专题一 微专题9 公切线-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

微专题9　公切线 [考情分析]　曲线的切线问题是近年来新高考的热点问题，而其中公切线问题是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. 微点一　求两函数的公切线 1.(5分)(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　　　.  答案　ln 2 解析　由y=ex+x得y'=ex+1， 当x=0时，y'=e0+1=2， 故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为 y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'= 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，y0)， 由两曲线有公切线得y'==2， 解得x0=-代入切线方程y=2x+1得y0=2×+1=0， 则y0=ln(x0+1)+a=0， 即ln+a=0，解得a=ln 2. 2.(15分)设函数f(x)=aln x(a∈R)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x+b(b∈R). (1)求a，b的值；(5分) (2)求证：函数f(x)与g(x)=(x>0)的图象有且只有一条公切线，并求该公切线的方程.(10分) 解　(1)f'(x)=f'(1)=∴a= 又f(1)=0，则切点(1，0)在切线y=x+b上， ∴b=-. (2)由(1)得f(x)=ln x. 设函数f(x)与g(x)上各有一点AB ∵f'(x)=g'(x)= 则f(x)以点A为切点的切线方程为y=x+ln x1- g(x)以点B为切点的切线方程为y=x+ 若两条切线重合，则(*) 消去x1，整理得ln x2=1- 即ln x2-1+=0， 令φ(x)=ln x-1+得φ'(x)=-= 当0<x<1时，φ'(x)<0，当x>1时，φ'(x)>0， ∴函数φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 又φ(1)=0，∴函数φ(x)有唯一零点x=1， 从而方程组(*)有唯一解 即此时函数f(x)与g(x)的图象有且只有一条公切线. 该公切线的方程为y=x-即x-2y-1=0. 微点二　与公切线有关的求值问题 3.(2024·临沂模拟)已知曲线y=x+ln x在点(1，1)处的切线与抛物线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a的值为(　　) A.0 B.0或8 C.8 D.1 答案　C 解析　由y=x+ln x得y'=1+当x=1时，y'=2，则公切线的斜率k=2， 切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1， 因为它与抛物线相切， 所以ax2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解，即ax2+ax+2=0有唯一解， 故解得a=8. 4.(2024·保山模拟)若函数f(x)=4ln x+1与函数g(x)=x2-2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由函数f(x)=4ln x+1，可得f'(x)= 设切点为(t，4ln t+1)，则f'(t)= 则公切线的方程为y-4ln t-1=(x-t)，即y=x+4ln t-3， 与y=g(x)=x2-2x(a>0)联立可得x2-x-4ln t+3=0，该方程有唯一解， 所以Δ=-4××(3-4ln t)=0，整理可得= 又由可得3-4ln t>0，解得0<t< 令h(t)=其中0<t<可得h'(t)= 令φ(t)=t+4ln t-1，0<t<可得φ'(t)=1+>0，函数φ(t)在上单调递增，且φ(1)=0， 则当0<t<1时，φ(t)<0，即h'(t)<0，此时函数h(t)单调递减， 当1<t<时，φ(t)>0，即h'(t)>0，此时函数h(t)单调递增， 所以h(t)min=h(1)=3，且当t→0+时，h(t)→+∞，所以函数h(t)的值域为[3，+∞)，所以≥3且a>0，解得0<a≤ 即实数a的取值范围为. 5.(5分)已知函数f(x)=-2x(x>0)，函数g(x)=-x2+3ax-a2-3a(a∈R).若过点O(0，0)的直线l与曲线y=f(x)相切于点P，与曲线y=g(x)相切于点Q，当P，Q两点不重合时，线段PQ的长为　　　　.  答案　 解析　因为f'(x)=-2， 设点P 则f'(x0)=-2， 可知kOP==-2，解得x0=2， 可得切点P切线斜率k=f'(2)=-1， 所以直线l的方程为y+2=-即y=-x， 联立得x2-x+a2+3a=0， 由Δ=(1+3a)2-4=0， 即=0，可得a=或a=1； 当a=1时，xQ=2，此时QP，Q重合，舍去； 当a=时，xQ=此时Q 综上Q 此时==. 微点三　判断公切线条数 6.(2024·安阳模拟)若直线l与曲线y=ex和y=ln x都相切，则直线l有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 答案　C 解析　设直线l：y=kx+b，因为直线l与曲线y=ex和y=ln x都相切，则k>0， 所以对于曲线y=ex，y'=ex=k，解得x=ln k，所以切点A(ln k，k)， 对于曲线y=ln x，y'==k(x>0)，解得x=所以切点B易知ln k≠ 因为公切线过A，B两点， 所以k=== 进而可得kln k-ln k-k-1=0， 令g(k)=kln k-ln k-k-1(k>0)， g'(k)=ln k-(k>0)， 因为y=ln k，y=-均为增函数， 且g'(1)=-1<0，g'(e)=1->0， 所以存在k0∈(1，e)，使得g'(k0)=ln k0-=0， 即ln k0= 所以g(k)在(0，k0)上单调递减，在(k0，+∞)上单调递增， 所以g(k)min=g(k0)=k0ln k0-ln k0-k0-1 =k0·--k0-1=--k0<0， 又因为g(e2)=e2ln e2-ln e2-e2-1=e2-3>0， 所以g(k0)g(e2)<0， 因为k0∈(1，e)，所以在(k0，e2)内存在k1，使得g(k1)=0； 又因为g=ln -ln --1=+1>0， 所以g(k0)g<0， 因为k0∈(1，e)， 所以在内存在k2，使得g(k2)=0， 综上所述，存在两条斜率分别为k1，k2的直线与曲线y=ex和y=ln x都相切. 7.(15分)(2024·西安模拟)已知函数f(x)=a-2(a≠0)，g(x)=ln x. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间；(6分) (2)若函数y=f(x)，y=g(x)的图象存在两条公切线，求实数a的取值范围.(9分) 解　(1)因为F(x)=f(x)-g(x)=a-ln x-2(x>0)， 所以F'(x)=-= ①若a<0，则F'(x)<0，所以函数F(x)的单调递减区间是(0，+∞)，无单调递增区间； ②若a>0，令F'(x)=0，则有a-2=0，解得x=>0， 所以当x∈时，F'(x)<0； 当x∈时，F'(x)>0； 所以函数F(x)的单调递减区间是单调递增区间是 综上，当a<0时，F(x)的单调递减区间是(0，+∞)，无单调递增区间； 当a>0时，F(x)的单调递减区间是单调递增区间是. (2)设函数f(x)=a-2上的切点坐标为(x1，a-2)，且x1>0， 函数g(x)=ln x上的切点坐标为(x2，ln x2)，且x2>0. 又f'(x)=g'(x)= 则公切线的斜率k==则a>0， 所以x1= 则公切线方程为y-ln x2=(x-x2)，即y=x+ln x2-1， 代入(x1，a-2)得a-2=x1+ln x2-1， 则x2=·+ln x2+1，整理得a2= 若总存在两条不同的直线与函数y=f(x)，y=g(x)的图象均相切， 则方程a2=有两个不同的实根， 设h(x)=x>0，则h'(x)== 令h'(x)=0，得x=1， 当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减， 所以h(x)max=h(1)=4， 又由h(x)=0可得x= 则x趋于0时，h(x)趋于-∞； x趋于+∞时，h(x)趋于0，则函数h(x)的大致图象如图所示， 所以解得0<a<2， 故实数a的取值范围为(0，2). [总结提升] 公切线问题的一般思路：两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 具体做法为： 设公切线在y=f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y=g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f'(x1)=g'(x2)=. 1.已知曲线C1：y=x3，曲线C2：y=cos x-1与直线l：y=0，则(　　) A.l与C1，C2均相切 B.l与C1，C2均不相切 C.l与C1相切，l与C2不相切 D.l与C1不相切，l与C2相切 答案　A 解析　设曲线C1：y=x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0， 则3=0，y0= 所以x0=0，y0=0，切线方程为y=0. 设曲线C2：y=cos x-1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0， 则-sin x1=0，y1=cos x1-1， 所以x1=2kπ，y1=0或x1=2kπ+π，y1=-2，k∈Z， 取x1=0，y1=0可得切线方程为y=0，所以l与C1，C2均相切. 2.(2024·保定模拟)若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线，则m+n等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 答案　B 解析　设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点(b，3b+m)， 对于函数y=x3(x>0)，y'=3x2，则3a2=3(a>0)， 解得a=1， 所以13=3+m，即m=-2. 对于函数y=-x2+nx-6(x>0)，y'=-2x+n， 则-2b+n=3(b>0)， 又-b2+nb-6=3b-2， 所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2， 又b>0，所以b=2，n=7. 所以m+n=-2+7=5. 3.与曲线f(x)=x3-x和g(x)=x2+均相切的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　C 解析　由f'(x)=3x2-1， 所以y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1)， 整理得y=(3-1)x-2. 因为g'(x)=2x， 所以y=g(x)在点(x2，g(x2))处的切线方程为y-=2x2(x-x2)， 整理得y=2x2x-+ 则(*) 整理得-2- =(9-8x1-6)=0， 当9-8x1-6=0时，Δ=82+4×9×6>0，方程有两个非零实数根， x1=0也满足方程，故x1有3个解， 所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条. 4.若存在斜率为3a(a>0)的直线l与曲线f(x)=x2+2ax-2b与g(x)=3a2·ln x都相切，则实数b的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为f(x)=x2+2ax-2b， g(x)=3a2·ln x， 所以f'(x)=x+2a，g'(x)= 设直线l与f(x)，g(x)的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1+2a==3a，解得x1=x2=a， 则两切点重合，即f(a)=g(a)， a2+2a2-2b=3a2·ln a， 2b=a2-3a2·ln a， 设h(a)=a2-3a2·ln a(a>0)， 则h'(a)=2a-6aln a=2a(1-3ln a)， 当0<a<时，h'(a)>0，h(a)单调递增； 当a>时，h'(a)<0，h(a)单调递减， 则h(a)max=h =-3·ln = 因为当a→+∞时，h(a)→-∞， 所以2b≤ 即b≤ 所以实数b的取值范围为. 5.(多选)(2024·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=ln x+2，g(x)=3-(x>0)，则(　　) A.函数h(x)=f(x)-g(x)没有零点 B.直线y=x+1是函数f(x)与g(x)图象的一条公切线 C.当x≠1时，函数g(x)的图象在函数f(x)图象的下方 D.当<x<2时>f(x) 答案　BC 解析　因为 h(1)=f(1)-g(1)=ln 1+2-(3-1)=0， 所以x=1是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点，故A错； f'(x)=f'(1)=1，f(1)=2，g'(x)=g'(1)=1，g(1)=2， 所以函数f(x)与g(x)在点(1，2)处的切线方程均为y-2=x-1，即y=x+1， 所以直线y=x+1是函数f(x)与g(x)图象的一条公切线，故B对； 令m(x)=f(x)-g(x)=ln x+2-3+=ln x-1+ m'(x)=-=(x>0)， 令m'(x)>0，解得x>1； 令m'(x)<0，解得0<x<1， 所以m(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 由于m(1)=0，所以m(x)=f(x)-g(x)≥m(1)=0恒成立， 即f(x)≥g(x)恒成立，且当x≠1时，f(x)>g(x)， 所以当x≠1时，函数g(x)的图象在函数f(x)图象的下方，故C对； 由<x<2，令x=1，f(1)=g(1)=2， ===(ln 2+2)， 而(ln 2+2)-2==<0， 所以<f(1)，故D错. 6.(5分)(2024·烟台模拟)请你列举出一个与函数f(x)=e2x-1在原点(0，0)处具有相同切线的函数：　　　　.  答案　y=x2+2x(答案不唯一) 解析　由题意得f'(x)=2e2x，故f'(0)=2e0=2， 故函数f(x)=e2x-1在原点(0，0)处的切线方程为y=2x， 故可考虑如函数y=ax2+bx的形式， 此时y'=2ax+b，故当x=0时，y'=b=2， 取a=1，此时y=x2+2x. 7.(15分)(2024·武汉模拟)已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. (1)当a取何值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(7分) (2)若C1和C2有两条公切线，证明：相应的两条公切线段互相平分.(8分) (1)解　函数y=x2+2x的导数y'=2x+2， 曲线C1在点P(x1+2x1)处的切线方程是y-(+2x1)=(2x1+2)(x-x1)， 即y=(2x1+2)x-① 函数y=-x2+a的导数y'=-2x， 曲线C2在点Q(x2，-+a)处的切线方程是y-(-+a)=-2x2(x-x2)， 即y=-2x2x++a.② 如果直线l是过P和Q的公切线， 则①式和②式都是l的方程，则2x1+2=-2x2，-=+a， 消去x2得方程2+2x1+1+a=0， 当判别式Δ=4-4×2(1+a)=0，即a=-时，解得x1=-此时点P与Q重合. 即当a=-时，C1和C2有且仅有一条公切线， 由①得公切线方程为y=x-. (2)证明　由(1)可知，当a<-时，Δ>0，C1和C2有两条公切线， 设一条公切线上的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 其中P在C1上，Q在C2上， 则由(1)得x1+x2=-1， y1+y2=+2x1+(-+a)=+2x1-(x1+1)2+a=-1+a， 故线段PQ的中点为 同理求得另一条公切线段P'Q'的中点也是 所以公切线段PQ和P'Q'互相平分，即若C1和C2有两条公切线，则相应的两条公切线段互相平分. 8.(15分)(2024·郴州模拟)已知函数f(x)=axex(a≠0)，g(x)=-x2. (1)求f(x)的单调区间；(6分) (2)若当x>0时，f(x)与g(x)有公切线，求实数a的取值范围.(9分) 解　(1)由函数f(x)=axex(a≠0)，可得f'(x)=a(x+1)ex， 若a>0，可得当x∈(-∞，-1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(-1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 若a<0，可得当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(-1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减. 所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(-1，+∞)，单调递减区间为(-∞，-1)； 当a<0时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，单调递减区间为(-1，+∞). (2)设公切线与y=f(x)和y=g(x)的切点分别为(x1，ax1)，(x2，-)， 由k=f'(x1)=a(x1+1)可得切线方程为y-ax1=a(x1+1)(x-x1)， 即y=a(x1+1)x+ax1-a(+x1) =a(x1+1)x-a. 由k=g'(x2)=-2x2， 可得切线方程为y=-2x2x+ 所以可得-a=(x1>0)， 设h(x)=(x>0)，可得h'(x)= 当0<x<1时，h'(x)>0，h(x)单调递增； 当x>1时，h'(x)<0，h(x)单调递减， 所以当x=1时，函数h(x)取得极大值即最大值，最大值为h(1)= 又当x→0时，h(x)→0；当x→+∞时，h(x)→0， 所以0<h(x)≤ 所以0<-a≤ 即实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一　函数与导数 微专题9 公切线 曲线的切线问题是近年来新高考的热点问题，而其中公切线问题是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. 考情分析 思维导图 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　求两函数的公切线 1.(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　.  1 2 3 4 5 6 7 ln 2 由y=ex+x得y'=ex+1， 当x=0时，y'=e0+1=2， 故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'= 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，y0)， 由两曲线有公切线得y'==2， 解得x0=-代入切线方程y=2x+1得y0=2×+1=0， 则y0=ln(x0+1)+a=0，即ln+a=0，解得a=ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 2.设函数f(x)=aln x(a∈R)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x+b (b∈R). (1)求a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 f'(x)=f'(1)=∴a= 又f(1)=0，则切点(1，0)在切线y=x+b上， ∴b=-. (2)求证：函数f(x)与g(x)=(x>0)的图象有且只有一条公切线，并求该公切线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 由(1)得f(x)=ln x. 设函数f(x)与g(x)上各有一点AB ∵f'(x)=g'(x)= 则f(x)以点A为切点的切线方程为y=x+ln x1- g(x)以点B为切点的切线方程为y=x+ 若两条切线重合，则 (*) 消去x1，整理得ln x2=1-即ln x2-1+=0， 令φ(x)=ln x-1+得φ'(x)=-= 当0<x<1时，φ'(x)<0，当x>1时，φ'(x)>0， ∴函数φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 又φ(1)=0，∴函数φ(x)有唯一零点x=1， 从而方程组(*)有唯一解 即此时函数f(x)与g(x)的图象有且只有一条公切线. 该公切线的方程为y=x-即x-2y-1=0. 1 2 3 4 5 6 7 微点二　与公切线有关的求值问题 3.(2024·临沂模拟)已知曲线y=x+ln x在点(1，1)处的切线与抛物线y=ax2+ (a+2)x+1相切，则a的值为 A.0　　　　B.0或8　　　　C.8　　　　D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 由y=x+ln x得y'=1+当x=1时，y'=2，则公切线的斜率k=2， 切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1， 因为它与抛物线相切， 所以ax2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解，即ax2+ax+2=0有唯一解， 故解得a=8. 1 2 3 4 5 6 7 4.(2024·保山模拟)若函数f(x)=4ln x+1与函数g(x)=x2-2x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 由函数f(x)=4ln x+1，可得f'(x)= 设切点为(t，4ln t+1)，则f'(t)= 则公切线的方程为y-4ln t-1=(x-t)，即y=x+4ln t-3， 与y=g(x)=x2-2x(a>0)联立可得x2-x-4ln t+3=0，该方程有唯一解， 所以Δ=-4××(3-4ln t)=0，整理可得= 又由可得3-4ln t>0，解得0<t< 1 2 3 4 5 6 7 令h(t)=其中0<t<可得h'(t)= 令φ(t)=t+4ln t-1，0<t<可得φ'(t)=1+>0，函数φ(t)在上单调递增，且φ(1)=0， 则当0<t<1时，φ(t)<0，即h'(t)<0，此时函数h(t)单调递减， 当1<t<时，φ(t)>0，即h'(t)>0，此时函数h(t)单调递增， 所以h(t)min=h(1)=3，且当t→0+时，h(t)→+∞，所以函数h(t)的值域为[3，+∞)，所以≥3且a>0，解得0<a≤即实数a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 5.已知函数f(x)=-2x(x>0)，函数g(x)=-x2+3ax-a2-3a(a∈R).若过点O(0，0)的直线l与曲线y=f(x)相切于点P，与曲线y=g(x)相切于点Q，当P，Q两 点不重合时，线段PQ的长为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 因为f'(x)=-2， 设点P则f'(x0)=-2， 可知kOP==-2，解得x0=2， 可得切点P切线斜率k=f'(2)=-1， 所以直线l的方程为y+2=-即y=-x， 联立得x2-x+a2+3a=0， 1 2 3 4 5 6 7 由Δ=(1+3a)2-4=0， 即=0，可得a=或a=1； 当a=1时，xQ=2，此时QP，Q重合，舍去； 当a=时，xQ=此时Q 综上Q 此时==. 1 2 3 4 5 6 7 微点三　判断公切线条数 6.(2024·安阳模拟)若直线l与曲线y=ex和y=ln x都相切，则直线l有 A.0条　　　　B.1条　　　　C.2条　　　　D.无数条 √ 6 1 2 3 4 5 7 设直线l：y=kx+b，因为直线l与曲线y=ex和y=ln x都相切，则k>0， 所以对于曲线y=ex，y'=ex=k，解得x=ln k，所以切点A(ln k，k)， 对于曲线y=ln x，y'==k(x>0)，解得x=所以切点B易知ln k≠ 因为公切线过A，B两点， 所以k=== 进而可得kln k-ln k-k-1=0， 6 1 2 3 4 5 7 令g(k)=kln k-ln k-k-1(k>0)，g'(k)=ln k-(k>0)， 因为y=ln k，y=-均为增函数， 且g'(1)=-1<0，g'(e)=1->0， 所以存在k0∈(1，e)，使得g'(k0)=ln k0-=0， 即ln k0= 所以g(k)在(0，k0)上单调递减，在(k0，+∞)上单调递增， 所以g(k)min=g(k0)=k0ln k0-ln k0-k0-1=k0·--k0-1=--k0<0， 6 1 2 3 4 5 7 又因为g(e2)=e2ln e2-ln e2-e2-1=e2-3>0，所以g(k0)g(e2)<0， 因为k0∈(1，e)，所以在(k0，e2)内存在k1，使得g(k1)=0； 又因为g=ln -ln --1=+1>0， 所以g(k0)g<0， 因为k0∈(1，e)， 所以在内存在k2，使得g(k2)=0， 综上所述，存在两条斜率分别为k1，k2的直线与曲线y=ex和y=ln x都相切. 6 1 2 3 4 5 7 7.(2024·西安模拟)已知函数f(x)=a-2(a≠0)，g(x)=ln x. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间； 6 1 2 3 4 5 7 因为F(x)=f(x)-g(x)=a-ln x-2(x>0)， 所以F'(x)=-= ①若a<0，则F'(x)<0，所以函数F(x)的单调递减区间是(0，+∞)，无单调递增区间； ②若a>0，令F'(x)=0，则有a-2=0，解得x=>0， 所以当x∈时，F'(x)<0； 当x∈时，F'(x)>0； 6 1 2 3 4 5 7 6 1 2 3 4 5 7 所以函数F(x)的单调递减区间是单调递增区间是 综上，当a<0时，F(x)的单调递减区间是(0，+∞)，无单调递增区间； 当a>0时，F(x)的单调递减区间是单调递增区间是. (2)若函数y=f(x)，y=g(x)的图象存在两条公切线，求实数a的取值范围. 6 1 2 3 4 5 7 设函数f(x)=a-2上的切点坐标为(x1，a-2)，且x1>0， 函数g(x)=ln x上的切点坐标为(x2，ln x2)，且x2>0. 又f'(x)=g'(x)= 则公切线的斜率k==则a>0， 所以x1= 则公切线方程为y-ln x2=(x-x2)，即y=x+ln x2-1， 代入(x1，a-2)得a-2=x1+ln x2-1， 6 1 2 3 4 5 7 6 1 2 3 4 5 7 则x2=·+ln x2+1，整理得a2= 若总存在两条不同的直线与函数y=f(x)，y=g(x)的图象均相切， 则方程a2=有两个不同的实根， 设h(x)=x>0，则h'(x)== 令h'(x)=0，得x=1， 当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减， 6 1 2 3 4 5 7 所以h(x)max=h(1)=4， 又由h(x)=0可得x= 则x趋于0时，h(x)趋于-∞； x趋于+∞时，h(x)趋于0， 则函数h(x)的大致图象如图所示， 所以解得0<a<2， 故实数a的取值范围为(0，2). 总结提升 公切线问题的一般思路：两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 具体做法为： 设公切线在y=f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y=g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f'(x1)=g'(x2)=. 30 补偿强化练 PART TWO 1.已知曲线C1：y=x3，曲线C2：y=cos x-1与直线l：y=0，则 A.l与C1，C2均相切 B.l与C1，C2均不相切 C.l与C1相切，l与C2不相切 D.l与C1不相切，l与C2相切 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 设曲线C1：y=x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0， 则3=0，y0= 所以x0=0，y0=0，切线方程为y=0. 设曲线C2：y=cos x-1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0， 则-sin x1=0，y1=cos x1-1， 所以x1=2kπ，y1=0或x1=2kπ+π，y1=-2，k∈Z， 取x1=0，y1=0可得切线方程为y=0，所以l与C1，C2均相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 2.(2024·保定模拟)若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线，则m+n等于 A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y=-x2+nx-6　(x>0)相切于点(b，3b+m)， 对于函数y=x3(x>0)，y'=3x2，则3a2=3(a>0)， 解得a=1， 所以13=3+m，即m=-2. 对于函数y=-x2+nx-6(x>0)，y'=-2x+n，则-2b+n=3(b>0)， 又-b2+nb-6=3b-2，所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2， 又b>0，所以b=2，n=7. 所以m+n=-2+7=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 3.与曲线f(x)=x3-x和g(x)=x2+均相切的直线l有 A.1条　　　　B.2条　　　　C.3条　　　　D.4条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 由f'(x)=3x2-1， 所以y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1)， 整理得y=(3-1)x-2. 因为g'(x)=2x， 所以y=g(x)在点(x2，g(x2))处的切线方程为y-=2x2(x-x2)， 整理得y=2x2x-+ 1 2 3 4 5 6 7 8 则 (*) 整理得-2-=(9-8x1-6)=0， 当9-8x1-6=0时，Δ=82+4×9×6>0，方程有两个非零实数根， x1=0也满足方程，故x1有3个解， 所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条. 1 2 3 4 5 6 7 8 4.若存在斜率为3a(a>0)的直线l与曲线f(x)=x2+2ax-2b与g(x)=3a2·ln x都相切，则实数b的取值范围为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 因为f(x)=x2+2ax-2b，g(x)=3a2·ln x， 所以f'(x)=x+2a，g'(x)= 设直线l与f(x)，g(x)的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1+2a==3a，解得x1=x2=a， 则两切点重合，即f(a)=g(a)， a2+2a2-2b=3a2·ln a， 2b=a2-3a2·ln a， 1 2 3 4 5 6 7 8 设h(a)=a2-3a2·ln a(a>0)， 则h'(a)=2a-6aln a=2a(1-3ln a)， 当0<a<时，h'(a)>0，h(a)单调递增； 当a>时，h'(a)<0，h(a)单调递减， 则h(a)max=h=-3·ln = 1 2 3 4 5 6 7 8 因为当a→+∞时，h(a)→-∞， 所以2b≤ 即b≤ 所以实数b的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 5.(多选)(2024·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=ln x+2，g(x)=3-(x>0)，则 A.函数h(x)=f(x)-g(x)没有零点 B.直线y=x+1是函数f(x)与g(x)图象的一条公切线 C.当x≠1时，函数g(x)的图象在函数f(x)图象的下方 D.当<x<2时>f(x) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 √ 因为 h(1)=f(1)-g(1)=ln 1+2-(3-1)=0， 所以x=1是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点，故A错； f'(x)=f'(1)=1，f(1)=2，g'(x)=g'(1)=1，g(1)=2， 所以函数f(x)与g(x)在点(1，2)处的切线方程均为y-2=x-1，即y=x+1， 所以直线y=x+1是函数f(x)与g(x)图象的一条公切线，故B对； 1 2 3 4 5 6 7 8 令m(x)=f(x)-g(x)=ln x+2-3+=ln x-1+ m'(x)=-=(x>0)， 令m'(x)>0，解得x>1； 令m'(x)<0，解得0<x<1， 所以m(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 由于m(1)=0，所以m(x)=f(x)-g(x)≥m(1)=0恒成立， 即f(x)≥g(x)恒成立，且当x≠1时，f(x)>g(x)， 所以当x≠1时，函数g(x)的图象在函数f(x)图象的下方，故C对； 1 2 3 4 5 6 7 8 由<x<2，令x=1，f(1)=g(1)=2， ===(ln 2+2)， 而(ln 2+2)-2==<0， 所以<f(1)，故D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 6.(2024·烟台模拟)请你列举出一个与函数f(x)=e2x-1在原点(0，0)处具有相同切线的函数：　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 y=x2+2x(答案不唯一) 由题意得f'(x)=2e2x，故f'(0)=2e0=2， 故函数f(x)=e2x-1在原点(0，0)处的切线方程为y=2x， 故可考虑如函数y=ax2+bx的形式， 此时y'=2ax+b，故当x=0时，y'=b=2， 取a=1，此时y=x2+2x. 7.(2024·武汉模拟)已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. (1)当a取何值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 函数y=x2+2x的导数y'=2x+2， 曲线C1在点P(x1+2x1)处的切线方程是y-(+2x1)=(2x1+2)(x-x1)， 即y=(2x1+2)x- ① 函数y=-x2+a的导数y'=-2x， 曲线C2在点Q(x2，-+a)处的切线方程是y-(-+a)=-2x2(x-x2)， 即y=-2x2x++a. ② 如果直线l是过P和Q的公切线， 则①式和②式都是l的方程，则2x1+2=-2x2，-=+a， 1 2 3 4 5 6 7 8 消去x2得方程2+2x1+1+a=0， 当判别式Δ=4-4×2(1+a)=0，即a=-时，解得x1=-此时点P与Q重合. 即当a=-时，C1和C2有且仅有一条公切线， 由①得公切线方程为y=x-. (2)若C1和C2有两条公切线，证明：相应的两条公切线段互相平分. 由(1)可知，当a<-时，Δ>0，C1和C2有两条公切线， 设一条公切线上的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 其中P在C1上，Q在C2上，则由(1)得x1+x2=-1， y1+y2=+2x1+(-+a)=+2x1-(x1+1)2+a=-1+a， 故线段PQ的中点为 同理求得另一条公切线段P'Q'的中点也是 所以公切线段PQ和P'Q'互相平分，即若C1和C2有两条公切线，则相应的两条公切线段互相平分. 1 2 3 4 5 6 7 8 8.(2024·郴州模拟)已知函数f(x)=axex(a≠0)，g(x)=-x2. (1)求f(x)的单调区间； 由函数f(x)=axex(a≠0)，可得f'(x)=a(x+1)ex， 若a>0，可得当x∈(-∞，-1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(-1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 若a<0，可得当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(-1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减. 所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(-1，+∞)，单调递减区间为(-∞，-1)； 当a<0时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，单调递减区间为(-1，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)若当x>0时，f(x)与g(x)有公切线，求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 设公切线与y=f(x)和y=g(x)的切点分别为(x1，ax1)，(x2，-)， 由k=f'(x1)=a(x1+1)可得切线方程为y-ax1=a(x1+1)(x-x1)， 即y=a(x1+1)x+ax1-a(+x1) =a(x1+1)x-a. 由k=g'(x2)=-2x2， 可得切线方程为y=-2x2x+ 所以可得-a=(x1>0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 设h(x)=(x>0)，可得h'(x)= 当0<x<1时，h'(x)>0，h(x)单调递增； 当x>1时，h'(x)<0，h(x)单调递减， 所以当x=1时，函数h(x)取得极大值即最大值，最大值为h(1)= 又当x→0时，h(x)→0；当x→+∞时，h(x)→0， 所以0<h(x)≤所以0<-a≤ 即实数a的取值范围为. $$