专题二 微拓展6 向量中的新定义-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

微拓展6　向量中的新定义 [考情分析]　向量中的新定义题目中常常伴随“定义”“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，需要仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力，题型不固定，难度较大. 微点一　向量的外积 定义　设a，b为空间中的两个向量，如果a与b平行，规定a×b为零向量；如果a与b不平行，定义a×b为满足以下条件的向量： (1)a×b与a，b均垂直； (2)构成右手系的基； (3)|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉. 称向量a×b为a和b的外积或向量积. 1.已知|a|=10，|b|=2，a·b=-12，则|a×b|等于(　　) A.-16 B.16 C.-20 D.20 答案　B 解析　因为|a|=10，|b|=2，a·b=-12， 所以a·b=|a||b|cos θ=10×2cos θ=-12， 所以cos θ=-，所以sin θ=， 所以|a×b|=|a||b|sin θ=10×2×=16. 2.(多选)已知非零向量a，b的夹角为θ，则下列说法正确的是(　　) A.∃θ∈，|a×b|=a·b B.|a×b|=|b×a| C.|a×b|2+(a·b)2=|a|2|b|2 D.|a×(b-c)|=|a×b|-|a×c| 答案　ABC 解析　对于A，当θ=时，|a×b|=|a||b|sin =|a||b|，而a·b=|a||b|cos =|a||b|，此时有|a×b|=a·b，故A正确； 对于B，|a×b|=|b×a|=|a||b|·sin θ，故B正确； 对于C，等式左边=|a|2·|b|2·(sin2θ+cos2θ)=|a|2·|b|2=右边，故C正确； 对于D，因为|a×(b-c)|=|a|sin〈a，b-c〉的值是非负的，而|a×b|-|a×c|=|a||b|sin〈a，b〉-|a||c|sin〈a，c〉的值可能是负数，故D错误. 微点二　向量的体积 定义　设a，b，c为三个向量，称[a，b，c]=(a×b)·c为它们的体积，也称混合积. 3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列四个结论，正确的有(　　) A.×与方向相反 B.×=× C.正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为6|×| D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为(×)· 答案　C 解析　对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1B⊥AC， D1B⊥AB1， 根据向量外积的性质可知×与的方向相同，故A错误； 对于B，根据向量外积的性质可知×与×的方向相反，不可能相等，故B错误； 对于C，根据向量外积的性质可知|×|=||||sin =S正方形ABCD， 则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为6，故C正确； 对于D，×与的方向相反， 则(×)·<0，故D错误. 4.(15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1). (1)求证：PA⊥底面ABCD；(5分) (2)求四棱锥P-ABCD的体积；(5分) (3)对于向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，c=(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1，试计算(×)·的绝对值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这种运算(×)·的绝对值的几何意义.(5分) (1)证明　由·=(-1)×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0，所以⊥，即AP⊥AB， 由·=(-1)×4+2×2+(-1)×0=0， 所以⊥，即AP⊥AD， 又AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)解　||==， ==2， ==， ·=2×4-1×2=6， cos〈，〉==， 所以V四棱锥P-ABCD=·S▱ABCD· =sin〈，〉· =××2××=16. (3)解　|(×)·|=|-4-32-4-8|=48，它是四棱锥P-ABCD体积的3倍， 猜测：|(×)·|在几何上表示为以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积. 微点三　向量的新定义与新运算 5.对于非零向量α，β，定义一种运算：α◦β=，已知非零向量a，b的夹角θ∈，且a◦b，b◦a都在集合中，则a◦b等于(　　) A.或 B.或 C.1 D. 答案　D 解析　a◦b== ==，n∈N，① 同理可得b◦a====，m∈N.② 再由a与b的夹角θ∈， 可得cos2θ∈， ①②两式相乘得cos2θ=，m，n∈N， ∴m=n=1，∴a◦b==. 6.(15分)记所有非零向量构成的集合为V，对于a，b∈V，a≠b，定义V(a，b)=. (1)若a=(-1，3)，b=(2，-6)，求出集合V(a，b)中的三个元素；(4分) (2)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c.(11分) (1)解　设x=(m，n)，由x·a=x·b得-m+3n=2m-6n， 即m=3n，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9， 故V(a，b)中的三个元素为(3，1)，(6，2)，(9，3). (2)证明　先证明V(a，b)中的向量都是共线向量， 不妨设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)， 因为a≠b， 所以a1-b1，a2-b2中至少有一个不为0， 若a2-b2≠0，记e1=， 显然e1·(a-b)=0， 即e1·a=e1·b， 故e1∈V(a，b)， 任取v=(x，y)∈V(a，b)， 因为v·a=v·b， 所以v·(a-b)=0， 故x(a1-b1)+y(a2-b2)=0，则y=-x， 故v=(x，y)=xe1， 则V(a，b)={v|v=λe1，λ∈R}，则问题得证； 若a2-b2=0，a1-b1≠0，同理可证明V(a，b)={， 其中e2=； 综上，V(a，b)中的向量都是共线向量. 因为V(a，b)=V(a，c)， 所以不妨设v1，v2∈V(a，b)，v1≠v2， 则由V(a，b)定义知v1·a=v1·b， 即v1·(a-b)=0， 同理v2·(a-b)=0， 故v1·(a-b)=v2·(a-b)， 则(a-b)∈V(v1，v2)， 同理可得(a-c)∈V(v1，v2)， 故a-b，a-c为共线向量， 即存在实数λ，使(a-c)=λ(a-b)， 即(1-λ)a=-λb+c， 因为b≠c，所以λ≠1， 所以a=-+， 记λ1=-，λ2=，则λ1+λ2=1， 即一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c. [总结提升] 求解向量“新定义”题目，主要分以下几步 (1)对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； (2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； (3)对定义中提取的知识进行转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除；注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以基础差的考生也不要轻易放弃. 1.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=.已知向量a为单位向量，|b|=，|a-b|=1，则a⊕b等于(　　) A. B. C. D.2 答案　C 解析　由题意得= ==1， 解得cos θ=， 又θ∈，所以sin θ==， 所以a⊕b====. 2.设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2，|b|=5，(a+b)·a=-2，则|a×b|等于(　　) A.6 B.-6 C.-8 D.8 答案　D 解析　∵(a+b)·a=-2，∴a2+a·b=-2， 即|a|2+|a||b|cos θ=-2， ∴22+2×5cos θ=-2，∴cos θ=-， ∵0≤θ≤π，∴sin θ=， ∴|a×b|=|a||b|sin θ=2×5×=8. 3.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积S可以用a，b的外积的模|a×b|表示，即S=|a×b|=|x1y2-x2y1|.已知在平面直角坐标系Oxy中，A(cos α，)，B(sin 2α，2cos α)，α∈，则△OAB面积的最大值为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　A 解析　已知在平面直角坐标系Oxy中，A(cos α，)，B(sin 2α，2cos α)，α∈， 因为S△OAB= == =|sin 2α-(1+cos 2α)| =|sin 2α-cos 2α-1| =， 因为0≤α≤，则-≤2α-， 则-≤sin≤1， 则-2≤2sin-1≤1， 则S△OAB=∈， 当2α-=-，即α=0时，△OAB的面积取最大值1. 4.(多选)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下：对任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令a☉b=mq-np，则下列说法正确的是 (　　) A.若a与b共线，则a☉b=0 B.a☉b=b☉a C.对任意的λ∈R，有(λa)☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 答案　ACD 解析　对于A，若a与b共线，则mq-np=0，即a☉b=0，故A正确； 对于B，因为a☉b=mq-np，b☉a=np-mq，所以a☉b≠b☉a，故B错误； 对于C，(λa)☉b=λmq-λnp，λ(a☉b)=λmq-λnp，所以(λa)☉b=λ(a☉b)，故C正确； 对于D，因为(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)， |a|2|b|2=(m2+n2)(p2+q2)， 所以(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2，故D正确. 5.(多选)已知非零向量a，b，下列命题正确的是(　　) A.a×b=-b×a B.λ|a×b|=|(λa)×b| C.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|×| D.若|a×b|=，a·b=1，则|a+b|的最小值为 答案　ACD 解析　对于A，根据右手系法则知，A正确； 对于B，设向量a，b的夹角为θ，则λ|a×b|=λ|a||b|sin θ，当λ<0时，|(λa)×b|=|λa||b|sin(π-θ)=-λ|a||b|sin θ， 当0<θ<π时，λ|a×b|≠|(λa)×b|，B错误； 对于C，四边形ABCD的面积S=||||sin∠BAD=|×|，C正确； 对于D，由|a×b|=，得|a||b|sin θ=，由a·b=1，得|a||b|cos θ=1， 两式平方相加得|a||b|=2，则|a+b|===，当且仅当|a|=|b|=时取等号，D正确. 6.(多选)如图，在长方体中ABCD-A1B1C1D1，AB=AD=2，AA1=4，则下列结论正确的是(　　) A.×= B.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)· C.×=× D.(+)×=×+× 答案　ABD 解析　对于A，同时与，垂直，，，三个向量构成右手系， 且=sin〈，〉=2×2×sin 90°=4，=4， 所以=，故×=，故A正确； 对于B，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为2×2×4=16， 因为(×)·=·==16，所以长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)·，故B正确； 对于C，根据向量外积定义可得×=，×=-，所以×≠×，故C不正确； 对于D，因为|(+)×|=|×|=2×4×sin 90°=8，且×与同向共线，=2×4×sin 90°=8，且×与同向共线， 又因为|×|=2×4×sin 90°=8，且×与同向共线，所以|×+×|=8，且×+×与同向共线，故D正确. 7.(5分)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，若a·b=|a×b|，则θ=　　　　.  答案　 解析　由a·b=|a×b|， 得|a||b|cos θ=|a||b|sin θ， 即tan θ=， 又θ∈[0，π]，所以θ=. 8.(5分)对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=，a☉b=.若平面向量a，b满足>>0，且a⊕b和a☉b都在集合中，则a⊕b+a☉b=　　　　　　.  答案　1或 解析　因为=， 设向量a和b的夹角为θ， 因为>>0，所以|a|2+|b|2>2， 得到a⊕b==<=， 又θ∈[0，π]，所以， 所以a⊕b<， 又a⊕b在集合中， 所以a⊕b=， 所以>，即cos θ>， 又因为a☉b===cos θ>cos θ>， 所以a☉b=或1， 所以a⊕b+a☉b=1或 . 9.(17分)设非零向量αk=(xk，yk)，βk=(yk，-xk)(k∈N*)，并定义 (1)若α1=(1，2)，α2=(3，-2)，求|α1|，|α2|，|α3|；(4分) (2)写出|αk|，|αk+1|，|αk+2|(k∈N*)之间的等量关系，并证明；(6分) (3)若|α1|=|α2|=1，求证：集合{αk|k∈N*}是有限集.(7分) (1)解　因为α1=(1，2)，α2=(3，-2)， 所以|α1|==， |α2|==. 依题意得β2=(-2，-3)， 所以x3=α2·α1=3×1+(-2)×2=-1， y3=β2·α1=(-2)×1+(-3)×2=-8， 即α3=(-1，-8)， 所以|α3|==. (2)解　|αk|，|αk+1|，|αk+2|之间的等量关系是|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*). 证明如下： 依题意得|αk|=， |αk+1|=， 所以|αk+1||αk|= =. 因为βk+1=(yk+1，-xk+1)， 所以 即αk+2=(xkxk+1+ykyk+1，xkyk+1-xk+1yk)， 所以|αk+2|= =， 故|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*). (3)证明　由(2)及|α1|=|α2|=1得|α3|=1.依此类推得|αk|=1(k∈N*)，可设αk=(cos θk，sin θk)， 则αk+1=(cos θk+1，sin θk+1)， βk+1=(sin θk+1，-cos θk+1). 依题意得， xk+2=αk+1·αk=cos θk+1cos θk+sin θk+1sin θk=cos(θk+1-θk)， yk+2=βk+1·αk=sin θk+1cos θk-cos θk+1sin θk=sin(θk+1-θk)， 所以αk+2=(cos(θk+1-θk)，sin(θk+1-θk)). 同理得αk+3=(cos[(θk+1-θk)-θk+1]， sin[(θk+1-θk)-θk+1])=(cos(-θk)，sin(-θk))， αk+4=(cos[(-θk)-(θk+1-θk)]， sin[(-θk)-(θk+1-θk)])=(cos(-θk+1)， sin(-θk+1))， αk+5=(cos[(-θk+1)-(-θk)]， sin[(-θk+1)-(-θk)])=(cos(θk-θk+1)， sin(θk-θk+1))， αk+6=(cos[(θk-θk+1)-(-θk+1)]， sin[(θk-θk+1)-(-θk+1)])=(cos θk，sin θk). 所以αk+6=αk(k∈N*). 综上，集合{αk|k∈N*}是有限集. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题二　三角函数与解三角形 微拓展6 向量中的新定义 向量中的新定义题目中常常伴随“定义”“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，需要仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力，题型不固定，难度较大. 考情分析 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　向量的外积 定义　设a，b为空间中的两个向量，如果a与b平行，规定a×b为零向量；如果a与b不平行，定义a×b为满足以下条件的向量： (1)a×b与a，b均垂直； (2)构成右手系的基； (3)|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉. 称向量a×b为a和b的外积或向量积. 1 2 3 4 5 6 1.已知|a|=10，|b|=2，a·b=-12，则|a×b|等于 A.-16　　　　B.16　　　　C.-20　　　　D.20 √ 1 2 3 4 5 6 因为|a|=10，|b|=2，a·b=-12， 所以a·b=|a||b|cos θ=10×2cos θ=-12， 所以cos θ=-，所以sin θ=， 所以|a×b|=|a||b|sin θ=10×2×=16. 2.(多选)已知非零向量a，b的夹角为θ，则下列说法正确的是 A.∃θ∈，|a×b|=a·b B.|a×b|=|b×a| C.|a×b|2+(a·b)2=|a|2|b|2 D.|a×(b-c)|=|a×b|-|a×c| √ 1 2 3 4 5 6 √ √ 对于A，当θ=时，|a×b|=|a||b|sin =|a||b|，而a·b=|a||b|cos =|a||b|，此时有|a×b|=a·b，故A正确； 对于B，|a×b|=|b×a|=|a||b|·sin θ，故B正确； 对于C，等式左边=|a|2·|b|2·(sin2θ+cos2θ)=|a|2·|b|2=右边，故C正确； 对于D，因为|a×(b-c)|=|a|sin〈a，b-c〉的值是非负的，而|a×b|-|a×c|=|a||b|sin〈a，b〉-|a||c|sin〈a，c〉的值可能是负数，故D错误. 1 2 3 4 5 6 微点二　向量的体积 定义　设a，b，c为三个向量，称[a，b，c]=(a×b)·c为它们的体积，也称混合积. 1 2 3 4 5 6 3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列四个结论，正确的有 A.×与方向相反 B.×=× C.正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为6|×| D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为(×)· √ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1B⊥AC， D1B⊥AB1， 根据向量外积的性质可知×的方向相同，故A错误； 对于B，根据向量外积的性质可知× ×的方向相反，不可能相等，故B错误； 对于C，根据向量外积的性质可知|×|= ||||sin =S正方形ABCD， 则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为6，故C正确； 对于D，×的方向相反，则(×)·<0，故D错误. 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1). (1)求证：PA⊥底面ABCD； 1 2 3 4 5 6 由·=(-1)×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0，所以⊥，即AP⊥AB， 由·=(-1)×4+2×2+(-1)×0=0， 所以⊥，即AP⊥AD， 又AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)求四棱锥P-ABCD的体积； 1 2 3 4 5 6 ||==，==2， ==，·=2×4-1×2=6， cos〈〉==， 所以V四棱锥P-ABCD=·S▱ABCD·=sin〈〉· =××2××=16. (3)对于向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，c=(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1，试计算(×)· 的绝对值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这种运算(×)·的绝对值的几何意义. 1 2 3 4 5 6 |(×)·|=|-4-32-4-8|=48，它是四棱锥P-ABCD体积的3倍， 猜测：|(×)·|在几何上表示为以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积. 微点三　向量的新定义与新运算 5.对于非零向量α，β，定义一种运算：α◦β=，已知非零向量a，b的夹角θ∈，且a◦b，b◦a都在集合中，则a◦b等于 A.或 B.或 C.1 D. √ 1 2 3 4 5 6 a◦b====，n∈N， ① 同理可得b◦a====，m∈N. ② 再由a与b的夹角θ∈， 可得cos2θ∈， ①②两式相乘得cos2θ=，m，n∈N， ∴m=n=1，∴a◦b==. 1 2 3 4 5 6 6.记所有非零向量构成的集合为V，对于a，b∈V，a≠b，定义V(a，b)= . (1)若a=(-1，3)，b=(2，-6)，求出集合V(a，b)中的三个元素； 6 1 2 3 4 5 设x=(m，n)，由x·a=x·b得-m+3n=2m-6n， 即m=3n，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9， 故V(a，b)中的三个元素为(3，1)，(6，2)，(9，3). (2)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c. 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 先证明V(a，b)中的向量都是共线向量， 不妨设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)， 因为a≠b， 所以a1-b1，a2-b2中至少有一个不为0， 若a2-b2≠0，记e1=， 显然e1·(a-b)=0， 即e1·a=e1·b， 故e1∈V(a，b)， 6 1 2 3 4 5 任取v=(x，y)∈V(a，b)， 因为v·a=v·b， 所以v·(a-b)=0， 故x(a1-b1)+y(a2-b2)=0，则y=-x， 故v=(x，y)=xe1， 则V(a，b)={v|v=λe1，λ∈R}，则问题得证； 若a2-b2=0，a1-b1≠0，同理可证明V(a，b)={， 其中e2=； 6 1 2 3 4 5 综上，V(a，b)中的向量都是共线向量. 因为V(a，b)=V(a，c)， 所以不妨设v1，v2∈V(a，b)，v1≠v2， 则由V(a，b)定义知v1·a=v1·b， 即v1·(a-b)=0， 同理v2·(a-b)=0， 故v1·(a-b)=v2·(a-b)， 则(a-b)∈V(v1，v2)， 6 1 2 3 4 5 同理可得(a-c)∈V(v1，v2)， 故a-b，a-c为共线向量， 即存在实数λ，使(a-c)=λ(a-b)， 即(1-λ)a=-λb+c， 因为b≠c，所以λ≠1， 所以a=-+， 记λ1=-，λ2=，则λ1+λ2=1， 即一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c. 总结提升 求解向量“新定义”题目，主要分以下几步 (1)对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； (2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； (3)对定义中提取的知识进行转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除；注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以基础差的考生也不要轻易放弃. 22 补偿强化练 PART TWO 1.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=.已知向量a为单位向量，|b|=，|a-b|=1，则a⊕b等于 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由题意得= ==1， 解得cos θ=， 又θ∈，所以sin θ==， 所以a⊕b====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2，|b|=5，(a+b)·a=-2，则|a×b|等于 A.6　　　　B.-6　　　　C.-8　　　　D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∵(a+b)·a=-2，∴a2+a·b=-2， 即|a|2+|a||b|cos θ=-2， ∴22+2×5cos θ=-2，∴cos θ=-， ∵0≤θ≤π，∴sin θ=， ∴|a×b|=|a||b|sin θ=2×5×=8. 3.若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积S可以用a，b的外积的模|a×b|表示，即S=|a×b|=|x1y2-x2y1|.已知在平面直角坐标系Oxy中，A(cos α，)，B(sin 2α，2cos α)，α∈，则△OAB面积的最大值为 A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 已知在平面直角坐标系Oxy中，A(cos α，)，B(sin 2α，2cos α)，α∈， 因为S△OAB=== =|sin 2α-(1+cos 2α)|=|sin 2α-cos 2α-1|=， 因为0≤α≤，则-≤2α-， 则-≤sin≤1，则-2≤2sin-1≤1， 则S△OAB=∈， 当2α-=-，即α=0时，△OAB的面积取最大值1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.(多选)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下：对任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令a☉b=mq-np，则下列说法正确的是 A.若a与b共线，则a☉b=0 B.a☉b=b☉a C.对任意的λ∈R，有(λa)☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ √ 对于A，若a与b共线，则mq-np=0，即a☉b=0，故A正确； 对于B，因为a☉b=mq-np，b☉a=np-mq，所以a☉b≠b☉a，故B错误； 对于C，(λa)☉b=λmq-λnp，λ(a☉b)=λmq-λnp，所以(λa)☉b=λ(a☉b)，故C正确； 对于D，因为(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)， |a|2|b|2=(m2+n2)(p2+q2)， 所以(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.(多选)已知非零向量a，b，下列命题正确的是 A.a×b=-b×a B.λ|a×b|=|(λa)×b| C.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|×| D.若|a×b|=，a·b=1，则|a+b|的最小值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ √ 对于A，根据右手系法则知，A正确； 对于B，设向量a，b的夹角为θ，则λ|a×b|=λ|a||b|sin θ，当λ<0时，|(λa)×b|=|λa||b|sin(π-θ)=-λ|a||b|sin θ， 当0<θ<π时，λ|a×b|≠|(λa)×b|，B错误； 对于C，四边形ABCD的面积S=||||sin∠BAD=|×|，C正确； 对于D，由|a×b|=，得|a||b|sin θ=，由a·b=1，得|a||b|cos θ=1， 两式平方相加得|a||b|=2，则|a+b|===，当且仅当|a|=|b|=时取等号，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.(多选)如图，在长方体中ABCD-A1B1C1D1，AB=AD=2，AA1=4，则下列结论正确的是 A.×= B.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)· C.×=× D.(+)×=×+× √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 对于A，三个向量构成右手系， 且=sin〈〉=2×2×sin 90°=4，=4， 所以=×=，故A正确； 对于B，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为2×2×4=16， 因为(×)·=·==16， 所以长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(×)·， 故B正确； 对于C，根据向量外积定义可得×=×=-×≠×，故C不正确； 对于D，因为|(+)×|=|×|=2×4×sin 90°=8 ×=2×4×sin 90°=8， 且×同向共线， 又因为|×|=2×4×sin 90°=8， 且×同向共线， 所以|×+×|=8 ×+×同向共线，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，若a·b=|a×b|，则θ=　 　 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由a·b=|a×b|， 得|a||b|cos θ=|a||b|sin θ， 即tan θ=， 又θ∈[0，π]，所以θ=. 8.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=，a☉b=.若平面向量a，b满足>>0，且a⊕b和a☉b都在集合 中，则a⊕b+a☉b=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 1或 因为=， 设向量a和b的夹角为θ， 因为>>0，所以|a|2+|b|2>2， 得到a⊕b==<=， 又θ∈[0，π]，所以， 所以a⊕b<， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 又a⊕b在集合中， 所以a⊕b=， 所以>，即cos θ>， 又因为a☉b===cos θ>cos θ>， 所以a☉b=或1， 所以a⊕b+a☉b=1或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.设非零向量αk=(xk，yk)，βk=(yk，-xk)(k∈N*)，并定义 (1)若α1=(1，2)，α2=(3，-2)，求|α1|，|α2|，|α3|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为α1=(1，2)，α2=(3，-2)， 所以|α1|==，|α2|==. 依题意得β2=(-2，-3)， 所以x3=α2·α1=3×1+(-2)×2=-1，y3=β2·α1=(-2)×1+(-3)×2=-8， 即α3=(-1，-8)， 所以|α3|==. (2)写出|αk|，|αk+1|，|αk+2|(k∈N*)之间的等量关系，并证明； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |αk|，|αk+1|，|αk+2|之间的等量关系是|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*). 证明如下： 依题意得|αk|=，|αk+1|=， 所以|αk+1||αk|= =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为βk+1=(yk+1，-xk+1)， 所以 即αk+2=(xkxk+1+ykyk+1，xkyk+1-xk+1yk)， 所以|αk+2|= =， 故|αk+2|=|αk+1||αk|(k∈N*). (3)若|α1|=|α2|=1，求证：集合{αk|k∈N*}是有限集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由(2)及|α1|=|α2|=1得|α3|=1. 依此类推得|αk|=1(k∈N*)，可设αk=(cos θk，sin θk)， 则αk+1=(cos θk+1，sin θk+1)，βk+1=(sin θk+1，-cos θk+1). 依题意得， xk+2=αk+1·αk=cos θk+1cos θk+sin θk+1sin θk=cos(θk+1-θk)， yk+2=βk+1·αk=sin θk+1cos θk-cos θk+1sin θk=sin(θk+1-θk)， 所以αk+2=(cos(θk+1-θk)，sin(θk+1-θk)). 同理得αk+3=(cos[(θk+1-θk)-θk+1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sin[(θk+1-θk)-θk+1])=(cos(-θk)，sin(-θk))， αk+4=(cos[(-θk)-(θk+1-θk)]， sin[(-θk)-(θk+1-θk)])=(cos(-θk+1)，sin(-θk+1))， αk+5=(cos[(-θk+1)-(-θk)]， sin[(-θk+1)-(-θk)])=(cos(θk-θk+1)，sin(θk-θk+1))， αk+6=(cos[(θk-θk+1)-(-θk+1)]， sin[(θk-θk+1)-(-θk+1)])=(cos θk，sin θk). 所以αk+6=αk(k∈N*). 综上，集合{αk|k∈N*}是有限集. $$