精品解析：2025年辽宁省鞍山市海城市中考一模数学试题

2025年海城市九年级第一次中考模拟测试 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 一个用于防震的L形包装塑料泡沫如图所示，则该物体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若有意义，则 的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 5. 已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是（ ） A. 众数是3 B. 中位数是6 C. 平均数是4 D. 方差是5 6. 如图，直线，等边 的顶点 在直线上，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ） A. 25 B. 75 C. 81 D. 90 8. 如图，在 中，，，，将 绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在 边上，则点与点B之间的距离为（ ） A. B. C. 4 D. 2 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，AE=2，BE=1，观察尺规作图的痕迹，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为_____． 12. 因式分解：___________． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是___________． 14. 抛物线的顶点坐标是___________． 15. 如图，在矩形ABCD中，，在矩形内有一点P，同时满足，延长CP交AD于点E，则______. 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度． 18. 某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，全面抓好学生社团工作，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是小组通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图； 19. 如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为 ，再从C点出发沿斜坡 走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为；D点到地面C的距离是．若斜坡 的坡度（点E，C，B在同一水平线上），求大树 的高度．（结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比） 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于 、 两点， ，轴， 交轴于点 ． （1）若，则 ． （2）若，则点 坐标 ；当时， 的取值范围 ． 21. 如图， 是⊙ 的直径，是⊙ 的切线， 、 是⊙ 的弦，且 ，垂足为E，连接 并延长，交于点P． （1）求证：； （2）若⊙ 的半径，求线段 的长． 22. 如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC． （1）求抛物线y1的解析式； （2）如图1，点D是直线 上方抛物线上的一点，过点D作交 于点E，连接，求的最大值； （3）如图2，只将图1中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F，连接 ，点G是抛物线第二象限上的一点，连接 ．若，请求出点G的坐标． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在 中，，D为 上的动点，当时，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ，且 在边 的右侧，连接 ，你能得到哪些结论呢？ 小明说：“在点D的运动过程中，只要保证 在边 的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”； 小强说：“在点D的运动过程中，只要保证 在边 的右侧，我能得到从点 发出的三条线段 ， ， 数量关系”． 小涛说：“我利用，如图2，在 上截取，连接 ，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”． 请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段 ， ， 的数量关系． 【类比分析】 （2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答． 如图3，在 中，， 为 上的动点，当时，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ，且 在边 的左侧，连接 ，过 作于点 ，求证：．． 【学以致用】 （3）如图4，在 中，， 为 上的动点，当时，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ，且 在边 的右侧，连接 ， ，过 作于 ，线段 的中点为 ，连接，若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年海城市九年级第一次中考模拟测试 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 一个用于防震的L形包装塑料泡沫如图所示，则该物体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由上往下看的视图是俯视图，据此解题． 【详解】解：该物体的俯视图是： 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的俯视图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2. 若有意义，则 的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：，则 的值可以是 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式除以单项式分别进行判断即可. 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了． 【详解】解：∵ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 5. 已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是（ ） A. 众数是3 B. 中位数是6 C. 平均数是4 D. 方差是5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 【详解】解：A、数据3出现2次，最多，故众数为3，故A选项正确； B、排序：1，2，3，3，6，位于中间位置的数为3，故中位数为3，故B选项错误； C、平均数为，故C选项错误； D、方差为，故D选项错误． 故选：A． 6. 如图，直线，等边 的顶点 在直线 上，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质．根据等边三角形的三个角都是可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：如图： ， 分别交直线 于点， ， ∵ 是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ） A. 25 B. 75 C. 81 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】设城中有户人家，利用鹿的数量 城中人均户数城中人均户数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设城中有户人家， 依题意得：， 解得：， ∴城中有75户人家． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8. 如图，在 中，，，，将 绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在 边上，则点与点B之间的距离为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先由旋转性质得，，，再证明、是等边三角形，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质求解 即可． 【详解】解：由旋转性质得，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴是等边三角形， ∴， 在 中，，，， ∴， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键． 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，AE=2，BE=1，观察尺规作图的痕迹，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图判断出CE⊥AB，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由作图知，CE⊥AB， ∵AB=AC，AE=2，BE=1， ∴AB=AC= AE+BE=3， 由勾股定理得：EC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】P点是正方形的边上的动点，我们可以先求PE+PF的最小值，然后根据PE+PF=9判断得出其中一边上P点的个数，即可解决问题. 【详解】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H ∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12， ∴EC=8，FC=4=AE， ∵点M与点F关于BC对称 ∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45° ∴∠ACM=90° ∴EM= 则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9 在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=12 ∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12 在点H左侧，当点P与点B重合时，BF= ∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF ∴△ABE≌△CBF（SAS） ∴BE=BF=2 ∴PE+PF=4 ∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4 ∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9， 同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9． 即共有8个点P满足PE+PF=9， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率．在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率 所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面， 偶数朝上发生的概率为：． 故答案为：． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解题的关键需要掌握完全平方公式． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解 的不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，理解并掌握一元二次方程的根的判别式的意义是解题关键． 14. 抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案． 【详解】解：根据抛物线顶点式顶点坐标为得， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线顶点坐标，解题关键是记得顶点式及其顶点坐标． 15. 如图，在矩形ABCD中，，在矩形内有一点P，同时满足，延长CP交AD于点E，则______. 【答案】 【解析】 【分析】延长AP交CD于F，根据已知条件得到∠CPF+∠CPB=90°，根据矩形的性质得到∠DAB=∠ABC=90°，BC=AD=3，根据余角的性质得到∠EAP=∠ABP，推出AE=PE，根据勾股定理CD2+DE2=CE2即可求出AE的长，继而得到结论． 【详解】解：延长AP交CD于F， ∵∠APB=90°， ∴∠FPB=90°， ∴∠CPF+∠CPB=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠ABC=90°，BC=AD=3， ∴∠EAP+∠BAP=∠ABP+∠BAP=90°， ∴∠EAP=∠ABP， ∵CP=CB=3， ∴∠CPB=∠CBP， ∴∠CPF=∠ABP=∠EAP， ∵∠EPA=∠CPF， ∴∠EAP=∠APE， ∴AE=PE， ∵CD2+DE2=CE2， ∴42+（3-AE）2=（3+AE）2， ∴ ∴CE=3+= 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，整式的化简求值，二次根式的混合计算等等： （1）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，计算零指数幂，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式 17. A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时． 【解析】 【分析】根据题意，设出甲、乙的速度，然后根据题目中两车相遇时时间相同，列出方程，解方程即可． 【详解】设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为（x+30）千米/时， ， 解得，x=60， 经检验，x=60是原方程的解. 则x+30=90， 即甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时． 18. 某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，全面抓好学生社团工作，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是小组通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图； 【答案】该班共有50名学生，在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是72度． 补全的条形统计图如图所示： 【解析】 【分析】本题本题主要考查条形统计图，扇形统计图，根据条形统计图中想参加篮球的人数除以扇形统计图中篮球部分的占比，即可算出该班的总人数；再通过计算想参加足球的人数，计算出其他部分的人数，即可算出其他部分所对应的圆心角度数；统计图如图所示，即可解答． 【详解】解：由统计图可得，该班共有学生：（名）， 想加入足球社团的学生有：（名）， 想加入其他社团的学生有：（名）， 在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为：． 答：该班共有50名学生，在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是72度． 19. 如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为 ，再从C点出发沿斜坡 走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为；D点到地面C的距离是．若斜坡 的坡度（点E，C，B在同一水平线上），求大树 的高度．（结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比） 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点G，作于点H，设，用含x的代数式表示出，，根据列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点D作于点G，作于点H， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡 的坡度，， 则设为m，为m， 在中，， ∴， ∴，， 设 的高度为， 在 中，∵， ∴， 在中，，， ∵，∴， 即， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 答：大树 的高度为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念． 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于 、 两点，，轴， 交 轴于点 ． （1）若，则 ． （2）若，则点 坐标 ；当时，的取值范围 ． 【答案】（1） （2）；或 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，交点问题，反比例函数与结合图形， 的几何意义； （1）根据 的几何意义，即可求解； （2）联立正比例与反比例函数解析式，得出点 、 的坐标，进而根据函数图象写出不等式的解集范围． 【小问1详解】 解：∵， 平行于轴， ∴， 又∵， ∴ ， 故答案为： ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：或， ∴，； 根据函数图象，可得当时，的取值范围为或 故答案为：；或． 21. 如图， 是⊙的直径， 是⊙的切线， 、 是⊙的弦，且 ，垂足为E，连接 并延长，交 于点P． （1）求证：； （2）若⊙的半径，求线段 的长． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的切线， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据 是 的切线，得出．根据 ，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵ 为直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键． 22. 如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC． （1）求抛物线y1的解析式； （2）如图1，点D是直线 上方抛物线上的一点，过点D作交 于点E，连接，求的最大值； （3）如图2，只将图1中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F，连接 ，点G是抛物线第二象限上的一点，连接 ．若，请求出点G的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)先根据一次函数求出与坐标轴的交点，再代入二次函数解析式，求解即可； (2)要想求出的最大值，把它转化成求的最大值，根据三角形面积的公式和分割法，把三角形面积变成二次函数的性质，根据二次函数的性质求出最大值即可； (3)根据相关条件先得到是等腰直角三角形，进而得到，求出点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，进而把二次函数移动后的解析式和的解析式联立起来求解即可； 【小问1详解】 解：直线与坐标轴交于B，C两点， 则点B，C坐标分别为：， 由题意得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：连接 ， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点M交 于点H，设，则， 则， ∴， ， ， ∴，抛物线开口向下， 当，最大值； 即的最大值； 【小问3详解】 解：当时，可得， ∵抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F， 即， ∴， ∴， 如图，设 交 于点N，当时， ∴， ∴， ∴， 则点 由点N，F的坐标得，直线的解析式为：， ∴ 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数图像的性质和二次函数的图形性质等知识点，解决此题的关键是要熟练的运用以上知识点． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在 中，，D为 上的动点，当时，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ，且 在边 的右侧，连接 ，你能得到哪些结论呢？ 小明说：“在点D的运动过程中，只要保证 在边 的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”； 小强说：“在点D的运动过程中，只要保证 在边 的右侧，我能得到从点 发出的三条线段 ， ，数量关系”． 小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接 ，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”． 请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段 ， ，的数量关系． 【类比分析】 （2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答． 如图3，在 中，，为 上的动点，当时，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ，且 在边 的左侧，连接 ，过 作于点，求证：．． 【学以致用】 （3）如图4，在 中，，为 上的动点，当时，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ，且 在边 的右侧，连接 ， ，过 作于 ，线段 的中点为，连接 ，若，求四边形的面积． 【答案】（1），； （2）证明：在 上截取，连接．如图2， ，． 是等边三角形， ，． 线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ， ，． ，即 在 和中， ， ． 又为等边三角形， ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接 ．先证明是等边三角形，得到 ，，再证明，得到，，即可得出结论； （2）在 上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，从而可得出结论． （3）连接 ，在上截取，过 作于，先证明，得，从而求得．由（1）得是等边三角形，，则，，，所以．然后解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接 ．如图1， ，． 是等边三角形， ，． 线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ， ，， ， ，即． 在 和中， ， ． ，， ． ． ， ． （2）略 （3）解：连接 ，如图3． 线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ． ，， 是等边三角形． ， 为 中点， ． 在中，， ，于 ． ， ． 又， ，即， ， ， ， ． 在上截取，由（1）得是等边三角形，． ，，， ． 过 作于， ， ． ， ，， ． 四边形的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．本题综合性较强，正确作出辅助线，构造全等三角形、相似三角形与直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $