专题一 微专题10 导数中函数的构造问题-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

微专题10　导数中函数的构造问题 [考情分析]　导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 微点一　导数型构造函数 考向1　与xn有关的构造 1.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)+xf'(x)<0，且f(-4)=0，则不等式xf(x)>0的解集为 　. 答案　(-∞，-4)∪(0，4) 解析　构造F(x)=xf(x)， 则F'(x)=f(x)+xf'(x)， 当x<0时，f(x)+xf'(x)<0，即F'(x)<0， ∴F(x)在(-∞，0)上单调递减， ∵f(x)为偶函数，∴F(x)=xf(x)为奇函数， ∴F(x)在(0，+∞)上也单调递减. 根据f(-4)=0，可得F(-4)=0，F(4)=0， 根据函数F(x)的单调性、奇偶性可得 xf(x)>0的解集为(-∞，-4)∪(0，4). 2.已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为(　　) A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025) C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025) 答案　B 解析　根据题意可令g(x)=(x<0)⇒g'(x)=<0， 所以g(x)=在(-∞，0)上单调递减， 则原不等式等价于<-1， 由g(x+2 025)=<-1=g(-1)得-1<x+2 025<0， 即-2 026<x<-2 025， 则所求不等式的解集为(-2 026，-2 025). 考向2　与ex有关的构造 3.(5分)已知可导函数f(x)的导函数为f'(x)，f(0)=2 025，若对任意的x∈R，都有f(x)<f'(x)，则不等式f(x)<2 025ex的解集为　　　　　　.  答案　(-∞，0) 解析　由题意对任意的x∈R，都有f(x)<f'(x)，即f'(x)-f(x)>0， 令g(x)=则g'(x)=>0，即g(x)=为R上的增函数， 而f(0)=2 025，故g(0)==2 025， 又f(x)<2 025ex， 即g(x)=<2 025=g(0)，得x<0， 即不等式f(x)<2 025ex的解集为(-∞，0). 4.函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f'(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为(　　) A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或0<x<1} 答案　A 解析　令φ(x)=exf(x)-ex，x∈R， 则φ'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex =ex[f(x)+f'(x)-1]. 又f(x)+f'(x)>1，∴f(x)+f'(x)-1>0， ∴φ'(x)>0， ∴φ(x)在定义域上是增函数， 不等式exf(x)>ex+1可化为exf(x)-ex>1， 又φ(0)=e0f(0)-e0=1， ∴原不等式等价于φ(x)>φ(0)，故x>0， ∴原不等式的解集为{x|x>0}. 5.已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f'(x)，且满足f'(x)-2f(x)<0，f(0)=1，则(　　) A.e2f(-1)<1 B.f(1)>e2 C.f <e D.f(1)>ef 答案　C 解析　设g(x)= 则g'(x)= = 因为f'(x)-2f(x)<0在R上恒成立， 所以g'(x)<0在R上恒成立， 故g(x)是减函数， 所以g(-1)>g(0)， =e2f(-1)>=1，故A不正确； g(1)<g(0)，即< 即f(1)<e2f(0)=e2，故B不正确； g<g(0)， 即<=1，即f<e，故C正确； g>g(1)，即> 即f(1)<ef 故D不正确. 考向3　与三角函数有关的构造 6.设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x)cos x-f(x)sin x>0，若a=f b=0，c=-f 则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 答案　A 解析　设函数g(x)=f(x)cos x， 则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x， 因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0，所以g'(x)>0， 所以g(x)在(0，π)上是增函数， a=f =f cos=g b=0=f cos =g c=-f =f cos =g 因为<<所以a<b<c. 7.(5分)设f(x)为定义在(-π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f'(x)，且f =0，当0<x<π时，f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<0的解集为　　　　　　　　　.  答案　∪ 解析　根据题意构造函数F(x)=(x∈(-π，0)∪(0，π))，则F'(x)= 由f(x)是奇函数，则F(-x)===F(x)， 所以F(x)是偶函数， 由当0<x<π时，f'(x)sin x-f(x)cos x<0， 得当0<x<π时，F'(x)<0， 故F(x)在(0，π)上单调递减， 所以F(x)在(-π，0)上单调递增， 又f =0，所以F=0， 所以当0<x<π时，f(x)<0转化为<所以<x<π； 当-π<x<0时，f(x)<0转化为>=所以-<x<0. 综上，f(x)<0的解集为∪. 微点二　构造函数比较大小 8.(2024·山西联考)设a=b=c=则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 答案　D 解析　易知a== b=c== 令f(x)=(x>0)， 则f'(x)= f'(x)<0⇒x>e， 所以f(x)在(e，+∞)上单调递减， 又因为e<3<π， 所以f(e)>f(3)>f(π)，即a>c>b. 9.(2024·陇南模拟)若a=b=70.1，c=e0.2，则(　　) A.c>b>a B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b 答案　D 解析　因为e2>2.72>7，所以c=e0.2=(e2)0.1>70.1=b； 令g(x)=ex-x-1，则g'(x)=ex-1， 当x>0时，g'(x)>0，则g(x)在(0，+∞)上单调递增， 当x<0时，g'(x)<0，则g(x)在(-∞，0)上单调递减， 所以g(x)≥g(0)=0，故ex≥x+1， 则e-x≥-x+1，即≥1-x，当且仅当x=0时，等号成立， 当0<-x+1<1，即0<x<1时，有>ex， 从而有c=e0.2<==a， 综上，a>c>b. 10.(2022·全国甲卷)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则(　　) A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 答案　A 解析　方法一　【最优解】(构造函数) 由9m=10，可得m=log910∈(1，1.5). 根据a，b的形式构造函数f(x)=xm-x-1(x>1)，则f'(x)=mxm-1-1， 令f'(x0)=0，解得x0=由m=log910∈(1，1.5)知x0∈(0，1)，则当x>1时，f'(x)>0， 故f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即a>b， 又因为f(9)=9m-10=0，所以a>0>b. 方法二　(指数、对数函数性质) 由9m=10可得m=log910=>1，而lg 9lg 11<=<1=所以>即m>lg 11，所以a=10m-11>10lg 11-11=0. 又lg 8lg 10<=<所以>即log89>m， 所以b=8m-9<-9=0.综上，a>0>b. [总结提升] 1.利用函数f(x)与导函数f'(x)的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，常见思路是根据运算法则构造函数. 2.比较大小问题难度较大，关键点是将各个值中的共同的量用变量替换构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题凭借近似估计计算往往是无法解决的. 1.已知函数f(x)的定义域为R，设f(x)的导数是f'(x)，且f(x)·f'(x)+sin x>0恒成立，则(　　) A.f<f B.f>f C.< D.> 答案　D 解析　设g(x)=[f(x)]2-2cos x，则g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sin x>0， 故g(x)在定义域R上是增函数，所以g>g 即> 所以>. 2.设函数f'(x)是定义在R上的奇函数f(x)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则不等式f(x)<0的解集为(　　) A.(-∞，-1)∪(0，1) B.(-1，0)∪(1，+∞) C.(-∞，-1)∪(-1，0) D.(0，1)∪(1，+∞) 答案　B 解析　设F(x)=(x≠0)，则F'(x)= 因为当x>0时，xf'(x)-f(x)<0， 所以当x>0时，F'(x)<0，即F(x)在(0，+∞)上单调递减. 由于f(x)是奇函数，所以F(-x)===F(x)，即F(x)是偶函数， 所以F(x)在(-∞，0)上单调递增. 又f(1)=-f(-1)=0， 所以当x<-1或x>1时，F(x)=<0； 当-1<x<0或0<x<1时，F(x)=>0， 所以当-1<x<0或x>1时，f(x)<0. 即不等式f(x)<0的解集为(-1，0)∪(1，+∞). 3.已知偶函数f(x)的定义域为其导函数为f'(x)，当0≤x<时，有f'(x)cos x+f(x)sin x>0成立，则关于x的不等式f(x)>2f cos x的解集为(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　C 解析　构造函数g(x)=-<x< g'(x)== 当0≤x<时，g'(x)>0，所以函数g(x)在上单调递增， 因为函数f(x)为偶函数，所以函数g(x)也为偶函数， 且函数g(x)在上单调递增，所以函数g(x)在上单调递减， 因为x∈所以cos x>0，关于x的不等式f(x)>2f cos x可变为 >即g(x)>g所以g(|x|)>g 则解得<x<或-<x<-. 4.(2024·济宁模拟)若实数a，b，c∈[0，1]，且满足ae=ea，be1.2=1.2eb，cel.6=1.6ec，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 答案　C 解析　由ae=ea，be1.2=1.2eb，ce1.6=1.6ec， 得=== 令f(x)=则f'(x)= 当x<1时，f'(x)>0；当x>1时，f'(x)<0， 所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，于是f(1)>f(1.2)>f(1.6)， 即f(a)>f(b)>f(c)，又a，b，c∈[0，1]， 所以a>b>c. 5.(2024·滁州模拟)已知a=e0.4-1，b=0.4-2ln 1.2，c=0.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a 答案　B 解析　令f(x)=e2x-1-x，x∈(0，1)， 则f'(x)=2e2x-1>0恒成立，即f(x)在(0，1)上单调递增，且f(0)=0， 故f(x)>f(0)=0，取x=0.2，则f(0.2)>0， 即e0.4-1-0.2>0， 可得e0.4-1>0.2，即a>c； 令g(x)=x-2ln(1+x)，x∈(0，1)， 则g'(x)=1-=<0恒成立， 即g(x)在(0，1)上单调递减，且g(0)=0， 故g(x)<g(0)=0，取x=0.2，则g(0.2)<0， 即0.2-2ln 1.2<0， 可得0.4-2ln 1.2<0.2，即b<c. 综上可得，a，b，c的大小关系为a>c>b. 6.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(1)=1，且x2f'(x)+1>0，则下列式子中一定成立的是(　　) A.f >3 B.f >π C.f>ln 2 D.f(ln 3)<log3e 答案　C 解析　因为当x>0时，x2f'(x)+1>0，可得f'(x)+>0， 令g(x)=f(x)-(x>0)，可得g'(x)=f'(x)+>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为f(1)=1，可得g(1)=f(1)-1=0， 对于A，由g<g(1)，即f -3<0，所以f <3，所以A不正确； 对于B，由g<g(1)，即f -π<0，所以f <π，所以B不正确； 对于C，由g(log2e)>g(1)，即f(log2e)-ln 2>0，所以f(log2e)>ln 2，所以C正确； 对于D，由g(ln 3)>g(1)，即f(ln 3)->0，所以f(ln 3)>log3e，所以D不正确. 7.(多选)(2024·福州联考)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，则下列结论正确的是(　　) A.f(2)-ln 2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln 2 C.f(2)+ln 2>f(e)+1 D.f(e2)-f(e)>1 答案　ABD 解析　构造函数g(x)=f(x)-ln x，x>0， 则g'(x)=f'(x)-= 因为xf'(x)-1>0， 所以g'(x)>0， 故g(x)是增函数， 由g(2)>g(1)得，f(2)-ln 2>f(1)-ln 1， 即f(2)-ln 2>f(1)，故A正确； 由g(4)>g(2)得，f(4)-ln 4>f(2)-ln 2， 即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2，故B正确； 由g(e)>g(2)得，f(e)-ln e>f(2)-ln 2， 即f(e)+ln 2>f(2)+1，故C错误； 由g(e2)>g(e)得，f(e2)-ln e2>f(e)-ln e， 即f(e2)-2>f(e)-1， 即f(e2)-f(e)>1，故D正确. 8.(多选)设定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若满足xf(x)+x2f'(x)=1，且f(1)=0，则下列说法正确的是(　　) A.f(2)>f(3) B.若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，则x1+x2=2e C.f(x)的最大值为 D.若xf(x)≥eλ恒成立，则λ≤0 答案　CD 解析　因为f(x)的定义域为(0，+∞)， xf(x)+x2f'(x)=1，即f(x)+xf'(x)= 故[xf(x)]'= 又(ln x+c)'=其中c为常数， 故xf(x)=ln x+c， 又f(1)=0，故在xf(x)=ln x+c中， 令x=1得f(1)=ln 1+c=0， 解得c=0，故f(x)=x>0， A选项，f(2)=f(3)= 因为ln 8<ln 9⇒3ln 2<2ln 3⇒< 故f(2)<f(3)，A错误； B选项，不妨设x1=2，x2=4，此时f(2)=f(4)= 但2+4≠2e，B错误； C选项，f'(x)= 令f'(x)>0，得0<x<e； 令f'(x)<0，得x>e， 故f(x)=在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减， 故f(x)=在x=e处取得极大值，也是最大值， 故f(x)的最大值为f(e)=C正确； D选项，xf(x)≥eλ，即≥eλ， 两边取对数得·ln x≥λ， 即≥λ， 令h(x)= 则h'(x)== 令h'(x)>0得1<x<e2， 令h'(x)<0得0<x<1或x>e2， 故h(x)=在(0，1)，(e2，+∞)上单调递减，在(1，e2)上单调递增， 又h(1)=0， 且当x>0且x≠1时，h(x)=>0恒成立， 故h(x)min=0， 故λ≤0，D正确. 9.(5分)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数都存在，若f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<10x，且f(2)g(2)-f(1)g(1)为整数，则f(2)g(2)-f(1)g(1)的可能取值的最大值为　　　　.  答案　14 解析　因为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<10x， 设函数h(x)=f(x)g(x)-5x2，则h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-10x<0， 所以h(x)在R上单调递减， 则h(1)>h(2)，即f(1)g(1)-5×12>f(2)g(2)-5×22， 整理得f(2)g(2)-f(1)g(1)<15， 又因为f(2)g(2)-f(1)g(1)为整数， 所以f(2)g(2)-f(1)g(1)的可能取值的最大值为14. 10.(5分)设函数f(x)的导函数为f'(x)，f(0)=1且3f(x)=f'(x)-3，则4f(x)>f'(x)的解集是　　　　　　.  答案　 解析　构造函数g(x)=因为f(0)=1，故g(0)==2， 所以g'(x)===0， 所以g(x)为常数函数，则g(x)==2， 所以f(x)=2e3x-1，f'(x)=6e3x， 又4f(x)>f'(x)，所以8e3x-4>6e3x，解得x>. 学科网（北京）股份有限公司 $$梦 微专题10 导数中函数的构造问题 专题一函数与导数 考情分析 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出 现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小 解不等式、恒成立等问题 思维导图 构造F()=r)或F=0(n∈Z且n≠0)型 导数的运算法则 构造F)-e)或F)=巴n∈Z且n≠0)型 复合函数求导 必备 常见 基本初等函数 知识 题型 构造F(x)=fx)sinx或F(x)=f型 sin x 函数的单调性 函数的性质 数中 构造F(x)=fx)cosx或F(r)=f)型 cos x 根据不等式（求解目标）构造具体函数 构造函数法 构造的函数不恰当 比较法 必备 数的构造问题 常见 中间量选取不恰当 函数单调性法 解法 误区 函数性质运用不准确 数形结合法 内容索引 高频考点练 补偿强化练 高频考点练 PART ONE 微点一导数型构造函数 考向1与x"有关的构造 1.已知x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，x)+xf(x)<0,且-4)=0， 则不等式xx)>0的解集为∞，4)U(0,4) 0234361s910 解析 构造Fx)=xx),则F(x)=x)十xfx), 当x<0时，fx)+xfx<0,即F(x)<0, ∴Fx)在（∞，0）上单调递减， x)为偶函数，∴.F(x)=xx)为奇函数， ∴.F(x)在(0，+∞)上也单调递减！ 根据-4)=0，可得F(-4)=0,F(4)=0, 根据函数F(x)的单调性、奇偶性可得 xx)>0的解集为(-∞，-4)U(0,4). 023467s910 2.已知函数x)的定义域为（∞，0），-1)=-1，其导函数fx)满足xfx) 2x)>0,则不等式x+2025)+(x+2025)2<0的解集为 A.(-2026,0) 9-2026,-2025) C.(-∞，-2026) D.(-∞，-2025) 123467s910 解析 根据题意可令gx)<0→gT2r0. x3 所以g)四在∞，0)上单调递减， 则原不等式等价于器1， 由gr+2025)a21-g-l得-1r20250, 即-2026<x<-2025, 则所求不等式的解集为(-2026，-2025). 1②3461s910 考向2与e有关的构造 3.已知可导函数x)的导函数为f(x),0)=2025,若对任意的x∈R,都有 fx)f(x),则不等式fx)<2025e的解集为（∞，0） 12③34361s310 解析 由题意对任意的x∈R,都有fx)<fx),即fx)fx)>0, 令g)巴，则gw)0,即gw四为R上的增函数， 而0)-2025，故g0/9-2025, 又x)K2025e, 即g但2025-g0,得x<0, 即不等式x)<2025e的解集为(-∞，0) 12③4361s10