精品解析： 淄博市张店区重庆路中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷 (五四制 )

重庆路初二期中 一.选择题（共10小题） 1. 下列方程属于二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，下列条件：①，②，③，④，⑤中能判断直线的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 下列描述的事件中，是随机事件的为（　　） A. 旭日东升 B. 心想事成 C. 瓜熟蒂落 D. 只手遮天 4. 已知二元一次方程组，则的值为（ ） A. B. 0 C. 6 D. 8 5. 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球和黑球共（ ） A 12个 B. 16个 C. 20个 D. 30个 6. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A. B. C. D. 7. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 15 B. C. 20 D. 8. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是（ ） A B. C. D. 9. 我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确结论是( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④ 二.填空题（共5小题） 11. 请将“同位角相等”命题改写：“如果……，那么……”，_______________． 12. 如图：已知：AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=120°，则∠1=_____度． 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是_________． 14. 如图，在中，平分于点，则的度数是______ 15. 小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组________． 三.解答题（共9小题） 16 解下列二元一次方程组： （1） （2） 17 如图，已知，．求证：． 18. 一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球 数量比白球的3倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是0.3． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋子中摸出一个球是白球的概率； （3）取走10球（其中没有红球），求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 19. 证明：“三角形内角和是180°”． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，点，与直线：交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积． 21. 某中学计划组织七年级全体师生参观风筝博物馆．请根据以下素材，帮助七年级同学设计租车方案． 素材 1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．如果七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满． 2 八年级师生在这个客运公司租了4辆60座的客车和3辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计6400元． 3 九年级师生在这个客运公司租了5辆60座和1辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计5800元． 问题 （1） 确定人数 参加此次活动的七年级师生共有多少人？ （2） 确定租金 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3） 设计租车方案 若从该客运公司租用客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，共有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 22. 如图，，点E为两直线之间的一点． （1）如图1，若，，则　 　； 如图1，若，，则　 　； （2）如图2，试说明，； （3）如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 23. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为______； （2）若一次函数的“不动点”为，求的值； （3）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆路初二期中 一.选择题（共10小题） 1. 下列方程属于二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，符合题意； D、含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 2. 如图，下列条件：①，②，③，④，⑤中能判断直线的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）；故①符合题意； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）；故②符合题意； ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）；故③符合题意； 无法判断，故④不符合题意； ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）；故⑤符合题意； 综上：正确的有4个； 故选B． 3. 下列描述的事件中，是随机事件的为（　　） A. 旭日东升 B. 心想事成 C. 瓜熟蒂落 D. 只手遮天 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件的分类进行解答即可． 【详解】解：A．旭日东升是必然事件，故A不符合题意； B．心想事成是随机事件，故B符合题意； C．瓜熟蒂落是必然事件，故C不符合题意； D．只手遮天是不可能事件，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是理解题意，弄清成语的含义． 4. 已知二元一次方程组，则的值为（ ） A. B. 0 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， ①＋②，得， 故选：D． 【点睛】此题考查了特殊法解方程组，正确掌握两个方程的特点及所求式子的特点是解题的关键． 5. 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球和黑球共（ ） A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 30个 【答案】B 【解析】 【分析】设白球和黑球共x个，根据概率公式得求得x即可． 【详解】设白球和黑球共x个， 根据题意，得， 解得 故选B． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角，根据三角形内角和定理，易得；设与交于点，根据三角形的外角易得，，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ， 由折叠的性质可得：， 如图，设与交于点， 由三角形的外角可得：，， 则． 故选：D． 7. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 15 B. C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程的解的意义，正确计算．先将代入得到，两式相加得，两式相减得，代入计算即可． 详解】解：将代入得， 两式相加得， 两式相减得， ， 故选：B． 8. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长BC至G，如图（见详解），利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠5=∠6=50°，进而得出∠2的度数． 【详解】解：延长BC至G，如下图所示， 由题意得，AF∥BE，AD∥BC， ∵AF∥BE， ∴∠1=∠3． ∵AD∥BC， ∴∠3=∠4， ∴∠4=∠1=50°． ∵CD∥BE， ∴∠6=∠4=50°． ∵这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD， ∴∠5=∠6=50°， ∴∠2=180°-∠5-∠6=180°-50°-50°=80°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 9. 我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 10. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②． 【详解】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD ∵， ∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确； ∵∠A=90°，CG⊥EG，， ∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°， ∴∠GCD+∠BCD=90°， 又∵∠BCD=∠ACD， ∴∠ADC=∠GDC，故③正确； ∵∠A=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°， ∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴， ∴， ∴∠DFB=180°-∠BFC=45°， ∴，故④正确； ∵∠BFC=135°， ∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确； 根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 二.填空题（共5小题） 11. 请将“同位角相等”命题改写：“如果……，那么……”，_______________． 【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】分清命题“同位角相等”的题设与结论，然后把题设写在如果后面，结论写在那么后面． 【详解】解：命题“同位角相等”改写为“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角同位角，那么这两个角相等． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 12. 如图：已知：AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=120°，则∠1=_____度． 【答案】30． 【解析】 【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ACD的度数，又由CE平分∠ACD与两直线平行，内错角相等，即可求得∠1的度数． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠A+∠ACD=180°， ∵∠A=120°， ∴∠ACD=60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE=∠ACD=30°， ∴∠1=∠DCE=30°． 故答案是：30． 【点睛】考查了平行线的性质与角平分线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用． 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的综合，解题的关键是根据一次函数的性质，求出点的坐标，再根据变形为，，变形为，可得点即为方程组的解． 【详解】∵直线与交于点，由函数图象可得，点的横坐标为， ∴点， ∵变形为，，变形为， ∴直线与的交点，就是方程组的解， ∴方程组的解为：． 故答案为：． 14. 如图，在中，平分于点，则的度数是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，然后由角平分线可求出∠BCD，在直角△BCE中求出∠BCE，根据∠DCE=∠BCD-∠BCE即可得出结果. 【详解】解：∵在中，， ∴∠ACB=180°-∠B-∠A=110°， ∵CD平分∠ACB ∴∠BCD=55°， 在Rt△BCD中，∠BCE=90°-∠B=50°， ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=55°-50°=5°. 故答案为5°. 【点睛】本题考查三角形中的角度计算，准确判断图形中各个角度之间的关系是解题的关键. 15. 小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得时看到的数字为，时看到的数字为，时看到的数字为，再根据相同时间内所走的路程相同建立方程组即可． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，， 故答案为：． 三.解答题（共9小题） 16. 解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法即可解答； （2）利用加减消元法即可解答． 【小问1详解】 解： 由①得，， 由②得，， ③④得，， 解得，， 将代入①得，， 原方程的解为， 【小问2详解】 解： 整理得 ， 得，， ∴， 将④代入②得： , 将代入④得：， ∴原方程组的解为：， 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法—加减消元法，掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键． 17. 如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再通过角度的等量代换即可证明两直线平行． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线性质与判定的应用． 18. 一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球 数量比白球的3倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是0.3． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋子中摸出一个球是白球的概率； （3）取走10球（其中没有红球），求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】（1）30个；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)根据红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可； (2)设白球有x个，得出黄球有（3x+10）个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总的球数即可； (3)先求出取走10个球后，还剩的球数，再根据红球的个数，除以还剩的球数即可． 【详解】解：（1）袋子中红球个数为： （2）设白球x个，则黄球有（3x+10）个，由题意得： x+3x+10=100-30 解得x=15 摸出一个球是白球的概率为： （3）从剩余球中摸出一个球的概率为： 【点睛】本题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=． 19. 证明：“三角形内角和是180°”． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过A作底边BC的平行线，结合平行线的性质证明即可． 【详解】如图，过A点作， ∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，（两直线平行，内错角相等） ∠BAC+∠B+∠C=∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练运用平行线的性质是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，点，与直线：交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形面积． 【答案】（1），直线的解析式为 （2）四边形的面积为13 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）将代入可得，从而得出点C的坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）过点作轴于点，根据一次函数图象上点的坐标特征求出的值，令，即可求出点D的坐标，即可得出，再将四边形分成一个三角形和一个梯形，分别求面积即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵直线：过点， ， 解得，， ， 把点，代入直线：中， ， 解得， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 如图1所示，过点作轴于点， ，， ，，，则， 直线：交轴于点， 令，则， ，则， ， 四边形的面积为13． 21. 某中学计划组织七年级全体师生参观风筝博物馆．请根据以下素材，帮助七年级同学设计租车方案． 素材 1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．如果七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满． 2 八年级师生在这个客运公司租了4辆60座的客车和3辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计6400元． 3 九年级师生在这个客运公司租了5辆60座和1辆45座的客车到风筝博物馆，一天的租金共计5800元． 问题 （1） 确定人数 参加此次活动的七年级师生共有多少人？ （2） 确定租金 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3） 设计租车方案 若从该客运公司租用客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，共有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 【答案】（1）480人；（2）客运公司60座客车每辆每天的租金是1000元，45座客车每辆每天的租金是800元；（3）共有3种租车方案；租用60座客车8辆最省钱，费用为8000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的方案问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据七年级租用45座的客车a辆，那么还剩余15个空座位；如果租用60座的客车可少租3辆，且正好坐满，列式，解出，即可作答． （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，则，再解方程组，即可作答． （3）依题意，设租用60座客车m辆，45座客车n辆，则，结合，n均为自然数，得出或或，即可作答． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得， ， 参加此次活动的七年级师生共有480人； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是1000元， 45座客车每辆每天的租金是800元. （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， . 又，n均自然数， 或或. 共有3种租车方案. 方案1：租用60座客车8辆，费用为元； 方案2：租用60座客车5辆，45座客车4辆，费用为元； 方案3：租用60座客车2辆，45座客车8辆，费用为元 有三种租车方案，租用60座客车8辆最省钱，费用为8000元. 22. 如图，，点E为两直线之间的一点． （1）如图1，若，，则　 　； 如图1，若，，则　 　； （2）如图2，试说明，； （3）如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）55°，α+β （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【小问1详解】 解：如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 当，时， ∴； 当，时， ∴． 故答案为：55°，α+β； 【小问2详解】 解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 【小问3详解】 解：， 理由如下： 由（1）可得， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可知，， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． 23. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为______； （2）若一次函数的“不动点”为，求的值； （3）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）联立，求出的值即可得到答案； （2）由定义可知一次函数的“不动点”为，，再将点代入即可求出的值； （3）由题意可得直线与直线平行，从而得出直线为，再求出，，即，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：联立， 解得：， 一次函数的“不动点”为； 【小问2详解】 解：一次函数的“不动点”为， ， ， 一次函数的“不动点”为， ， 解得：； 【小问3详解】 解：直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， ， 当时，， 当时，，解得， ，， ， 设， ， ，， ， ， ， 解得：或， 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $