第6章 6.3.1 二项式定理-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

6.3.1　二项式定理 [学习目标]　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 导语英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton，1643-1727)被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理.那么，牛顿是如何思考的呢？ 一、二项式定理的正用与逆用 问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？ 提示　从上述过程可以看到，(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有×=22项，而且每一项都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数. 知识梳理 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中一共有n+1项. (3)二项式系数：各项的系数(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数. (4)通项：(a+b)n展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=an-kbk. 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换. (4)二项式定理对任意的实数a，b都成立，若设a=1，b=x，则有(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn. 例1　(1)求的展开式. 解　方法一　 =(3)4+(3)3+(3)2+(3+ =81x2+108x+54++. 方法二　==(1+3x)4=[1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4] =(1+12x+54x2+108x3+81x4) =++54+108x+81x2. (2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 解　原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0 =[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 延伸探究　若将例1(2)中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果. 解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n. 反思感悟　(1)(a+b)n的二项展开式有n+1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢. 跟踪训练1　(1)求的展开式. 解　方法一　 =(2x)5+(2x)4·+(2x)3+(2x)2+(2x)+ =32x5-120x2+-+-. 方法二　= =(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5] =32x5-120x2+-+-. (2)化简：(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 解　原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 二、二项式系数与项的系数 例2　在二项式的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)求展开式中x-1的系数. 解　(1)的展开式的通项是 Tk+1=(3)10-k =310-k(k=0，1，2，…，10). 则展开式的第4项(k=3)的二项式系数为 =120. (2)令=-1，解得k=4. 所以展开式中x-1的系数为 36=30 240. 反思感悟　正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指，只与项数有关，与a，b的值无关，二项式系数的值恒为正；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负. 跟踪训练2　已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. (1)求n的值； (2)求展开式中含项的系数. 解　(1) 因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，， 所以=，即=，解得n=7. (2)因为展开式的通项为Tk+1=(3)7-k·=37-k， 当=-1时，k=3， 所以展开式中含项的系数为34=2 835. 三、二项展开式中的特定项 例3　在二项式的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项； (4)中间项. 解　的展开式的通项为Tk+1=x12-k·=(-1)k. (1)令k=3，则T4=(-1)3=-220x8. (2)令12-k=0，解得k=9， 所以常数项为(-1)9=-220. (3)当k=0，3，6，9，12时，Tk+1是有理项，分别为T1=x12，T4=-x8=-220x8，T7=x4=924x4， T10=-=-220，T13=x-4=. (4)因为n=12，所以展开项共有13项，所以中间项为第7项. 令k=6，得T7=(-1)6=924x4. 反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的解题思路 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 跟踪训练3　已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解　的展开式的通项为 Tk+1=(-3)k=(-3)k. (1)∵第6项为常数项，∴当k=5时，有=0，即n=10. (2)令=2，得k=2， ∴所求项的系数为(-3)2=405. (3)由题意得 令=t(t∈Z)，则10-2k=3t， 即k=5-t.∵k∈N，∴t应为偶数. 令t=2，0，-2，则k=2，5，8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，-61 236，295 245x-2. 1.知识清单： (1)二项式定理的正用与逆用. (2)二项式系数与项的系数. (3)二项展开式中的特定项. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：二项式系数与系数的区别，an-kbk是展开式的第k+1项. 1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是(　　) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) 答案　B 解析　展开式的项数比二项式的指数大1，故选B. 2.(x-y)6的展开式的第3项是(　　) A.x4y2 B.x2y4 C.x3y3 D.-x3y3 答案　A 解析　由题设，(x-y)6的展开式的通项为Tk+1=x6-k(-y)k，∴第3项为T3=x4y2. 3.(2024·天津)在的展开式中，常数项为　　　　.  答案　20 解析　因为的展开式的通项为 Tk+1= =36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6， 令6(k-3)=0，可得k=3， 所以常数项为30=20. 4.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为　　　　.  答案　x4 解析　(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1 =(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4=[(x+1)-1]4=x4. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(x+2)n的展开式共有16项，则n等于(　　) A.17 B.16 C.15 D.14 答案　C 解析　∵(a+b)n的展开式共有n+1项，而(x+2)n的展开式共有16项，∴n=15. 2.(2024·北京)(x-)4的展开式中，x3的系数为(　　) A.15 B.6 C.-4 D.-13 答案　B 解析　(x-)4的展开式的通项为Tk+1=x4-k(-)k=(-1)k，k=0，1，2，3，4， 令4-=3，解得k=2， 故所求系数即为(-1)2=6. 3.(多选)在二项式的展开式中，有(　　) A.含x的项 B.含的项 C.含x4的项 D.含的项 答案　ABC 解析　二项式的展开式的通项为Tk+1=·35-k·(-2)k·x10-3k，k=0，1，2，3，4，5.当10-3k=1时，k=3，A正确；当10-3k=-2时，k=4，B正确；当10-3k=4时，k=2，C正确；当10-3k=-4时，k=，D错误. 4.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(　　) A.840 B.-840 C.210 D.-210 答案　A 解析　在通项Tk+1=x10-k(-y)k中，令k=4，即得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为×(-)4=840. 5.若实数a=2-，则a10-2a9+22a8-…+210等于(　　) A.32 B.-32 C.1 024 D.512 答案　A 解析　a10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10， 当a=2-时，(a-2)10=32. 6.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x3项的系数是(　　) A.-5 B.5 C.-10 D.10 答案　D 解析　方法一　(1-x)5中x3项的系数为-=-10， -(1-x)6中x3项的系数为-·(-1)3=20， 故在(1-x)5-(1-x)6的展开式中， 含x3项的系数为10. 方法二　原式=(1-x)5x， ∴展开式中含x3的项为·x=10x3， 即含x3项的系数为10. 7.(5分)若二项式(1+2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n=　　　　.  答案　8 解析　(1+2x)n的展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以23=422，所以n=8. 8.(5分)的展开式的中间项为　　　　.  答案　-x3 解析　因为n=6，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项， 则展开式的中间项为T4=(x2)3 =x3=-x3. 9.(10分)已知的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值；(5分) (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.(5分) 解　(1)因为T3=)n-2=4， T2=)n-1=-2， 依题意得，4+2=162，所以2+=81， 所以n2=81，又n∈N*，故n=9. (2)二项式的展开式的通项为 Tk+1=)9-k=(-2)k， 令=3，解得k=1， 所以含x3的项为T2=-2x3=-18x3. 二项式系数为=9. 10.(11分)已知(+)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍. (1)求n的值；(5分) (2)写出它展开式中的所有有理项.(6分) 解　(1)(+)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是，，. 依题意得，+ =2·， 化简得90+(n-9)(n-8)=20(n-8)， 即n2-37n+322=0， 解得n=14或n=23， 因为n<15，所以n=14. (2)二项式(+)14的展开式的通项为 Tk+1==， 当且仅当k是6的倍数时， 展开式中的项是有理项， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 k=0，T1=x7=x7； k=6，T7=x6=3 003x6； k=12，T13=x5=91x5. 11.对任意实数x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.21 答案　B 解析　∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2×2+(x-2)×22+×23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3，∴a2=6. 12.若(ax+y)5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a等于(　　) A.2 B.±2 C.2 D.±2 答案　D 解析　展开式的通项公式是Tk+1=·(ax)5-k·yk，当k=3时，x2y3项的系数为·a2=80，解得a=±2. 13.(多选)已知(n≥3，n∈N*)的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则(　　) A.n=7 B.展开式中有理项有且仅有1项 C.第4项为- D.第3项的二项式系数为21 答案　ACD 解析　第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有=3，则有=3n，化简整理得n2-7n=0，解得n=7或n=0(舍去)，故A正确； 展开式的通项为Tk+1=)7-k==，当k=2或k=6时，为整数，故当k=2或k=6时展开式为有理项，故B错误； T4==-，故C正确； 第3项的二项式系数为=21，故D正确. 14.(5分)已知在的展开式中，第9项为常数项，则 (1)n的值为　　　　；  (2)含x的整数次幂的项有　　　　个.  答案　(1)10　(2)6 解析　二项展开式的通项为Tk+1=·=(-1)k. (1)因为第9项为常数项， 所以当k=8时，2n-×8=0， 解得n=10. (2)要使20-k为整数，需k为偶数， 由于k=0，1，2，3，…，9，10， 故符合要求的项有6个. 15.(5分)设二项式(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B=4A，则a的值是　　　.  答案　2 解析　二项式(a>0)的展开式的通项为Tk+1=x6-k=(-a)k， 令6-k=3，得k=2；令6-k=0，得k=4， ∴B=(-a)4，A=(-a)2. ∵B=4A，a>0，∴a=2. 16.(12分)已知(+1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1∶2∶3. (1)这三项分别是第几项？(6分) (2)若展开式的倒数第二项为112，求x的值.(6分) 解　(1)展开式各项系数为(k=0，1，2，…，n)，当k≥1时，由题意∶∶=1∶2∶3， 即==，解得 ∴这三项分别是第5，6，7项. (2)倒数第二项为， ∴=14=112，即=8， 则log2=log28=3，即(log2x)2=3，解得log2x=±， ∴x=或x=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 二项式定理 6.3.1 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 学习目标 英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton，1643-1727)被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于 导 语 瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理.那么，牛顿是如何思考的呢？ 一、二项式定理的正用与逆用 二、二项式系数与项的系数 课时对点练 三、二项展开式中的特定项 随堂演练 内容索引 一 二项式定理的正用与逆用 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？ 