精品解析：广东省珠海部分学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期九年级期中数学作业反馈 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键．根据实数大小比较原则计算即可． 【详解】解：∵， ∴这四个数中，最小的数是． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的相乘，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的相除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的相乘法则计算并判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据同底数幂的相除法则计算并判定C；根据幂的乘方与积的乘方法则计算并判定D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断求解 【详解】∵A选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形， ∴A选项不符合题意； ∵B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形， ∴B选项不符合题意； ∵C选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形， ∴C选项不符合题意； ∵D选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴D选项符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种图形的基本定义是解题的关键． 4. DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：C 5. 将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 两点之间，直线最短 D. 以上说法都不对 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了直线的基本事实．根据题意得到数学依据是两点确定一条直线，据此即可得到答案． 【详解】解：将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是两点确定一条直线， 故选：A. 6. 圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可． 【详解】依题意知母线长为：2，底面半径r=1， 则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误． 7. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式，可判定抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向下， 为顶点， 对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 8. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 9. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出的正切值． 【详解】解：如图，连接． ∵和所对的弧长都是， ∴根据圆周角定理知，， ∵为直径， ∴， 在中，根据锐角三角函数的定义知， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正切值转化成求的正切值． 10. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，证明，得到，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；则，再由，可得，故②正确；在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，，故③正确；如图所示，过点E作轴于T，同理可证明，可得；求出直线解析式为，可得，故④正确；则，故⑤错误． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴； 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴，故④正确； ∴，故⑤错误； ∴正确的是①②③④， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 方程的解为 _______. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵x（x-1）=0， ∴x=0或x-1=0． ∴， 故答案为： 13. 函数的自变量x的取值范围是_____． 【答案】． 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 14. 如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了几何图形面积求反比例函数系数，理解图示，掌握反比例函数系数与图形面积的关系是关键． 根据题意，等高，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴等高， ∴，且点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点， ∴， 故答案为：4 ． 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的距离，连接，分别交于点，由，，，则为中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即有，再求出，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，分别交于点， ∵，，， ∴为中点， ∵， ∴， ∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 三．解答题一（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数混合运算，利用绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值、负指数幂进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，是等腰直角三角形，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．求证：． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：如图， 是等腰直角三角形， ，， 又． ． ． 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作角平分线，三角形全等的判定，解题的关键是掌握用尺规基本作图的步骤． （1）利用基本尺规作图作角平分线即可； （2）证明解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 【小问2详解】 解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 四．解答题二（每小题9分，共27分） 19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______； （3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，扇形统计图与条形统计图信息相关联： （1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一大学的结果数，最后依据概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为（人） ∴选择大学的人数为， 补全统计图如图所示， 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：列表如下， 甲 乙 由表格可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有3种， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．（参考数据：，，） （1）据研究，当一个人从遮阳篷进出时，如果遮阳篷外端（即图中）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳篷时是否有安全感； （2）求阴影的长．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）人进出此遮阳篷时有安全感 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点F，通过解直角三角形，求得；比较解答即可． （2）过点A作于点F，过点D作于点G，解直角三角形求解即可． 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． 【小问1详解】 解：过点A作于点F， 则， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴， 故人进出此遮阳篷时有安全感． 【小问2详解】 解：过点A作于点F，过点D作于点G， 根据（1）的解答，得，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 答：阴影的长米． 21. 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC. (1)求证：BC平分∠PBD； (2)求证：PC2＝PA·PB； (3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π). 【答案】 （1）连接OC， ∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD， ∵BD⊥PD， ∴BD∥OC， ∴∠DBC＝∠BCO， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠OBC＝∠CBD， ∴BC平分∠PBD； （2）连接AC， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°， ∵∠PCA＋∠ACO＝90°， ∴∠ACP＝∠ABC， ∵∠P＝∠P， ∴△ACP∽△CBP， ∴＝， ∴PC2＝PA·PB； （3）S阴影＝2－π. 【解析】 【分析】（1）连接OC，由PD切⊙O于点C，得到OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠DBC=∠BCO，又因为∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OBC=∠CBD； （2）连接AC，由AB是半圆O的直径，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据图形的面积公式即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2， ∴PB＝6， ∴AB＝4， ∴OC＝2，PO＝4， ∴∠POC＝60°， ∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 五．解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）． （1）若，求的长； （2）当点E从点A运动到点B的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值． （3）当点E从点A运动到点B时，点G也随之运动，设线段长为t，四边形的面积为s，问：s是t的函数吗？如果是，求出函数解析式，如果不是，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）s是t的函数, 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，结合得，可证明，即可求得； （2）找中点，作于，则由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，由得到，设 ，则，结合（1）可知，利用，求得，根据二次函数的性质求得的最大值，即可知的最大值； （3）过点作，于点，，连接，则有四边形为矩形，，，，结合题意证明，有，，即可知四边形为正方形，那么，，利用勾股定理即可求得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，找中点，作于， 由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， 由（1）可知， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为， ∴圆心到边的距离的最大值为； 【小问3详解】 解：s是t的函数， 过点作，于点，，连接，如图， ∴， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，， 则四边形为正方形， ∴四边形的面积， ∵线段的长， 由勾股定理得：， ∴ ∴， 那么，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对动点知识的理解，并熟练掌握与灵活运用数形结合思想． 23. 如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（个单位长度表示）． （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，写出的取值范围______________； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，如图（3），液面恰好到达点处，此时， ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标： ②求出此时杯子内液体的最大深度． 【答案】（1） （2） （3）①；②杯子内液体的最大深度为． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，平移后的解析式为，则，抛物线的对称轴直线为：，连接，运用待定系数法求出直线的解析式即可求解； （3）①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，则，，，，在中，，得到，则，由此即可求解； ②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，，根据二次函数最值得到当时，有最大值，最大值为，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，， 设杯体所在抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线解析式为，将杯子向右平移， ∴平移后的解析式为，则， ∴抛物线的对称轴直线为：， 当时，，即，如图所示，连接， ∴点的对称点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴； 【小问3详解】 解：①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点， 根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴与轴的交点坐标； ②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点， ∴，，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵轴， ∴， ∴， ∴杯子内液体的最大深度为． 【点睛】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图像的平移规律，二次函数最值的计算，特殊角的三角函数值的计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级期中数学作业反馈 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 两点之间，直线最短 D. 以上说法都不对 6. 圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：_______________________． 12. 方程的解为 _______. 13. 函数的自变量x的取值范围是_____． 14. 如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为_____． 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是______． 三．解答题一（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，是等腰直角三角形，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．求证：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 四．解答题二（每小题9分，共27分） 19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______； （3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．（参考数据：，，） （1）据研究，当一个人从遮阳篷进出时，如果遮阳篷外端（即图中）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳篷时是否有安全感； （2）求阴影的长．（结果精确到0.1米） 21. 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC. (1)求证：BC平分∠PBD； (2)求证：PC2＝PA·PB； (3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π). 五．解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）． （1）若，求的长； （2）当点E从点A运动到点B的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值． （3）当点E从点A运动到点B时，点G也随之运动，设线段长为t，四边形的面积为s，问：s是t的函数吗？如果是，求出函数解析式，如果不是，说明理由． 23. 如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（个单位长度表示）． （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，写出的取值范围______________； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，如图（3），液面恰好到达点处，此时， ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标： ②求出此时杯子内液体的最大深度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $