专题二 微拓展5 极化恒等式、等和(高)线、奔驰定理-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

专题二　三角函数与解三角形 微拓展5 极化恒等式、等和(高)线、奔驰定理 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，适用于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和(高)线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解更加简洁.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强，一般难度较大. 考情分析 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　极化恒等式 极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则： ①·=(||2-||2)(平行四边形模式)； ②·=||2-||2(三角形模式). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ·=4，·=-1，则·的值是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法一　(极化恒等式法) 设BD=DC=m，AE=EF=FD=n， 则AD=3n.由向量的极化恒等式，知 ·=||2-||2=9n2-m2=4， ① ·=||2-||2=n2-m2=-1， ② 联立①②解得n2=，m2=， 因此·=||2-||2=4n2-m2=， 即·=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二　(坐标法) 以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系. 设A(3a，3b)，B(-c，0)，C(c，0)， 则E(2a，2b)，F(a，b)， 所以·=(3a+c，3b)·(3a-c，3b)=9a2-c2+9b2=4， ·=(a+c，b)·(a-c，b)=a2-c2+b2=-1， 则a2+b2=，c2=，所以·=(2a+c，2b)·(2a-c，2b)=4a2-c2+4b2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法三　(基向量法) ·=(-)·(-)===4， ·=(-)·(-)==-1， 因此||2=，||2=， 所以·=(-)·(-)===. 2.(2024·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是　　 　　.  2 3 4 5 6 7 8 9 [39，55] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由向量极化恒等式知·=||2-||2=||2-9. 又△ABC是边长为8的等边三角形， 所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8. 当点P位于AC的中点时，||取最小值， 即||min=8sin =4， 所以||的取值范围为[4，8]， 所以·的取值范围为[39，55]. 1 3.(2024·抚顺模拟)太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则·的最小值为　　.  2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 连接PO，可得·=(+)·(-) =||2-||2=4-||2， 显然当||2最大，即||取得最大值2时，·取得最小值0. 1 微点二　等和(高)线定理 1.由三点共线结论推导等和线定理：如图，由三点共线结论可知，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得=k，则=k=kλ+kμ，设= x+y(x，y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2.平面内一个基底{，}及任一向量，=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. (1)当等和线恰为直线AB时，k=1； (2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，+∞)； (4)当等和线过点O时，k=0； (5)若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4.如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若=x+y，则2x+2y的最大值为 A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 如图，直线BC为k=1的等和线，过点P作BC的平行线与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设==k， 则x+y=k，k∈，∴0≤2x+2y=2k≤. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+ β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.  2 3 4 5 6 7 8 9 [3，4] 如图，直线BF为k=1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α+β∈. 设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故α+β∈[3，4]. 1 6.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不包含边界)运动，设=x+y(x， y∈R)，则x+y的取值范围是　　　　　.  6 2 3 4 5 7 8 9 1 如图，作CE⊥BD于点E， 由△CDE∽△DBA知=， 即=，所以CE=， 设与BD平行且与圆C相切的直线交AD的延长线于点F，作DH垂直于该直线于点H，显然DH=2CE=，由△DFH∽△BDA得=， 即=，所以DF=， 6 2 3 4 5 7 8 9 1 过点P作直线l∥BD，交AD的延长线于点M， 设t=，则x+y=t， 由图形知“等和线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位置(不包括BD和FH)，由平面几何知识可得1=<<=， 即1<t<，故x+y的取值范围是. 6 2 3 4 5 7 8 9 1 微点三　奔驰定理 奔驰定理：O是△ABC内的一点，且x·+y·+z·=0， 则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=x∶y∶z. 奔驰定理的推论：若x·+y·+z·=0，则 (1)S△BOC∶S△COA∶S△AOB=∶∶， (2)=，=，=. 6 2 3 4 5 7 8 9 1 7.已知O为△ABC内一点，且满足+λ+(λ-1)=0，若△OAB的面积与△OAC的面积的比值为，则λ的值为 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2 √ 6 2 3 4 5 7 8 9 1 6 2 3 4 5 7 8 9 由+λ+(λ-1)=0，得λ(+)=-=， 如图，D，E分别是BC，AB的中点，则2λ=， 所以O在线段DE上，且2λOD=AC=2DE， 得λ=，设OD=1，则DE=λ，所以OE=λ-1， 因为==，S△OAC=S△ADC=S△ABC，S△ABD=S△ABC， 所以S△OAC=S△ABD，则==，解得λ=. 1 8.(多选)已知O是锐角△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有 A.若+2+3=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3 B.若||=||=2，∠AOB=，2+3+4=0，则S△ABC= C.若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则∠ACB= D.若O为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AOB=- √ 6 2 3 4 5 7 8 9 √ √ 1 对于A，由奔驰定理可得，SA∶SB∶SC=1∶2∶3，故A正确； 对于B，SC=×2×2×sin∠AOB=1， 由2+3+4=0得SA∶SB∶SC=2∶3∶4，故S△ABC=SC=，故B错误； 对于C，若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 又SA∶SB∶SC=ar∶br∶cr=a∶b∶c(a，b，c为角A，B，C所对的边，r为△ABC内切圆半径)，三边满足勾股定理，故∠ACB=，故C正确； 6 2 3 4 5 7 8 9 1 6 2 3 4 5 7 8 9 对于D，若O为△ABC的垂心，则∠BOC+∠BAC=π，·=·cos∠BOC=-·cos∠BAC， 同理·=-||·||cos∠ACB， 又·=·(-)=0⇔· =·⇔cos∠BAC=cos∠ACB， 同理cos∠ABC=cos∠ACB，cos∠ABC=cos∠BAC， ∴∶∶=cos∠BAC∶cos∠ABC∶cos∠ACB， 1 6 2 3 4 5 7 8 9 ∵3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 且SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶ sin∠AOB =cos∠ABCcos∠ACBsin∠BAC∶cos∠BACcos∠ACBsin∠ABC∶ cos∠BACcos∠ABCsin∠ACB =∶∶ =tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB， 如图，D，E，F分别为垂足， 1 设AF=m，tan∠BAC=3t(t>0)，则FC=3mt，BF=m，AB=m，AC=·m， 又AE∶EC=∶=5∶3，故AE=AC，BE=3t·AE=AC， 由AB·FC=AC·BE⇔m·3mt=(9t2+1)m2，解得t=， 由tan2∠ACB=-1=5⇒cos∠ACB=， 故cos∠AOB=-cos∠ACB=-，故D正确. 6 2 3 4 5 7 8 9 1 9.已知D是△ABC所在平面内一点，且满足=+，则S△BCD∶S△ACD =　　　.  6 2 3 4 5 7 8 9 1 6 2 3 4 5 7 8 9 方法一　设==，则=+， 易得S△ABD=S△ABC，S△ACD=S△ABC， ∴S△BCD=S△ABC，∴=. 方法二　∵=+，∴-)+-)+=0， ∴++=0， 由奔驰定理得==. 1 总结提升 1.极化恒等式的适用范围 (1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化. (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 2.等和(高)线定理的适用范围 主要解决平面向量系数和与差的问题. 3.奔驰定理的使用范围 对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系.但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案. 31 补偿强化练 PART TWO 1.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3--=0，则△ABM与△ABC的面积之比为 A.1∶2　　　　B.1∶3　　　　C.1∶4　　　　D.2∶5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　将3--=0变形可得++=0，则点M在△ABC内， 根据奔驰定理可知 S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1， 则S△ABM∶S△ABC=1∶3. 方法二　如图，D为BC边的中点，则=+)， 因为3--=0， 所以3=+=2=， 所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 2.如图，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则·等于 A.13　　　　B.7　　　　C.5　　　　D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　连接AP，BP， 则=+，=+=-， 所以·=(+)·(-) =·-·+·-=-·+·- =·-=1×6-1=5. 方法二　连接PO(图略)，由向量极化恒等式知·=-=-=9-4=5. 3.(2024·武汉调研)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为 A.2　　　　B.　　　　C.3　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR，如图， 则由题意得QA=QB=，BD=， 所以QD====， 由图可知当P运动到D或E时，PQ最大， 所以·=(+)·(+)=(+)·(-) =-=--=3， 所以·的最大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二　取AB的中点Q，利用极化恒等式， ·=-=-， 如图，由图可知当P运动到D或E时，PQ最大， ∵QD====， ∴·-=3. 4.在矩形ABCD中，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若=λ+ μ，则λ+μ的最大值为 A.3　　　　B.2　　　　C.　　　　D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据图形可知，当点P在圆上运动到与BD距离最 大时，λ+μ有最大值， 连接AP，交BD于Q，则λ+μ=，过P点作BD的平 行线PM，过A点作PM，BD的垂线，如图所示， 垂足分别为M，N，则λ+μ===3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·+b·+c·=0，则O为△ABC的 A.外心　　　　B.内心　　　　C.重心　　　　D.垂心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC=a·h2，S△OAC=b·h3，S△OAB=c·h1， 因为S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0， 则a·h2·+b·h3·+c·h1·=0，即a·h2·+b·h3·+c·h1·=0， 又因为a·+b·+c·=0， 所以h1=h2=h3， 所以点P是△ABC的内心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.在△ABC中，AC⊥AB，AB=3，AC=1，点P，M是△ABC所在平面内的两点，且满足=+，||=2，若=x+y，则3x+y的最小值是 A.3+2　　　　B.　　　　C.1　　　　D.3-2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴， 则P(1，2)，M在以P为圆心，2为半径的圆上， 取D(1，0)，则有=3x+y，AM交CD于点N， 记=t，则有3x+y=t， 如图1所示，t==1+=1+≤1+=3+2； 如图2所示，t==1-=1-≥1-=3-2. 7.(多选)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若=x+y(x，y∈R)，则x+y的取值可以是 A.1 B. C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令x+y=k，如图，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，又∠AOB=，则k==2. 当点C在A(或B)处时，x+y最小为1. 故x+y的取值范围是[1，2]. 8.(多选)(2024·新余模拟)已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB 的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有 A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0 C.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶ tan∠BCA=3∶4∶5 D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC= ∶2∶1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于A，因为SA∶SB∶SC=1∶1∶1， 所以++=0， 取BC的中点D(图略)，则+=2， 所以2=-， 故A，M，D三点共线，且MA=2MD， 同理，取AB的中点E，AC的中点F，可得B，M，F三点共线，C，M，E三点共线， 所以M为△ABC的重心，A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于B，若M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r， 则SA=BC·r，SB=AC·r，SC=AB·r， 所以BC·r·+AC·r·+AB·r·=0， 即BC·+AC·+AB·=0，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于C，若M为△ABC的垂心，3+4+5=0， 则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 如图，AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，相交于点M， 则∠BMD=∠BCA，∠CMD=∠ABC， 因此====， 所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=SA∶SB∶SC=3∶4∶5，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于D，若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心， 则∠ACB=75°， 设△ABC的外接圆半径为R，故∠BMC=2∠BAC=90°， ∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°， 故SA=R2sin 90°=R2， SB=R2sin 120°=R2，SC=R2sin 150°=R2， 所以SA∶SB∶SC=2∶∶1，D错误. 9.在四边形ABCD中，M是AB上的点，MA=MB=MC=MD=1，∠CMD=90°， 若N是线段CD上的动点，则·的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M是AB上的点且MA=MB=MC=MD=1⇒C，D两点在以AB为直径的圆上，且圆心为M，∠CMD 90°⇒△CMD是等腰直角三角形， 由极化恒等式，·=-=-1， 显然当点N在CD上运动时，≤1， 所以-·≤0. 10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若=m+n，则m+n的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (-1，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，作， 则AB∥A1B1， 过O作直线l∥AB， 则直线l，A1B1分别为以{}为基底的值 为0，-1的等和线， 由题意线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D， 所以点C在 上(不含端点)， 所以m+n的取值范围是(-1，0). $$ 微拓展5　极化恒等式、等和(高)线、奔驰定理 [考情分析]　利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，适用于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和(高)线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解更加简洁.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强，一般难度较大. 微点一　极化恒等式 极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则： ①·=(||2-||2)(平行四边形模式)； ②·=||2-||2(三角形模式). 1.(5分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，·=-1，则·的值是　　　　　　.  答案　 解析　方法一　(极化恒等式法) 设BD=DC=m，AE=EF=FD=n， 则AD=3n.由向量的极化恒等式，知 ·=||2-||2=9n2-m2=4，① ·=||2-||2=n2-m2=-1，② 联立①②解得n2=，m2=， 因此·=||2-||2=4n2-m2=， 即·=. 方法二　(坐标法) 以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设A(3a，3b)，B(-c，0)，C(c，0)， 则E(2a，2b)，F(a，b)， 所以·=(3a+c，3b)·(3a-c，3b)=9a2-c2+9b2=4，·=(a+c，b)·(a-c，b)=a2-c2+b2=-1， 则a2+b2=，c2=， 所以·=(2a+c，2b)·(2a-c，2b)=4a2-c2+4b2=. 方法三　(基向量法) ·=(-)·(-)===4， ·=(-)·(-)==-1， 因此||2=，||2=， 所以·=(-)·(-)===. 2.(5分)(2024·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是　　　　.  答案　[39，55] 解析　由向量极化恒等式知 ·=||2-||2=||2-9. 又△ABC是边长为8的等边三角形， 所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8. 当点P位于AC的中点时，||取最小值， 即||min=8sin =4， 所以||的取值范围为[4，8]， 所以·的取值范围为[39，55]. 3.(5分)(2024·抚顺模拟)太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则·的最小值为　　　　.  答案　0 解析　连接PO，可得·=(+)·(-)=||2-||2=4-||2， 显然当||2最大，即||取得最大值2时，·取得最小值0. 微点二　等和(高)线定理 1.由三点共线结论推导等和线定理：如图，由三点共线结论可知，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得=k，则=k=kλ+kμ，设=x+y(x，y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. 2.平面内一个基底{，}及任一向量，=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. (1)当等和线恰为直线AB时，k=1； (2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，+∞)； (4)当等和线过点O时，k=0； (5)若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比. 4.如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若=x+y，则2x+2y的最大值为(　　) A. B.2 C. D.1 答案　A 解析　如图，直线BC为k=1的等和线，过点P作BC的平行线与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设==k， 则x+y=k，k∈，∴0≤2x+2y=2k≤. 5.(5分)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.  答案　[3，4] 解析　如图，直线BF为k=1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α+β∈.设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故α+β∈[3，4]. 6.