江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

南京市中华中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：施峰 审题：魏安龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 6. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 7. 如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数的“躺平点”分别为则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（ ） A. 若，则A与B互为对立事件 B. 若，则 C. 若，是B的对立事件，则 D. 若，，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，为底面上的动点．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若在线段上运动，周长的最小值为 C. 若是的中点，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有名男生和名女生随机站成一排合影，记“名女生恰好相邻”为事件，则的概率______. 13. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________． 14. 某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． （1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； （2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 16. 已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大． （1）求（用数值作答）； （2）若，求二项式的值被7除的余数． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值． 18. 奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． （1）从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； （2）按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 19. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 南京市中华中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：施峰 审题：魏安龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）1 【17题答案】 【答案】（1）因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 由，，所以在和中 ，所以，因此， 因为，平面，所以平面， 又因为平面POC，所以． （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 （3）,. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 依题意可得， 又函数的定义域为，且， 若，即，则，此时的单调减区间为，不符合题意； 若，即，则的两根为， 所以当或时， 当时， 所以的单调减区间为，，单调增区间为， 所以当时，函数有两个极值点，，且，． 因为 ， 要证，只需证， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，，且在定义域连续， 由零点存在定理，可知在上唯一实根， 且当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以的最小值为，又， 因为， 当时，，又，所以， 所以恒成立， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $