精品解析：山东省泰安市宁阳县2024-2025学年（五四学制）七年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期期中质量检测 七年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A. 篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中 B. 投掷一次骰子，向上一面的点数是2 C. 任意画一个四边形，其内角和是 D. 打开电视，正在播放足球比赛 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 C. 内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 某校学生小明每天上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 一副三角板如图放置，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两直线，的交点坐标可以看作方程组（ ）的解． A. B. C. D. 7. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，分别平分和，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 的周长等于的周长 9. 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. ． D. 10. 如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 将命题“互为余角的两个角之和等于90°”，改写成“如果…那么…”的形式是：_____． 12. 已知方程组解满足x+y=3，则k的值为__________． 13. 在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率______． 14. 如图，四边形为一长方形纸带，，将四边形沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为___________°． 15. 如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 16. 在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________． 三、解答题（本大题共8小题，86分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 某商场设立了一个可以自由转动转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 a b （1）填空：______，______； （2）当n很大时，频率会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是______． （3）在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 19. 仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图1，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知，，． （1）求的度数． （2）若，求的度数． 20. 已知关于，的方程组 （1）请写出方程的所有正整数解（，都是正整数的解）； （2）若方程组的解也是方程的解，求的值； （3）如果方程组的解是，当点到轴的距离等于时，求的值． 21. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出1个球是白球的概率； （3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 22. 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 080 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． （1）求的值； （2）6月份小王家用水，应交水费多少元？ 23. 如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． （1）求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； （2）求的面积； （3）若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 24. 如图，点E在射线上，点F为射线上的一点，连接，，，满足，平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点G为射线上F右侧的一点，，探究之间的关系，并说明理由； （3）如图3，点在（2）的条件下，作的角平分线交于点M，过点F作，交于点N，连接，若，，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中质量检测 七年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A. 篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中 B. 投掷一次骰子，向上一面的点数是2 C. 任意画一个四边形，其内角和是 D. 打开电视，正在播放足球比赛 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，不合题意； B. 投掷一次骰子，向上一面的点数是2，是随机事件，不合题意； C. 任意画一个四边形，其内角和是是不可能事件，符合题意； D. 打开电视，正在播放足球比赛，是随机事件，不合题意． 故选：C． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 C. 内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行原命题是真命题，符合题意； C、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 3. 某校学生小明每天上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，即可求出他遇到绿灯的概率． 详解】∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， ∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1， ∵在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴遇到绿灯的概率为1﹣﹣＝； 故选D． 【点睛】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 4. 一副三角板如图放置，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，三角板中角度计算，外角和定理等．根据题意 【详解】解：将和交点命名为， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季， ∴从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为， 故选：A． 6. 如图，两直线，的交点坐标可以看作方程组（ ）的解． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、方程组的解为：，故错误，不符合题意； B、方程组的解为：，故错误，不符合题意； C、方程组的解为：，故错误，不符合题意； D、方程组的解为：，故正确，符合题意， 故选：D． 7. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱可列方程为，根据乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱可列方程为，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列二元一次方程组为， 故选：B． 8. 如图，中，，分别平分和，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的周长等于的周长 【答案】D 【解析】 【分析】根据平分，得出，根据，得出，即可判断A；用和A同样的方法，即可判断B；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可判断C，假设为等边三角形，则，推出周长，的周长即可判断D． 【详解】解：A、∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵，分别平分和， ∴， ∵， 故C正确，不符合题意； D、假设为等边三角形，连接，则， 由A、B可知，为等腰三角形， ∴， ∴周长， ∵，C分别平分和， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴的周长 ∴的周长周长， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边的关系，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用． 9. 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. ． D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解． 根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解， 得， 故选：C． 10. 如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 将命题“互为余角的两个角之和等于90°”，改写成“如果…那么…”的形式是：_____． 【答案】如果两个角互为余角，那么这两个角的和为90° 【解析】 【分析】分清命题的题设与结论部分，然后把题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 【详解】解：如果两个角互为余角，那么这两个角的和为90°； 故答案为如果两个角互为余角，那么这两个角的和为90°． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 12. 已知方程组的解满足x+y=3，则k的值为__________． 【答案】8 【解析】 分析】把x+y=3和已知条件联立解出二元一次方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解满足x+y=3, ∴ 解得 把代入中， 得k=8； 故答案是：8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是计算过程中不出错． 13. 在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知区域C的面积为， 最大的圆的面积为， ∴“豆子落在C中” 的概率． 故答案为：． 14. 如图，四边形为一长方形纸带，，将四边形沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为___________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据以及平角求出与，再利用四边形内角和求出即可求出． 【详解】解：由折叠可知：， ， ， ， ∴， ， ，，， 设交于点H， 由四边形内角和可知：， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及轴对称的性质，掌握平行线性质以及轴对称的性质是解题关键． 15. 如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为，，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解之得， 小长方形的长、宽分别为，， ， ． 故答案为：44． 三、解答题（本大题共8小题，86分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． （1）应用代入消元法先求解，再求解即可； （2）应用加减消元法先求解，再求解即可． 【小问1详解】 解：， 由②，得：③， ③代入①，可得：， 解得， 把代入③，解得， ∴原方程组的解是； 【小问2详解】 解：， 原方程组可化为：， ，得：， 解得：； 把，代入②，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． 18. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 a b （1）填空：______，______； （2）当n很大时，频率会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是______． （3）在该转盘中，表示“可乐”区域扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】（1）； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：当n很大时，频率将会接近； 获得“橙汁”的概率大约是； 【小问3详解】 解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是度． 19. 仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图1，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知，，． （1）求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据平行线的性质解答即可； （）求出，再根据平行线的性质解答即可； 本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 20. 已知关于，的方程组 （1）请写出方程的所有正整数解（，都是正整数的解）； （2）若方程组的解也是方程的解，求的值； （3）如果方程组的解是，当点到轴的距离等于时，求的值． 【答案】（1），, （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查求二元一次方程整数解，解二元一次方程组，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键． （1）由可得，令为正整数，再求出，即可求解； （2）联立方程，求出、的值，再代入求解即可； （3）根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离可得，分别将和代入方程组中求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 当时，， 当时，， 当时，， 方程的所有正整数解为，，； 【小问2详解】 联立得： 得： ， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 将代入得：， 解得：； 【小问3详解】 点到轴的距离等于， ， ， ①时，， 解得：， ②时，， 解得：， 的值为或． 21. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出1个球是白球的概率； （3）能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）可以在盒子中放入6个黑球 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 【小问1详解】 由题意，得球的总个数为． 故盒子中黑球的个数为； 【小问2详解】 P（任意摸出1个球是白球）； 【小问3详解】 能． 因为任意摸出1个球是白球的概率是， 所以， 所以可以在盒子中放入6个黑球． 22. 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． （1）求的值； （2）6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】（1）a值为值为4.2 （2）146.6元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； 【小问2详解】 根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 23. 如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． （1）求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； （2）求的面积； （3）若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案； （2）根据解析式求出坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案； （3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴． 把点P坐标代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵：，：， 当，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：直线与直线的交点C为， 与直线的交点D为． ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，点E在射线上，点F为射线上的一点，连接，，，满足，平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点G为射线上F右侧的一点，，探究之间的关系，并说明理由； （3）如图3，点在（2）的条件下，作的角平分线交于点M，过点F作，交于点N，连接，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、平行公理推论、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）先证出，再过点作，交于点，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （3）先求出，，再设，则，然后过点作，根据平行线的性质可得，建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵是的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 如图，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $