精品解析：2025年河南省许昌市九年级数学第一次中招模拟考试试卷

XCS2025年第一次中招模拟考试试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 中国提出的“一带一路”倡议将有力推动我国与世界各国深化互利共赢合作．根据规划文件，“一带一路”倡议沿线国家和地区涉及总人口逾45亿人，数据45亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A. 10° B. 20° C. 50° D. 70° 6. 商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ） A. /包 B. /包 C. /包 D. /包 7. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 9. 如图，在中，，分别是，的中点，与交于点．若，则（ ） A. 4.5 B. 4 C. 3.5 D. 3 10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：）的函数关系式为．则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 在一定范围内，随的增大而减小 C. 当托盘上货物的质量为时， D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个小于的正无理数__________． 12. “闻听三国事，每欲到许昌”，作为三国历史文化名城，“春秋楼”“曹丞相府”“灞陵公园”是许昌市三个有代表性的旅游景点．周末，小明和小亮同学计划从这三个景点中随机选择一个景点游览，则他们选择的景点相同的概率是________． 13. 已知函数，当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在轴的正半轴上．以点为圆心，长为半径画弧．则阴影部分的面积为___________． 15. 如图，在中，，点D为斜边上一动点，点B关于直线对称点为点E，连接，，当时，的值为________． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 2024年起，许昌市各中小学校全面推行餐厅管理新模式，切实保障师生舌尖上的健康．某校餐厅计划从A、B两家食材配送公司中择优合作．根据调研，不同配送公司在食材品质、服务质量、配送速度、成本控制等方面各具优势．为此，该校从A、B两家公司收集了10次食材配送的相关数据，整理描述如下： ①食材品质得分统计图（满分10分） ②服务质量得分（满分10分，得分越高表示服务质量越好） A公司 6 6 7 8 8 9 9 9 9 9 B公司 5 5 6 7 8 8 9 9 10 10 ③食材品质和服务质量得分统计表 食材品质 服务质量 平均数 方差 平均数 中位数 A公司 7 8 a B公司 7 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________；________（填“”，“”或“”）． （2）综合上表中的统计量，你认为该校应选择哪家公司配送食材？请说明理由． （3）为了从A、B两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 18. 如图，是等腰直角三角形，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．求证：． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B． （1）求和的值； （2）根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 20. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示； （2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，） 21. 在农作物不同生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表： 原料 氮（N）含量 （千克/吨） 磷（P）含量 （千克/吨） 钾（K）含量 （千克/吨） 成本 （元/吨） 原料A 20 40 30 600 原料B 50 10 40 800 （1）小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？ （2）4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案． 22. U型池是一种专为滑板运动设计的U型滑道，连续的U型池滑道挑战不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换，脱离滑道起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）某次挑战时，滑手小文从滑道①转换到滑道②，测得他的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 7 竖直高度y/m 3.0 4.8 5.4 4.8 4.1 根据上述数据，直接写出小文竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； （2）若滑手着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则滑手成功完成转换．已知滑道②与滑道①同等高度，距离7.8m，那么在（1）的情况下，请通过计算说明小文能否转换成功？ 23. 课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ XCS2025年第一次中招模拟考试试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 中国提出的“一带一路”倡议将有力推动我国与世界各国深化互利共赢合作．根据规划文件，“一带一路”倡议沿线国家和地区涉及总人口逾45亿人，数据45亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将45亿写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：45亿． 故选B． 3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可． 【详解】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A. 10° B. 20° C. 50° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数. 【详解】解：∵要使木条a与b平行， ∴∠1=∠2， ∴当∠1需变为50 º， ∴木条a至少旋转：70º-50º=20º. 故选B. 【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角. 6. 商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ） A. /包 B. /包 C. /包 D. /包 【答案】A 【解析】 【分析】选择人数最多的包装是最合适的． 【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多， ∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适． 故选：A． 