专题一 微专题4 导数的几何意义及函数的单调性-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

专题一　函数与导数 微专题4 导数的几何意义及函数的单调性 1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的计算、几何意义，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题. 考情分析 思维导图 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　导数的几何意义与计算 1.(多选)下列求导公式正确的是 A.(x3ex)'=3x2ex+x3ex B.'= C.(sin 2x)'=2cos 2x D.(e-cos x)'=-sin x·e-cos x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 对于A'='ex+x3·'=3x2ex+x3ex，A正确； 对于B'==B错误； 对于C'=cos 2x·(2x)'=cos 2x·2=2cos 2x，C正确； 对于D'=e-cos x·(-cos x)'=sin x·e-cos x，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.(2023·全国甲卷)曲线y=在点处的切线方程为 A.y=x B.y=x C.y=x+ D.y=x+ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为y=所以y'== 所以k=y'|x=1= 所以曲线y=处的切线方程为y-=(x-1)， 即y=x+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.(多选)若曲线f(x)=ax2-x+ln x存在垂直于y轴的切线，则a的取值可以是 A.-　　　　B.0　　　　C.　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 依题意，f(x)存在垂直于y轴的切线，即存在斜率为0的切线， 又f'(x)=2ax+-1，x>0， ∴2ax+-1=0有正根， 即-2a=-有正根，即y=-2a与y=-x>0的图象有交点， y=-=-≥- ∴-2a≥-即a≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (-∞，-4)∪(0，+∞) 因为y=(x+a)ex，所以y'=(x+a+1)ex. 设切点为A(x0，(x0+a))，O为坐标原点， 依题意得，切线斜率kOA=y'=(x0+a+1)= 化简得+ax0-a=0. 因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线， 所以关于x0的方程+ax0-a=0有两个不同的根， 所以Δ=a2+4a>0，解得a<-4或a>0， 所以a的取值范围是(-∞，-4)∪(0，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微点二　利用导数研究函数的单调性 5.若函数f(x)=x2-3x-4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为 A.(-∞，-1)，(4，+∞) B.(-1，4) C.(0，4) D.(4，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为f(x)=x2-3x-4ln x，定义域为(0，+∞)， 所以f'(x)=x-3-== 令f'(x)<0，解得0<x<4， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(2024·西安模拟)已知a=ln b=c=则下列判断正确的是 A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.c<a<b √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 设f(x)=(x>0)，则f'(x)== 当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减. a=ln =ln 2=ln 2=ln 4=f(4)， 又b==f(3)，c==f(e)，e<3<4， 且f(x)在(e，+∞)上单调递减， 所以f(4)<f(3)<f(e)，所以a<b<c. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 7.(2024·洛阳模拟)已知函数f(x)=ax2+(2-a)x-ln x(a∈R). (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 由a=2，得f(x)=2x2-ln x，f(1)=2，切点为(1，2)， f'(x)=4x-f'(1)=4-1=3， 则切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0. (2)求函数y=f(x)的单调区间. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 f(x)=ax2+(2-a)x-ln x，定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=2ax+(2-a)-== ①当a≥0时，由f'(x)<0，得0<x<； 由f'(x)>0，得x> 则f(x)的单调递减区间为单调递增区间为. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 ②当a<0时，令f'(x)=0，解得x=或x=-当-2<a<0时，-> 由f'(x)>0，得<x<-；由f'(x)<0，得0<x<或x>- 则f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为. 当a=-2时，f'(x)=-≤0恒成立， f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 当a<-2时，-<由f'(x)>0，得-<x<； 由f'(x)<0，得0<x<-或x> 则f(x)的单调递增区间为单调递减区间为. 综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 当-2<a<0时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为； 当a=-2时，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间； 当a<-2时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为. 微点三　由单调性求参数的范围 8.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为 A.e2　　　　B.e　　　　C.e-1　　　　D.e-2 √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 依题可知，f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0， 所以xex≥在(1，2)上恒成立， 设g(x)=xex，x∈(1，2)， 所以g'(x)=(x+1)ex>0， 所以g(x)在(1，2)上单调递增， g(x)>g(1)=e，故e≥ 即a≥=e-1，即a的最小值为e-1. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 9.(2024·周口模拟)若函数f(x)=-ln x在区间上不单调，则实 数m的取值范围为　　　　.  6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 由f(x)=-ln x可知，其定义域为(0，+∞)，则f'(x)=x-= 易知当x∈(0，1)时，f'(x)<0；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0， 即函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 若函数f(x)=-ln x在区间上不单调，则需满足0≤m<1<m+ 解得<m<1. 所以实数m的取值范围为. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 10.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=ln(1+x). (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 当a=-1时，f(x)=ln(x+1)， 则f'(x)=-ln(x+1)+ 据此可得f(1)=0，f'(1)=-ln 2， 所以函数在(1，f(1))处的切线方程为y-0=-ln 2(x-1)， 即(ln 2)x+y-ln 2=0. (2)若函数f(x)在(0，+∞)单调递增，求a的取值范围. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 由函数的解析式可得f'(x)=-ln(x+1)+ 因为f(x)在(0，+∞)单调递增，所以f'(x)≥0在区间(0，+∞)上恒成立. 令-ln(x+1)+≥0，则-(x+1)ln(x+1)+(x+ax2)≥0， 令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)， 原问题等价于g(x)≥0在区间(0，+∞)上恒成立，则g'(x)=2ax-ln(x+1)， 当a≤0时，由于2ax≤0，ln(x+1)>0， 故g'(x)<0，g(x)在区间(0，+∞)上单调递减， 此时g(x)<g(0)=0，不符合题意； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 令h(x)=g'(x)=2ax-ln(x+1)，则h'(x)=2a- 当a≥即2a≥1时， 由于<1， 所以h'(x)>0，h(x)在区间(0，+∞)上单调递增，即g'(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 所以g'(x)>g'(0)=0，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0，符合题意. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 当0<a<时，由h'(x)=2a-=0，可得x=-1， 当x∈时，h'(x)<0，h(x)在区间上单调递减，即g'(x)在区间上单调递减， 注意到g'(0)=0，故当x∈时，g'(x)<g'(0)=0，g(x)单调递减， 由于g(0)=0，故当x∈时，g(x)<g(0)=0，不符合题意. 综上可知，实数a的取值范围是. 总结提升 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数f(x)的定义域. (2)求f(x)的导数f'(x). (3)求出f'(x)的零点，划分单调区间. (4)判断f'(x)在各个单调区间内的符号. 32 总结提升 2.由单调性求参数范围 (1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f'(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f'(x)≤0(x∈M)恒成立. (2)若可导函数f(x)在某区间上存在单调递增(减)区间，则f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集. (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集. 33 补偿强化练 PART TWO 1.(2024·漳州模拟)若曲线y=aex-2+x在点(2，2+a)处的切线方程为y=4x+b，则a+b等于 A.3　　　　B.-3　　　　C.0　　　　D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为y=aex-2+x，则y'=aex-2+1， 由题意可得 所以a+b=0. 2.(2024·抚顺模拟)函数f(x)=的图象大致为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 已知x∈R，因为f'(x)=令f'(x)=0，得x=0或x=2， 则当x∈(-∞，0)∪(2，+∞)时，f'(x)<0， 当x∈(0，2)时，f'(x)>0， 所以f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增， 所以选项A符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.(2024·厦门模拟)已知a=6-ln 2-ln 3，b=e-ln 3，c=e2-2，则 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为a=6-ln 2-ln 3=6-ln 6，b=e-ln 3<3-ln 3，c=e2-2=e2-ln e2， 构造函数f(x)=x-ln x，x>0， 则f'(x)=1-= 当x>1时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增， 因为e2>6>3，所以e2-ln e2>6-ln 6>3-ln 3>e-ln 3， 所以c>a>b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(2024·乐山模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2-x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 A. B. C.[0，+∞) D.(0，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 函数f(x)=ln x-ax2-x的定义域为(0，+∞)，求导得f'(x)=-ax-1， 依题意，不等式f'(x)<0， 即a>-在(0，+∞)上有解， 而-=-≥- 当且仅当x=2时取等号，则a>- 所以实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f'(x)= 则f'(0)==3， 则f(x)在点(0，1)处的切线方程为y-1=3x，即y=3x+1， 令x=0，则y=1， 令y=0，则x=- 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=×1×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.(多选)已知f'(x)是函数f(x)=ax4-(a2+ab)x3+a2bx2的导函数，且f'(x)的部分图象如图所示，则 A.a<0 B.b>0 C.a+b<0 D.f(x)在(b，+∞)上单调递减 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 由题意得f'(x)=ax3-x2+a2bx=ax(x-a)(x-b). 由图可知，f'(x)有3个零点，则a≠0， 令f'(x)=0，得x=0或a或b. 当a>0时，b<0<a，若x>a， 则f'(x)=ax(x-a)(x-b)>0，不符合题意. 当a<0时，a<0<b，则x<a或0<x<b时，f'(x)>0， 当a<x<0或x>b时，f'(x)<0，符合题意，A，B正确. 由图可知，b>-a，得a+b>0，C错误. 因为当x>b时，f'(x)<0，所以f(x)在(b，+∞)上单调递减，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=sin 2x.若曲线y=f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线与其在点B(x2，f(x2))处的切线相互垂直，则x1-x2的一个取值为 　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (答案不唯一) f'(x)=cos 2x，由题意可知，f'(x1)f'(x2)=-1，即cos 2x1·cos 2x2=-1， 因为-1≤cos 2x≤1，所以得x1=k1π，x2=+k2π，k1，k2∈Z， 或得x1=+k3π，x2=k4π，k3，k4∈Z， 所以x1-x2=-+(k1-k2)π或x1-x2=+(k3-k4)π，k1，k2，k3，k4∈Z， 所以x1-x2的一个取值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0，+∞)上单调递 增，则a的取值范围是　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由函数的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间(0，+∞)上恒成立， 则(1+a)xln(1+a)≥-axln a， 即≥-在区间(0，+∞)上恒成立， 而y=在区间(0，+∞)上单调递增， 故=1≥- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 而1+a∈(1，2)，故ln(1+a)>0， 故 故≤a<1， 结合题意可得实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(2024·济南模拟)已知函数f(x)=(x2+ax+1)ex(a∈R). (1)当a=-2时，求过点(1，0)且与f(x)图象相切的直线的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当a=-2时，f(x)=ex，所以f'(x)=ex. 设切点为切线斜率为k， 则y0=k= 所以切线方程为y-= 将(1，0)代入得x0=0，解得x0=0或x0=1， 故过(1，0)的切线方程为y=0或x+y-1=0. (2)讨论函数f(x)的单调性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f'(x)=(2x+a)ex+ex=(x+a+1)(x+1)ex. 当a=0时，f'(x)=(x+1)2ex，恒有f'(x)≥0，函数f(x)单调递增； 当a>0时，-a-1<-1，当x∈(-∞，-a-1)或x∈(-1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈(-a-1，-1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减； 当a<0时，-a-1>-1，当x∈(-∞，-1)或x∈(-a-1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈(-1，-a-1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综上，当a=0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在(-∞，-a-1)，(-1，+∞)上单调递增，在(-a-1，-1)上单调递减； 当a<0时，f(x)在(-∞，-1)，(-a-1，+∞)上单调递增，在(-1，-a-1)上单调递减. 10.(2024·苏州模拟)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R). (1)若函数f(x)在区间(0，1)上单调递减，求实数a的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意f'(x)=a-≤0对x∈(0，1)恒成立， 即a≤在(0，1)上恒成立，又y=在(0，1)上单调递减，所以a≤1，即实数a的取值范围为(-∞，1]. (2)求函数g(x)=f(x)-的单调递增区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 g(x)=ax--ln x，定义域为(0，+∞)， g'(x)=a+-= ①当a=0时，令g'(x)=>0，解得0<x<1， 所以g(x)的单调递增区间为(0，1). ②当a≠0时，令h(x)=ax2-x+1(x>0)，则Δ=1-4a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (ⅰ)当a<0时，有Δ>0， 令h(x)=0，解得x1=∈(-∞，0)(舍去)，x2=∈(0，+∞)， 令h(x)=ax2-x+1>0，解得0<x< 所以g(x)的单调递增区间为； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (ⅱ)当a>0时， 若a≥则Δ=1-4a≤0，h(x)≥0恒成立， 即g'(x)≥0恒成立， 故g(x)的单调递增区间为(0，+∞)； 若0<a<则Δ=1-4a>0，h(x)=0的两根 x1=∈(0，+∞)，x2=∈(0，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令g'(x)>0，解得0<x<或x> 所以g(x)的单调递增区间为. 综上可得，当a=0时，g(x)的单调递增区间为(0，1)； 当a<0时，g(x)的单调递增区间为； 当a≥时，g(x)的单调递增区间为(0，+∞)； 当0<a<时，g(x)的单调递增区间为. $$ 微专题4　导数的几何意义及函数的单调性 [考情分析]　1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的计算、几何意义，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题. 微点一　导数的几何意义与计算 1.(多选)下列求导公式正确的是(　　) A.(x3ex)'=3x2ex+x3ex B.'= C.(sin 2x)'=2cos 2x D.(e-cos x)'=-sin x·e-cos x 答案　AC 解析　对于A'='ex+x3·'=3x2ex+x3ex，A正确； 对于B'==B错误； 对于C'=cos 2x·(2x)'=cos 2x·2=2cos 2x，C正确； 对于D'=e-cos x·(-cos x)'=sin x·e-cos x，D错误. 2.(2023·全国甲卷)曲线y=在点处的切线方程为(　　) A.y=x B.y=x C.y=x+ D.y=x+ 答案　C 解析　因为y= 所以y'== 所以k=y'|x=1= 所以曲线y=在点处的切线方程为 y-=(x-1)， 即y=x+. 3.(多选)若曲线f(x)=ax2-x+ln x存在垂直于y轴的切线，则a的取值可以是(　　) A.- B.0 C. D. 答案　ABC 解析　依题意，f(x)存在垂直于y轴的切线，即存在斜率为0的切线， 又f'(x)=2ax+-1，x>0， ∴2ax+-1=0有正根， 即-2a=-有正根，即y=-2a与y=-x>0的图象有交点， y=-=-≥- ∴-2a≥-即a≤. 4.(5分)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，-4)∪(0，+∞) 解析　因为y=(x+a)ex，所以y'=(x+a+1)ex.设切点为A(x0，(x0+a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA=y'=(x0+a+1)=化简得+ax0-a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程+ax0-a=0有两个不同的根，所以Δ=a2+4a>0，解得a<-4或a>0，所以a的取值范围是(-∞，-4)∪(0，+∞). 微点二　利用导数研究函数的单调性 5.若函数f(x)=x2-3x-4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为 (　　) A.(-∞，-1)，(4，+∞) B.(-1，4) C.(0，4) D.(4，+∞) 答案　C 解析　因为f(x)=x2-3x-4ln x，定义域为(0，+∞)， 所以f'(x)=x-3-== 令f'(x)<0，解得0<x<4， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，4). 6.(2024·西安模拟)已知a=ln b=c=则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.c<a<b 答案　C 解析　设f(x)=(x>0)， 则f'(x)== 当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减. a=ln =ln 2=ln 2=ln 4=f(4)， 又b==f(3)，c==f(e)，e<3<4， 且f(x)在(e，+∞)上单调递减， 所以f(4)<f(3)<f(e)，所以a<b<c. 7.(15分)(2024·洛阳模拟)已知函数f(x)=ax2+(2-a)x-ln x(a∈R). (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)求函数y=f(x)的单调区间.(10分) 解　(1)由a=2，得f(x)=2x2-ln x，f(1)=2，切点为(1，2)， f'(x)=4x-f'(1)=4-1=3， 则切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0. (2)f(x)=ax2+(2-a)x-ln x， 定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=2ax+(2-a)-== ①当a≥0时，由f'(x)<0，得0<x<； 由f'(x)>0，得x> 则f(x)的单调递减区间为单调递增区间为. ②当a<0时，令f'(x)=0，解得x=或x=- 当-2<a<0时，-> 由f'(x)>0，得<x<-； 由f'(x)<0，得0<x<或x>- 则f(x)的单调递增区间为单调递减区间为. 当a=-2时，f'(x)=-≤0恒成立， f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间. 当a<-2时，-< 由f'(x)>0，得-<x<； 由f'(x)<0，得0<x<-或x> 则f(x)的单调递增区间为单调递减区间为. 综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为； 当-2<a<0时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为； 当a=-2时，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间； 当a<-2时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为. 微点三　由单调性求参数的范围 8.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 答案　C 解析　依题可知，f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0， 所以xex≥在(1，2)上恒成立， 设g(x)=xex，x∈(1，2)， 所以g'(x)=(x+1)ex>0， 所以g(x)在(1，2)上单调递增， g(x)>g(1)=e，故e≥ 即a≥=e-1，即a的最小值为e-1. 9.(5分)(2024·周口模拟)若函数f(x)=-ln x在区间上不单调，则实数m的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由f(x)=-ln x可知，其定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=x-= 易知当x∈(0，1)时，f'(x)<0；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0， 即函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 若函数f(x)=-ln x在区间上不单调，则需满足0≤m<1<m+ 解得<m<1. 所以实数m的取值范围为. 10.(15分)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=ln(1+x). (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)若函数f(x)在(0，+∞)单调递增，求a的取值范围.(10分) 解　(1)当a=-1时，f(x)=ln(x+1)， 则f'(x)=-ln(x+1)+ 据此可得f(1)=0，f'(1)=-ln 2， 所以函数在(1，f(1))处的切线方程为y-0=-ln 2(x-1)， 即(ln 2)x+y-ln 2=0. (2)由函数的解析式可得f'(x)=-ln(x+1)+ 因为f(x)在(0，+∞)单调递增， 所以f'(x)≥0在区间(0，+∞)上恒成立. 令-ln(x+1)+≥0， 则-(x+1)ln(x+1)+(x+ax2)≥0， 令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)， 原问题等价于g(x)≥0在区间(0，+∞)上恒成立， 则g'(x)=2ax-ln(x+1)， 当a≤0时，由于2ax≤0，ln(x+1)>0， 故g'(x)<0，g(x)在区间(0，+∞)上单调递减， 此时g(x)<g(0)=0，不符合题意； 令h(x)=g'(x)=2ax-ln(x+1)， 则h'(x)=2a- 当a≥即2a≥1时， 由于<1， 所以h'(x)>0，h(x)在区间(0，+∞)上单调递增，即g'(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 所以g'(x)>g'(0)=0，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0，符合题意. 当0<a<时， 由h'(x)=2a-=0， 可得x=-1， 当x∈时，h'(x)<0，h(x)在区间上单调递减，即g'(x)在区间上单调递减， 注意到g'(0)=0， 故当x∈时，g'(x)<g'(0)=0，g(x)单调递减， 由于g(0)=0，故当x∈时，g(x)<g(0)=0，不符合题意. 综上可知，实数a的取值范围是. [总结提升] 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数f(x)的定义域. (2)求f(x)的导数f'(x). (3)求出f'(x)的零点，划分单调区间. (4)判断f'(x)在各个单调区间内的符号. 2.由单调性求参数范围 (1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f'(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f'(x)≤0(x∈M)恒成立. (2)若可导函数f(x)在某区间上存在单调递增(减)区间，则f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集. (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集. 1.(2024·漳州模拟)若曲线y=aex-2+x在点(2，2+a)处的切线方程为y=4x+b，则a+b等于(　　) A.3 B.-3 C.0 D.1 答案　C 解析　因为y=aex-2+x，则y'=aex-2+1， 由题意可得解得 所以a+b=0. 2.(2024·抚顺模拟)函数f(x)=的图象大致为(　　) 答案　A 解析　已知x∈R，因为f'(x)=令f'(x)=0，得x=0或x=2， 则当x∈(-∞，0)∪(2，+∞)时，f'(x)<0， 当x∈(0，2)时，f'(x)>0， 所以f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增， 所以选项A符合题意. 3.(2024·厦门模拟)已知a=6-ln 2-ln 3，b=e-ln 3，c=e2-2，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 答案　D 解析　因为a=6-ln 2-ln 3=6-ln 6，b=e-ln 3<3-ln 3，c=e2-2=e2-ln e2， 构造函数f(x)=x-ln x，x>0， 则f'(x)=1-= 当x>1时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增， 因为e2>6>3，所以e2-ln e2>6-ln 6>3-ln 3>e-ln 3， 所以c>a>b. 4.(2024·乐山模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2-x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.[0，+∞) D.(0，+∞) 答案　B 解析　函数f(x)=ln x-ax2-x的定义域为(0，+∞)，求导得f'(x)=-ax-1， 依题意，不等式f'(x)<0， 即a>-在(0，+∞)上有解， 而-=-≥- 当且仅当x=2时取等号，则a>- 所以实数a的取值范围是. 5.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f'(x)= 则f'(0)==3， 则f(x)在点(0，1)处的切线方程为y-1=3x， 即y=3x+1， 令x=0，则y=1， 令y=0，则x=- 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S=×1×=. 6.(多选)已知f'(x)是函数f(x)=ax4-(a2+ab)x3+a2bx2的导函数，且f'(x)的部分图象如图所示，则(　　) A.a<0 B.b>0 C.a+b<0 D.f(x)在(b，+∞)上单调递减 答案　ABD 解析　由题意得f'(x)=ax3-x2+a2bx=ax(x-a)(x-b). 由图可知，f'(x)有3个零点，则a≠0，令f'(x)=0，得x=0或a或b. 当a>0时，b<0<a，若x>a，则f'(x)=ax(x-a)(x-b)>0，不符合题意. 当a<0时，a<0<b，则x<a或0<x<b时，f'(x)>0， 当a<x<0或x>b时，f'(x)<0，符合题意，A，B正确. 由图可知，b>-a，得a+b>0，C错误. 因为当x>b时，f'(x)<0，所以f(x)在(b，+∞)上单调递减，D正确. 7.(5分)(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=sin 2x.若曲线y=f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线与其在点B(x2，f(x2))处的切线相互垂直，则x1-x2的一个取值为　　　　.  答案　(答案不唯一) 解析　f'(x)=cos 2x，由题意可知，f'(x1)f'(x2)=-1， 即cos 2x1·cos 2x2=-1， 因为-1≤cos 2x≤1，所以得x1=k1π，x2=+k2π，k1，k2∈Z， 或得x1=+k3π，x2=k4π，k3，k4∈Z， 所以x1-x2=-+(k1-k2)π或x1-x2=+(k3-k4)π，k1，k2，k3，k4∈Z， 所以x1-x2的一个取值为. 8.(5分)(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0，+∞)上单调递增，则a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由函数的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间(0，+∞)上恒成立， 则(1+a)xln(1+a)≥-axln a， 即≥-在区间(0，+∞)上恒成立， 而y=在区间(0，+∞)上单调递增， 故=1≥- 而1+a∈(1，2)，故ln(1+a)>0， 故即 故≤a<1， 结合题意可得实数a的取值范围是. 9.(15分)(2024·济南模拟)已知函数f(x)=(x2+ax+1)ex(a∈R). (1)当a=-2时，求过点(1，0)且与f(x)图象相切的直线的方程；(6分) (2)讨论函数f(x)的单调性.(9分) 解　(1)当a=-2时，f(x)=ex，所以f'(x)=ex. 设切点为切线斜率为k，则y0=k= 所以切线方程为y-= 将(1，0)代入得x0=0，解得x0=0或x0=1， 故过(1，0)的切线方程为y=0或x+y-1=0. (2)f'(x)=(2x+a)ex+ex=(x+a+1)(x+1)ex. 当a=0时，f'(x)=(x+1)2ex，恒有f'(x)≥0，函数f(x)单调递增； 当a>0时，-a-1<-1，当x∈(-∞，-a-1)或x∈(-1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈(-a-1，-1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减； 当a<0时，-a-1>-1，当x∈(-∞，-1)或x∈(-a-1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈(-1，-a-1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减. 综上，当a=0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在(-∞，-a-1)，(-1，+∞)上单调递增，在(-a-1，-1)上单调递减； 当a<0时，f(x)在(-∞，-1)，(-a-1，+∞)上单调递增，在(-1，-a-1)上单调递减. 10.(15分)(2024·苏州模拟)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R). (1)若函数f(x)在区间(0，1)上单调递减，求实数a的取值范围；(5分) (2)求函数g(x)=f(x)-的单调递增区间.(10分) 解　(1)由题意f'(x)=a-≤0对x∈(0，1)恒成立， 即a≤在(0，1)上恒成立，又y=在(0，1)上单调递减，所以a≤1，即实数a的取值范围为(-∞，1]. (2)g(x)=ax--ln x，定义域为(0，+∞)， g'(x)=a+-= ①当a=0时，令g'(x)=>0，解得0<x<1，所以g(x)的单调递增区间为(0，1). ②当a≠0时，令h(x)=ax2-x+1(x>0)，则Δ=1-4a. (ⅰ)当a<0时，有Δ>0， 令h(x)=0，解得x1=∈(-∞，0)(舍去)，x2=∈(0，+∞)， 令h(x)=ax2-x+1>0，解得0<x<所以g(x)的单调递增区间为； (ⅱ)当a>0时， 若a≥则Δ=1-4a≤0，h(x)≥0恒成立， 即g'(x)≥0恒成立， 故g(x)的单调递增区间为(0，+∞)； 若0<a<则Δ=1-4a>0，h(x)=0的两根 x1=∈(0，+∞)，x2=∈(0，+∞). 令g'(x)>0，解得0<x<或x> 所以g(x)的单调递增区间为和. 综上可得，当a=0时，g(x)的单调递增区间为(0，1)； 当a<0时，g(x)的单调递增区间为； 当a≥时，g(x)的单调递增区间为(0，+∞)； 当0<a<时，g(x)的单调递增区间为和. 学科网（北京）股份有限公司 $$