精品解析：江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

南京市中华中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：施峰 审题：魏安龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C D. 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 6. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 7. 如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数的“躺平点”分别为则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 对于事件A，B，C，下列命题中正确有（ ） A. 若，则A与B互为对立事件 B. 若，则 C. 若，是B的对立事件，则 D. 若，，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，为底面上的动点．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若在线段上运动，周长的最小值为 C. 若是中点，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有名男生和名女生随机站成一排合影，记“名女生恰好相邻”为事件，则的概率______. 13. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________． 14. 某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． （1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； （2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 16. 已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大． （1）求（用数值作答）； （2）若，求二项式的值被7除的余数． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值． 18. 奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． （1）从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； （2）按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 19. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求取值范围； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：施峰 审题：魏安龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算． 【详解】由题意，解得． 故选：B． 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断； 【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增， 结合选项，只有A符合； 故选：A 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式即可得出． 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以二项式展开式中的常数项为， 故选：D． 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数运算法则计算即可得. 【详解】，则. 故选：B. 5. 设向量，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用空间向量夹角的余弦公式即可求出结果． 【详解】因为向量，，， 所以，解得或． 故选：C． 6. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】甲有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，根据分步乘法计数原理计算即可． 详解】由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法， 故不同的报名学习方式有种， 故选：C． 7. 如图，在直三棱柱中，，，点是棱中点，则平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 8. 我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数的“躺平点”分别为则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中新定义，易解得，利用零点存在定理解得，即可得出结论. 【详解】根据“躺平点”定义可知，因为，所以，解得. 同理，，则，解得. ，则. 令，定义域为，则，所以是增函数. 又因为，所以在有唯一零点，即 综上，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】按照求导法则逐项判断即可. 详解】A选项，，A正确； B选项，，B不正确； C选项，，C正确； D选项，，D不正确. 故选：AC. 10. 对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（ ） A. 若，则A与B互为对立事件 B. 若，则 C. 若，是B的对立事件，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对立事件的定义判断A；由条件概率公式判断B；由对立事件、互斥事件定义判断C；由概率乘法公式判断D. 【详解】对于A：如有红黄蓝三张牌，事件为“甲所取一张牌是红牌或黄牌”，则，事件为“乙抽取一张牌是黄牌”，则，，但事件和事件不是对立事件，故A错误； 对于B：若，则，所以，故B正确； 对于C：若，是B的对立事件，则A与是互斥事件， 所以，故C正确； 对于D，若， 则，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，为底面上的动点．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若在线段上运动，周长的最小值为 C. 若是的中点，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项，以点为坐标原点建立坐标系，利用得到的轨迹满足的方程，进而求出轨迹长度；B选项，将平面沿着翻折至与共面，当三点共线时，的周长最小；C选项，取的中点，易得四边形为平面截正方体所得的截面；D选项，将注意到面，即求三棱锥的外接球表面积． 【详解】对于选项，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，由题知，即， 记的中点为，则点在线段不含上运动， 而 ，所以点的轨迹长度为，故 A选项正确； 对于B选项，将平面沿着翻折至与共面，如图， 当三点共线时，的周长最小，此时， 翻折前，故的周长的最小值为， B错误； 对于C项，是的中点，取中点，连接，，，如图， 因为，所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，所以共面，则四边形为平面截正方体所得的截面， 又，所以四边形为菱形，，，所以四边形的面积为，故 C选项正确； 对于D选项，如图， 易知面，因为，， 所以，所以， 设的外接圆半径为，则，所以， 设三棱锥外接球半径为，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故 D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有名男生和名女生随机站成一排合影，记“名女生恰好相邻”为事件，则的概率______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用捆绑法和排列数知识可分别求得事件的基本事件个数和总体基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】名男生和名女生随机站成一排合影，共有种站法； 其中“名女生恰好相邻”的站法有种，. 故答案为：. 13. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意将锯齿形数列分组找出规律可知第37项是第19组的第一个数，计算可得结果. 【详解】根据题意，将锯齿形数列两个一组进行分组，可知其成如下规律： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 因此第37项是第19组的第一个数，易知第19组的两个数为； 可得第37项是. 故答案为： 14. 某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 【答案】 【解析】 【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． （1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； （2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性质和独立事件的乘法公式即可求解. （2）利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概率，进而利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”， 则，. 甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”， 所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于. 故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为. 【小问2详解】 由题意得. 事件“三人小组获得团体奖”， 则 . 甲乙丙同时通关的概率. 所以. 故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为. 16. 已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大． （1）求（用数值作答）； （2）若，求二项式的值被7除的余数． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）依题意可求得，再利用赋值法计算可得结果； （2）易知当时，二项式为，再由二项展开式可得项式的值被7除的余数为1. 【小问1详解】 根据二项式系数性质可知第5项的二项式系数为， 因此可知， 令，可得； 令，可得， 即； 【小问2详解】 若，则二项式为： ； 因此二项式的值被7除的余数为1. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直判定定理证明平面，又平面，从而可求解. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用向量法求解线面角，从而可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，，因为，所以． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 由，，所以在和中 ，所以，因此， 因为，平面，所以平面， 又因为平面POC，所以． . 【小问2详解】 以O为坐标原点，所在直线为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，， 则，，． 设是平面的一个法向量，则，即，可取． 所以． 因此与平面所成角的正弦值为． 18. 奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． （1）从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； （2）按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3）,. 【解析】 【分析】（1）依题意，运用古典概率公式即可求得其概率； （2）根据题意得到的可能值为0，1，2，3，利用超几何分布概率公式求得相关概率，列出分布列，计算出数学期望即可； （3）由分析可得，随机变量，利用二项分布概率的相关公式即可求得数学期望和方差. 【小问1详解】 因这100个脐橙中一级果有40个，则从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率为； 【小问2详解】 按照比例分配的分层随机抽样，所抽取的10个脐橙中，分别是二级果，一级果，特级果的个数依次为3个，4个，3个， 再抽取3个脐橙中特级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则；；；. 则X的分布列为： 0 1 2 3 则； 【小问3详解】 依题，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个脐橙，是二级果的个数满足， 于是Y的期望是,Y的方差为. 19. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合二次函数的性质计算可得； （3）先利用导数研究有两个极值点的条件，得到的取值范围，同时利用韦达定理得到两极值点的和与积的值，然后得到两极值的和关于的函数表达式，将要证不等式转化为关于实数的等式，构造函数，利用导数研究其单调性，结合零点存在定理研究最值，从而证明原不等式. 【小问1详解】 当时，则， 又，则， 所以函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 依题意在上恒成立，即在上恒成立， 即上恒成立， 又，当且仅当时取等号， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 依题意可得， 又函数的定义域为，且， 若，即，则，此时的单调减区间为，不符合题意； 若，即，则的两根为， 所以当或时， 当时， 所以的单调减区间为，，单调增区间为， 所以当时，函数有两个极值点，，且，． 因为 ， 要证，只需证， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，，且在定义域连续， 由零点存在定理，可知在上唯一实根， 且当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以的最小值为，又， 因为， 当时，，又，所以， 所以恒成立， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $