精品解析： 上海市曹杨第二中学附属学校2024—2025学年下学期七年级数学期中试卷

上海市曹杨第二中学附属学校2024—2025学年下学期七年级数学期中试卷 （考试时间80分钟 满分100分） 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形全等 B. 能够完全重合的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 两个等边三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）． A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 平行或垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系判断即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，相交包含垂直． 故选C． 【点睛】本题考查在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系，理解两直线的位置关系是解题关键． 3. 下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线，根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 【详解】解：A．不是任何边的高，故不符合题意； B．不是任何边的高，故不符合题意； C．是边的高，故不符合题意； D．是边的高，故符合题意 故选D． 4. 如图，，，要使，应添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，根据，可得，添加，根据“”可证． 【详解】解：若添加，则和条件重复； 若添加，则“”不能证明全等； 若添加，则与条件重复； 故A、B、D不能证明全等； 应添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5. 如图，下列推理中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，故此选项符合题意； B、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意； C、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 65° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质得∠BFE=∠B' FE，再由平行线的性质可求得∠BFE= 50°，从而得解． 【详解】解：由折叠得：∠BFE=∠B'FE， ∵四边形ABCD是长方形 ∴AD//BC， ∴∠AEF +∠BFE= 180°， ∵∠AEF= 130°， ∴∠BFE= 50°， ∴∠B' FE= 50°， ∴∠B' FC= 180°－∠BFE－∠B' FE=80°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 7. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（ ） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ③①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 8. ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则.以上结论正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】点E作EF∥AB，对各选项利用平行线的判定和性质及三角形外角的性质依次判断证明即可 【详解】解：①过点E作EF∥AB， ∵CD∥AB， ∴CD∥AB∥EF， ∴∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°， ∴∠A+∠C+∠E=360°，故①错误； ②过点E作EF∥AB， ∵CD∥AB， ∴CD∥AB∥EF， ∴∠A=∠1，∠2=∠C， ∴∠AEC=∠A+∠C 即∠E=∠A+∠C，故②正确； ③过点E作EF∥AB， ∵CD∥AB， ∴CD∥AB∥EF， ∴∠A+∠3=180°，∠1=∠2， ∴∠A+∠AEC-∠1=180°， 即∠A+∠E-∠1=180°，故③正确； ④∵∠1是∆CEP的外角， ∴∠1=∠C+∠P， ∵CD∥AB， ∴∠A=∠1，即∠A=∠C-∠P，故④正确， 综上可得，正确的有②③④， 故选：C 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，三角形外角的性质等，理解题意，综合运用平行线的判定和性质是解题关键 二、填空题：（每小题2分，共20分） 9. 不等式组的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：观察不等式组可直接得不等式组的解集为：． 故答案为：． 10. 比较大小：如果那么________b．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 11. 命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【解析】 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 12. 在中，，，第三边的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ，即， 第三边的取值范围是， 故答案：． 13. 根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x＞”，则m的取值范围是_____. 【答案】m＜0 【解析】 【详解】因为mx＜2化为x＞， 根据不等式的基本性质3得：m＜0， 故答案m＜0． 14. 小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少_______岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查列不等式的应用．设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】解：设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的， 根据题意，得 ， 解得， 答：小海至少17岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 故答案为：17． 15. 如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则______度． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线，三角形高的定义和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答． 【详解】解：∵， ， 又∵是的平分线， ， 又∵是的高线， ， 在中，， 于是． 故答案为：20． 16. 如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：∵沿折叠点A落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：10． 17. 如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，则的度数为________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算的度数，从而得出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵平分，交于，平分，交于， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 18. 在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；根据，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（第19－23题各6分，第24－25题各8分，第26题10分，共56分） 19. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由，得：， 由，得：， 原不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20. 如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的含义，掌握角的和差运算是解本题的关键，先证明，再求解，再结合垂直的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 21. 如图，已知在中，点D、G分别在边上，且，点F在线段的延长线上，点E在边上，如果，说明的理由． 解：∵（已知）， ∴________（ ）． ∴______（ ）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∴（ ）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；，内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，先得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；； 同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；，内错角相等，两直线平行． 22. 已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE． 求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】因为AB⊥BE，DE⊥BE，所以∠B=∠E，又因为BF=CE，所以BC=FE，又因为AB=DE，则可根据SAS判定△ABC≌△DEF． 【详解】解：证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠B=∠E， ∵BF=CE， ∴BC=FE， ∵AB=DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 23. 通过“三角形全等判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． （1）【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． （2）【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 【答案】（1）见解析 （2）2；；假 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定； （1）根据步骤尺规作图，得两个三角形； （2）如图，满足条件的三角形有两个，，，其中与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等． 【小问1详解】 解：作图如下， ； 【小问2详解】 解：观察所作的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题． 故答案为：2；；假． 24. 某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． （1）若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ （2）请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】（1）只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【小问1详解】 解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； 【小问2详解】 解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 25. 如图1，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α． （1）求证：BE=AD； （2）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析（2）△CPQ为等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）易证△ACD≌△BCE，即可求证； （2）先证明△ACP≌△BCQ，得CP=CQ,∠ACP=∠BCQ,再由∠ACB=90°，得出△PCQ为等腰直角三角形. 【详解】（1）如图1，∵∠ACB=∠DCE=α， ∴∠ACD=∠BCE， 又CA=CB，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴BE=AD； （2）△CPQ为等腰直角三角形， 证明如图2，由（1）得BE=AD， ∵AD，BE的中点分别为点P、Q， ∴AP=BQ ∵△ACD≌△BCE ∴∠CAP=∠CBQ, 在△ACP和△BCQ中 ∴△ACP≌△BCQ（SAS） ∴CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ 又∵∠ACP+∠PCB=90°， ∴∠BCQ+∠PCB=90°， ∴∠PCQ=90°， ∴△CPQ为等腰直角三角形. 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质. 26. 在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动．     操作发现： （1）如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； （2）将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； （3）在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 【答案】（1）3 （2）15 （3）垂直，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键． （1）由平移的性质可得答案； （2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案； （3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解． 【小问1详解】 解：由平移的性质得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：3； 【小问2详解】 解：过A作直线，交于G，而， ∴， ， 同理， ； 故答案为：15； 【小问3详解】 解：垂直，理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H ∵ ， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市曹杨第二中学附属学校2024—2025学年下学期七年级数学期中试卷 （考试时间80分钟 满分100分） 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形全等 B. 能够完全重合的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 两个等边三角形全等 2. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）． A 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 平行或垂直 3. 下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，要使，应添加的条件是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，下列推理中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C 如果，那么 D. 如果，那么 6. 如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 65° D. 50° 7. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（ ） A ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ③①② 8. ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则.以上结论正确是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题：（每小题2分，共20分） 9. 不等式组的解集为________． 10. 比较大小：如果那么________b．（填“”或“”） 11. 命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是___________．（用“如果…那么…”的形式写出）． 12. 在中，，，第三边的取值范围是______． 13. 根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x＞”，则m的取值范围是_____. 14. 小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少_______岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 15. 如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则______度． 16. 如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是___________． 17. 如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，则的度数为________． 18. 在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于______． 三、解答题：（第19－23题各6分，第24－25题各8分，第26题10分，共56分） 19. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数． 21. 如图，已知在中，点D、G分别在边上，且，点F在线段的延长线上，点E在边上，如果，说明的理由． 解：∵（已知）， ∴________（ ）． ∴______（ ）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∴（ ）． 22. 已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE． 求证：△ABC≌△DEF． 23. 通过“三角形全等判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． （1）【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． （2）【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 24. 某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． （1）若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ （2）请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 25. 如图1，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α． （1）求证：BE=AD； （2）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明． 26. 在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动．     操作发现： （1）如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； （2）将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； （3）在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $