专题一 微专题2 基本初等函数、函数的应用-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

专题一　函数与导数 微专题2 基本初等函数、函数的应用 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型. 2.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大. 考情分析 思维导图 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　基本初等函数图象与性质 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是 A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) √ 因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增， 则需满足 解得-1≤a≤0， 即a的取值范围是[-1，0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=log0.50.3，则a，b，c的大小关系为 A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据函数y=x0.3在(0，+∞)上单调递增，可知0.20.3<0.30.3， 根据函数y=0.3x在(0，+∞)上单调递减，可知0.30.3<0.30.2<0.30=1， 根据函数y=log0.5x在(0，+∞)上单调递减，可知1=log0.50.5<log0.50.3， 综上所得，a=0.20.3<0.30.3<0.30.2=b<0.30=1=log0.50.5<log0.50.3=c. 3.(多选)(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x)，则 A.f(x)的定义域是(-6，4) B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集是(-∞，-4)∪(2，+∞) D.f(x)在[0，4]上单调递增 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 由题意可得 解得-6<x<4， 即f(x)的定义域是(-6，4)，则A正确； f(x)=log2(-x2-2x+24)， 因为y=-x2-2x+24在(-6，-1)上单调递增，在(-1，4)上单调递减， 又y=log2x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在(-6，-1)上单调递增，在(-1，4)上单调递减， 所以f(x)max=f(-1)=2log25，则B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为f(x)在(-6，-1)上单调递增，在(-1，4)上单调递减，且f(-4)=f(2)=4， 所以不等式f(x)<4的解集是(-6，-4)∪(2，4)，则C错误； 因为f(x)在(-1，4)上单调递减，则D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(2024·北京)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点，则 A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y=2x的图象上两个不同的点，所以y1=>0，y2=>0， 因为x1≠x2，则≠ 所以y1+y2=+>2=2 所以>>0， 所以log2>log2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微点二　函数模型及其应用 5.(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 √ 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为Lp=20×lg 随着p的增大而增大， 且∈[60，90]∈[50，60]， 所以 所以p1≥p2，故A正确； 由Lp=20×lg 得p=p01 因为=40，所以p3=p01=100p0，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 假设p2>10p3，则p01>10p01 所以1>10， 所以->20，不可能成立，故B不正确； 因为==1≥1， 所以p1≤100p2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(2024·广州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0) A.72　　　B.74　　　C.76　　　D.78 √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 由于L=L0所以L=0.5× 依题意0.4=0.5×则D= 则L=0.5× 由L=0.5×<0.2， 得G>18lo==≈73.9， 所以所需的训练迭代轮数至少为74. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 7.(多选)(2024·蚌埠模拟)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A.t2=20 B.28≤t1≤30 C.t1≥2t3 D.t1-t2≤6 √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 √ 由题意可知，θ=10+(θ1-10)e-0.05t， 当θ=30时，则30=10+(θ1-10) 即=-0.05t1=ln 则t1=20ln 其是关于θ1的增函数， 当θ1=90时，t1=20ln =20ln 4=40ln 2≈28； 当θ1=100时，t1=20ln =20ln =20(2ln 3-ln 2)≈30， 则28≤t1≤30，故B正确； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 当θ1=70时，t2=20ln =20ln 3≈22， 故A错误； 当θ1=50时，t3=20ln =20ln 2≈14， 此时满足t1≥2t3，t1-t2≥6，故C正确，D错误. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 微点三　函数的综合运用 8.(多选)(2024·西安模拟)已知函数f(x)=log3(x2-2x)，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的单调递增区间是[1，+∞) B.函数f(x)的值域是R C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 D.不等式f(x)<1的解集是(-1，3) √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 √ 对于A，令x2-2x>0，解得x>2或x<0，故f(x)的定义域为(-∞，0)∪(2，+∞)， ∵y=log3u为增函数，u=x2-2x在(-∞，0)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，A错误； 对于B，∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1，即y=x2-2x的值域M=[-1，+∞)， 又(0，+∞)⊆M，∴函数f(x)的值域是R，B正确； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 对于C，∵f(2-x)=log3[(2-x)2-2(2-x)]=log3(x2-2x)=f(x)， ∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称，C正确； 对于D，f(x)=log3(x2-2x)<1=log33，且y=log3x是增函数， 可得0<x2-2x<3，解得2<x<3或-1<x<0， 故不等式f(x)<1的解集是(-1，0)∪(2，3)，D错误. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 9.(2024·西安模拟)若函数f(x)=与函数g(x)=loga(x+3)(a>0且a≠1)的图象有且仅有一个交点，则a的取值范围为 A. B. C. D. √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 当x>2时，由f(x)=f(x-2)，得f(x)是以2为周期的函数. 设x∈(2，4]，则x-2∈(0，2]，f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+2， 作出分段函数f(x)的图象，如图所示， 当0<a<1时， 由图可知，0<a<1显然成立. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 当a>1时，令g(2)≥1，即loga5≥1，得1<a≤5. 综上所述，0<a≤5且a≠1. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 10.(多选)已知函数f(x)=则下列说法正确的是 A.函数f(x)单调递增 B.函数f(x)的值域为 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)的图象关于点对称 √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 √ √ f(x)===2- 显然函数f(x)单调递增，故A正确； 因为2x-1+1>1，所以0<<2，则0<2-<2，所以函数f(x)的值域为故B正确； f ===f+f(x)=2，所以函数f(x)关于点对称，故C错误，D正确. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 11.(多选)已知函数f(x)=若x1<x2<x3<x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则下列结论正确的是 A.x1+x2=-4 B.x3·x4=1 C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2 √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 √ 函数f(x)=的图象如图所示， 设f(x1)=f(x2)=f=f=t， 则0<t<4，则直线y=t与函数y=f(x)的图象4个 交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4， 对于A，函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称，则x1+x2=-4，故A正确； 对于B，由图象可知=且0<x3<1<x4， 所以-log2x3=log2x4，即log2=0，所以x3x4=1，故B正确； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 对于C，由图象可知log2x4∈ 则1<x4<16，故C错误； 对于D，由图象可知-4<x1<-2， 当x≤0时，f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4， 所以x1x2x3x4=x1·=--4x1=-+4=f(x1)∈(0，4)，故D错误. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 总结提升 解决指数函数、对数函数的综合问题时要注意： (1)所有问题都必须在定义域内讨论. (2)它们的图象与性质受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围. (3)复合函数的构成，分析它是由哪些基本初等函数复合而成的. 32 补偿强化练 PART TWO 1.已知a=log35，b=log23，则lg 3等于 A.　　　　B.　　　　C.