为2的等差数列，故B正确：又5m=十X409 2 4049a:es≤0，故C正确：对于D,通项公式为a.=n一2026的等差数列(an},满足已知条件“a1≠a:,且对于任意正整 数n都有S.≥S2”,但不存在这样的，使得aa+1<0,故D错误.故选ABC 1l.ABD当k=-e时，g(x)=一enx+x,所以g(x)=-￡+1=二(x>0),当0<r<e时，g'(x)<0:当x>e时， 【高二4月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 北师大 g'(x)>0,g(x)在(0，e)上单调递减，在(e,十∞)上单调递增，g(x)m=g(e)=一elne十e=0,故A正确：k<一e时 方程x)=0可化为-=号，令A)=吉，则N)=号，当x<1时，W(x)>0:当>1时，(x)<0,A(x)在 (一©，1上单调递增，在1，十∞)上单调递减，且一十时()-0，所以h(x)m=h)=是，作出函数4()的图 象以及直线y=一冬，如图所示，由如图可见，仅当0<一名<，即k<一e时，直线 y=一大与函数()的图象有两个不同的交点，所以k<-e时，函数f(x)有两个 零点，故B正确：因为g(x)=knx十x=en+nx=f(lnx),所以函数f(x)与 g(x)零点个数相同，故D正确：等式f(x)=g(x)等价于f(x)=f(nx),又f(x)=e+kx,f(x)=e十k,当k≥ 0时f(x)>0,fx)单调递增，等式f)=fn)等价于z=n,令gr)=hx一，则()=是-1=，0< x<1时(x)>0,x>1时9(x)<0,g(x)在(0,1D上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，9(x)m=(1)=一1<0，所以 nr一r<0,方程lnx=x无解，所以当k>≥0时，不存在正数x使f(x)=g(x),故C错误.故选ABD 12.0.047设事件A=“抽到的产品来自甲生产线”，B=“抽到的产品来自乙生产线”，C=“抽到的产品来自丙生产线”，D =“抽到的一件产品是次品”，则P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D1A)=0.04,P(DB)=0.05,P(D1C)= 0.06.由全概率公式得P(D)=P(A)P(D1A)+P(B)P(D1B)十P(C)P(D1C)=0.5×0.04+0.3×0.05+0.2×0.06 =0.047. 13.(-0∞，-1]由fx)=6.x2-x,得f(.x)=12.x-3.x,令f(x)≤0，得x≤0或x≥4.所以f(x)的减区间为(-0∞，0]和 [4,+o∞).由题意得(2m,+1C(-,0l,或(2m.m+1[4,+o),所以m十1>2m或十>2… m+10或 解得≤一1. 2m≥4， 14.(-1,0)U(0,十o)因为{a}是等比数列，S>0,所以a=S>0,9≠0.当g=1时，S.=a1>0,适合题意：当g≠1 时，5=1>0，已>0，所议或9@，解@得9解@得1<且0.所以g 1-g 1->0 的取值范围是（一1,0）U(0,十o∞). 15.解：1)因为fx)=x+2-nx(x>0), 所以f=1是-士-+1-2. …2分 所以f1)=3,f(1)=-2, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y一3=一2(x一1)，即2x十y一5=0.…5分 (2)令f(x)=0,得x=2(-1舍去)，…6分 x,f(x),f(x)的变化情况如下： 1 (1,2) 2 (2,e) f(z) 0 f(x) 3 极小值3一n2 e …9分 因为e+2-1<e+号-1=e<3, e 所以f(.x)=f(1)=3,f(x)m=f(2)=3-n2, 12分 因此1≤x≤e时，f(.x)的值域为[3-n2,3].… 13分 16.解：1)因为P(X≥137)=P(X4十2a≈1-0,9545=0.02275， 2 …3分 所以符合这个指标的学生人数约为307×0.02275=6.98425≈7， 即符合这个指标的学生人数约为7，… …6分 (2)因为每个学生通过另外4个环节选拔的概率为号×号×号×} 2 448 …9分 所以最终通过学校航天员选拔活动的人数Y~B(7,最）… 12分 【高二4月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 北师大 所以Dn=7X0×(1-)=器 15分 17.解(1)因为S。一an=2- 所以≥2时，Sw1一a。-1=(1-1)2-(1-1)=2-3n十2，…1分 两式相减得Sn一S。-1一a.十a。-1=2n-2, 即aw一an十am-1=2(n-1), 3分 所以n>2时，a。-1=2(n-1),… …5分 所以n∈N”时，山n=2以. …7分 (2)由(1)知an=2n,所以S。=a.十-n=m十n=n(n十1)，… 8分 1=1-1 S=n+1）nn十7，、 44444000 …9分 所以工=奇++++发-(-号)+（合-吉）+（分-）++（日点》 =1-1 11分 因为n是正整数，所以T<1,… 12分 又T-T=(1-2)-(-)=m+m+>0.即T>T. 所以数列T是递增数列，T≥T=之， 14分 所以≤T<1.… 15分 18解：1由y=合含=80，得91士85十82告m+78+720-60,解得m=7及… 6 …3分 (2因为x=1+2+3+4+5+6=3.5,=1+2+3+4+5+6=91, 又s=日含=0,2=1606， 所以21606=6X3,5x0 91-6×3.5 7.5≈-4. 7 5分 a=80-(-4)X3.5=94,… …6分 所以所求的回归直线方程为y=一4x十94.… …7分 因为2026年的年份代码是8， 所以预测2026年开发该稀土每千克的成本是一4×8+94=62（元）.… …9分 (3)由(2)知y=-4.x+94, 所以=90,2=86，y3=82,4=78.=74,y%=70, 满足数据残差的绝对值小于1，即y一<1的数据是3=86，为=82，y4=78,%=70, 所以已知的6个数据(xy)中有效数据为(2,86)，(3,82)，(4,78)，(6,70)，… 11分 所以X的可能取值为1,2,3，…12分 PX=I-9-吉PX=2)-9-号PX=3) C C 5 X的分布列为： X 15分 故EX0=1x号+2×号+3X号=2 17分 19.解：(1)法一：fx)不是区间0，号上的“绝对正函数”，… …】分 理由如下：因为f代x)=sin(2x+号），所以f()=2cos(2x+号)，… 2分 【高二4月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 北师大 f)f)=2ms(2x+吾)sim(2r+号)=sm(4r+), … …3分 由x)f(x)>≥0，即sin(4x+)≥0，得2kr≤r+经≤2kx十xk∈ZD. 解得号k红一晋<r<号x+臣k∈Z, 即x)的“绝对正区间为[号红一吾，红+意】(k∈D, 因为[o,吾]不是[之k红一吾，2kx+臣]k∈D的子集， 所以f(x)=sin(2x+号)不是区间[0，受]上的“绝对正函数” 5分 法二：x)不是区间[0，吾]上的“绝对正函数”， 1分 理由如下：因为fx)=sin(2x+号)，所以f(xr)=2cos(2a+苓)， 2分 f(r)f(r)-2c0s(2r+)sin(2r+)-sin(). …3分 当号<<音时<r+经<2sim(+)<0, 即是<<苓时，fr)fx)<0,fx)f(x)>0不恒成立， 所以fx)=sim(2+子)不是区间[0，吾]上的绝对正函数” 5分 法三：)不是区间[0，受]上的绝对正函数”，… 1分 理由如下：因为fx)=sin(2x+于），所以了(x)=2cos(2x+受） 2分 fxf(x)=2os(2r+专)sm(2r+5)=sim(r+ξ） …3分 在区间0登]上取x=晋则sm(4×吾+)=m暂=-<0。 即[0，吾]上的吾不能使/x)/(x)>0, 所以fx)=in(2x+号)不是区间[0，受]上的绝对正函数” …5分 (2)(1)a=0时，f(.x)=xnxf(.x)=ln.x十1，…6分 由fx)/(.x)=(xnx)(nx十1)≥0以及>0，得(nx十1)ln.x>0,…8分 所以n-1或1nx≥0.解得0<或≥1.…9分 所以a=0时，函数f(x)的绝对正区间”为(0，]和1，十.…10分 e ()f(x≥0即xnx一ar十a>0对x≥e恒成立，等价于a≤血对②e恒成立，…11分 x-1 今b=tnx叫h()=n2x∈[心，十o）,……12分 令m(x)=x-nx-1.则当r≥e时，m(x)=1-上>0，即m(x)在[e,十oo)上单调递增。 故x>e时，m(.x)≥m(e)=e一2>0， 13分 所以x≥e时，h(x)>0,所以h(x)=在[e,十o)上单调递增… 14分 h(x)=h(e)三。 16分 所以a≤。号即a的取值范围是(-e,二] 17分 【高二4月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 北师大