重庆市部分中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

重庆高二数学考试 参考答案 1.A不同的取法有3+1十4=8种. 2.A (x-) 展开式的通项T1=Cx-(-广,当r=2时,T,=C x(-)}=15. 3.B甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排,甲和乙相邻的情况有AA=48种, 甲和乙相邻,丙和丁也相邻的情况有AAA=24种,所以在甲和乙相邻的条件下,丙和丁也 241 相邻的概率为8一2 4C设y=fu)6+1,所以了)=子,所以0-40 f(10) =4- 2 5.B现从该厂的产品任取1件,则抽到不合格品的概率P=40% 0.03+40% 0.02+20% 0.01=0.022. 6.D由题可知y'=2f(x)f'(x)≥0,由图可知当x∈(-∞,1]时,f'(x)≥0,当x∈[1, +∞),f'(x)≤0,所以2f(x)f'(x)≥0的解集为[0,1]U[3,十∞). 7.D对1,4,5染色,有A种方法.若1和3同色,则不同的染色方法有3A=72种; 若1和3不同色,则不同的染色方法有2X2A=96种 综上,不同的染色方法有168种, 8.A当0<x<2时,cosx>0,则由f(x)+f(x)tanx>0,得f(z)cosx+f'(x)sinx>0, 当2<x<元时,cosx<0,则由f(x)+f(x)tanx>0,得f(x)cosx+f'(x)sinx<0, 令g(x)=f(x)sinx,则g(x)=f(x)cosx+f(x)sinx, 所以g(x)在(0,)上单调递增,在(乏,)上单调递减, 又f(x)是奇函数,所以g(x)=f(x)sinx是偶函数, 故g()>g()=g(-),即2f()+f(-)>0,g(T)<g(), 即巨f()-3()<0.g(),g(),g()的大小关系不确定。 9.ABD由离散型随机变量的性质可得4+2g十g=1,解得g=是,则E(X)=-1 4+0 2+1 4=0,D(X)=4 (-1-02+号 0-0)2+4 1-02=2 【高二数学 参考答案第1页(共5页)】 E(2X-1)=2E(X)-1=-1,D(2X-1)=4D(X)=2.故选ABD, 10.ACD对于A,不同的使用法宝的方法有(C)3=213种,A正确; 对于B,不同的使用法宝的方法有 CCA=-3CCC种,B错误: A好 对于C,不同的使用法宝的方法有AA:种,C正确; 对于D,不同的使用法宝的方法有是=A州种,D正瑰 11.ADf'(x)=1+lnx,令f'(x)=0,解得x=。,则f(x)在(0,。)上单调递减,在(日, 十∞)上单调递增,故f(x)m=f(日)=-是,A正确; f'(e)=2,f(e)=e,故函数f(x)的图象在点(e,f(e)处的切线方程是y一e=2(x一e),即 y=2x-e,B错误; 令g(x)=xlnx-(2x-e),则g'(x)=lnx-l,则g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+o∞) 上单调递增,故g(x)≥g(e)=0,当且仅当x=e时,等号成立,故xlnx≥2x-e,令x=3, 则3n3>6-e,故1n3+号>2,C错误, y=a(x一1)恒过点(1,0),f(x)=xlnx的图象过点(1,0),且在点(1,0)处的切线方程为y =x一1,结合y=f(x)与y=a(x一1)的图象,可知D正确. 12.10若3个数字中没有0,则组成的偶数的个数为A=2;若3个数字中有0和2,则组成的 偶数的个数为C(A号十1)=6;若3个数字中有0,没有2,则组成的偶数的个数为A?=2.所 以从0,1,2,3中任选3个数字组成一个三位数,组成的偶数的个数为2十6+2=10. 18.[,+)由题可知fx)=x-2ax+20在[分2]上恒成立,所以2a≥x+,故2a ≥(x+)2a≥号+4,解得a≥号,所以a的取值范围是[是,+o)。 14 把向上、下、左、右四个方向的步数记为U,D,L,R,则U十D十L十R=4.若蚂蚁移动 到圆x2+y2=3的内部,则移动4次后,蚂蚁可能的位置为原点,(1,1),(一1,1),(一1, 一1),(1,一1),共5种情况. 若蚂蚁移动到原点,则U一D=0,L一R=0,故U=D=2,L=R=0或U=D=0,L=R=2 或U=D=L=R=1,有2C+CCgC2=36种走法;若蚂蚁移动到点(1,1),则U-D=1,L -R=1,故U=1,D=0,L=2,R=1或U=2,D=1,L=1,R=0,有2CCC=24种走法, 由对称可知,蚂蚁移动到圆x2+y2=3内部的概率为36+24X4=33 4 641 【高二数学 参考答案第2页(共5页)】 15.解:(1)令x=1,得(m+1)(2-1)8=a0十a1十a2+…十ag=m+1;…2分 令x=0,得1X(0-1)8=a0=1.…4分 因为a1十a2十…十ag=1,所以m十1=1十1,故m=1.…6分 (2)令x=-1,得(-1+1)X(-2-1)8=a0-a1十a2-…十ag-ag=0,…9分 因为a0十a1十a2十…十ag=2,所以a1十a3十a5十a?十ag=1.…l3分 16.解:(1)f'(x)=(ax十b十a)e,… …1分 由题可知f(-)=(-号a+b+a)e-0, …3分 f(-)=(-2a十b)e=-2e号,…5分 解得a=2,b=1.… …7分 (2)设切点为(xoyo),则yo=(2x。十1)e0,切线1的斜率k=(2x。十3)e0,…8分 切线l的方程为y-(2x0十1)e0=(2x0十3)e0(x一xo),…10分 因为切线l过原点,所以一(2x。十1)e0=(2xo十3)e0(-xo),…11分 整理得2z+。-1=0,解得,=-1或2= …12分 当,=-1时友=此时切线1的方程为y=之: …13分 当x0=2时,k=4E,此时切线l的方程为y=4Ex.… …15分 17.(1)解:f(x)的定义域为(0,+o∞),f'(x)=a-1=ax, 2 …1分 当a≤0时,f'(x)<0,f(x)的单调递减区间为(0,十∞); …4分 当a>0时,令fx)=0,解得x=是,当x(0,)时,f(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(日,+∞)时,f(x)>0,f(x)单调递增。 综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,十∞),无单调递增区间; 当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(日,+∞). …7分 (2)证明:当a>0时,由(1)可知f(x)m=f(日)=a(ln是-a)+a=-alna-a2+a. …9分 令g(a)=-alna-a2+a+2lna,a∈(0,+∞), 则g'a)=-1-ha-2a+1+2=-lna-2a+ 2 a 10分 【高二数学 参考答案第3页(共5页)】 易知g'(a)在(0,十∞)上单调递减,且g'(1)=0,…12分 所以g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,十o∞)上单调递减,则g(a)≤g(1)=0,…14分 所以-alna-a2+a≤-2lna,故当a>0时,f(x)的最小值不大于-2lna.…l5分 18,解:(1)因为甲、乙两人射击的命中率分别为2和亏, .3 2 所以甲、乙两人射击一次,甲、乙不能命中目标的概率分别为2和行,…1分 则两人各射击一次,都没有命中目标的概率为2 亏=5, ,21 …2分 14 所以两人各射击一次,至少有一人命中目标的概率为1一 55 …4分 (2)设“两人各射击一次,只有一个人命中目标”为事件A,“两人各射击一次,甲命中目标”为 事件B,所以PA)=号 号+ - …6分 PAB)=号X号- 21 8分 1 则所求概率为P(BA)= P(AB) 5 2 P(A) 1 10分 2 (3)设甲射击的次数为X,则X的分布列为 X n 100-2m P 1 1 …12分 则E(X)=2+10-2m)X(1-)-3n2100 2" 2n十100,… 14分 令f(n)=3n-10 2n -2+100(n∈N+), 则f(n+1)=3n-97 2n+1 2n+98, f(n+1)-fm)=103-3m-2+ 2+1—, 当n≤4时,f(n十1)>f(n),当n≥5时,f(n十1)<f(n),…15分 故f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)>f(6)>f(7)>…, 所以当n=5时,甲射击次数的期望最大。… 17分 【高二数学 参考答案第4页(共5页)】 19.(1解:令6x)=时x)-gx)=号-4红十4,则kx)=x2-4,…1分 令k'(x)=x2-4>0,解得x<-2或x>2,令k'(x)=x2-4<0,解得-2<x<2, 所以k(x)在(一2,2)上单调递减,在(一∞,一2)和(2,十∞)上单调递增.…3分 k(-2)=9k(2)=-号k(-6)<0,k6>0, 所以存在x1∈(一6,一2),x2∈(-2,2),x3∈(2,6),使得k(x1)=k(x2)=k(x3)=0,即 f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2),f(x3)=g(x3), 所以函数f(x)与g(x)为“三阶相似函数”.…5分 (2)解:(i)因为f(x)与g(x)为“二阶相似函数”,所以1nm十1nx=C在(0,十∞)上有两个 不相等的实数根,即mxln(mx)=xe>0,…6分 两边取对数,可得ln[ln(mx)]十ln(mx)=lnx+x.记g(x)=lnx十x,易知g(x)在(0, 十∞)上是增函数, 故g(ln(m.x)=g(x)可等价于ln(m.x)=x,即x-lnx=lnm.…8分 记F(x)=x-nx,则F'(x)=1-是,得F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调 递增, F(x)有最小值F(1)=1,故lnm>1,即m的取值范围为(e,+o∞).…10分 (ii)证明:根据题意得F(x1)=F(x2)=lnm,不妨设0<x1<1<x2. 构造函数H(x)=F(x)一F(2一x), 则Hr')=F'x+F'2-)=1-+1-2=-1-22) 当0<x<1时x-1<0,是-2亡>0,则Hr()<0,得H)在0,1D上单调递诚, 有H(x)>H(1)=0,即F(x)>F(2-x)(0<x<1).… …14分 将x1代入不等式,得F(x1)>F(2-x1),又F(x1)=F(x2), 所以F(x2)>F(2-x1),…15分 又x2>1,2一x1>1,F(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以x2>2一x1,即x1十x2>2.…17分 【高二数学 参考答案第5页(共5页)】重庆高二数学考试 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章第三节。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.箱子中装有3个不同的白球、1个黑球和4个不同的绿球,现从中取出1个球,则不同的取法有 A.8种 B.10种 C.12种 D.14种 展开式中的常数项为 A.15 B.-15 C.30 D.-30 3.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排,在甲和乙相邻的条件下,丙和丁也相邻的概率为 A. B. C. D. 4.某市在一次降雨过程中,降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为 则在t=40 min时的降雨强度是t=10 min时的降雨强度的 A.2倍 B.4倍 C. D. 5.某工厂有甲、乙、丙3 条流水线生产同一种产品,甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的.40%,40%,20%,且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为0.03,0.02,0.01,现从该厂的产品中任取1件,则抽到不合格品的概率为 A.0.021 B.0.022 C.0.023 D.0.04 6.函数f(x)的大致图象如图所示,则函数y=[f(x)] 的单调递增区间是 A.[0,3] B.(-∞,0]和[1,3] C.(-∞,0]和[3,+∞) D.[0,1]和[3,+∞) 【高二数学 第1页(共4页)*】 7.现有四种不同颜色可供选择,需给图中5个区域着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,则不同的着色方法有 A.112种 B.146种 C.192种 D.168种 8.已知f'(x)是奇函数f(x)的导函数,且当 时, 则 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设X 是一个离散型随机变量,其分布列如下,则 X -1 O 1 P -1- 2q q A. E(X)=0 B. E(2X-1)=-1 D. D(2X-1)=2 10.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师,送给了哪吒七件法宝:乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮.哪吒使用这七件法宝对阵敌人,则下列说法正确的是 A.若哪吒每次使用两件法宝,对阵3次,可以重复使用,则不同的使用法宝的方法有21 种 B.若哪吒与敌人对阵3次,每次至少使用两件法宝,法宝不可以重复使用,则不同的使用法宝的方法有C7 C52C A C.若哪吒每次使用一件法宝,对阵7次,法宝不可以重复使用,且乾坤圈和风火轮不能相邻使用,则不同的使用法宝的方法有 A A ₆种 D.若哪吒每次使用一件法宝,对阵7次,法宝不可以重复使用,且乾坤圈比风火轮更早使用,风火轮比火尖枪更早使用,则不同的使用法宝的方法有 A 11.已知函数f(x)=xlnx,则下列说法正确的是 B.函数 f(x)的图象在点(e,f(e))处的切线方程是 y=2x+e D.若关于x 的不等式f(x)≥ax-a恒成立,则a=1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12.从0,1,2,3中任选3个数字组成一个三位数,组成的偶数的个数为 . 13.已知函数 在 上单调递减,则a 的取值范围是 . 【高二数学 第2页(共4页)*】 14.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点处出发,每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位,移动4次,则蚂蚁移动到圆 内部的概率为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知 且 (1)求m 的值; (2)求 的值. 16.(15分) 已知函数f(x)=(ax+b)e 在 处有极值 (1)求a,b的值; (2)过原点作曲线y=f(x)的切线l,求l的方程. 17.(15分) 已知函数 (1)讨论 f(x)的单调区间; (2)证明:当a>0时,f(x)的最小值不大于-2ln a. 【高二数学 第3页(共4页)*】 18.(17分) 甲、乙两名同学参加一项射击比赛,已知甲、乙两人射击的命中率分别为 和 ,假设两人射击互不影响. (1)求两人各射击一次,至少有一人命中目标的概率. (2)两人各射击一次,在只有一个人命中的条件下,求甲命中的概率. (3)甲参加射击训练,训练计划如下:甲先射击n(n∈N₊,n≤33)次,若这 n次都命中,则训练结束,否则额外射击100-3n次.试问 n 为何值时,甲射击次数的期望最大? 19.(17分) 定义:若函数f(x)与g(x)在公共定义域内存在 互不相等,n∈N₊),使得 则称 f(x)与g(x)为“n阶相似函数”,x₁,x₂,…, xn称为f(x)与g(x)的“n阶相似点”. (1)已知a>0,函数 判断函数 f(x)与g(x)是否为“三阶相似函数”,并说明理由. (2)已知函数 f(x))与g(x)为“二阶相似函数”,x₁,x₂称为f(x)与g(x)的“二阶相似点”. (i)求实数m的取值范围; (ii)证明: 【高二数学 第4页(共4页)*】 学科网(北京)股份有限公司 $$