8.6.3平面与平面垂直（第一课时）教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 (第一课时) 教案 一、教材分析 “平面与平面垂直 (第一课时) ”主要内容是二面角的概念、平面与平面垂直的定义及判定定理。它是在学生学习了直线与直线垂直、直线与平面垂直的基础上进行的深入探究,是空间几何中位置关系研究的重要组成部分。二面角的概念是刻画两个平面相交位置关系的关键,平面与平面垂直的判定定理则为证明平面间垂直关系提供了重要依据。通过本节课的学习,有助于学生进一步完善空间几何知识体系,提升空间想象能力、逻辑推理能力,为后续学习平面与平面垂直的性质以及解决复杂的立体几何问题奠定基础。 二、学情分析 学生在之前已经学习了空间中直线与直线、直线与平面的位置关系,对垂直关系有了一定的认识, 具备了一定的空间观念和逻辑推理能力。然而, 二面角的概念较为抽象, 学生理解起来可能存在困难, 尤其是二面角的平面角的定义及如何在具体图形中找出二面角的平面角,对学生的空间想象能力提出了较高要求。在理解平面与平面垂直的判定定理时,学生可能难以从实际问题中抽象出定理的条件,在应用定理进行证明时, 也可能出现逻辑不严谨的情况。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑,教师可引导学生通过观察、实验、分析等方法,逐步掌握本节课的内容。 三、教学目标 (基于数学核心素养) 1. 数学抽象素养:从生活实例中抽象出二面角、平面与平面垂直的概念, 理解其本质特征,提升从具体到抽象的思维能力。 2. 逻辑推理素养:掌握平面与平面垂直的判定定理,能够运用定理进行严谨的逻辑推理,证明平面与平面垂直的相关结论,培养逻辑思维能力。 3. 直观想象素养:通过观察实物、模型和图形,直观感知二面角的大小和平面与平面垂直的形象,能在脑海中构建出相关的空间图形,提升空间想象能力。 4. 数学运算素养:在求二面角的大小时,涉及到角度的计算,通过练习提高学生的运算能力,确保计算的准确性和规范性。 四、教学重难点 1. 重点:二面角的概念、平面与平面垂直的定义和判定定理,掌握求二面角大小和证明平面与平面垂直的方法。 2. 难点: 二面角平面角的定义及确定方法, 理解平面与平面垂直判定定理的证明思路,以及在具体问题中准确运用判定定理。 五、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 六、教学过程 (40 分钟) (一) 复习回顾 (5 分钟) 1. 提问学生 “异面直线所成的角”的定义,引导学生回顾: 直线 、 是异面直线, 经过空间任意一点 ,分别引直线 ,把相交直线 和 所成的锐角 (或直角)叫做异面直线所成的角,其范围是 。通过图形辅助,让学生直观回忆概念。 2. 提问“直线和平面所成的角”的定义, 学生回答: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,范围是 。再次强调定义中的关键要素, 如斜线、射影等。 (二) 新知探究 (12分钟) 1. 二面角的概念 (4 分钟): 展示铁路公路旁的护坡斜面、水坝等图片, 引导学生从数学角度思考这些现象中平面与平面的夹角问题, 引出二面角的概念。讲解半平面的定义: 平面内的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分都叫做半平面。接着给出二面角的定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面。通过图形展示,让学生明确二面角的构成要素,并介绍二面角的画法和记法,如平卧式: 二面角 ; 直立式: 二面角 。 2. 二面角的平面角 (4 分钟): 提出问题: 常说“把门开大些”,是指哪个角开大一些,应该怎么刻画二面角的大小? 引出二面角的平面角的定义: 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。通过图形详细讲解二面角的平面角必须满足的三个条件:角的顶点在棱上；角的两边分别在两个面内；角的边都要垂直于二面角的棱。引导学生思考二面角的平面角大小与点 在棱上的位置关系,利用等角定理得出二面角的平面角大小与点 在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关。讲解二面角的度量方法: 二面角是用它的平面角来度量的, 一个二面角的平面角多大, 就说这个二面角是多少度的二面角,并说明二面角的范围是 ,介绍特殊的二面角,如两个面重合时为 , 两个面合成一个平面时为 ,平面角是直角的二面角叫直二面角。 3. 平面与平面垂直的定义和判定定理 (4 分钟): 展示教室相邻墙面与地面的图片, 引导学生观察并指出其中的二面角, 引出平面与平面垂直的定义: 一般地, 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作 。提出问题:建筑工人砌墙时,如何使所砌的墙和水平面垂直？引导学生思考得出平面与平面垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直。用图形和符号语言表示定理: ,强调 “线面垂直” 是 “面面垂直” 的关键条件, 体现线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系。 (三) 例题讲解 (12分钟) 1. 例 1 讲解 ( 6 分钟 ) : 例 1: 在正方体 中,求证: 平面 平面 。 引导学生分析证明思路: 因为 是正方体,所以 平面 ,根据线面垂直的性质可得 。 又因为正方体中 ,且 。 根据直线与平面垂直的判定定理,可知 平面 。 再由平面与平面垂直的判定定理,因为 平面 ,所以平面 平面 。 详细书写证明过程,强调证明过程的逻辑性和规范性,让学生理解如何运用判定定理证明平面与平面垂直。 2. 例 2 讲解 ( 6 分钟 ) : 例 2: 是圆 的直径, 垂直于 所在的平面, 是圆周上不同于 的任意一点,求证: 平面 平面 。 引导学生思考: 因为 平面 平面 ,所以 。 由于 为圆的直径,根据圆的性质, 。 又 平面 平面 ,所以 平面 。 而 平面 ,根据平面与平面垂直的判定定理,可得平面 平面 。 强调在证明过程中如何挖掘题目中的隐含条件(如圆的直径所对圆周角为直角), 以及定理的准确应用。 (四)练习巩固(8 分钟) 1. 布置练习题: （1）.在正方体 中,求二面角 的平面角的度数。引导学生根据二面角平面角的定义,找出 ,所以 即为二面角 的平面角。又因为 ,且 ,所以 。 （2）.棱柱 的侧面 是菱形, ,证明: 平面 平面 。 引导学生分析: 因为 是菱形,所以 ,又 ,且 ,根据直线与平面垂直的判定定理,可得 平面 。又因为 平面 ,所以平面 平面 。 2. 让学生独立完成练习, 教师巡视, 对学生的解题过程进行指导, 纠正错误, 强化对二面角的计算和平面与平面垂直判定定理的应用能力。针对学生在找二面角的平面角和证明过程中出现的问题,如平面角找不准、证明步骤不完整等,及时给予指导和反馈。 (五)课堂小结(2分钟) 1. 请学生回顾本节课所学内容,包括二面角的概念、二面角平面角的定义及范围、平面与平面垂直的定义和判定定理,以及证明平面与平面垂直的方法。 2. 教师进行补充和完善,强调重点知识, 帮助学生构建知识体系, 梳理各知识点之间的联系,明确本节课的核心内容和学习要点。 (六) 布置作业 (1 分钟) 1. 必做题: 完成教材 练习 4,通过作业巩固二面角的概念和平面与平面垂直判定定理的应用, 提高学生运用知识解决问题的能力。 2. 选做题:思考在三棱锥中,如何确定三个侧面两两垂直时的条件；预习平面与平面垂直的性质, 思考平面与平面垂直后会有哪些性质。 七、教学反思 在教学过程中,要充分利用生活实例和几何模型,帮助学生直观理解抽象的概念和定理。在讲解二面角的平面角和平面与平面垂直的判定定理时, 注重引导学生的思考过程, 培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。练习环节要关注学生的解题情况, 及时发现学生在应用知识时出现的问题, 如概念理解不清、定理运用错误等, 并给予针对性的指导。根据学生的学习情况, 灵活调整教学策略, 如增加一些拓展性的练习或补充更多的实例,帮助学生更好地掌握本节课的知识,提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$