北京市顺义区第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

顺义一中2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学 2025.04 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．一个球的表面积为，则该球的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】向量，， ， 故选：C. 3.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了斜二测画法，基础题． 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【解答】 解：是水平放置的的直观图，如图所示： 所以周长为：， 故选A． 4.(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题． 熟练运用公式和特殊角的值即可求解． 【解答】 解： ， 故选B． 5.函数的部分图像如图所示，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查由的部分图象确定其解析式，考查了学生分析问题与解决问题的能力． 由图可求得，，将点代入解析式中可得，求出，即可得到结果． 【解答】 解：由图象可得， 最小正周期为， 所以， 根据五点法可知，， 解得， 故函数解析式为， 故选A． 6.在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C  【解析】解：把，代入已知等式得：， 整理得：， 即为直角． 则一定是直角三角形． 故选：． 利用余弦定理表示出，把代入已知等式，整理得到，即可确定出三角形形状． 此题考查了勾股定理、余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题． 7.在中，“”是“为钝角三角形”的(    ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查利用平面向量的数量积、夹角及三角形的形状判断充分必要条件，注意向量夹角与三角形的内角的关系． 【解答】 解：， 即， ，且， 所以两个向量的夹角为锐角， 又两个向量的夹角为三角形的内角的补角， 所以为钝角， 所以三角形为钝角三角形， 反过来，三角形为钝角三角形，不一定为钝角， 则“”是“三角形为钝角三角形”的充分不必要条件． 故选C． 8．如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 9.如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知cm，cm，棱台的高为12cm,先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是 （A）640元 （B）440 元 （C）390元 （D）347.5元 答案A 10． 平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 【答案】C 【分析】由，，再结合平面向量的数量积公式得解； 【详解】由已知，有，，             . 故答案为：C .二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知在中，则____________． 【答案】．  【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查计算能力，属于基础题． 由正弦定理可把角之比化为边之比，再利用余弦定理可得． 【解答】 解： 由正弦定理得：， 设，，， 由余弦定理得：． 故答案为． 12.如图是以为圆心的一个圆，其中弦的长为2 ，则 _______. 【答案】2 【解析】如图，作交于，则， 则. 故答案为：2. 13. 设函数 ．若对任意实数都成立，则的值可以为________.（答案不唯一,写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一，符合即可） 【解析】 【分析】利用已知条件转化为函数的最大值，然后列出关系式求解即可得出答案. 【详解】对任意实数都成立，则时，， 所以，则，解得 因为，取，则. 故答案为：（答案不唯一，符合即可） 14. 已知，，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量坐标的运算求出向量的坐标，再根据，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数的值． 【详解】由，，则， 又，则， 则，即， 解得 15.已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则； ④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则. 其中正确结论的是_________ 【答案】①③④ 【分析】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为. 对于①，，，则，①对； 对于②，，，则，②错； 对于③，，，则，③对； 对于④，，， 则，④对. 故选：C. 16.（本题13分）已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期； （2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 解：因为 ， 所以，函数的最小正周期为. 【小问2详解】 解：当时，， 故当时，函数取最大值，即， 当时，函数取最小值，即. 17．（本题14分）已知向量 和 ，则 ,, 求： (1) 的值； (2) 的值； (3) 求向量 在 方向上的投影向量； 17.【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解； （3）根据平面向量的投影公式即可求解． 【详解】（1）∵ ,, . ∴ ； （2）∵, ∴    ； （3）∵, ∴ ∴向量 在 方向上的投影向量是. 18.（本小题14分） 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若 求直三棱柱的体积和表面积； （18） 解：（Ⅰ）取的中点，连接． 因为为的中点， 所以,． 因为四边形为平行四边形，为的中点， 所以且． 所以且． 所以四边形为平行四边形． 所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （Ⅱ） 19.（本题15分） 在中，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高. 条件①：,； 条件②：,的周长为； 条件③：,. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. （19）解：（I）由正弦定理可得. 所以. 因为，所以. 即，所以 因为，所以，即可得 ………6分 （II）选择② 因为，所以 由余弦定理 解得，所以 所以，最长边为，设高为， ………13分 选择③ （法一）：由正弦定理 得 , ，则 因为，所以，因为，所以 所以，在中，最长边为， 设高为， ………13分 （法二）由正弦定理 得 , ，则 所以 得 所以，在中，最长边为， 设高为， ………13分 20.（本小题15分）已知函数． （1）求函数的最小正周期以及单调递增区间； （2）若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为：； （2）（ⅰ）；（ⅱ）； 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，根据三角函数的周期公式及正弦函数的性质求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，由，可得，求解即可； （ⅱ）将（ⅰ）中值代入，求出函数在上的值域，即可得答案. 【小问1详解】 解：因为 ， 所以； 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为：； 【小问2详解】 解：（ⅰ）由题意可得， 又因为的图象关于对称， 所以， 解得， 又因， 所以当时，； （ⅱ）令，则， 即的图象与直线在上有交点. 又因为， 所以， 因为，所以， 所以，， 即， 所以. 21．（本小题14分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 【答案】(1)1 (2)①证明见详解；② 【分析】（1）根据题意直接代入公式运算即可； （2）①根据向量的坐标运算可得，进而可知，结合题意即可分析证明；②根据角平分线的性质结合数量积可得，且可知点为的重心，进而求，即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 顺义一中2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学 2025.04 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．一个球的表面积为，则该球的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 4 C. D. 3.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为(    ) A. B. C. D. 4.(    ) A. B. C. D. 5.函数的部分图像如图所示，则(     ) A. B. C. D. 6.在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7.在中，“”是“为钝角三角形”的(    ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.如图在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A． B． C． D． 9.如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知cm，cm，棱台的高为12cm,先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是( ) （A）640元 （B）440 元 （C）390元 （D）347.5元 10． 平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知在中，则____________． 12.如图是以为圆心的一个圆，其中弦的长为2 ，则 _______. 13. 设函数 ．若对任意实数都成立，则的值 可以为________. （答案不唯一,写出一个满足条件的值即可） 14. 已知，，，若，则实数______． 15.已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则； ④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则. 其中正确结论的是_________ 3、 解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.（本题13分）已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 17．（本题14分）已知向量 和 ，则 ,, 求： (1) 的值； (2) 的值； (3) 求向量 在 方向上的投影向量； 18.（本小题14分如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若 求直三棱柱的体积和表面积； 19.（本题15分）在中，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高. 条件①：,； 条件②：,的周长为； 条件③：,. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（本小题15分）已知函数． （1）求函数的最小正周期以及单调递增区间； （2）若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 21．（本小题14分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$