专题一 微专题1 函数的图象与性质-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

专题一　函数与导数 微专题1 函数的图象与性质 函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题. 考情分析 思维导图 高频考点练 补偿强化练 内容索引 微点一　函数的概念与表示 1.(2024·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(-1，3)，则函数g(x)=的定义域为 A.(-2，1) B.(-2，0)∪(0，1) C.(0，1) D.(-∞，0)∪(0，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 12 高频考点练 PART ONE 1 2 3 4 5 6 要使g(x)=有意义， 只需 解得-2<x<0或0<x<1， 则函数g(x)的定义域为(-2，0)∪(0，1). 7 8 9 10 11 12 2.已知实数a∈R，函数f(x)=若f(1-a)>f(1+a)，则实数a的取值范围是　　　__________　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (-2，-1)∪(0，+∞) 11 12 1 2 3 4 5 6 由题意知a≠0， ①当a<0时，1-a>1，1+a<1， ∴-(1-a)>(1+a)2+2a，化简得a2+3a+2<0，解得-2<a<-1， 又a<0，∴a∈(-2，-1)； ②当a>0时，1-a<1，1+a>1， ∴(1-a)2+2a>-(1+a)，化简得a2+a+2>0，解得a∈R， 又a>0，∴a∈(0，+∞)， 综上，实数a的取值范围是(-2，-1)∪(0，+∞). 7 8 9 10 11 12 3.(2024·重庆模拟)设a>0且a≠1，若函数f(x)=的值域是[5，+∞)，则a的取值范围是 A.[+∞) B.(1) C.(1] D.(+∞) 1 2 3 4 5 6 √ 7 8 9 10 11 12 由于函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[5，+∞)， 故当x≤2时，满足f(x)=7-x≥5. 若a>1，则f(x)=3+logax在它的定义域上为增函数， 当x>2时，由f(x)=3+logax≥5， 得logax≥2，∴loga2≥2，∴1<a≤. 若0<a<1，则f(x)=3+logax在它的定义域上为减函数，f(x)=3+logax<3+loga2<3，不满足f(x)的值域是[5，+∞). 综上可得1<a≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 4.(多选)积性函数f(x)指对于所有互质的整数a和b有f(ab)=f(a)f(b)的数论函数.则以下数论函数是积性函数的有 A.高斯函数[n]表示不大于实数n的最大整数 B.最大公约数函数gcd(n，k)表示正整数n与k的最大公约数(k是常数) C.幂次函数Vm(n)表示正整数n质因数分解后含m的幂次数(m是常数) D.欧拉函数φ(n)表示小于正整数n的正整数中满足与n互质的数的数目 √ 7 8 9 10 √ √ 11 12 选项A，对于所有互质的整数a和b，[a]=a，[b]=b，[ab]=ab. 则高斯函数[n]是积性函数； 选项B，对于所有互质的整数a和b，有gcd(ab，k)=gcd(a，k)·gcd(b，k)，则最大公约数函数gcd(n，k)是积性函数； 选项C，互质的整数15和16，有V2(16)=4，V2(15)=0，V2(16×15)=4，则V2(16×15)≠V2(16)·V2(15)，则幂次函数Vm(n)不是积性函数； 选项D，对于所有互质的整数a和b，有φ(ab)=φ(a)·φ(b)，则欧拉函数φ(n)是积性函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图象是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微点二　函数的图象 √ 11 12 1 2 3 4 5 6 方法一　作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(-x)的图象，再把函数f(-x)的图象向右平移1个单位长度即可得到函数f(1-x)的图象，如图. 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 当x=0时，y=f(1)=3，即y=f(1-x)的图象过点(0，3)，排除A； 当x=-2时，y=f(3)=-1，即y=f(1-x)的图象过点(-2，-1)，排除B； 当x<0时，1-x>1，f(1-x)=lo(1-x)<0，排除C. 方法二　因为函数f(x)= 所以函数f(1-x)= 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 6.(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]上的大致图象为 7 8 9 10 √ 11 12 6 1 2 3 4 5 f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin =-1->->0， 故可排除D. 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 7.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为 A.f(x)= B.f(x)=ln C.f(x)= D.f(x)=x2ln √ 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 由图象可知f(x)为上的偶函数， 对于A，f(-x)==f(x)，且f(x)在x=0处没有定义，但当x>0时，ex>1，0<e-x<1，则ex-e-x>0，即f(x)=>0，不符合； 对于B，f(x)=ln在x=0处有定义，不符合； 对于C，f=≠f(x)，不符合； 对于D，f=ln=f(x)，且f(x)在x=0处没有定义，当-1<x<0或0<x<1时，ln |x|<0，x2>0，则f(x)=x2ln |x|<0； 当x≤-1或x≥1时，ln |x|≥0，x2>0，则f(x)=x2ln |x|≥0，符合. 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 8.(多选)设函数f(x)=mid{|x-2|，x2，|x+2|}，其中mid{x，y，z}表示x，y，z中的居中者.下列说法正确的有 A.f(x)只有一个最小值点 B.f(x)的值域为 C.f(x)为偶函数 D.f(x)在上单调递减 √ 7 8 9 10 √ √ 11 12 6 1 2 3 4 5 由已知在同一坐标系中分别画出f1(x)=|x-2|， f2(x)=x2与f3(x)=|x+2|的图象(虚线)， 根据mid表示x，y，z中的居中者 知函数f(x)的图象(实线)如图： 对于A，由图知当x=±1时，f(x)取到最小值1，所以f(x)有两个最小值点，故A错误； 对于B，由图知，函数f(x)的值域为故B正确； 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 对于C，由图知，函数f(x)的图象关于y轴对称， 又函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以 函数f(x)为偶函数，故C正确； 对于D，由图知，函数f(x)在上单调递减， 故D正确. 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 微点三　函数的性质 9.已知f(x)=(x+a+b)ln若f(x)为偶函数，则a=　　.  7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 函数f(x)=(x+a+b)ln=(x+a+b)ln>0， 解得x>-b或x<-b-1，所以函数f(x)的定义域为 因为f(x)为偶函数，则有-b-1+=0，解得b=- 所以f(x)=ln f(-x)=ln  7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 由f(x)=f(-x)， 有ln =ln =ln  则有a-=-a+所以a=. 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 10.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是 A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 √ 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 因为当x<3时，f(x)=x， 所以f(1)=1，f(2)=2， 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 则f(3)>f(2)+f(1)=3，f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8， f(6)>f(5)+f(4)>13，f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34， f(9)>f(8)+f(7)>55，f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144， f(12)>f(11)+f(10)>233，f(13)>f(12)+f(11)>377，f(14)>f(13)+f(12)>610， f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1 597>1 000， 7 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 5 f(17)>f(16)+f(15)>2 584， f(18)>f(17)+f(16)>4 181， f(19)>f(18)+f(17)>6 765， f(20)>f(19)+f(18)>10 946>10 000>1 000， 则B正确，D错误； 且无证据表明A，C一定正确. 7 8 9 10 11 12 11.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且对任意的x∈R都有f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，则下列结论正确的是 A.f(x)为偶函数 B.f(-1)=-1 C.2是f(x)的一个周期 √ D.f(k)=2 025 √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 因为函数f(x)的定义域为R，y=f的图象关于直线x=1对称，所以f(x)的图象关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确； 因为f+f=2，令x=-1，可得f(1)+f(1)=2，则f(1)=1，因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)=1，故B错误； 由f+f=2，f(0)=-1，令x=0，可得f(2)=3，f(0)≠f(2)，2不是f(x)的一个周期，故C错误； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 因为f(-x)=f(x)，f+f=2，所以f(x)+f=2， 所以f+f=2，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是以4为一个周期的周期函数； 所以f(k)=506[f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)]+f(1)=506×4+1=2 025，故D正确. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 12.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f g(2+x)均为偶函数，则 A.f(0)=0 B.g=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) √ √ 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 方法一　(转化法) 因为 f g(2+x)均为偶函数， 所以f=f 即f =f g(2+x)=g(2-x)， 所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)， 则f(-1)=f(4)，故C正确； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=x=2对称，又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导， 所以g=0，g(3-x)=-g(x)， 所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)， 所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)， 所以g=g=0， g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 若函数f(x)满足题设条件， 则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件， 所以无法确定f(0)的函数值，故A错误. 方法二　(特例法)因为f g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=对称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称. 取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)=1，排除A； 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 取符合题意的一个函数f(x)=sin πx， 则f'(x)=πcos πx，即g(x)=πcos πx， 所以g(-1)=πcos(-π)=-π，g(2)=πcos 2π=π， 所以g(-1)≠g(2)，排除D. 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 总结提升 1.一是要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，二是准确识记函数图象变换的规律，三是掌握函数图象识别的一些技巧，如利用图象的对称性、函数的符号等排除干扰项，从而得到正确选项. 2.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题. 37 1.(2024·北京模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是 A.y=x2+x B.y=cos x C.y=2x D.y=log2|x| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 13 14 补偿强化练 PART TWO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对于选项A，令f(x)=x2+x，f(-x)=x2-x≠f(x)，所以选项A不满足题意； 对于选项B，因为y=cos x在区间(0，+∞)上不单调，所以选项B不满足题意； 对于选项C，因为y=2x的图象不关于y轴对称，所以选项C不满足题意； 对于选项D，因为y=log2|x|的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，令h(x)=log2|x|， 则h(-x)=log2|-x|=log2|x|=h(x)，所以y=log2|x|为偶函数， 当x>0时，y=log2|x|=log2x，又y=log2x在区间(0，+∞)上单调递增，所以选项D满足题意. 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 A.[-1，1]∪[3，+∞) B.[-3，-1]∪[0，1] C.[-1，0]∪[1，+∞) D.[-1，0]∪[1，3] √ 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)=0. 又f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示. 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当x≤0时，要满足xf(x-1)≥0， 则f(x-1)≤0，得-1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x-1)≥0， 则f(x-1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3]. 12 13 14 3.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=则下列函数中为奇函数的是 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　因为f(x)= 所以f(x-1)==f(x+1)==. 对于A，令F(x)=f(x-1)-1=-1= 则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)=-F(-x)； 对于B，令G(x)=f(x-1)+1=+1= 则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)=-G(-x)，是奇函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C，f(x+1)-1=-1==-定义域不关于原点对称； 对于D，f(x+1)+1=+1==定义域不关于原点对称. 方法二　f(x)===-1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(2024·厦门模拟)函数f(x)=的图象大致为 12 √ 因为函数f(x)=的定义域为R，排除C，D， 又f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B. 13 14 5.(2024·广州模拟)已知f(x)=2|x|+x2，若f(a)<3，则a的取值范围是 A.(1，+∞) B.(-1，1) C.(-∞，1) D.(0，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 因为f(x)=2|x|+x2定义域为R，且f(-x)=2|-x|+(-x)2=2|x|+x2=f(x)， 所以f(x)为偶函数， 又当x≥0时，f(x)=2x+x2单调递增，且f(1)=3， 所以由f(a)<3可得f(|a|)<3=f(1)，即|a|<1， 解得-1<a<1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(2024·太原模拟)已知函数f(x)是定义在｛x|x≠0｝上不恒为零的函数，若f(xy)=+则 A.f(1)=1 B.f(-1)=1 C.f(x)为偶函数 D.f(x)为奇函数 √ 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 令x=y=1，则f(1)=2f(1)，故f(1)=0，A选项错误； 令x=y=-1，则f(1)=2f(-1)，故f(-1)=0，B选项错误； 令y=-1，则f(-x)=f(x)+=f(x)，又f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，故f(x)为偶函数，C选项正确，D选项错误. 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.已知函数f(x)=sin x+则 A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 √ 12 13 14 ∵当x∈时，f(x)<0， ∴f(x)min<0，故A错误； ∵f(x)=sin x+的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x)， ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B错误； ∵f(π-x)=sin x+f(π+x)=-sin x- ∴f(π-x)≠f(π+x)， ∴f(x)的图象不关于直线x=π对称，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵f =cos x+f =cos x+ ∴f =f ∴f(x)的图象关于直线x=对称，故D正确. 12 13 14 8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(1)=1，则f(k)等于 A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1 √ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为f(1)=1，所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中， 令y=1，得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)， 所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)， ① 所以f(x+2)+f(x)=f(x+1). ② 由①②相加，得f(x+2)+f(x-1)=0， 故f(x+3)+f(x)=0，所以f(x+3)=-f(x)， 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)， 所以函数f(x)的一个周期为6. 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中， 令x=1，y=0，得f(1)+f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2. 令x=y=1，得f(2)+f(0)=f(1)f(1)，所以f(2)=-1. 由f(x+3)=-f(x)，得f(3)=-f(0)=-2，f(4)=-f(1)=-1， f(5)=-f(2)=1，f(6)=-f(3)=2， 所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0， 根据函数的周期性知 f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3，故选A. 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(多选)(2024·九省联考)欧拉函数是初等数论中的重要内容.对于一个正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的数目.换句话说，φ(n)是所有不超过n且与n互素的数的总数.如：φ(5)=4，φ(14)=6.则以下是真命题的有 A.φ(n)的定义域为N*，其值域也是N* B.φ(n)在其定义域上单调递增，无极值点 C.不存在n0∈N*，使得方程φ(n)=n0有无数解 D.φ(n)≤n-1，当且仅当n是素数时等号成立 √ 12 √ √ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为N*，其值域也是N*，故A正确； 对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如φ(5)=4，φ(6)=2，故B错误； 对于C，由于φ(n)的值域为N*，所以不存在n0，使方程φ(n)=n0有无数解，故C正确； 对于D，由欧拉函数的定义可知，φ(n)≤n-1，当且仅当n是素数时等号成立，故D正确. 12 13 14 10.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，函数f(2x+2)为奇函数，f(x-1)为偶函数，g(x)为奇函数，g(x)=g(4-x)，则下列说法正确的是 A.函数f(x)的一个周期是6 B.函数g(x)的一个周期是8 C.若f(0)=2，则f(18)+g(68)=-2 D.若当0≤x≤2时，g(x)=ln(x+1)，则当10≤x≤12时，g(x)=ln √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 13 14 对于选项A，因为f为奇函数，所以f=-f(2x+2)， 令t=2x，得到f=-f(t+2)， 即有f=-f故可得f=-f 又f为偶函数，所以f=f(x-1)，即有f(-x)=f(x-2)， 所以f(x-2)=-f(x+4)，得到f(x)=-f(x+6)，所以f(x)=-f(x+6)=f(x+12)， 即函数f(x)的一个周期是12，所以选项A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于选项B，因为g(x)为奇函数，所以g=-g(x)，又g(x)=g 所以-g(-x)=g(4-x)，即g(x)=-g(x+4)=g(x+8)， 所以函数g(x)的一个周期是8，所以选项B正确； 对于选项C，由选项A和B知，f+g=f(6)+g(4)， 又g(0)=g=0，f(6)=-f(0)=-2，所以f+g=-2，所以选项C正确； 对于选项D，因为当0≤x≤2时，g(x)=ln(x+1)， 所以当10≤x≤12时，0≤12-x≤2，所以g(x)=g(x-8)=g(4-(x-8))=g(12-x) =ln(12-x+1)=ln(13-x)，所以选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.(多选)(2024·广州模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，f 为奇函数，且f(x)在[0，1]上单调递增，则下列结论正确的是 A.f <0 B.f >0 C.f(3)<0 D.f >0 √ 12 √ 13 14 因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)； 因为f 是R上的奇函数，所以f(1)=0， f =-f 所以f(-x+1)=-f(x+1)，即f(1+x)=-f(1-x). 所以f(x+2)=f(1+(1+x))=-f(1-(1+x))=-f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以函数f(x)是周期函数，且周期为4， 又f(x)在[0，1]上单调递增，所以在[0，1]上，有f(x)<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以函数的草图如图所示，由图可知f >0，故A错； f >0，故B对； f(3)=0，故C错； f =f =f =f>0，故D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 ∵f(x)=(x-1)2+ax+sin =(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x， 且函数为偶函数，∴a-2=0，解得a=2. 经验证，当a=2时满足题意. 13 14 13.(2024·宣城模拟)已知函数f(x)=则不等式2xf(x)-3<0的解集是 _______. (-1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为f(x)==2x-2-x， 令g(x)=xf(x)=x(2x-2-x)， 则g(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=g(x)， 则函数g(x)为偶函数. 又g'(x)=2x-2-x+xln 2(2x+2-x)， 当x>0时，2x-2-x>0，2x+2-x>0， 所以g'(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又g(1)=g(-1)=2-= 由2xf(x)-3<0，可得2g(x)-3<0，即g(x)<即g(x)<g(1)，所以<1，解得-1<x<1， 即不等式的解集是(-1，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2024·漳州模拟)已知f '(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，曲线f(x-1)关于点(1，0)对称，且满足f(x)-f(6-x)=3-x，则f(2 022)+f(2 028)=　　　　； f'(-2 025)=　　.  -2 025 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为曲线f(x-1)关于点(1，0)对称， 所以曲线f(x)关于坐标原点对称，即函数f(x)为奇函数.又因为x∈R，所以f(0)=0，f(0)-f(6)=3，所以f(6)=-3. 因为f(x)-f(6-x)=3-x， 整理得f(x)+=f(6-x)+ 令g(x)=f(x)+则函数g(x)为R上的可导奇函数，g(0)=0，且g(x)=g(6-x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又g(6-x)=-g(x-6)，所以g(x)=-g(x-6)=g(x-12)， 所以函数g(x)的图象关于直线x=3对称，且12为函数g(x)的一个周期， 所以g(2 022)+g(2 028)=g(168×12+6)+g(169×12+0) =g(6)+g(0)=f(6)+=0， 则f(2 022)+f(2 028)=g(2 022)-+g(2 028)-=-2 025. 因为g(x)=g(6-x)=-g(x-6)，所以g'(x)=-g'(6-x)=-g'(x-6)， 所以g'(3)=-g'(3)=-g'(-3)，所以g'(3)=g'(-3)=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又g(x)=g(x-12)，所以g'(x)=g'(x-12)， 所以函数g'(x)也是以12为周期的周期函数. 因为f(x)=g(x)-所以f'(x)=g'(x)- 所以f'(2 025)=g'(2 025)-=g'(169×12-3)-=g'(-3)-=-. 因为f(x)+f(-x)=0， 所以f'(x)-f'(-x)=0，即f'(-x)=f'(x)， 所以f'(-2 025)=f'(2 025)=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$ 专题一　函数与导数 微专题1　函数的图象与性质 [考情分析]　函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题. 微点一　函数的概念与表示 1.(2024·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(-1，3)，则函数g(x)=的定义域为(　　) A.(-2，1) B.(-2，0)∪(0，1) C.(0，1) D.(-∞，0)∪(0，1) 答案　B 解析　要使g(x)=有意义， 只需即 解得-2<x<0或0<x<1， 则函数g(x)的定义域为(-2，0)∪(0，1). 2.(5分)已知实数a∈R，函数f(x)=若f(1-a)>f(1+a)，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-2，-1)∪(0，+∞) 解析　由题意知a≠0， ①当a<0时，1-a>1，1+a<1， ∴-(1-a)>(1+a)2+2a， 化简得a2+3a+2<0，解得-2<a<-1， 又a<0，∴a∈(-2，-1)； ②当a>0时，1-a<1，1+a>1， ∴(1-a)2+2a>-(1+a)， 化简得a2+a+2>0，解得a∈R， 又a>0，∴a∈(0，+∞)， 综上，实数a的取值范围是(-2，-1)∪(0，+∞). 3.(2024·重庆模拟)设a>0且a≠1，若函数f(x)=的值域是[5，+∞)，则a的取值范围是(　　) A.[+∞) B.(1) C.(1] D.(+∞) 答案　C 解析　由于函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[5，+∞)， 故当x≤2时，满足f(x)=7-x≥5. 若a>1，则f(x)=3+logax在它的定义域上为增函数，当x>2时，由f(x)=3+logax≥5， 得logax≥2，∴loga2≥2，∴1<a≤. 若0<a<1，则f(x)=3+logax在它的定义域上为减函数，f(x)=3+logax<3+loga2<3，不满足f(x)的值域是[5，+∞). 综上可得1<a≤. 4.(多选)积性函数f(x)指对于所有互质的整数a和b有f(ab)=f(a)f(b)的数论函数.则以下数论函数是积性函数的有(　　) A.高斯函数[n]表示不大于实数n的最大整数 B.最大公约数函数gcd(n，k)表示正整数n与k的最大公约数(k是常数) C.幂次函数Vm(n)表示正整数n质因数分解后含m的幂次数(m是常数) D.欧拉函数φ(n)表示小于正整数n的正整数中满足与n互质的数的数目 答案　ABD 解析　选项A，对于所有互质的整数a和b，[a]=a，[b]=b，[ab]=ab.则高斯函数[n]是积性函数； 选项B，对于所有互质的整数a和b，有gcd(ab，k)=gcd(a，k)·gcd(b，k)，则最大公约数函数gcd(n，k)是积性函数； 选项C，互质的整数15和16，有V2(16)=4，V2(15)=0，V2(16×15)=4，则V2(16×15)≠V2(16)·V2(15)，则幂次函数Vm(n)不是积性函数； 选项D，对于所有互质的整数a和b，有φ(ab)=φ(a)·φ(b)，则欧拉函数φ(n)是积性函数. 微点二　函数的图象 5.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图象是(　　) 答案　D 解析　方法一　作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(-x)的图象，再把函数f(-x)的图象向右平移1个单位长度即可得到函数f(1-x)的图象，如图. 方法二　因为函数f(x)= 所以函数f(1-x)= 当x=0时，y=f(1)=3，即y=f(1-x)的图象过点(0，3)，排除A； 当x=-2时，y=f(3)=-1，即y=f(1-x)的图象过点(-2，-1)，排除B； 当x<0时，1-x>1，f(1-x)=lo(1-x)<0，排除C. 6.(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]上的大致图象为(　　) 答案　B 解析　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x) =-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin =-1->->0， 故可排除D. 7.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)= B.f(x)=ln C.f(x)= D.f(x)=x2ln 答案　D 解析　由图象可知f(x)为上的偶函数， 对于A，f(-x)==f(x)，且f(x)在x=0处没有定义，但当x>0时，ex>1，0<e-x<1，则ex-e-x>0，即f(x)=>0，不符合； 对于B，f(x)=ln在x=0处有定义，不符合； 对于C，f=≠f(x)，不符合； 对于D，f=ln=f(x)，且f(x)在x=0处没有定义，当-1<x<0或0<x<1时，ln |x|<0，x2>0，则f(x)=x2ln |x|<0； 当x≤-1或x≥1时，ln |x|≥0，x2>0，则f(x)=x2ln |x|≥0，符合. 8.(多选)设函数f(x)=mid{|x-2|，x2，|x+2|}，其中mid{x，y，z}表示x，y，z中的居中者.下列说法正确的有(　　) A.f(x)只有一个最小值点 B.f(x)的值域为 C.f(x)为偶函数 D.f(x)在上单调递减 答案　BCD 解析　由已知在同一坐标系中分别画出f1(x)=|x-2|，f2(x)=x2与f3(x)=|x+2|的图象(虚线)， 根据mid表示x，y，z中的居中者知函数f(x)的图象(实线)如图： 对于A，由图知当x=±1时，f(x)取到最小值1，所以f(x)有两个最小值点，故A错误； 对于B，由图知，函数f(x)的值域为故B正确； 对于C，由图知，函数f(x)的图象关于y轴对称， 又函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)为偶函数，故C正确； 对于D，由图知，函数f(x)在上单调递减，故D正确. 微点三　函数的性质 9.(5分)已知f(x)=(x+a+b)ln若f(x)为偶函数，则a=　　　　.  答案　 解析　函数f(x)=(x+a+b)ln=(x+a+b)ln有意义，则>0， 解得x>-b或x<-b-1，所以函数f(x)的定义域为∪ 因为f(x)为偶函数，则有-b-1+=0，解得b=- 所以f(x)=ln f(-x)=ln  由f(x)=f(-x)，有ln =ln =ln  则有a-=-a+所以a=. 10.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 答案　B 解析　因为当x<3时，f(x)=x， 所以f(1)=1，f(2)=2， 又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 则f(3)>f(2)+f(1)=3， f(4)>f(3)+f(2)>5， f(5)>f(4)+f(3)>8， f(6)>f(5)+f(4)>13， f(7)>f(6)+f(5)>21， f(8)>f(7)+f(6)>34， f(9)>f(8)+f(7)>55， f(10)>f(9)+f(8)>89， f(11)>f(10)+f(9)>144， f(12)>f(11)+f(10)>233， f(13)>f(12)+f(11)>377， f(14)>f(13)+f(12)>610， f(15)>f(14)+f(13)>987， f(16)>f(15)+f(14)>1 597>1 000， f(17)>f(16)+f(15)>2 584， f(18)>f(17)+f(16)>4 181， f(19)>f(18)+f(17)>6 765， f(20)>f(19)+f(18)>10 946>10 000>1 000， 则B正确，D错误； 且无证据表明A，C一定正确. 11.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且对任意的x∈R都有f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(-1)=-1 C.2是f(x)的一个周期 D.f(k)=2 025 答案　AD 解析　因为函数f(x)的定义域为R，y=f的图象关于直线x=1对称，所以f(x)的图象关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确； 因为f+f=2，令x=-1，可得f(1)+f(1)=2，则f(1)=1，因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)=1，故B错误； 由f+f=2，f(0)=-1，令x=0，可得f(2)=3，f(0)≠f(2)，2不是f(x)的一个周期，故C错误； 因为f(-x)=f(x)，f+f=2，所以f(x)+f=2， 所以f+f=2，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是以4为一个周期的周期函数； 所以f(k)=506[f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)]+f(1)=506×4+1=2 025，故D正确. 12.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f g(2+x)均为偶函数，则(　　) A.f(0)=0 B.g=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 答案　BC 解析　方法一　(转化法) 因为 f g(2+x)均为偶函数， 所以f=f 即f =f g(2+x)=g(2-x)， 所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)， 则f(-1)=f(4)，故C正确； 函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=x=2对称，又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导， 所以g=0，g(3-x)=-g(x)， 所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)， 所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)， 所以g=g=0， g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误； 若函数f(x)满足题设条件， 则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件， 所以无法确定f(0)的函数值，故A错误. 方法二　(特例法)因为f g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=对称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)=1，排除A； 取符合题意的一个函数f(x)=sin πx， 则f'(x)=πcos πx，即g(x)=πcos πx， 所以g(-1)=πcos(-π)=-π，g(2)=πcos 2π=π， 所以g(-1)≠g(2)，排除D. [总结提升] 1.一是要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，二是准确识记函数图象变换的规律，三是掌握函数图象识别的一些技巧，如利用图象的对称性、函数的符号等排除干扰项，从而得到正确选项. 2.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题. 1.(2024·北京模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x2+x B.y=cos x C.y=2x D.y=log2|x| 答案　D 解析　对于选项A，令f(x)=x2+x，f(-x)=x2-x≠f(x)，所以选项A不满足题意； 对于选项B，因为y=cos x在区间(0，+∞)上不单调，所以选项B不满足题意； 对于选项C，因为y=2x的图象不关于y轴对称，所以选项C不满足题意； 对于选项D，因为y=log2|x|的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，令h(x)=log2|x|， 则h(-x)=log2|-x|=log2|x|=h(x)，所以y=log2|x|为偶函数， 当x>0时，y=log2|x|=log2x，又y=log2x在区间(0，+∞)上单调递增，所以选项D满足题意. 2.若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1，1]∪[3，+∞) B.[-3，-1]∪[0，1] C.[-1，0]∪[1，+∞) D.[-1，0]∪[1，3] 答案　D 解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)=0. 又f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示. 当x≤0时，要满足xf(x-1)≥0， 则f(x-1)≤0，得-1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x-1)≥0， 则f(x-1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 [-1，0]∪[1，3]. 3.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 答案　B 解析　方法一　因为f(x)= 所以f(x-1)== f(x+1)==. 对于A，令F(x)=f(x-1)-1=-1 = 则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)=-F(-x)； 对于B，令G(x)=f(x-1)+1=+1= 则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)=-G(-x)，是奇函数； 对于C，f(x+1)-1=-1==-定义域不关于原点对称； 对于D，f(x+1)+1=+1==定义域不关于原点对称. 方法二　f(x)===-1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1. 4.(2024·厦门模拟)函数f(x)=的图象大致为(　　) 答案　A 解析　因为函数f(x)=的定义域为R，排除C，D， 又f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B. 5.(2024·广州模拟)已知f(x)=2|x|+x2，若f(a)<3，则a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.(-1，1) C.(-∞，1) D.(0，1) 答案　B 解析　因为f(x)=2|x|+x2定义域为R，且f(-x)=2|-x|+(-x)2=2|x|+x2=f(x)， 所以f(x)为偶函数， 又当x≥0时，f(x)=2x+x2单调递增，且f(1)=3， 所以由f(a)<3可得f(|a|)<3=f(1)，即|a|<1， 解得-1<a<1. 6.(2024·太原模拟)已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上不恒为零的函数，若f(xy)=+则(　　) A.f(1)=1 B.f(-1)=1 C.f(x)为偶函数 D.f(x)为奇函数 答案　C 解析　令x=y=1，则f(1)=2f(1)，故f(1)=0，A选项错误； 令x=y=-1，则f(1)=2f(-1)，故f(-1)=0，B选项错误； 令y=-1，则f(-x)=f(x)+=f(x)，又f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，故f(x)为偶函数，C选项正确，D选项错误. 7.已知函数f(x)=sin x+则(　　) A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 答案　D 解析　∵当x∈时，f(x)<0， ∴f(x)min<0，故A错误； ∵f(x)=sin x+的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x)， ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B错误； ∵f(π-x)=sin x+ f(π+x)=-sin x- ∴f(π-x)≠f(π+x)， ∴f(x)的图象不关于直线x=π对称，故C错误； ∵f =cos x+ f =cos x+ ∴f =f ∴f(x)的图象关于直线x=对称，故D正确. 8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则f(k)等于(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 答案　A 解析　因为f(1)=1， 所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中， 令y=1，得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)， 所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)，① 所以f(x+2)+f(x)=f(x+1).② 由①②相加，得f(x+2)+f(x-1)=0， 故f(x+3)+f(x)=0，所以f(x+3)=-f(x)， 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)， 所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中， 令x=1，y=0，得f(1)+f(1)=f(1)f(0)， 所以f(0)=2. 令x=y=1，得f(2)+f(0)=f(1)f(1)， 所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x)， 得f(3)=-f(0)=-2，f(4)=-f(1)=-1， f(5)=-f(2)=1，f(6)=-f(3)=2， 所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0， 根据函数的周期性知 f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3，故选A. 9.(多选)(2024·九省联考)欧拉函数是初等数论中的重要内容.对于一个正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的数目.换句话说，φ(n)是所有不超过n且与n互素的数的总数.如：φ(5)=4，φ(14)=6.则以下是真命题的有(　　) A.φ(n)的定义域为N*，其值域也是N* B.φ(n)在其定义域上单调递增，无极值点 C.不存在n0∈N*，使得方程φ(n)=n0有无数解 D.φ(n)≤n-1，当且仅当n是素数时等号成立 答案　ACD 解析　对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为N*，其值域也是N*，故A正确； 对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如φ(5)=4，φ(6)=2，故B错误； 对于C，由于φ(n)的值域为N*，所以不存在n0，使方程φ(n)=n0有无数解，故C正确； 对于D，由欧拉函数的定义可知，φ(n)≤n-1，当且仅当n是素数时等号成立，故D正确. 10.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，函数f(2x+2)为奇函数，f(x-1)为偶函数，g(x)为奇函数，g(x)=g(4-x)，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的一个周期是6 B.函数g(x)的一个周期是8 C.若f(0)=2，则f+g=-2 D.若当0≤x≤2时，g(x)=ln(x+1)，则当10≤x≤12时，g(x)=ln 答案　BCD 解析　对于选项A，因为f为奇函数，所以f=-f(2x+2)， 令t=2x，得到f=-f(t+2)， 即有f=-f故可得f=-f 又f为偶函数，所以f=f(x-1)，即有f(-x)=f(x-2)， 所以f(x-2)=-f(x+4)，得到f(x)=-f(x+6)，所以f(x)=-f(x+6)=f(x+12)， 即函数f(x)的一个周期是12，所以选项A错误； 对于选项B，因为g(x)为奇函数，所以g=-g(x)，又g(x)=g 所以-g(-x)=g(4-x)，即g(x)=-g(x+4)=g(x+8)， 所以函数g(x)的一个周期是8，所以选项B正确； 对于选项C，由选项A和B知，f+g=f(6)+g(4)， 又g(0)=g=0，f(6)=-f(0)=-2，所以f+g=-2，所以选项C正确； 对于选项D，因为当0≤x≤2时，g(x)=ln(x+1)， 所以当10≤x≤12时，0≤12-x≤2，所以g(x)=g(x-8)=g(4-(x-8))=g(12-x)=ln(12-x+1)=ln(13-x)，所以选项D正确. 11.(多选)(2024·广州模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，f 为奇函数，且f(x)在[0，1]上单调递增，则下列结论正确的是(　　) A.f <0 B.f >0 C.f(3)<0 D.f >0 答案　BD 解析　因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)； 因为f 是R上的奇函数，所以f(1)=0， f =-f 所以f(-x+1)=-f(x+1)， 即f(1+x)=-f(1-x). 所以f(x+2)=f(1+(1+x))=-f(1-(1+x))=-f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以函数f(x)是周期函数，且周期为4， 又f(x)在[0，1]上单调递增， 所以在[0，1]上，有f(x)<0. 所以函数的草图如图所示，由图可知f >0，故A错；f>0，故B对；f(3)=0，故C错； f =f =f =f>0，故D对. 12.(5分)(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数，则a=　　　　.  答案　2 解析　∵f(x)=(x-1)2+ax+sin =(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x， 且函数为偶函数，∴a-2=0，解得a=2. 经验证，当a=2时满足题意. 13.(5分)(2024·宣城模拟)已知函数f(x)=则不等式2xf(x)-3<0的解集是 　. 答案　(-1，1) 解析　因为f(x)==2x-2-x， 令g(x)=xf(x)=x(2x-2-x)， 则g(-x)=(-x)(2-x-2x) =x(2x-2-x)=g(x)， 则函数g(x)为偶函数. 又g'(x)=2x-2-x+xln 2(2x+2-x)， 当x>0时，2x-2-x>0，2x+2-x>0， 所以g'(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 又g(1)=g(-1)=2-= 由2xf(x)-3<0，可得2g(x)-3<0，即g(x)<即g(x)<g(1)，所以<1，解得-1<x<1， 即不等式的解集是(-1，1). 14.(5分)(2024·漳州模拟)已知f '(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，曲线f(x-1)关于点(1，0)对称，且满足f(x)-f(6-x)=3-x，则f(2 022)+f(2 028)=　　　　；f'(-2 025)=　　　　.  答案　-2 025　- 解析　因为曲线f(x-1)关于点(1，0)对称， 所以曲线f(x)关于坐标原点对称，即函数f(x)为奇函数.又因为x∈R，所以f(0)=0，f(0)-f(6)=3，所以f(6)=-3. 因为f(x)-f(6-x)=3-x， 整理得f(x)+=f(6-x)+ 令g(x)=f(x)+则函数g(x)为R上的可导奇函数，g(0)=0，且g(x)=g(6-x). 又g(6-x)=-g(x-6)，所以g(x)=-g(x-6)=g(x-12)， 所以函数g(x)的图象关于直线x=3对称，且12为函数g(x)的一个周期， 所以g(2 022)+g(2 028) =g(168×12+6)+g(169×12+0) =g(6)+g(0)=f(6)+=0， 则f(2 022)+f(2 028) =g(2 022)-+g(2 028)-=-2 025. 因为g(x)=g(6-x)=-g(x-6)， 所以g'(x)=-g'(6-x)=-g'(x-6)， 所以g'(3)=-g'(3)=-g'(-3)， 所以g'(3)=g'(-3)=0. 又g(x)=g(x-12)，所以g'(x)=g'(x-12)， 所以函数g'(x)也是以12为周期的周期函数. 因为f(x)=g(x)-所以f'(x)=g'(x)- 所以f'(2 025)=g'(2 025)- =g'(169×12-3)-=g'(-3)-=-. 因为f(x)+f(-x)=0， 所以f'(x)-f'(-x)=0，即f'(-x)=f'(x)， 所以f'(-2 025)=f'(2 025)=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$