12.4 定理 第1课时 三角形内角和定理及其推论 课件 -2024-2025学年苏科版（2024）数学七年级下册

第12章 定义 命题 证明 12.4 定理 第1课时 三角形内角和定理及其推论 问题1：已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°，那么这个三角形的第三个内角是多少度？ 105°. 问题2：已知一个等腰三角形的顶角是80°，那么这个三角形的底角是多少度？ 50°. 导入新课 2 问题3：已知一个等腰三角形的其中一个角是100°，那么这个三角形的另外两个角是多少度？ 40°. 怎样快速找到答案的？ 是有什么秘诀吗？ 利用“三角形的内角和等于180°”. 导入新课 3 活动一：探究三角形内角和定理 问题1：在小学里是通过“撕角”的办法来说明“三角形的内角和等于180°”的.还记得是怎么操作的吗？ 探究新知 4 方法一：先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(如图1)，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(如图2和图3，最后得到如图4所示的结果)，从中发现这三个角拼接在一起组成了一个平角. 探究新知 5 方法二：将三角形纸片的三个角剪下来，随意将它们拼凑在一起，可以发现这三个角组成了一个平角. 方法三：可以借助量角器，测量出三个角的大小，计算出三角形的三个内角和为180°. 探究新知 6 问题2：刚才通过操作发现一个三角形的内角和为180°，那是否所有的三角形内角和都是180°？ 根据上节课学习的内容，能否对“三角形的内角和为180°”进行证明？ 能想办法把∠A，∠B“搬”到相应的位置上吗？ 探究新知 7 已知：如图，∠A，∠B，∠C 是△ABC 的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明：作边BC 的延长线CD，过点C 作CE∥AB. ∵CE∥AB， ∴∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等). ∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换). 探究新知 8 通过证明，现在对“三角形内角和等于180°”不再产生怀疑了，就可以把这个命题叫作三角形内角和定理，即三角形三个内角的和等于180°. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理. 定理可以作为证明后续命题的依据. 探究新知 9 证明成功的经验： (1)辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.(辅助线通常画成虚线) (2)辅助线的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用. (3)添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化.但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定，平时做题时要注意总结. 探究新知 10 能够用其他方法证明三角形内角和定理吗？ 探究新知 11 活动二：探究三角形内角和定理的推论 问题：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，那么它同与它不相邻的两个内角∠A，∠B之间有怎样的数量关系？ 为什么？ ∠ACD＝∠A＋∠B. 探究新知 12 任意一个三角形的一个外角同与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 例 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 探究新知 13 已知 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A，∠B 是与它不相邻的两个内角. 求证 ∠ACD＝∠A＋∠B. 证明 ∵∠ACD＋∠ACB＝180°(平角的定义)， ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠ACD＝180°－∠ACB， ∠A＋∠B＝180°－∠ACB(等式的性质). ∴∠ACD＝∠A＋∠B. 探究新知 14 由例题，根据三角形内角和定理推出了一个新结论. 像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 结论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 探究新知 15 1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为( ) A.20° B.40° C.60° D.80° 课堂评价 B 16 2.如图，在△ABC中，BD⊥AC 于点D，CE⊥AB 于点E. (1)猜测∠1与∠2的关系，并给出证明； 猜测： ∠1＝∠2. 证明如下： ∵BD⊥AC，CEAB，∴∠BDA＝90°，∠CEA＝90°. ∴∠2＋∠A＝90°，∠1＋∠A＝90°. ∴ ∠1＝∠2. 课堂评价 17 2.如图，在△ABC中，BD⊥AC 于点D，CE⊥AB 于点E. (2)如果∠A是钝角，(1)中的结论是否还成立？ (1)中的结论仍然成立.证明如下： 如图， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴.∠D＝∠E＝90°. ∴∠2＋∠BAD＝90°，∠1＋∠CAE＝90°. 又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠1＝∠2. 课堂评价 18 3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数. ∵∠B＝42°，∠E＝26°， ∴∠ECD＝∠B＋∠E＝42°＋26°＝68°. ∵EC 平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝68°. ∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝68°＋26°＝94°. 课堂评价 19 3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. (2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E. ∵EC平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD. 又∵∠ECD＝∠B＋∠E， ∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝ ∠B＋2∠E. 即：∠BAC＝∠B＋2∠E. 课堂评价 20 1.回顾本节课学习的主要内容(一个定理、一个推论). 2.总结本节课证明命题过程中运用的思想方法，总结添加辅助线的经验，及规范证明过程的方法. 课堂总结 21 $$