(5分)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不包含边界)运动，设=x+y(x，y∈R)，则x+y的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　如图，作CE⊥BD于点E， 由△CDE∽△DBA知=， 即=，所以CE=， 设与BD平行且与圆C相切的直线交AD的延长线于点F，作DH垂直于该直线于点H，显然DH=2CE=，由△DFH∽△BDA得=， 即=，所以DF=， 过点P作直线l∥BD，交AD的延长线于点M， 设t=，则x+y=t， 由图形知“等和线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位置(不包括BD和FH)，由平面几何知识可得1=<<=， 即1<t<，故x+y的取值范围是. 微点三　奔驰定理 奔驰定理：O是△ABC内的一点，且x·+y·+z·=0， 则S△BOC∶S△COA∶S△AOB=x∶y∶z. 奔驰定理的推论：若x·+y·+z·=0，则 (1)S△BOC∶S△COA∶S△AOB=∶∶， (2)=，=，=. 7.已知O为△ABC内一点，且满足+λ+(λ-1)=0，若△OAB的面积与△OAC的面积的比值为，则λ的值为(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　由+λ+(λ-1)=0，得λ(+)=-=， 如图，D，E分别是BC，AB的中点，则2λ=， 所以O在线段DE上，且2λOD=AC=2DE， 得λ=，设OD=1，则DE=λ，所以OE=λ-1， 因为==，S△OAC=S△ADC=S△ABC，S△ABD=S△ABC， 所以S△OAC=S△ABD，则==，解得λ=. 8.(多选)已知O是锐角△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有(　　) A.若+2+3=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3 B.若||=||=2，∠AOB=，2+3+4=0，则S△ABC= C.若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则∠ACB= D.若O为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AOB=- 答案　ACD 解析　对于A，由奔驰定理可得，SA∶SB∶SC=1∶2∶3，故A正确； 对于B，SC=×2×2×sin∠AOB=1， 由2+3+4=0得SA∶SB∶SC=2∶3∶4，故S△ABC=SC=，故B错误； 对于C，若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 又SA∶SB∶SC=ar∶br∶cr=a∶b∶c(a，b，c为角A，B，C所对的边，r为△ABC内切圆半径)，三边满足勾股定理，故∠ACB=，故C正确； 对于D，若O为△ABC的垂心，则∠BOC+∠BAC=π，·=·cos∠BOC=-·cos∠BAC，同理·=-||·||cos∠ACB， 又·=·(-)=0⇔·=·⇔cos∠BAC=cos∠ACB， 同理cos∠ABC=cos∠ACB，cos∠ABC=cos∠BAC， ∴∶∶=cos∠BAC∶cos∠ABC∶cos∠ACB， ∵3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 且SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB =cos∠ABCcos∠ACBsin∠BAC∶cos∠BACcos∠ACBsin∠ABC∶cos∠BACcos∠ABCsin∠ACB =∶∶=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB， 如图，D，E，F分别为垂足， 设AF=m，tan∠BAC=3t(t>0)，则FC=3mt，BF=m，AB=m，AC=·m， 又AE∶EC=∶=5∶3， 故AE=AC，BE=3t·AE=AC， 由AB·FC=AC·BE⇔m·3mt=(9t2+1)m2，解得t=， 由tan2∠ACB=-1=5⇒cos∠ACB=， 故cos∠AOB=-cos∠ACB=-，故D正确. 9.(5分)已知D是△ABC所在平面内一点，且满足=+，则S△BCD∶S△ACD=　　　　　.  答案　 解析　方法一　 设=，=， 则=+， 易得S△ABD=S△ABC，S△ACD=S△ABC， ∴S△BCD=S△ABC，∴=. 方法二　∵=+， ∴-)+-)+=0， ∴++=0， 由奔驰定理得==. [总结提升] 1.极化恒等式的适用范围 (1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化. (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 2.等和(高)线定理的适用范围 主要解决平面向量系数和与差的问题. 3.奔驰定理的使用范围 对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系.但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案. 1.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3--=0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 答案　B 解析　方法一　将3--=0变形可得++=0，则点M在△ABC内， 根据奔驰定理可知 S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1， 则S△ABM∶S△ABC=1∶3. 方法二　如图，D为BC边的中点，则=+)， 因为3--=0， 所以3=+=2，所以=， 所以S△ABM=S△ABD=S△ABC. 2.如图，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则·等于(　　) A.13 B.7 C.5 D.3 答案　C 解析　方法一　连接AP，BP， 则=+， =+=-， 所以·=(+)·(-) =·-·+·- =-·+·- =·-=1×6-1=5. 方法二　连接PO(图略)，由向量极化恒等式知·=-=-=9-4=5. 3.(2024·武汉调研)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　C 解析　方法一　 分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR，如图， 则由题意得QA=QB=，BD=， 所以QD====， 由图可知当P运动到D或E时，PQ最大， 所以·=(+)·(+)=(+)·(-) =-=--=3， 所以·的最大值为3. 方法二　取AB的中点Q，利用极化恒等式， ·=-=-， 如图，由图可知当P运动到D或E时，PQ最大， ∵QD====， ∴·-=3. 4.在矩形ABCD中，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若=λ+μ，则λ+μ的最大值为(　　) A.3 B.2 C. D.2 答案　A 解析　根据图形可知，当点P在圆上运动到与BD距离最大时，λ+μ有最大值， 连接AP，交BD于Q，则λ+μ=，过P点作BD的平行线PM，过A点作PM，BD的垂线，如图所示，垂足分别为M，N，则λ+μ===3. 5.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·+b·+c·=0，则O为△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案　B 解析　记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC=a·h2，S△OAC=b·h3， S△OAB=c·h1， 因为S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0， 则a·h2·+b·h3·+c·h1·=0，即a·h2·+b·h3·+c·h1·=0， 又因为a·+b·+c·=0， 所以h1=h2=h3， 所以点P是△ABC的内心. 6.在△ABC中，AC⊥AB，AB=3，AC=1，点P，M是△ABC所在平面内的两点，且满足=+，||=2，若=x+y，则3x+y的最小值是(　　) A.3+2 B. C.1 D.3-2 答案　D 解析　若以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴，则P(1，2)，M在以P为圆心，2为半径的圆上，取D(1，0)，则有=3x+y，AM交CD于点N， 记=t，则有3x+y=t， 如图1所示，t==1+=1+≤1+=3+2； 如图2所示，t==1-=1-≥1-=3-2. 7.(多选)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若=x+y(x，y∈R)，则x+y的取值可以是(　　) A.1 B. C.2 D. 答案　ABC 解析　令x+y=k，如图，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，又∠AOB=，则k==2. 当点C在A(或B)处时，x+y最小为1. 故x+y的取值范围是[1，2]. 8.(多选)(2024·新余模拟)已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有(　　) A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0 C.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=3∶4∶5 D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=∶2∶1 答案　ABC 解析　对于A，因为SA∶SB∶SC=1∶1∶1， 所以++=0， 取BC的中点D(图略)，则+=2， 所以2=-， 故A，M，D三点共线，且MA=2MD， 同理，取AB的中点E，AC的中点F，可得B，M，F三点共线，C，M，E三点共线， 所以M为△ABC的重心，A正确； 对于B，若M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r， 则SA=BC·r，SB=AC·r，SC=AB·r， 所以BC·r·+AC·r·+AB·r·=0， 即BC·+AC·+AB·=0，B正确； 对于C，若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 如图，AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，相交于点M， 则∠BMD=∠BCA，∠CMD=∠ABC， 因此===，同理=， 所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=SA∶SB∶SC=3∶4∶5，C正确； 对于D，若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心， 则∠ACB=75°， 设△ABC的外接圆半径为R，故∠BMC=2∠BAC=90°， ∠AMC=2∠ABC=120°， ∠AMB=2∠ACB=150°， 故SA=R2sin 90°=R2， SB=R2sin 120°=R2，SC=R2sin 150°=R2， 所以SA∶SB∶SC=2∶∶1，D错误. 9.(5分)在四边形ABCD中，M是AB上的点，MA=MB=MC=MD=1，∠CMD=90°，若N是线段CD上的动点，则·的取值范围是　　　　　　　　.  答案　 解析　M是AB上的点且MA=MB=MC=MD=1⇒C，D两点在以AB为直径的圆上，且圆心为M，∠CMD 90°⇒△CMD是等腰直角三角形，由极化恒等式，·=-=-1，显然当点N在CD上运动时，≤1，所以-·≤0. 10.(5分)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若=m+n，则m+n的取值范围是　　　　　　　.  答案　(-1，0) 解析　如图，作，的相反向量，，则AB∥A1B1，过O作直线l∥AB，则直线l，A1B1分别为以{，}为基底的值为0，-1的等和线，由题意线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，所以点C在上(不含端点)，所以m+n的取值范围是(-1，0). 学科网（北京）股份有限公司 $$