广东深圳市桃源居中澳实验学校2027届高三全国港澳台侨联考第一次模拟数学试题

全国港澳台侨联考中澳 2027届高三第一次模拟考试 数 学 时间：120分钟 满分 150分 一、单选题（每小题6分，共60分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B．4 C． D． 3．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．10 B．20 C．16 D．12 4．的展开式中含项的系数是（    ） A． B．84 C． D．21 5．已知，，（    ） A． B． C． D． 6．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 7．若实数满足，则的最小值为（ ） A．9 B．5 C．6 D．2 8．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是(　　) A． B． C． D． 9．设，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 10．已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 （每小题6分，共30分） 11．在对数式中，实数的取值范围是__________． 12．已知正项等比数列满足，，则______． 13．函数的图象在点处的切线方程为___________. 14．做一个体积为，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长为________m时，用纸最少． 15．已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 三、解答题（每小题15分，共60分） 16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若中边上中线的长度为3，求面积的最大值. 17．已知等差数列的前n项和为，，和的等差中项为9. （1）求及； （2）令，求数列的前n项和. 18．已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求在上的最小值． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《全国港澳台侨联考中澳 2027 届高三届数学第一次模拟考试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D A C C D B 1．B 【详解】由得,所以 , 故选：B. 2．D 【分析】根据复数除法形式的模长公式求得即可. 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 3．B 【分析】利用等差数列的前项和公式以及通项公式即可求出. 【详解】， ， ， ， 选：B 4．A 【分析】求得的展开式的通项公式为，令，求解即可. 【详解】已知的展开式的通项公式为， 令，解得， 则的展开式中含项的系数是. 选：A. 5．D 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】 因为，即， ，， 所以. 故选：D 6．A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 7．C 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为都是正数，且， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是6． 故选：C. 8．C 【详解】f(x)是函数y＝log2x的反函数，则， f(1－x)=，过点可以排除A,B,D. 故选：C. 9．D 【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【详解】因为，所以； 由．所以； 所以． 故选：D 10．B 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】由题意，在R上单调递减， 当时，，即， 当时，，， 可知在恒成立，可得，解得， 且当时，，解得， 综上，实数的取值范围为.故选：B． 11．且 【分析】根据对数式中底数与真数范围列不等式组即可求解． 【详解】解：由对数式可知： ,解之得：且 故答案为：且． 12．32 【分析】根据等比数列定义及其通项公式列方程组即可求得结果. 【详解】设正项等比数列的公比为，可知； 因此可得，两式相除可得， 解得或； 可得或（舍）； 因此. 故答案为： 13． 【分析】求导，利用导数的几何意义进行求解. 【详解】由题意，得， 则，， 则所求切线的方程为， 即. 故答案为：. 14．4 【分析】设出长和宽，利用体积得到方程，再结合基本不等式进行求解. 【详解】设长方体的长为m，宽为m， 则，即， 设共用纸的面积为，则， 当且仅当时，等号成立， 故当底面的边长为4m时，用纸最少. 故答案为：4 15． 【分析】先对的范围分类讨论，再讨论的正负，进而利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 则恒成立，当时，， 此时恒成立，符合题意， 当时，，现在讨论的正负， 当时，原不等式可化为， 即恒成立，令， 而，当时，恒成立， 得到在上单调递增，可得，则， 当时，原不等式可化为， 得到，令， 则，故在上单调递增， 当时，，不符合题意，排除， 综上，的取值范围是. 故答案为： 16．(1) (2) 【分析】(1)根据正弦定理边角互化和三角函数恒等变换可求解； (2)通过向量的运算和基本不等式性质和三角形面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意知， 由正弦定理得，， 所以， 又因，则， 所以， 因A为的内角，所以， 由得，则. （2）因是中边上中线， 则， 即，所以， 则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 故，即面积的最大值为.    17．（1）；（2）. 【分析】（1）设首项为，公差为，则根据条件可得，解出后可得通项公式及 . （2）因，故可用裂项相消法求前项和. 【详解】（1）因为为等差数列，所以可设其首项为，公差为， 因为，， 所以解得， 所以 . （2）由（1）知， 所以，. 18．(1) (2). 【分析】（1）双曲线离心率（为双曲线的半焦距），焦点到渐近线（即）的距离，且.再根据已知条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程. （2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的离心率，可得，即. 又因为焦点到渐近线的距离为， 根据点到直线距离公式，而，所以，则. 由且，，可得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得. 因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以. 由，解得. 对于，即，解得. 由，（结合），所以，解得. 由，解得，即或. 综合以上条件，取交集得. 则实数k的取值范围为. 19．(1) 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解； （2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合的不同取值范围，分类讨论求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 则． 当时，在上恒成立， 故此时在上单调递减； 当时，由，得,由，得， 故此时在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 所以在上单调递减，所以； 当时， (i)若，即时，在上单调递增， 此时，； (ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，； (iii)若，即时，在上单调递减， 此时，． 综上所述，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $