精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星海实验高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

苏州星海中学2024-2025学年第二学期期中试题 高二数学 2025.4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是相互独立事件，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.28 3. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 120 B. 240 C. 300 D. 320 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 6. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ） 附：，，. A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 7. 已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（ ） A. 关于直线对称 B. C. 周期为4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（ ） A. 若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法 B. 若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同排队方法 C. 若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法 D. 若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法 10. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ） A. B. C. 小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 11. 记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在处3次泰勒多项式为 D. （精确到小数点后两位数字） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知能够被15整除，其中，则___________. 13. 现有5名大学毕业生去A、B、C三家单位去应聘，若每人至多被一家单位录用，每家单位至少录用其中一人．则不同的录取情况种数是______． 14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 设函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求单调区间与极值． 16. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求展开式中的常数项，并指出是第几项； （2）求展开式中的所有有理项． 17. 2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日-28日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，加强水资源保护，某中学举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下：盒中有5个红球，4个白球，盒中有5个红球，5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得3分，两类问题答错均不得分.每位同学进行二轮比赛. （1）求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率； （2）已知甲同学二轮比赛后得分为4分，乙同学答对第一类问题的概率为，答对第二类问题的概率为，求乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设且，若存在，使得，试比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏州星海中学2024-2025学年第二学期期中试题 高二数学 2025.4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 2. 已知是相互独立事件，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.28 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件概率可得，再由相互独立事件乘法公式计算可得. 【详解】由可得， 又是相互独立事件，所以. 故选：C 3. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 120 B. 240 C. 300 D. 320 【答案】D 【解析】 【分析】通过先确定中间的涂色情况，再依次确定其他部分的涂色情况，利用分步乘法原理计算总方案数. 【详解】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为. 故选：D. 4. 函数的大致图象是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项． 【详解】解：，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法可求展开式中的系数. 【详解】因为 ， 故可以来自5个因式的2个因式提供，余下3个因式提供， 或者5个因式的3个因式提供，余下1个因式提供，一个因式提供， 故系数为， 故选：B. 6. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ） 附：，，. A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】由题得，，所以，， ，， 因为，， 所以， 根据比例成绩大于分为优秀， 因为， 根据比例成绩在到之间的为良好， ， 根据比例成绩在到之间的为合格， ， 根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 7. 已知随机变量的分布列如表 -1 0 1 P 若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和为1，以及方差的计算公式求解即可. 【详解】由题意得，即①， ，， 又因为，所以②， 联立①，②，解得，所以， 当时，；当时，， 故，解得或. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的周期为4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（ ） A. 若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法 B. 若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法 C. 若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法 D. 若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，先安排特殊的人甲或甲、乙、，再安排其它人即可；对于C，采用捆绑法，将甲和乙捆绑在一起，再和剩余3人放在一起排队，即可求得结果；对于D，采用插空法，先安排丙、丁、戊3个人，在形成的4个空中，再排甲乙，即可求得结果. 【详解】对于A：甲不能排在最后，则甲有种排法，剩下乙、丙、丁、戊4个人全排有种排法， 所以排队方法有种，故A正确； 对于B：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有种排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有种排法； 则所有的排队方法有种，故B错误； 对于C：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余3人放在一起排队， 则共有种排队方法，故C正确； 对于D：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊3个人，有种排法，在形成的4个空中，再排甲乙，有种排队方法， 故共有种排队方法，故D错误. 故选：AC. 10. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ） A. B. C. 小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D. 【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意一天至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误. 故选：BC. 11. 记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在处的3次泰勒多项式为 D （精确到小数点后两位数字） 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，根据求导公式求导，然后观察规律即可；对于C，按照泰勒多项式直接求解可知；对于D，求出在处的次泰勒多项式，然后计算即可. 【详解】对于A，若，则， ， 所以，A正确； 对于B，若，则， ， 观察可知，B正确； 对于C，的阶导数， 得，C正确； 对于D，记，则， 因为， 所以在处的次泰勒多项式， ，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：对于D选项，关键在于理解次泰勒多项式的定义及作用，求出在处的次泰勒多项式，据此进行估算. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知能够被15整除，其中，则___________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据可得，则要使能够被15整除，只需能够被15整除即可，从而可得出答案. 【详解】解： ， 所以， 因为是的整数倍， 所以能够被15整除， 要使能够被15整除， 只需要能够被15整除即可， 因为， 所以. 故答案为：14. 13. 现有5名大学毕业生去A、B、C三家单位去应聘，若每人至多被一家单位录用，每家单位至少录用其中一人．则不同的录取情况种数是______． 【答案】390 【解析】 【分析】分5个人中有3个人被录用、5个人中有4个人被录用和5个人中有5个人被录用共三种情况，然后利用组合和排列的综合运用求解即可. 【详解】当5个人中有3个人被录用，则不同的录用情况种数是； 当5个人中有4个人被录用，则不同的录用情况种数是； 当5个人中全部被录用，则不同的录用情况种数是； 则不同的录用情况种数共有． 故答案为： 14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，先求出为奇函数，再求导，然后令，求导分析其单调性进而得到的单调性，最后解抽象函数不等式即可. 【详解】令，定义域为， ， 所以为奇函数， 又， 当时，令， 则有， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现为奇函数，并利用导数来分析其单调性. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间与极值． 【答案】（1）； （2）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得切点处切线的斜率，结合切点坐标，可得切线的点斜式方程，整理成一般式方程即可； （2）利用导函数值的正负得到函数的单调区间，并求出极值. 【小问1详解】 ，又， 曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，得. 列表如下 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 的极小值为，无极大值. 16. 已知在展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求展开式中的常数项，并指出是第几项； （2）求展开式中的所有有理项． 【答案】（1），第5项； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，再由二项式展开式通项求解即可； （2）根据展开通项，有理项即，求出依次代入即可得有理项. 【小问1详解】 在的展开式中， 第2项与第3项二项式系数之比是，所以. 所以展开式中的通项公式为， 令，得，所以常数项是第5项，为. 【小问2详解】 由（1）可知，通项公式为， 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故展开式中的所有有理项为：. 17. 2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日-28日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，加强水资源保护，某中学举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下：盒中有5个红球，4个白球，盒中有5个红球，5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得3分，两类问题答错均不得分.每位同学进行二轮比赛. （1）求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率； （2）已知甲同学二轮比赛后得分为4分，乙同学答对第一类问题的概率为，答对第二类问题的概率为，求乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”，“随机抽取两个球，颜色相同”，由全概率计算公式计算即可； （2）由（1）知乙同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为，回答第二类问题的概率，设在一轮比赛中乙同学得分为，分别计算为，，时的概率，乙同学二轮比赛后得分高于甲同学，即乙得分为5或6，求解即可. 【小问1详解】 设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”， 则， “随机抽取两个球，颜色相同”， ，， 由全概率公式得， 所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为； 【小问2详解】 由（1）知乙同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为， 则回答第二类问题的概率为， 设在一轮比赛中乙同学得分为，则的可能取值为，，， 则， ， ， 设二轮比赛后乙得分为， 则， 所以乙同学二轮比赛后得分高于甲同学的概率为. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设且，若存在，使得，试比较与的大小. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数,再分和两种情况讨论判断正负确定单调区间; （2）根据已知设,把二元问题转化为关于的函数,结合单调性得证. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，且. 若，在上恒成立，故在上单调递增； 若，因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意得， ， ， 设，设，则， 所以在上单调递增，所以当时，，即， 又，且，所以，所以，即， 又在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛: 把二元转化为一元，构造新函数，结合导函数性质证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$