精品解析：广东省茂名市茂南区博雅中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试题

2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）． 1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知x>y，则下列不等式不成立的是（ ） A. x+9>y+9 B. x-5<y-5 C. -6x<-6y D. 16x>16y 3. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有两个角直角 B. 有两个角是钝角 C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角，一个角是直角 4. 下列等 式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它坐标变为（ ） A. （﹣2，7） B. （4，﹣1） C. （4，7） D. （﹣2，﹣1） 6. 若关于x的方程：的解为负数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．按下列步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径画圆弧分别交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法不正确的是（　　） A. 是的平分线 B. C. 点D在的中垂线上 D. 8. 如图，函数和的图像交于点P，根据图像可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的三角形纸片中，，沿折叠三角形纸片，使点C落在边上的E点，若此时点D恰好为边靠近点C的三等分点，则下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 26 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义，则的取值范围为______． 12. 如图，在和中，，根据_______（填判定方法的简称）可以知道． 13. 已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是_____． 14. 如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移______个单位． 15. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为______________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 解不等式：；并把不等式的解集在数轴上表示出来． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 18. （1）若多项式因式分解结果为，求m，n的值． （2）通过计算说明能否被98整除． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 20. 对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如，． （1）若，求x取值范围． （2）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 21. 如图，，点是的中点．平分． （1）求证：是的平分线； （2）已知，，求四边形的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）． 22. 实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： （1）分别写出与x之间的关系式： （2）若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ （3）若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 23. 阅读思考并完成下列各个问题： 如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上．求证： （1）小明同学看到题目后，马上想到在等腰直角，中，通过勾股定理可以得到，于是她想通过全等将线段和转化到一个直角三角形中，便连接了，如图2，证明了，得到，并证明了请你写出的三个条件：_______； （2）小华同学又在《资源评价》中看到了这样一道题：如图3，是等腰直角三角形，，，，且的两边分别交斜边于点D和点E．求证：； 小华同学给出了图4的构造方法，证明了上述结论．请你说明小华同学辅助线的作法并给出完整的证明！ （3）小朱同学在课外资料中看到这样一道题：如图5，平面直角坐标系中，等腰直角斜边在x轴上，，，，你能利用（2）中的结论求出点C的坐标吗？若能，请写出求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）． 1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】根据中心对称图形的概念可得：A选项不是中心对称图形． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合解答． 2. 已知x>y，则下列不等式不成立的是（ ） A. x+9>y+9 B. x-5<y-5 C. -6x<-6y D. 16x>16y 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质1，可判断A、B；根据不等式的性质2、3，可判断C、D． 【详解】解：A、不等式的两边都加9，不等号的方向不变，故A成立； B、不等式的两边都减5，不等号的方向不变，故B不成立； C、不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故C成立； D、不等式的两条边都乘以正数，不等号的方向不变，故D成立； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有两个角是直角 B. 有两个角是钝角 C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角，一个角是直角 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断． 解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A． 点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4. 下列等 式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可直接进行排除选项． 【详解】A、，不是因式分解，故不符合题意； B、，属于整式的乘除，故不符合题意； C、是因式分解，故符合题意； D、不属于因式分解，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解的概念，正确理解因式分解的概念是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），将点A向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位，则它的坐标变为（ ） A. （﹣2，7） B. （4，﹣1） C. （4，7） D. （﹣2，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据向左边平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可． 【详解】解：∵点A（1，3）先向左平移3个单位后，再将它向上平移4个单位， ∴平移后的点的横坐标是1-3=-2， 纵坐标是3+4=7， ∴坐标变为（-2，7）． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6. 若关于x的方程：的解为负数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得到，再根据方程的解为负数列出关于m的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于x的方程：的解为负数， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，．按下列步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径画圆弧分别交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法不正确的是（　　） A. 是的平分线 B. C. 点D在的中垂线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作角平分线、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，先求得，先根据作图痕迹得到是的平分线，再根据等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形的性质得到，，进而根据线段垂直平分线的判定可得点D在的中垂线上，进而可逐项判定可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得是的平分线，故A正确，不符合题意； 则， ∴，，即点D在的中垂线上， ∴选项B、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 8. 如图，函数和的图像交于点P，根据图像可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知不等式的解集即为的图像在的图像上方的部分． 【详解】解：∵函数和的图像交于点， ∴不等式的解集即为的图像在的图像上方的部分， ∴不等式的解集是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，根据图像解不等式是解本题的关键． 9. 在如图所示的三角形纸片中，，沿折叠三角形纸片，使点C落在边上的E点，若此时点D恰好为边靠近点C的三等分点，则下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠可得：，，由点D恰好为BC边靠近点C三等分点，得，则，取中点F， 连接，证明是等边三角形，得，所以，可判定①正确；从而求得，继而求得，所以，即可由判定，即可判定②正确；由全等三角形的性质得，再根据等腰三角形三线合一性质得出DE垂直平分AB，可判定③正确；由含30度的直角三角形的性质得，再利用勾股定理得，即可由三角形面积公式求得，可判定④错误． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴ ∵点D恰好为BC边靠近点C的三等分点， ∴， ∴， 取中点F， 连接，如图， ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故①正确； ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴ ∵ ∴ ∴DE垂直平分AB，故③正确； ∵，， ∴， 由勾股定理，得， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质．此题属三角形折叠问题，综合性较强，属中考压轴题． 10. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出得到，再由平移的性质得到，则可证明，据此列式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使式子有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则，即． 故答案为： 12. 如图，在和中，，根据_______（填判定方法的简称）可以知道． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据已知条件利用即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是_____． 【答案】42． 【解析】 【分析】将所求式子因式分解，然后将x+y=6，xy=7代入，即可解答本题． 【详解】解：∵x+y＝6，xy＝7， ∴x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝7×6 ＝42， 故答案为：42． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答． 14. 如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移______个单位． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查关于y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意得到灯A和灯C关于y轴对称，求出点A关于y轴对称的点的坐标为，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称， ∴灯A和灯C关于y轴对称， ∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为 ∴ ∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度． 故答案为：7． 15. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作，垂足为D，证明△ ACD为等腰直角三角形，设CD= AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可． 【详解】解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B 令，则；令，则 则A（，0），B（0，） 则△OAB为等腰直角三角形， 过点C作，垂足为D △ ACD为等腰直角三角形，设CD= AD=x 由旋转性质可知 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 解不等式：；并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，坐标与图形变化——平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）依据点的坐标为，即可画出平移后的； （2）依据绕点O按顺时针方向旋转，即可得到； （3）两对对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心的位置． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 如图所示； 【小问3详解】 如图，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为． 18. （1）若多项式因式分解的结果为，求m，n的值． （2）通过计算说明能否被98整除． 【答案】（1）；（2）能被98整除，计算说明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解和已知因式分解的结果求参数，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可得到答案； （2）把式子先提取公因数99，再利用平方差公式分解因式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴； （2） ， ∴能被98整除． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质等知识，根据题意分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置；②，此时，、重合．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，分类讨论是解决问题的关键． 详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： ①当运动到时， ， 在与中， ，即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， ，即， 当点与点重合时，才能和全等， 综上所述，当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等． 20. 对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如，． （1）若，求x的取值范围． （2）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，即为，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 21. 如图，，点是的中点．平分． （1）求证：是的平分线； （2）已知，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据中点定义得出，从而得出，即可证明结论； （2）证明，得出，，证明，得出，，求出，根据，得出即可求解． 【小问1详解】 证明：过点作于点， ，平分， ， 点是的中点， ， ， 又，， 平分； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ，， ， ，， ，即， ， ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）． 22. 实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： （1）分别写出与x之间的关系式： （2）若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ （3）若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 【答案】（1）在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 （2）见解析 （3）在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据优惠方案，分别列出函数关系式即可； （2）分，和三种情况，进行求解即可； （3）分去A超市，B超市，以及去B超市买球拍，A超市买羽毛球，三种方案，分别求出费用，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， ； ∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得， ∴时，去A超市买更划算； 当时，即， 解得， ∴时，去A、B超市买花费一样多； 当时，即， 解得， ∴时，去B超市买更划算； 【小问3详解】 解：如果选择A超市，那么总费用为：（元）， 如果选择B超市，那么总费用为：（元）， 如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元）， ∵， ∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱． 23. 阅读思考并完成下列各个问题： 如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上．求证： （1）小明同学看到题目后，马上想到在等腰直角，中，通过勾股定理可以得到，于是她想通过全等将线段和转化到一个直角三角形中，便连接了，如图2，证明了，得到，并证明了请你写出的三个条件：_______； （2）小华同学又在《资源评价》中看到了这样一道题：如图3，是等腰直角三角形，，，，且的两边分别交斜边于点D和点E．求证：； 小华同学给出了图4的构造方法，证明了上述结论．请你说明小华同学辅助线的作法并给出完整的证明！ （3）小朱同学在课外资料中看到这样一道题：如图5，平面直角坐标系中，等腰直角的斜边在x轴上，，，，你能利用（2）中的结论求出点C的坐标吗？若能，请写出求解过程． 【答案】（1），； （2）见解析 （3），过程见解析 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和坐标与图形等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）根据和都是等腰直角三角形，，，进而求得，利用即可证明； （2）过作，使，连，，证明，进而证明，即可得解； （3）过作，使，连，，过作于，先证明，进而求证，进而求出的长以及点坐标，进而得出线段的长，即可得解． 【小问1详解】 解：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， 又，， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：如图所示，过作，使，连，， ， ， ∴， 又， ， ，， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，过作，使，连，，过作于， ， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在x正半轴上， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$