+　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由b=log23，得=log32， 则lg 3====. 2.(2024·青岛模拟)已知函数f(x)=(3m-2)xm+2(m∈R)是幂函数，则函数g(x)=loga(x-m)+1(a>0，且a≠1)的图象所过定点P的坐标是 A.(2，1) B.(0，2) C.(1，2) D.(-1，2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵函数f(x)=(3m-2)xm+2(m∈R)是幂函数，∴3m-2=1，∴m=1， ∴g(x)=loga(x-1)+1，令x-1=1得x=2， 此时g(2)=loga1+1=1， ∴函数g(x)的图象所过定点P的坐标是(2，1). 3.(2024·厦门模拟)已知a=log52，b=log2a，c=则 A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵log51=0<a=log52<log55=1， ∴0<a<1； ∵b=log2a<log21=0，故b<0； ∵c=>=1，故c>1，故c>a>b. 4.(2024·广州模拟)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过　　天，甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)  A.23　　　　B.100　　　　C.150　　　　D.232 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n，(1-1%)n， 依题意=20，即=20，两边取对数得nlg =lg 20， 因此n=≈100， 所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是 A.(-∞，-2]　　　　B.[-2，0)　　　　C.(0，2]　　　　D.[2，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 函数y=2x在R上是增函数，而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减， 则函数y=x(x-a)=-在区间(0，1)上单调递减， 因此≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，+∞). 6.(2024·北京西城区模拟)已知函数f(x)=若f(x)存在最小值，则c的最大值为 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当-2<x<0时，f(x)=x2+x=-故当x=-时，f(x)有最小值为-； 当0≤x<c时，f(x)=-单调递减，所以-<f(x)≤0， 由题意f(x)存在最小值，则-≥-解得0<c≤即c的最大值为. 7.(2024·南宁模拟)已知函数f(x)=ln[(x-a)(x+e)+2e2](a∈R)为偶函数，则f(x)的最小值为 A.2　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.ln 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由函数f(x)=ln[(x-a)(x+e)+2e2]=ln[x2-(a-e)x-ae+2e2]， 可得f(-x)=ln[x2+(a-e)x-ae+2e2]， 因为函数f(x)为偶函数，可得x2-(a-e)x-ae+2e2=x2+(a-e)x-ae+2e2， 可得a=e，即f(x)=ln(x2+e2)， 当x=0时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(0)=ln e2=2. 8.(2024·兰州模拟)已知函数f(x)=|ln|x||，a=f b=f c=f 则 A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}， 又f(-x)=|ln|-x||=|ln|x||=f(x)，所以f(x)为偶函数， 当0<x<1时，f(x)=|ln |x||=-ln x，所以f(x)在(0，1)上单调递减， 因为1>ln 2>ln >0， 所以a=f =f(ln 2-1)=f(-ln 2)=f(ln 2)<f =c，即a<c， 设0<x3<1<x4，则f(x4)=|ln|x4||=|ln x4|=ln x4， f(x3)=|ln|x3||=|ln x3|=-ln x3，若f(x3)=f(x4)，则-ln x3=ln x4，所以x3x4=1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为ln =2-ln 2>1，所以b=f =f =f 又-ln 2=>0，即1>>ln 2>0， 所以f <f(ln 2)，即b<a，故b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(多选)(2024·毕节模拟)已知25a=2b=100，则下列式子中正确的有 A.+=1 B.+=1 C.ab>8 D.a+2b>9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 由已知可得a=log25100，b=log2100， 所以+=2log10025+log1002=log1001 250≠1，故A错误； 所以+=log10025+2log1002=log100100=1，故B正确； 由+=1≥2当且仅当=即a=2，b=4时取等号，显然取不到，所以ab>8，故C正确； a+2b=(a+2b)=5++≥5+2=9，当且仅当= 即a=b=3时取等号，显然取不到，所以a+2b>9，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)(2024·长春模拟)关于函数f(x)=|ln|2-x||，下列描述正确的有 A.f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2，f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4 D.f(x)有且仅有两个零点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 根据图象变换作出函数f(x)的图象(先作出y=ln x的图象，再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位长度，最后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去即可得)，如图所示， 由图象知f(x)在(1，2)上单调递增，A正确； 函数图象关于直线x=2对称，B正确； 设f(x1)=f(x2)=k，则直线y=k与函数f(x)图象 可能有4个交点，如图， 如果最左边的两个交点横坐标分别是x1，x2，则x1+x2=4不成立，C错误； f(x)与x轴有且仅有两个公共点，即函数f(x)有且仅有两个零点，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(多选)已知直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是 A.x1+x2=2 B.x1x2> C.x1ln x2+x2ln x1<0 D.+>2e √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 函数y=ex与y=ln x互为反函数， 则y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称， 将y=-x+2与y=x联立，则x=1，y=1， 由直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln x的图象交 于点AB 作出函数图象， 则AB得0<x1<1<x2<2， 对于A，由=1，解得x1+x2=2，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于B，由x1+x2≥2解得x1x2≤1，由于x1≠x2，则x1x2<1，故B错误； 对于C，因为0<x1<1<x2<2， 则x1ln x2+x2ln x1<x2ln x2+x2ln x1=x2ln (x1x2)， 由于x1x2<1，得x2ln(x1x2)<0，故C正确； 对于D+≥2=2=2=2e， 因为x1≠x2，即等号不成立，所以+>2e，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知函数f(x)=|lg x|，若f(lg m)>f(2)，则实数m的取值范围是__________ 　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1) ∪(100，+∞) 将y=lg x的图象在x轴上方的部分(包括x轴上的点) 保留不动，将在x轴下方的部分翻折到x轴上面， 得到函数f(x)=|lg x|的图象， ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递 增，且f =f(2)， ∵f(lg m)>f(2)，∴0<lg m<或lg m>2， 解得1<m<或m>100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.函数f(x)=loga(4-ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)≥1对∀x∈[1，2]成立，则实 数a的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当a>1时，loga(4-ax)≥1⇔4-ax≥a⇔a≤x∈[1，2]. 设g(x)=x∈则g(x)在上单调递减，所以g(x)min=g=. 故1<a≤； 当0<a<1时，loga≥1 ⇔⇔x∈[1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设f1(x)=x∈f2(x)=x∈则f1(x)，f2(x)在上均单调递减， 所以f1(x)max=f1(1)=2，f2(x)min=f1=2， 所以此不等式组无解. 综上，实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知函数f(x)=的值域是[-1，1]，若n∈则m的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [1，2] 当x>1时，x-1>0，此时y=22-|x-1|-3=22-x+1-3=23-x-3单调递减， 当-1<x<1时，x-1<0，此时y=22-|x-1|-3=22+x-1-3=21+x-3单调递增， 所以y=22-|x-1|-3在(-1，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以当x=1时，y=22-|x-1|-3取得最大值， 为22-3=1， 作出y=(1-x)，x∈[-1，1)与y=22-|x-1|-3， x∈[-1，+∞)的图象如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当n∈x∈[-1，n]时，1-x∈[1-n，2]， 此时-1≤f(x)≤(1-n)<1， 因为f(x)的值域为[-1，1]，则当x∈(n，m]时， f(x)=1必有解，即22-|x-1|-3=1，解得x=1， 由图知m的取值范围是[1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$ 微专题2　基本初等函数、函数的应用 [考情分析]　1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大. 微点一　基本初等函数图象与性质 1.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 答案　B 解析　因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增， 则需满足 解得-1≤a≤0， 即a的取值范围是[-1，0]. 2.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=log0.50.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b 答案　C 解析　根据函数y=x0.3在(0，+∞)上单调递增，可知0.20.3<0.30.3， 根据函数y=0.3x在(0，+∞)上单调递减，可知0.30.3<0.30.2<0.30=1， 根据函数y=log0.5x在(0，+∞)上单调递减，可知1=log0.50.5<log0.50.3， 综上所得，a=0.20.3<0.30.3<0.30.2=b<0.30=1=log0.50.5<log0.50.3=c. 3.(多选)(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x)，则(　　) A.f(x)的定义域是(-6，4) B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集是(-∞，-4)∪(2，+∞) D.f(x)在[0，4]上单调递增 答案　AB 解析　由题意可得 解得-6<x<4， 即f(x)的定义域是(-6，4)，则A正确； f(x)=log2(-x2-2x+24)， 因为y=-x2-2x+24在(-6，-1)上单调递增，在(-1，4)上单调递减， 又y=log2x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在(-6，-1)上单调递增，在(-1，4)上单调递减， 所以f(x)max=f(-1)=2log25，则B正确； 因为f(x)在(-6，-1)上单调递增，在(-1，4)上单调递减，且f(-4)=f(2)=4， 所以不等式f(x)<4的解集是(-6，-4)∪(2，4)，则C错误； 因为f(x)在(-1，4)上单调递减，则D错误. 4.(2024·北京)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点，则(　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 答案　B 解析　因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y=2x的图象上两个不同的点，所以y1=>0，y2=>0， 因为x1≠x2，则≠ 所以y1+y2=+>2=2 所以>>0， 所以log2>log2=. 微点二　函数模型及其应用 5.(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 答案　ACD 解析　因为Lp=20×lg 随着p的增大而增大， 且∈[60，90]∈[50，60]， 所以 所以p1≥p2，故A正确； 由Lp=20×lg 得p=p01 因为=40，所以p3=p01=100p0，故C正确； 假设p2>10p3，则p01>10p01 所以1>10， 所以->20，不可能成立，故B不正确； 因为==1≥1， 所以p1≤100p2，故D正确. 6.(2024·广州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A.72 B.74 C.76 D.78 答案　B 解析　由于L=L0所以L=0.5× 依题意0.4=0.5×则D= 则L=0.5× 由L=0.5×<0.2， 得G>18lo==≈73.9， 所以所需的训练迭代轮数至少为74. 7.(多选)(2024·蚌埠模拟)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A.t2=20 B.28≤t1≤30 C.t1≥2t3 D.t1-t2≤6 答案　BC 解析　由题意可知，θ=10+(θ1-10)e-0.05t， 当θ=30时，则30=10+(θ1-10) 即=-0.05t1=ln 则t1=20ln 其是关于θ1的增函数， 当θ1=90时，t1=20ln =20ln 4=40ln 2≈28； 当θ1=100时，t1=20ln =20ln =20(2ln 3-ln 2)≈30， 则28≤t1≤30，故B正确； 当θ1=70时，t2=20ln =20ln 3≈22， 故A错误； 当θ1=50时，t3=20ln =20ln 2≈14， 此时满足t1≥2t3，t1-t2≥6，故C正确，D错误. 微点三　函数的综合运用 8.(多选)(2024·西安模拟)已知函数f(x)=log3(x2-2x)，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间是[1，+∞) B.函数f(x)的值域是R C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 D.不等式f(x)<1的解集是(-1，3) 答案　BC 解析　对于A，令x2-2x>0，解得x>2或x<0，故f(x)的定义域为(-∞，0)∪(2，+∞)， ∵y=log3u为增函数，u=x2-2x在(-∞，0)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，A错误； 对于B，∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1，即y=x2-2x的值域M=[-1，+∞)， 又(0，+∞)⊆M，∴函数f(x)的值域是R，B正确； 对于C，∵f(2-x)=log3[(2-x)2-2(2-x)]=log3(x2-2x)=f(x)， ∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称，C正确； 对于D，f(x)=log3(x2-2x)<1=log33，且y=log3x是增函数， 可得0<x2-2x<3，解得2<x<3或-1<x<0， 故不等式f(x)<1的解集是(-1，0)∪(2，3)，D错误. 9.(2024·西安模拟)若函数f(x)=与函数g(x)=loga(x+3)(a>0且a≠1)的图象有且仅有一个交点，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　当x>2时，由f(x)=f(x-2)，得f(x)是以2为周期的函数. 设x∈(2，4]，则x-2∈(0，2]，f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+2， 作出分段函数f(x)的图象，如图所示， 当0<a<1时， 由图可知，0<a<1显然成立. 当a>1时，令g(2)≥1，即loga5≥1，得1<a≤5. 综上所述，0<a≤5且a≠1. 10.(多选)已知函数f(x)=则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)单调递增 B.函数f(x)的值域为 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)的图象关于点对称 答案　ABD 解析　f(x)===2- 显然函数f(x)单调递增，故A正确； 因为2x-1+1>1，所以0<<2，则0<2-<2，所以函数f(x)的值域为故B正确； f===f+f(x)=2，所以函数f(x)关于点对称，故C错误，D正确. 11.(多选)已知函数f(x)=若x1<x2<x3<x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=-4 B.x3·x4=1 C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2 答案　AB 解析　函数f(x)=的图象如图所示， 设f(x1)=f(x2)=f=f=t， 则0<t<4，则直线y=t与函数y=f(x)的图象4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4， 对于A，函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称，则x1+x2=-4，故A正确； 对于B，由图象可知=且0<x3<1<x4， 所以-log2x3=log2x4，即log2=0，所以x3x4=1，故B正确； 对于C，由图象可知log2x4∈则1<x4<16，故C错误； 对于D，由图象可知-4<x1<-2， 当x≤0时，f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4， 所以x1x2x3x4=x1·=--4x1=-+4=f(x1)∈(0，4)，故D错误. [总结提升] 解决指数函数、对数函数的综合问题时要注意： (1)所有问题都必须在定义域内讨论. (2)它们的图象与性质受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围. (3)复合函数的构成，分析它是由哪些基本初等函数复合而成的. 1.已知a=log35，b=log23，则lg 3等于(　　) A. B. C.+ D. 答案　A 解析　由b=log23，得=log32， 则lg 3====. 2.(2024·青岛模拟)已知函数f(x)=(3m-2)xm+2(m∈R)是幂函数，则函数g(x)=loga(x-m)+1(a>0，且a≠1)的图象所过定点P的坐标是(　　) A.(2，1) B.(0，2) C.(1，2) D.(-1，2) 答案　A 解析　∵函数f(x)=(3m-2)xm+2(m∈R)是幂函数，∴3m-2=1，∴m=1， ∴g(x)=loga(x-1)+1，令x-1=1得x=2， 此时g(2)=loga1+1=1， ∴函数g(x)的图象所过定点P的坐标是(2，1). 3.(2024·厦门模拟)已知a=log52，b=log2a，c=则(　　) A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a 答案　B 解析　∵log51=0<a=log52<log55=1， ∴0<a<1； ∵b=log2a<log21=0，故b<0； ∵c=>=1，故c>1，故c>a>b. 4.(2024·广州模拟)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过　　　　天，甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)(　　)  A.23 B.100 C.150 D.232 答案　B 解析　令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n，(1-1%)n， 依题意=20，即=20，两边取对数得nlg =lg 20， 因此n=≈100， 所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 5.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.(0，2] D.[2，+∞) 答案　D 解析　函数y=2x在R上是增函数，而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减， 则函数y=x(x-a)=-在区间(0，1)上单调递减， 因此≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，+∞). 6.(2024·北京西城区模拟)已知函数f(x)=若f(x)存在最小值，则c的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　当-2<x<0时，f(x)=x2+x=-故当x=-时，f(x)有最小值为-； 当0≤x<c时，f(x)=-单调递减，所以-<f(x)≤0， 由题意f(x)存在最小值，则-≥-解得0<c≤即c的最大值为. 7.(2024·南宁模拟)已知函数f(x)=ln[(x-a)(x+e)+2e2](a∈R)为偶函数，则f(x)的最小值为(　　) A.2 B.0 C.1 D.ln 2 答案　A 解析　由函数f(x)=ln[(x-a)(x+e)+2e2]=ln[x2-(a-e)x-ae+2e2]， 可得f(-x)=ln[x2+(a-e)x-ae+2e2]， 因为函数f(x)为偶函数，可得x2-(a-e)x-ae+2e2=x2+(a-e)x-ae+2e2， 可得a=e，即f(x)=ln(x2+e2)， 当x=0时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(0)=ln e2=2. 8.(2024·兰州模拟)已知函数f(x)=|ln|x||，a=f b=f c=f 则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 答案　B 解析　因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}， 又f(-x)=|ln|-x||=|ln|x||=f(x)，所以f(x)为偶函数， 当0<x<1时，f(x)=|ln |x||=-ln x，所以f(x)在(0，1)上单调递减， 因为1>ln 2>ln >0， 所以a=f =f(ln 2-1)=f(-ln 2)=f(ln 2)<f =c，即a<c， 设0<x3<1<x4，则f(x4)=|ln|x4||=|ln x4|=ln x4， f(x3)=|ln|x3||=|ln x3|=-ln x3，若f(x3)=f(x4)，则-ln x3=ln x4，所以x3x4=1， 因为ln =2-ln 2>1，所以b=f =f =f 又-ln 2=>0，即1>>ln 2>0， 所以f<f(ln 2)，即b<a，故b<a<c. 9.(多选)(2024·毕节模拟)已知25a=2b=100，则下列式子中正确的有(　　) A.+=1 B.+=1 C.ab>8 D.a+2b>9 答案　BCD 解析　由已知可得a=log25100，b=log2100， 所以+=2log10025+log1002=log1001 250≠1，故A错误； 所以+=log10025+2log1002=log100100=1，故B正确； 由+=1≥2当且仅当=即a=2，b=4时取等号，显然取不到，所以ab>8，故C正确； a+2b=(a+2b)=5++≥5+2=9，当且仅当= 即a=b=3时取等号，显然取不到，所以a+2b>9，故D正确. 10.(多选)(2024·长春模拟)关于函数f(x)=|ln|2-x||，下列描述正确的有(　　) A.f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2，f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4 D.f(x)有且仅有两个零点 答案　ABD 解析　根据图象变换作出函数f(x)的图象(先作出y=ln x的图象，再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位长度，最后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去即可得)，如图所示， 由图象知f(x)在(1，2)上单调递增，A正确； 函数图象关于直线x=2对称，B正确； 设f(x1)=f(x2)=k，则直线y=k与函数f(x)图象可能有4个交点，如图， 如果最左边的两个交点横坐标分别是x1，x2，则x1+x2=4不成立，C错误； f(x)与x轴有且仅有两个公共点，即函数f(x)有且仅有两个零点，D正确. 11.(多选)已知直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1x2> C.x1ln x2+x2ln x1<0 D.+>2e 答案　ACD 解析　函数y=ex与y=ln x互为反函数， 则y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称， 将y=-x+2与y=x联立，则x=1，y=1， 由直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于点AB 作出函数图象， 则AB的中点坐标为得0<x1<1<x2<2， 对于A，由=1，解得x1+x2=2，故A正确； 对于B，由x1+x2≥2解得x1x2≤1，由于x1≠x2，则x1x2<1，故B错误； 对于C，因为0<x1<1<x2<2， 则x1ln x2+x2ln x1<x2ln x2+x2ln x1=x2ln (x1x2)， 由于x1x2<1，得x2ln(x1x2)<0，故C正确； 对于D+≥2=2=2=2e， 因为x1≠x2，即等号不成立，所以+>2e，故D正确. 12.(5分)已知函数f(x)=|lg x|，若f(lg m)>f(2)，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(1)∪(100，+∞) 解析　将y=lg x的图象在x轴上方的部分(包括x轴上的点)保留不动，将在x轴下方的部分翻折到x轴上面，得到函数f(x)=|lg x|的图象， ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且f=f(2)， ∵f(lg m)>f(2)，∴0<lg m<或lg m>2， 解得1<m<或m>100. 13.(5分)函数f(x)=loga(4-ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)≥1对∀x∈[1，2]成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.  答案　 解析　当a>1时，loga(4-ax)≥1⇔4-ax≥a⇔a≤x∈[1，2]. 设g(x)=x∈则g(x)在上单调递减，所以g(x)min=g=. 故1<a≤； 当0<a<1时，loga≥1 ⇔⇔x∈[1，2]. 设f1(x)=x∈f2(x)=x∈则f1(x)，f2(x)在上均单调递减， 所以f1(x)max=f1(1)=2，f2(x)min=f1=2， 所以此不等式组无解. 综上，实数a的取值范围是. 14.(5分)已知函数f(x)=的值域是[-1，1]，若n∈则m的取值范围是　　　　.  答案　[1，2] 解析　当x>1时，x-1>0，此时y=22-|x-1|-3=22-x+1-3=23-x-3单调递减， 当-1<x<1时，x-1<0，此时y=22-|x-1|-3=22+x-1-3=21+x-3单调递增， 所以y=22-|x-1|-3在(-1，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以当x=1时，y=22-|x-1|-3取得最大值，为22-3=1， 作出y=(1-x)，x∈[-1，1)与y=22-|x-1|-3，x∈[-1，+∞)的图象如图所示， 当n∈x∈[-1，n]时，1-x∈[1-n，2]， 此时-1≤f(x)≤(1-n)<1， 因为f(x)的值域为[-1，1]，则当x∈(n，m]时，f(x)=1必有解，即22-|x-1|-3=1，解得x=1，由图知m的取值范围是[1，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$