精品解析：天津市西青区中北中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

天津市西青区中北中学2024－2025学年度第二学期 八年级数学学科期中检测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列出不等式，解不等式即可. 【详解】若在实数范围内有意义，则，解得,故选A. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、的被开方数含有开的尽的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、=，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式，熟知最简二次根式满足的条件是解答的关键． 3. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点到直线的距离是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 4. 在中，若比大，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数． 【详解】解：画出图形如下所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分． 5. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为(　　) A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】在△ABC中，∠A=45°，CD⊥AB ∴△ACD是等腰直角三角形 ∴CD=AD=1 又∵∠B=30° ∴Rt△BCD中，BC=2CD=2 ∴BD= 故选C． 6. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 全等三角形的对应角相等 D. 对顶角相等 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题，故本选项符合题意； B、逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数是假命题，可能都是负数，故本选项不符合题意； C、逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形是假命题，大小不一定相同，故本选项不符合题意； D、逆命题是相等的角是对顶角是假命题，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了逆命题的真假性，是易错题，难度适中． 7. 如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，已知斜边，一条直角边，用勾股定理求得另一条直角边即可． 【详解】解：如图： 在中，，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 8. 已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A. 底与边不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质以及勾股定理的逆定理，解题关键是根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0．求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ，，， ，， ，， ，， ，即 三角形的形状是直角三角形， 故选：D． 9. 在中，D、E分别是、的中点，若，则的值（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质求解即可． 【详解】解：∵在中，D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中位线，熟知三角形的中位线性质是解答的关键． 10. 如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于M，轴于N，则，，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【详解】解：作轴于M，轴于N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标是； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 11. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，利用周长为16，求出菱形的边长，然后利用三角形中位线性质求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是菱形 ∵四边形的周长是16， ∴ ∵点M，N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的定义，矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握平行四边形的定义、矩形的性质定理、菱形的判定与性质定理，三角形中位线的性质定理是解题的关键． 12. 如图，点是正方形对角线上一点，过点作交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作与，根据正方形性质得到，，根据角平分线性质得到，利用等腰三角形的性质推出，得到，利用勾股定理求得的长进而得到正方形的边长，利用勾股定理即可得到正方形的对角线． 【详解】解：如下图，过点作与， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ，， ， ，， ， ， ， ， 同理， ， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， 在中，． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求出答案． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数， ∴是一个平方数， ∴最小正整数n为3； 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 14. 直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解． 【详解】解：当3是直角边时，第三边长为：， 当3是斜边时，第三边长为：， 所以，第三边长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，注意要分情况讨论． 15. 如下图，在中，，为的中点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】据直角三角形的性质得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解： 为直角三角形，且为的中点， ， 而， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 16. 如图，已知菱形的对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，然后求出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 【详解】四边形是菱形， ∴，， 点是的中点， 是的中位线， ∴， 菱形的周长； 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键． 17. 如图，在菱形中，点E是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的长等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、,延长交延长线于点F．先证明为等边三角形，得到，，从而求出．再证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接、,延长交延长线于点F． ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∵点E是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强．熟知相关知识，根据已知条件添加适当辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 18. 把一个矩形纸片如图放置在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C坐，点D，E分别在边上，连接，将矩形沿着折叠后，点A落在点处，点O与点B重合，回答下面的问题： （1）线段与相等吗？___________； （2）点E的坐标为________________； （3）折痕的长为_____________． 【答案】 ①. 相等 ②. ③. 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得出结论； （2）先根据矩形的性质可得，从而可得点的纵坐标为6，再根据折叠的性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理求出的值即可得； （3）过点作于点，先根据点的坐标可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 故答案为：相等； （2）矩形中，， ， ，点在边上， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为6， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 则点的坐标为， 故答案为：； （3）如图，过点作于点， ， ， 由（2）可知，， 由（1）可知，， 由折叠的性质得：， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）5 （3）1 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解； （2）首先计算乘法，然后合并同类二次根式即可求解； （3）利用平方差公式计算乘法即可求解； （4）首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求这块四边形绿地的面积． 【答案】（1）直角三角形，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用的面积求出的长，分别求出，，利用勾股定理逆定理判断出三角形为直角三角形； （2）分别求出和的面积，两个三角形的面积的和即为四边形绿地的面积． 【小问1详解】 解：是直角三角形． 理由：的面积是，，， ， ， ，， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 ， 四边形的面积是． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，三角形面积的求解，熟练掌握勾股定理逆定理是解答本题的关键． 21. 如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． （1）请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； （2）求村庄A到县城C的距离的长． 【答案】（1） 解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知新公路是村庄A到高速公路的最短路线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，注意计算的准确性即可； （1）判断是否成立即可； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则． 由（1）知，即． 在中，， ∴， 解得． 答：村庄A到县城C的距离是． 22. 如图，的对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的性质可得，，由点，，，分别是，，，的中点，可得，，，，进而得到，，即可证明． 【详解】证明：的对角线，相交于点， ，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 23. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形． 24. 如图，矩形的顶点A，C分别在菱形的，上，顶点B，D分别在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若A为的中点，菱形的周长是28，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中 ， ． （2）7． 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形性质，全等三角形的性质和判定，数量掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．其中辅助线的添加是解决本题的重点，也是难点． （1）通过矩形和菱形的性质，根据证明和全等，再根据全等的性质即可证明结论； （2）连接，可证四边形是平行四边形，与相等，而根据矩形对角线相等可得与相等，从而将求的长转化为求菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． 为的中点， ． 由（1）知， ． 四边形是菱形， ． ，． 四边形是平行四边形 ． 菱形的周长是28， ． ． 四边形是矩形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市西青区中北中学2024－2025学年度第二学期 八年级数学学科期中检测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点到直线的距离是2 4. 在中，若比大，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为(　　) A. B. 2 C. D. 3 6. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 全等三角形的对应角相等 D. 对顶角相等 7. 如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A. 底与边不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 9. 在中，D、E分别是、的中点，若，则的值（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 10. 如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 12. 如图，点是正方形对角线上一点，过点作交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为______． 14. 直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____． 15. 如下图，在中，，为的中点，，则__________． 16. 如图，已知菱形的对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____． 17. 如图，在菱形中，点E是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的长等于______． 18. 把一个矩形纸片如图放置在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C坐，点D，E分别在边上，连接，将矩形沿着折叠后，点A落在点处，点O与点B重合，回答下面的问题： （1）线段与相等吗？___________； （2）点E的坐标为________________； （3）折痕的长为_____________． 三、解答题：本题共7小题，共66分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求这块四边形绿地的面积． 21. 如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． （1）请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； （2）求村庄A到县城C的距离的长． 22. 如图，的对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形． 24. 如图，矩形的顶点A，C分别在菱形的，上，顶点B，D分别在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若A为的中点，菱形的周长是28，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $