精品解析：江苏省南京市求真中学2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市民办求真中学七年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. -2025 2. 如图，已知线段AB=4，利用尺规作AB垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（ ） A 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 3. 下列说法错误的是（ ） A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 4. 如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（ ） A ① B. ② C. 一样长 D. 无法确定 5. 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 若能运用平方差公式计算，则，满足的条件可能是（ ） ①，；②，；③，；④，． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米．数字0.00000000014用科学记数法可表示为_____． 8. 如图，将沿方向平移得到，连接，若的周长是，则四边形的周长是_____． 9. 若是一个完全平方式，则m的值是___________． 10. 简便计算：______________． 11. 若，，则_____． 12. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是___________． 13. 如图，长方形纸片，，沿MN折叠纸片，使得D，C分别落到，处，已知，．连接，则六边形的面积是______．（结果用含有x的代数式表示） 14. 如图，在探究折叠长方形纸片实验中，均是折痕，折叠后，点A落在点，连接，点B落在点，当在的内部时，连接，若求=___________． 15. 对于，规定，例如：，所以．记，，则与之间的数量关系为_____． 16. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为__________． 三、解答题（共68分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18. 若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 19. 在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： （1）根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． （2）当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 20. 如图，，交点为，点、是以为对称轴的对称点，点、是以为对称轴的对称点，试说明点、是以点为对称中心的对称点. 21. 如图，在正方形网格中，是经过一次对折后（两部分完全重合）得到的图形．仅用无刻度直尺完成下列问题． （1）画出对折前可能的一个图形； （2）若点为中点，在边和上找到点、点，使得为最小值． 22. 在第八章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，，，，这四个代数式之间具有一定关系． 【初步尝试】如果，，那么_____； 【灵活运用】如图，农场开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米．计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积． 23. 重新认识． （1）如图1，在虚线框中尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （2）如图2，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，的面积为，的面积为，求的面积． （3）如图3，用无刻度直尺作图，在边上确定一点，使（保留作图痕迹）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京市民办求真中学七年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. -2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据负指数幂的意义求出，再根据倒数的定义解答，即两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数． 【详解】解：，， 的倒数是2025． 故选：C． 2. 如图，已知线段AB=4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本作图得到m＞AB，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得m＞AB， 即b＞2， 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质，利用平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故原说法正确，不符合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故原说法正确，不符合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴所在直线垂直平分，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 4. 如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（ ） A. ① B. ② C. 一样长 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短， 连接，再利用两点之间线段最短即可求解， 【详解】解：连接 有图可知： 在中， 即， 中，， 即， ， 则路线①的距离路线②的距离， 故选：A． 5. 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 6. 若能运用平方差公式计算，则，满足的条件可能是（ ） ①，；②，；③，；④，． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的特点进行分析即可． 【详解】解：∵能运用平方差公式计算， ∴，或，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米．数字0.00000000014用科学记数法可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 如图，将沿方向平移得到，连接，若的周长是，则四边形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，，得到四边形的周长等于的周长与的和，计算即可得解． 【详解】解：将沿方向平移得到， ， 三角形的周长为， ， 四边形的周长为：． 故答案为：． 9. 若是一个完全平方式，则m的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 简便计算：______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： 故答案为∶ 11. 若，，则_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，代数式求值，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法运算法则得到，，求出，，然后代数求解即可． 【详解】解：若， ， ， ， ． 故答案为：27． 12. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质及旋转角的定义是解题的关键． 