精品解析：陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年八年级下学期第二次质量检测数学试卷A

咸阳市实验中学2024—2025学年第二学期第二次质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ） A 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列商标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( ) A. 2ab(a-b)=2a2b-2ab2 B. x2+1=x(x+) C. x2-4x+3=(x-2)2-1 D. a2-b2=(a+b)(a-b) 4. 如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（ ） A 10 B. 9 C. 6 D. 5 5. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知关于x的不等式2x+m＞-5的解集是x＞-3，那么m的值是（　　） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 7. 已知的三边，，满足，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 平面直角坐标系中，与点P（5，－2）关于原点对称的点的坐标为________． 10. 若式子有意义，则的取值范围是____． 11. 一块矩形场地，长为101米，宽为70米，从中留出如图所示的宽为1米的小道，其余部分种草，则草坪的面积为______m2． 12. 已知，，则_________. 13. 如图，在矩形中，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，交于点，且，则长为 ____________． 三、解答题（共13小题，计81分） 14. 把下列各式分解因式 （1） （2）． 15. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 16. 如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足，的周长为16，求的长． 17. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出绕点A逆时针旋转的； （2）再作出关于原点O成中心对称的； （3）的坐标为 ，的坐标为 ，点的坐标为 ． 18. 如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）当x______时， ； （2）观察图像，请直接写出关于x、y的方程组的解为______； （3）分别求出直线、函数表达式. 19. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值． 20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． （1）求原来的二次三项式； （2）将（1）中的二次三项式分解因式． 21. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 22. 若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 23. 在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．根据这个规则，解决下列问题． （1）___________． （2）解不等式：． （3）求不等式的最大整数解． 24 （1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（　 　）+x（　 　）=（　 　）2 ②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=　 　 ③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=　 　 （2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果：　 　． （3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=　 　． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； （3）观察图象，不等式组的解集是_______． 26. 如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长； （3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 咸阳市实验中学2024—2025学年第二学期第二次质量检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】依据不等式的定义进行判断．用“或“”或“”或“”或“”表示不相等关系的式子，叫做不等式． 【详解】解：①，属于不等式； ②，属于不等式； ③，属于不等式； ④属于代数式，不是不等式； ⑤属于方程，不是不等式； ⑥，属于不等式． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解答此类题关键是要识别常见不等号：． 2. 下列商标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】解：A、不中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选不项符合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( ) A. 2ab(a-b)=2a2b-2ab2 B. x2+1=x(x+) C. x2-4x+3=(x-2)2-1 D. a2-b2=(a+b)(a-b) 【答案】D 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形. 【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算 B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0 C.不是因式分解，原式＝(x－3)(x－1) D.是因式分解.故选D. 故答案为D. 【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法. 4. 如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算和的面积，再根据等腰三角形的面积直接可求出的值． 【详解】解：连接， 由题可知：， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分割法求面积，再利用等面积转化是解决问本题的关键． 5. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出顶角的大小． 【详解】解：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， 等腰三角形的顶角度数为或， 故选：C． 6. 已知关于x的不等式2x+m＞-5的解集是x＞-3，那么m的值是（　　） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】首先求解一元一次不等式，再结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】∵2x+m＞-5 ∴ ∵不等式2x+m＞-5的解集是x＞-3 ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 7. 已知的三边，，满足，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先证明，进而得出，即可判断的形状． 【详解】解：∵的三边，，， ∴， ∵， ∴， ， a、b、c是的三边， ， ， 的形状为等腰三角形， 故选：C． 8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 平面直角坐标系中，与点P（5，－2）关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】（－5，2） 【解析】 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】解：点P（5，－2）关于原点对称的点的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确记忆横纵坐标的符号是解题的关键． 10. 若式子有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，解决本题的关键是根据二次根式有意义的条件得到关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 系数化为可得：． 故答案为： ． 11. 一块矩形场地，长为101米，宽为70米，从中留出如图所示的宽为1米的小道，其余部分种草，则草坪的面积为______m2． 【答案】6900． 【解析】 【分析】直接利用平移的性质，将小道平移到矩形场地周围进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 草坪的面积为：（101﹣1）×（70﹣1）=6900（m2）． 故答案为6900． 【点睛】本题考查生活中的平移现象． 12. 已知，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式结合已知条件得出，将代数式因式分解进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，交于点，且，则的长为 ____________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形， ， 在中，， ， 解得：， 长为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分） 14. 把下列各式分解因式 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解； （2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 15. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16. 如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足，的周长为16，求的长． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，，根据已知条件可得，然后利用线段的和差关系及等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵、分别为、的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为16， ∴， ∴． 17. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出绕点A逆时针旋转的； （2）再作出关于原点O成中心对称； （3）的坐标为 ，的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3），，． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据中心对称图形的性质即可得到结论； （3）根据图形写出各点的坐标即可． 【小问1详解】 如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示即为所求． 【小问3详解】 由图可知： ，，． 故答案为：，， 【点睛】本题考查作图——旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）当x______时， ； （2）观察图像，请直接写出关于x、y的方程组的解为______； （3）分别求出直线、的函数表达式. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由一次函数与一元一次不等式的关系即可求解； （2）由一次函数与二元一次方程组的关系即可求解； （3）由待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知： 当时，的函数图象在的函数图象上方 故当时， 【小问2详解】 解：由图象可知： 的函数图象与的函数图象的交点坐标为 故方程组的解为 【小问3详解】 解：将点代入得： ，解得： 将点代入： ，解得： 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组的关系，用待定系数法求一次函数解析式．掌握相关结论是解题关键． 19. 若关于x、y二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值． 【答案】1、2、3． 【解析】 【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可． 【详解】解：， ①+②得：3（x+y）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2， ∵x+y，∴﹣m+2＞﹣， 解得：m＜， 则满足条件m的正整数值为1，2，3． 20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． （1）求原来的二次三项式； （2）将（1）中的二次三项式分解因式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和分解因式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和几种常见的分解因式的方法． （1）先根据多项式乘多项式法则计算和，再根据两个同学的计算结果，确定原多项式即可； （2）根据（1）中所求原多项式，利用十字相乘法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴原来的二次三项式为：； 【小问2详解】 解：． 21. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 22. 若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据有三个整数解列不等式组求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又不等式组有三个整数解， ∴不等式组的整数解为， ， 解得：． 实数a取值范围为． 23. 在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．根据这个规则，解决下列问题． （1）___________． （2）解不等式：． （3）求不等式的最大整数解． 【答案】（1） （2） （3）不等式的最大整数解是： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出式子计算即可； （2）根据所给的运算列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵新定义， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵新定义， ∴为：， 解得：． 【小问3详解】 解：∵新定义， ∴不等式为：， 解得： ∴不等式的最大整数解为：． 24. （1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（　 　）+x（　 　）=（　 　）2 ②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=　 　 ③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=　 　 （2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果：　 　． （3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）=　 　． 【答案】（1）①（1+x），（1+x），（1+x）；②（1+x）3；③（1+x）4；（2）（1+x）2018；（3）1-x4n 【解析】 【分析】（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）2 ②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=1+x）3 ③1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=1+x）4 看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出： （2）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+ x（1+x）2017=（1+x）2018． （3）根据平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2； ②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3； ③1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4； 看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出： （2）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018； （3）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n） =（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n） =（1-x4）（1+x4）…（1+x2n） =1-x4n. 【点睛】本题考查对分解因式的掌握情况，关键是根据提公因式分解解答． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； （3）观察图象，不等式组的解集是_______． 【答案】（1）， （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）先求解，设，再结合的面积为6，建立方程求解即可； （3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ， ， 即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：当，则， ∴， 设，且的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：由图象可得不等式组的解集为：． 26. 如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长； （3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，证明△CDG≌△CEH，可得结论； （2）由（1）可得DG＝HE，设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理求出OH，则OD＋OE＝2OH＝； （3）过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，可得∠CDG＝∠CEO，证明△CDG≌△CEH，可得DG＝HE，求出OH＝，CH＝，根据S四边形OECD＝2S△OCG可求出答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB， ∴CG＝CH ∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDG+∠CDO＝180°， ∴∠CDG＝∠CEO， 在△CDG与△CEH中 ， ∴△CDG≌△CEH（AAS）， ∴CD＝CE； （2）解：由（1）得△CDG≌△CEH， ∴DG＝HE， ∵ ∴△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH， ∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH， 设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得： OH2+CH2＝OC2 ∴x2+x2＝32 ∴（舍负） ∴OH＝ ∴OD+OE＝2OH＝； （3）解：如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB， ∴CG＝CH， ∵∠AOB＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDG+∠CDO＝180°， ∴∠CDG＝∠CEO， 在△CDG与△CEH中 ， ∴△CDG≌△CEH（AAS）， ∴DG＝HE， ∵OC平分∠AOB，CG⊥OA， CH⊥OB ∴△OCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG＝OH， ∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH， ∴S四边形OECD＝S四边形OHCG＝2S△OCG 在Rt△OCH中，有∠COH＝60°，OC＝3， ∴OH＝，CH＝ ∴， ∴S四边形OECD＝2S△OCG＝． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$