问题 提示　从上述过程可以看到，(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有×=22项，而且每一项都是a2-kbk (k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数. 二项式定理 (a+b)n=___________________________________，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中一共有______项. (3)二项式系数：各项的系数(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数. (4)通项：(a+b)n展开式的第_____项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=__________. an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn n+1 k+1 an-kbk 知识梳理 (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换. (4)二项式定理对任意的实数a，b都成立，若设a=1，b=x，则有(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn. 注 意 点 <<< 8 (1)求的展开式. 例 1 9 方法一　 =(3)4+(3)3+(3)2+(3+ =81x2+108x+54++. 方法二　==(1+3x)4 =[1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4] =(1+12x+54x2+108x3+81x4) =++54+108x+81x2. 10 (2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0 =[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 11 若将例1(2)中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果. 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n. 延伸探究 12 (1)(a+b)n的二项展开式有n+1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢. 反 思 感 悟 13 (1)求的展开式. 跟踪训练 1 14 方法一　 =(2x)5+(2x)4·+(2x)3+(2x)2 +(2x)+ =32x5-120x2+-+-. 方法二　= =(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4 +(-3)5]=32x5-120x2+-+-. 15 (2)化简：(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+ (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 16 二 二项式系数与项的系数 　 在二项式的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； 例 2 的展开式的通项是 Tk+1=(3)10-k =310-k(k=0，1，2，…，10). 则展开式的第4项(k=3)的二项式系数为=120. 18 (2)求展开式中x-1的系数. 令=-1，解得k=4. 所以展开式中x-1的系数为 36=30 240. 19 反 思 感 悟 二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指，只与项数有关，与a，b的值无关，二项式系数的值恒为正；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负. 正确区分二项式系数与项的系数 　 已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之 比为1∶3. (1)求n的值； 跟踪训练 2 因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为， 所以==，解得n=7. 21 (2)求展开式中含项的系数. 因为展开式的通项为Tk+1=(3)7-k·=37-k， 当=-1时，k=3， 所以展开式中含34=2 835. 22 三 二项展开式中的特定项 在二项式的展开式中，求： (1)第4项； 例 3 的展开式的通项为Tk+1=x12-k·=(-1)k. 令k=3，则T4=(-1)3=-220x8. 24 (2)常数项； 令12-k=0，解得k=9， 所以常数项为(-1)9=-220. 25 (3)有理项； 当k=0，3，6，9，12时，Tk+1是有理项，分别为T1=x12，T4=-x8=-220x8，T7=x4=924x4， T10=-=-220，T13=x-4=. 26 (4)中间项. 因为n=12，所以展开项共有13项，所以中间项为第7项. 令k=6，得T7=(-1)6=924x4. 27 反 思 感 悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的解题思路 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 　 已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； 跟踪训练 3 的展开式的通项为 Tk+1=(-3)k=(-3)k. ∵第6项为常数项，∴当k=5时，有=0，即n=10. 29 (2)求含x2项的系数； 令=2，得k=2， ∴所求项的系数为(-3)2=405. 30 (3)求展开式中所有的有理项. 由题意得 令=t(t∈Z)，则10-2k=3t， 即k=5-t.∵k∈N，∴t应为偶数. 令t=2，0，-2，则k=2，5，8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，-61 236，295 245x-2. 31 1.知识清单： (1)二项式定理的正用与逆用. (2)二项式系数与项的系数. (3)二项展开式中的特定项. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：二项式系数与系数的区别，an-kbk是展开式的第k+1项. 课堂小结 32 随堂演练 四 1 2 3 4 1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是 A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) √ 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B. 2.(x-y)6的展开式的第3项是 A.x4y2 B.x2y4 C.x3y3 D.-x3y3 1 2 3 4 √ 由题设，(x-y)6的展开式的通项为Tk+1=x6-k(-y)k， ∴第3项为T3=x4y2. 3.(2024·天津)在的展开式中，常数项为　　　.  1 2 3 4 因为的展开式的通项为 Tk+1= =36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6， 令6(k-3)=0，可得k=3， 所以常数项为30=20. 20 4.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为　　.  1 2 3 4 (x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1 =(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4 =[(x+1)-1]4=x4. x4 课时对点练 五 1.(x+2)n的展开式共有16项，则n等于 A.17 B.16 C.15 D.14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ ∵(a+b)n的展开式共有n+1项，而(x+2)n的展开式共有16项，∴n=15. 2.(2024·北京)(x-)4的展开式中，x3的系数为 A.15 B.6 C.-4 D.-13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ (x-)4的展开式的通项为Tk+1=x4-k(-)k=(-1)k，k=0，1，2，3，4， 令4-=3，解得k=2， 故所求系数即为(-1)2=6. 3.(多选)在二项式的展开式中，有 A.含x的项 B.含的项 C.含x4的项 D.含的项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二项式的展开式的通项为Tk+1=·35-k·(-2)k·x10-3k，k=0，1，2，3，4，5.当10-3k=1时，k=3，A正确； 当10-3k=-2时，k=4，B正确； 当10-3k=4时，k=2，C正确； 当10-3k=-4时，k=，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是 A.840 B.-840 C.210 D.-210 √ 在通项Tk+1=x10-k(-y)k中，令k=4，即得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为×(-)4=840. 5.若实数a=2-，则a10-2a9+22a8-…+210等于 A.32 B.-32 C.1 024 D.512 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ a10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10， 当a=2-时，(a-2)10=32. 6.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x3项的系数是 A.-5 B.5 C.-10 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 方法一　(1-x)5中x3项的系数为-=-10， -(1-x)6中x3项的系数为-·(-1)3=20， 故在(1-x)5-(1-x)6的展开式中， 含x3项的系数为10. 方法二　原式=(1-x)5x， ∴展开式中含x3的项为·x=10x3，即含x3项的系数为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若二项式(1+2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n=　　.  (1+2x)n的展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以23=422，所以n=8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.的展开式的中间项为　　　　.  -x3 因为n=6，所以展开式共有7项，所以中间项为第4项， 则展开式的中间项为T4=(x2)3 =x3=-x3. 47 9.已知的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为T3=)n-2=4， T2=)n-1=-2， 依题意得，4+2=162，所以2+=81， 所以n2=81，又n∈N*，故n=9. (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二项式的展开式的通项为 Tk+1=)9-k=(-2)k， 令=3，解得k=1， 所以含x3的项为T2=-2x3=-18x3. 二项式系数为=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知(+)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍. (1)求n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (+)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是. 依题意得，+ =2·， 化简得90+(n-9)(n-8)=20(n-8)， 即n2-37n+322=0， 解得n=14或n=23，因为n<15，所以n=14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)写出它展开式中的所有有理项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二项式(+)14的展开式的通项为 Tk+1==， 当且仅当k是6的倍数时， 展开式中的项是有理项， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 k=0，T1=x7=x7； k=6，T7=x6=3 003x6；k=12，T13=x5=91x5. 11.对任意实数x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为 A.3 B.6 C.9 D.21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 ∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2×2+(x-2)×22+×23=8+12(x-2)+ 6(x-2)2+(x-2)3，∴a2=6. 12.若(ax+y)5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a等于 A.2 B.±2 C.2 D.±2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 展开式的通项公式是Tk+1=·(ax)5-k·yk，当k=3时，x2y3项的系数为·a2 =80，解得a=±2. 13.(多选)已知(n≥3，n∈N*)的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则 A.n=7 B.展开式中有理项有且仅有1项 C.第4项为- D.第3项的二项式系数为21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有=3=3n，化简整理得n2-7n=0，解得n=7或n=0(舍去)，故A正确； 展开式的通项为Tk+1=)7-k==， 当k=2或k=6时，为整数，故当k=2或k=6时展开式为有理项，故B错误； T4==-，故C正确； 第3项的二项式系数为=21，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知在的展开式中，第9项为常数项，则 (1)n的值为　　　；  10 二项展开式的通项为Tk+1=·=(-1)k. 因为第9项为常数项， 所以当k=8时，2n-×8=0， 解得n=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)含x的整数次幂的项有　　个.  6 要使20-k为整数，需k为偶数， 由于k=0，1，2，3，…，9，10， 故符合要求的项有6个. 15.设二项式(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B=4A，则a的值是　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二项式(a>0)的展开式的通项为 Tk+1=x6-k=(-a)k， 令6-k=3，得k=2；令6-k=0，得k=4， ∴B=(-a)4，A=(-a)2. ∵B=4A，a>0，∴a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知(+1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1∶2∶3. (1)这三项分别是第几项？ 展开式各项系数为(k=0，1，2，…，n)，当k≥1时，由题意∶ ∶=1∶2∶3， 即== ∴这三项分别是第5，6，7项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若展开式的倒数第二项为112，求x的值. 倒数第二项为， ∴=14=112，即=8， 则log2=log28=3，即(log2x)2=3，解得log2x=±， ∴x=或x=. 第六章 <<< $$