根据旋转的性质得出，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：，平分， ． 由旋转可知，． 又， ， 旋转的角度为． 故答案为：． 13. 如图，长方形纸片，，沿MN折叠纸片，使得D，C分别落到，处，已知，．连接，则六边形的面积是______．（结果用含有x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是掌握梯形的面积公式． 先求出，，再由，即可利用梯形的面积公式进行求解； 【详解】解：根据题意可得， ， 故答案为： 14. 如图，在探究折叠长方形纸片实验中，均是折痕，折叠后，点A落在点，连接，点B落在点，当在的内部时，连接，若求=___________． 【答案】36°##36度 【解析】 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，由折叠得出和的值即可解得． 【详解】解：由折叠得出，， ， ，即， 故答案为：． 15. 对于，规定，例如：，所以．记，，则与之间的数量关系为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，根据题意得，则，同理得，整理得，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 16. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是6的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是36， 的最大值为． 故答案为： 三、解答题（共68分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）5 （2）4 （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂、积的乘方的逆运算、整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、负整数指数幂、同底数幂相除，再运算加减，即可作答． （2）先把小数化为分数，再根据积的乘方的逆运算进行简便运算，即可作答． （3）运用多项式乘多项式进行计算，即可作答． （4）先去括号再合并同类项，即可作答． （5）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． （6）先整理得，再运用平方差公式进行运算，最后根据完全平方公式进行运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 18. 若的积中不含与项． （1）求，值； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴ ， ． 19. 在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： （1）根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． （2）当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合幂的定义证明同底数幂的除法法则，即可作答． （2）运用负整数指数幂运算法则验证，即可作答． 【小问1详解】 证明：，、是正整数， ， 即（，、是正整数，）； 【小问2详解】 解：，、是正整数 ∴， ， 故． 20. 如图，，交点为，点、是以为对称轴的对称点，点、是以为对称轴的对称点，试说明点、是以点为对称中心的对称点. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据轴对称的对称点被对称轴垂直平分，可得MN是AA1的垂直平分线，PQ是AA2的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得，，同理，，，再根据中心对称的性质，可得答案． 【详解】如图，连结、、、、. 、是以为对称轴的对称点， 是的垂直平分线. ，. 同理，，. . . . 、、在同一直线上，且. 点、是以点为对称中心的对称点. 【点睛】本题考查了中心对称，利用了轴对称的性质，中心对称的性质． 21. 如图，在正方形网格中，是经过一次对折后（两部分完全重合）得到的图形．仅用无刻度直尺完成下列问题． （1）画出对折前可能的一个图形； （2）若点为中点，在边和上找到点、点，使得为最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，以及轴对称性质，无刻度直尺作图，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）画出关于的对称图形即可； （2）延长，交格线于，找到点D关于的对称点，取格点，，连接，交格线于，找到点D关于的对称点，连接，交于，交于，连接，，根据轴对称的性质即知的最小值为线段的长，即得答案． 【小问1详解】 解：如图1，延长交格线于格点，连接，则是其中一个折叠前的图形； 【小问2详解】 解：如图2， ①延长，交格线于， ②取格点，，连接，交格线于， ③连接，交于，交于，④连接，，则最小； 点、点即为所求作的点． 22. 在第八章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，，，，这四个代数式之间具有一定的关系． 【初步尝试】如果，，那么_____； 【灵活运用】如图，农场开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米．计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积． 【答案】[初步尝试]；[灵活运用]53平方米 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [初步尝试]结合题意，得，再把，，分别代入进行计算，即可作答． [灵活运用]由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 详解】解：[初步尝试]∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：； [灵活运用]∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 23. 重新认识． （1）如图1，在虚线框中尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （2）如图2，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，的面积为，的面积为，求的面积． （3）如图3，用无刻度直尺作图，在边上确定一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）过点作直线，过点作，然后作的角平分线即可； （2）利用可联想构造对称，进而将的面积转化为和的面积之和； （3）如图，以点为坐标原点在正方形网格中建立直角坐标系，在轴上找一点（同时也是格点），再取格点，连接并延长交于点即可． 小问1详解】 解：如图，过点作直线，过点作，然后作的角平分线， ∴，， ∴， 则即为所作； 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， 如图，将绕点顺时针旋转到， ∴，，，， ∴， ∴点、、共线， ∵，的面积为，的面积为， ∴， ∴，即， ∴点和点关于直线对称， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 如图，以点为坐标原点在正方形网格中建立直角坐标系， 在轴上找一点、（同时也是格点），再取格点、，则，，，， ∴绕点顺时针旋转后得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴将点向下平移两格到点，点向下平移两格到点， ∴， ∴， 则点即为所作． 【点睛】本题是作图—应用与设计作图，考查了尺规作图，格点作图，平移的性质，旋转的性质，对称的性质等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $