精品解析：上海市中国中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷

2024学年第二学期初二数学期中考试试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 直线的截距是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．由一次函数在轴上的截距是，可求解． 【详解】解：在一次函数中，， 一次函数的截距为． 故选：A． 2. 一次函数的图像不经过第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限即可确定，解不等式即可得出的取值范围． 【详解】∵一次函数图像不经过第四象限， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 3. 下列四个函数中，一次函数是（　　） A. y＝x2﹣2x B. y＝x﹣2 C. D. y＝+1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：A、y＝x2﹣2x是二次函数，故本选项错误； B、y＝x﹣2是一次函数，故本选项正确； C、自变量次数不为1，故不是一次函数，故本选项错误； D、自变量次数不为1，故不是一次函数，故本选项错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 4. 下列关于的方程中，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，判断无理方程是否有解，进行解答，即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴无解；A不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴无解；B不符合题意； C、∵， ∴， ∴ ∴有实数根， ∴C符合题意； D、∵， ∴，， ∴， ∴， ∴无解， ∴D不符合题意； 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，直线经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一次函数与坐标轴的交点，再画出一次函数的图象，即可得到答案. 【详解】解：当 则 当时，则 解得： 所以一次函数与坐标轴的交点为： 则函数图形如图所示： 所以一次函数经过一二四象限， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，掌握“画一次函数的图象”是解本题的关键. 6. 如图，已知菱形，，，为的中点，为对角线上一点，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解．根据菱形的性质，得知、关于对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知为的最小值． 【详解】解：四边形为菱形， 、关于对称， 连交于，连接， 则， 根据两点之间线段最短，的长即为的最小值． 四边形为菱形， ∴，， ∴， ， ， 为等边三角形， 又， ， ． 故选：B． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 二项方程在实数范围内的解是_______________ 【答案】x=-3 【解析】 【分析】由2x3+54=0，得x3=-27，解出x值即可． 【详解】由2x3+54=0，得x3=-27， ∴x=-3， 故答案为x=-3． 【点睛】本题考查了立方根，正确理解立方根的意义是解题的关键． 8. 用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于的整式方程为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】可根据方程特点设，则原方程可化为-y=1，再去分母化为整式方程即可． 【详解】设，则原方程可化为：-y=1， 去分母，可得1-y2=y， 即y2+y-1=0， 故答案为y2+y-1=0． 【点睛】本题考查用换元法解分式方程的能力．用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，再将分式方程可化为整式方程． 9. 如果是关于的方程的增根，那么实数的值为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x=2代入计算即可求出k的值． 【详解】去分母得：x+2=k+x2-4， 把x=2代入得：k=4， 故答案为4． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 10. 已知一次函数，那么__________ 【答案】—4 【解析】 【分析】将x＝−2代入计算即可． 【详解】当x＝−2时，f（−2）＝3×（−2）＋2＝−4． 故答案为−4． 【点睛】本题主要考查的是求函数值，将x的值代入解析式解题的关键． 11. 已知函数，当时，函数值的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式关系；依据的值得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围，得到函数值的取值范围即可． 【详解】解：函数中，， 随着的增大而减小， 当时，， 当时，， 故答案为：． 12. 将直线向上平移1个单位，那么平移后所得直线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律是解题的关键；根据“上加下减”的规律写出函数解析式即可． 【详解】解：将直线向上平移1个单位，那么平移后所得直线的表达式是 故答案为：． 13. 如果，那么关于的方程的解为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，因式分解；根据已知方程找到参数之间的关系是解决此题的关键．根据题意得出，又，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 14. 某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天修米，则实际每天修米，根据实际比原计划提前2天完成了任务，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天修米，则实际每天修米， 由题意得：， 故答案为：． 15. 如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据邻补角 的定义得到，根据五边形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 五边形的内角和为：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 16. 如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为____cm． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少；然后再结合△ABC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC、BD互相垂直平分， ∴BO=BD=×8=4（cm），CO=AC=×6=3（cm）， 在△BCO中，由勾股定理，可得 BC===5（cm） ∵AE⊥BC， ∴AE•BC=AC•BO， ∴AE===（cm）， 即菱形ABCD的高AE为cm． 故答案为． 17. 矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为，则较短边的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题首先求证由两条对角线的夹角为60°的角的三角形为等边三角形，易求出短边边长． 【详解】解：已知矩形的两条对角线的夹角为，根据矩形的性质可求得由两条对角线的夹角为的三角形为等边三角形． 又因为一条对角线与短边的和为， 所以较短边的边长为cm． 故答案为：． 18. 已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角（除外）的个数为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解析的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是由等腰三角形的性质得出．由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，，由平行线的性质，可得，进而得出结论． 【详解】解：由折叠知，，， 点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、简答题（每题6分，共24分） 19. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】方法一：方程的左右两边同时乘以，去掉分母，然后按照解整式方程，检验的步骤解分式方程即可； 方法二：采用换元法，设，先解出t的值，然后再求出x的值即可． 【详解】方法一：； ； ， 解得，或； 经检验，，是原方程的根； 所以，原方程的根为． 方法二：设， 得， ， 解得或， 即或， 解得或， 经检验，，是原方程的根； 所以，原方程的根为． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程的应用，解此题的关键是能把无理方程转化成有理方程，注意：解无理方程一定要进行检验．先移项，再两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：移项得：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴是原方程的解. 21. 解方程组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解方程组，根据方程组的特点设则原方程组为，根据加减消元法得出，，进而即可求解． 【详解】解：设 ∴原方程组为 ①②得， 解得： 将代入②的 解得： ∴， ∴ 22. 解方程组：． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了二元二次方程组，由①可得，则由①可得，得出，，分别代入②，解方程，即可求解． 【详解】解： 由①可得 ∴， 将代入②得， 解得： ∴或 将代入②得， 解得： ∴或 ∴原方程组解为：或或或 四、解答题（共40分） 23. 已知一次函数与正比例函数的图像都经过点． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了求两直线的交点坐标，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）求出一次函数与轴和轴的交点坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：把点代入函数得， ， 则函数解析式为：； 把点代入函数得， 则函数解析式为：； 【小问2详解】 解：令中的，则， ∴与轴的交点为， 令中的，则， ∴与轴的交点为， ∴三角形面积为：． 24. 寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： （1）图中的_______，______； （2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； （3）她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）提速后y关于x函数解析式为． （3）能．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b的数值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）当时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ． 【小问2详解】 设提速后y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标和代入， 得 ， 解得 ， ∴提速后y关于x的函数解析式为． 【小问3详解】 能．理由如下： 当她们到达目的地时，， 得， 解得， 小时=6时12分， ∴她们于12：12分到达目的地． 25. 小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 【答案】小丽的叔叔可赚元 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．首先设乙地商品进价为元，则甲地商品进价为元，根据题意可得等量关系：乙地购进商品的数量甲地购进商品的数量，根据等量关系列出方程，算出进价，即可求出数量． 【详解】解：首先设乙地商品进价为元，则甲地商品进价为元，根据题意可得： 解得：或舍去， 经检验是方程的解， ， 答：小丽的叔叔从甲地购进商品件， ， 答：小丽的叔叔可赚元． 26. 如图，在中，为边的中点，过点作，与的延长线相交于点，为延长上的任一点，联结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当为边的中点，且时，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）首先利用平行线的性质和中点证明，则有，然后利用一组对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形； （2）首先利用平行四边形的性质得出，进而可得出，然后利用等腰三角形三线合一得出，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）， ，． 是的中点， ． 在与中， ， ． 又 四边形是平行四边形． （2）四边形是平行四边形 ． ， 又是中点， ． 即． 又四边形是平行四边形． 四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，掌握全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与直线BC相交于点，直线AB与轴相交于点，直线BC与轴、轴分别相交于点、点C． （1）求直线AB的解析式； （2）过点A作BC的平行线交轴于点E，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线AB上一动点且在轴的上方，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC，请求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）E（2，0）；（3）P(-2，2)， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求函数的解析式，（2）先求BC的解析式，利用BC与过A的直线平行与待定系数法求解析式即可，（3）利用△ABC的面积求出点P的纵坐标，再求点P的横坐标，由平行四边形的性质与点的平移得到点Q的坐标． 【详解】解：（1）设直线AB过点A(0，4)，，可设解析式 所以：， 　　　解得： 所以：直线AB的解析式 （2）设直线BC的解析式为 因为B（-2，2），D（-1，0） 所以 可得 直线BC的解析式为 则过点A且平行于直线BC的解析式为 则E（2，0） （3）因为：直线BC为：，所以：， 又因：， 所以：，所以以D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积是6． 如图，由， 因为：，，所以：把代入AB的解析式：， 所以：，所以． 因为： ， 所以由平行四边形的性质与点的平移可得： 所以：P(-2，2)， 【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，同时考查平行四边形的判定与性质，点的坐标平移规律，掌握相关的知识点是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期初二数学期中考试试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 直线的截距是（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 一次函数的图像不经过第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个函数中，一次函数是（　　） A. y＝x2﹣2x B. y＝x﹣2 C. D. y＝+1 4. 下列关于的方程中，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，直线经过（　　） A 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，已知菱形，，，为的中点，为对角线上一点，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 8 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 二项方程在实数范围内解是_______________ 8. 用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于的整式方程为_____________ 9. 如果是关于的方程的增根，那么实数的值为__________ 10. 已知一次函数，那么__________ 11. 已知函数，当时，函数值的取值范围是________． 12. 将直线向上平移1个单位，那么平移后所得直线的表达式是________． 13. 如果，那么关于的方程的解为________． 14. 某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程________． 15. 如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为___________． 16. 如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为____cm． 17. 矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为，则较短边的长为________． 18. 已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角（除外）的个数为________． 三、简答题（每题6分，共24分） 19. 解方程：． 20. 解方程：． 21 解方程组． 22 解方程组：． 四、解答题（共40分） 23. 已知一次函数与正比例函数的图像都经过点． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求一次函数图像与轴和轴围成三角形面积． 24. 寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： （1）图中的_______，______； （2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； （3）她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 25. 小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 26. 如图，在中，为边的中点，过点作，与的延长线相交于点，为延长上的任一点，联结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当为边的中点，且时，求证：四边形为矩形． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与直线BC相交于点，直线AB与轴相交于点，直线BC与轴、轴分别相交于点、点C． （1）求直线AB的解析式； （2）过点A作BC的平行线交轴于点E，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线AB上一动点且在轴的上方，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于△ABC，请求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$