【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可． 7. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)， ∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度， ∴A到D也应向右移动4个单位长度， ∵点A的坐标为(0，1)， 则点D的坐标为(4，1)， 故选:C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 8. m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据数轴确定，再由根的判别式得到，即可确定符号． 【详解】解：由数轴得， ∵关于x一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：C． 9. 如图，在中，，分别是，的中点，与交于点．若，则（ ） A. 4.5 B. 4 C. 3.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的重心的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴点G是△ABC的重心， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，解题的关键是熟练掌握重心的性质进行解题． 10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：）的函数关系式为．则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 在一定范围内，随的增大而减小 C. 当托盘上货物的质量为时， D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的函数值，函数图象的识别． 根据所给函数图像即可判断选项A、B，再求出当时，观察图像即可判断选项C，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项B说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图像可知当时，在和之间， 故选项C说法错误，符合题意； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个小于的正无理数__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． ∴写出一个小于的正无理数为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. “闻听三国事，每欲到许昌”，作为三国历史文化名城，“春秋楼”“曹丞相府”“灞陵公园”是许昌市三个有代表性的旅游景点．周末，小明和小亮同学计划从这三个景点中随机选择一个景点游览，则他们选择的景点相同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意正确列表或画出树状图成为解题的关键． 先根据题意列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的景点相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“春秋楼”“曹丞相府”“灞陵公园”三个景点分别用A、B、C表示，列表如下： A B C A （A,A） （A,B） （A,C） B （B,A） （B,B） （B,C） C （C,A） （C,B） （C,C） 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中他们选择的景点相同的结果数有3种， ∴他们选择的景点相同的概率为． 故答案为：． 13. 已知函数，当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧随的增大而增大，在对称轴的左侧随的增大而减小是解题的关键． 根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 又 ∵对称轴， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在轴的正半轴上．以点为圆心，长为半径画弧．则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题先从点A的坐标入手得出等腰直角三角形，由旋转的性质可得旋转角，再由勾股定理求出线段的长度，最后根据面积公式求解即可．本题考查了直角坐标系中点的坐标，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积以及扇形的面积等，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵， ∴，，， ∴， 由旋转性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： ． 15. 如图，在中，，点D为斜边上一动点，点B关于直线的对称点为点E，连接，，当时，的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】该题考查了轴对称，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，分为①如图，当点D在斜边的中点时，②如图，当点E在斜边上时，分别求解即可． 【详解】解：①如图，当点D在斜边的中点时， 根据轴对称可得， ∵在中，， ∴，， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，符合题意， 此时； ②如图，当点E在斜边上时， 则， 设， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，符合题意， 此时； 故答案为：或． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘方、绝对值、算术平方根进行计算即可； （2）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可． 【详解】（1） （2）原式 17. 2024年起，许昌市各中小学校全面推行餐厅管理新模式，切实保障师生舌尖上的健康．某校餐厅计划从A、B两家食材配送公司中择优合作．根据调研，不同配送公司在食材品质、服务质量、配送速度、成本控制等方面各具优势．为此，该校从A、B两家公司收集了10次食材配送的相关数据，整理描述如下： ①食材品质得分统计图（满分10分） ②服务质量得分（满分10分，得分越高表示服务质量越好） A公司 6 6 7 8 8 9 9 9 9 9 B公司 5 5 6 7 8 8 9 9 10 10 ③食材品质和服务质量得分统计表 食材品质 服务质量 平均数 方差 平均数 中位数 A公司 7 8 a B公司 7 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________；________（填“”，“”或“”）． （2）综合上表中的统计量，你认为该校应选择哪家公司配送食材？请说明理由． （3）为了从A、B两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】（1）， （2）应选择A公司，见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、方差、中位数、平均数等知识点，从图表中获取所需信息成为解题的关键． （1）根据中位数的定义以及方差的意义即可解答； （2）根据平均数、方差、中位数进行分析即可解答． （3）根据实际生活分析即可解答． 【小问1详解】 解：将A公司的服务质量得分从小到大排列为：6，6，7，8，8，9，9，9，9，9，处于中间的两个数为8和9，则中位数：． 由食材品质得分统计图可知：B公司得分波动大于A公司得分，即． 故答案为：8．5，． 【小问2详解】 解：应选择A公司，理由如下∶ 服务质纸平均得分A和B的得分相不大，价材品质得分A和B的平均数相同，但是A的方差小于B的方差，说明A的食材品质更稳定，所以应选择A公司． 【小问3详解】 解：对于食材配送，还应收集A、B两家公司的配送价格情况．(答案不唯一) 18. 如图，等腰直角三角形，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作角平分线，三角形全等的判定，解题的关键是掌握用尺规基本作图的步骤． （1）利用基本尺规作图作角平分线即可； （2）证明解题即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 证明：如图， 是等腰直角三角形， ，， 又． ． ． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B． （1）求和的值； （2）根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． （1）求出B点坐标，再利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C点坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式； （3）利用A点坐标结合函数图象得出x的取值范围． 【小问1详解】 解：连接， ∵与x轴，y轴相切于点D，B， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 当时，， ∴点坐标是 ∴， ∴ 把代入得到，则， ∴ 把代入得到，， 解得， ∴ ∴， 解得， ∴， 【小问2详解】 由图象可知，当时，，即当时，x的取值范围为． 20. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示； （2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键． （1）根据题意过点O向下的箭头延长与过点P的水平延长线相交，再利用互余关系即可解答； （2）设，则，得到，在中， ，得到，解方程即可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意知中，，则，即． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即， 解得：， ∴． 答：气球A离地面的高度是． 21. 在农作物不同的生长阶段运用科技手段实现精准施肥，可以提高产量和质量．某农场为种植小麦需要配制复合肥料．小麦在生长过程中需要大量的氮（N）促进叶片生长，适量的磷（P）促进根系发育，以及足够的钾（K）提高果实品质．农场有两种原料可供使用，其氮、磷、钾含量及成本如下表： 原料 氮（N）含量 （千克/吨） 磷（P）含量 （千克/吨） 钾（K）含量 （千克/吨） 成本 （元/吨） 原料A 20 40 30 600 原料B 50 10 40 800 （1）在小麦播种前农场根据土壤检测结果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A，B两种原料各多少吨？ （2）4月份，小麦进入拔节期，农场根据小麦长势和底肥用量计划配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的，且含有不少于100千克钾，请设计出成本最低的配制方案． 【答案】（1）使用种原料2吨，种原料4吨 （2）使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式求解是关键． （1）设使用种原料吨，种原料吨，由数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设使用种原料吨，则种原料吨，列不等式得，解得，设总成本为元，则，根据一次函数求最值的方法计算即可求解． 【小问1详解】 解：设使用种原料吨，种原料吨， 根据题意得， 解得， 答：使用种原料2吨，种原料4吨． 【小问2详解】 解：追肥用量是底肥用量的， 追肥用量为（吨）， 设使用种原料吨，则种原料吨， 要求肥料中含有不少于100千克钾， ， 解得， 设总成本为元，则， ， 随的增大而减小， 当时，最小， ， 答：使用种原料2吨，种原枓1吨配制追肥，成本最低． 22. U型池是一种专为滑板运动设计的U型滑道，连续的U型池滑道挑战不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换，脱离滑道起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）某次挑战时，滑手小文从滑道①转换到滑道②，测得他的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 7 竖直高度y/m 3.0 4.8 5.4 4.8 4.1 根据上述数据，直接写出小文竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； （2）若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则滑手成功完成转换．已知滑道②与滑道①同等高度，距离7.8m，那么在（1）的情况下，请通过计算说明小文能否转换成功？ 【答案】（1）5.4m， （2）小文能成功转换 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意直接写出小文竖直高度的最大值，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当时，，解方程比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：小文竖直高度的最大值为：5.4m， 由表格知抛物线的顶点坐标 则：， 又因为抛物线过点 则 解得： 所以函数关系为： 【小问2详解】 当时， 解得，（舍去） 因为 所以小文能成功转换． 23. 课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析（3）的长为2或3 【解析】 【分析】此题四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取点，使，连接，由（1）同理可得，得出，设，则，，可得出答案； （3）过点作，交于点，证明，得出，设，则，，解方程可得出答案． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ， 、分别是和的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）． 理由：在上取点，使，连接， 由（1）同理可得， ， ， ， ， 设， 则，， ， ； 即． （3）如图所示，过点作，交于点， 四边形是菱形，， ，，，，，， ，，， 是角平分线， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 可得， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上， 如图所示， ； 综上所述，的长为2或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $