专题一 微拓展4 著名不等式-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

微拓展4　著名不等式 [考情分析]　不等式的高阶拓展(柯西不等式、排序不等式、权方和不等式、琴生不等式、切比雪夫不等式等)在近几年出现的越来越多，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值、证明不等式等问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！ 1.柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). (2)二维形式的柯西不等式的变式 ①·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). ②·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). ③(a+b)(c+d)≥(+)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立). (3)扩展：(+++…+)(+++…+)≥(ai，bi∈R，且bi≠0，i=1，2，…，n，当且仅当==…=时，等号成立). 2.权方和不等式 权方和不等式：若a，b，x，y>0，则+当且仅当=时，等号成立.(注：熟练掌握这个足以应对高考中的这类型最值问题，可以实现对一些问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式：设x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn>0，n∈N*. 若m>0或m<-1，则++…+； 若-1<m<0，则++…+. 上述两个不等式，当且仅当===…=时，等号成立. 注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.特别地，高考题中以m=1最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式的变形. 3.排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn且j1，j2，…，jn是1，2，…，n(n∈N*)的任意一个排列，则akbn-k+1≤akakbk，当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，等号成立. 可简记为“反序和≤乱序和≤顺序和”. 4.切比雪夫不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn(n∈N*)，则(ai)(bi)≤naibi；设a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn(n∈N*)，则(ai)( bi)≥naibi. 上述两个不等式，当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，等号成立. 5.琴生不等式 (1)设曲线y=f(x)是区间D上的上凸函数，x1，x2，…，xn为D上的任意n点(n∈N*)，则f当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立. (2)设曲线y=f(x)是区间D上的下凸函数，x1，x2，…，xn为D上的任意n点(n∈N*)，则f当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立. 微点一　柯西不等式 1.(5分)实数x，y满足x2+y2=4，则x+y的最大值是　　　　.  答案　2 解析　(x2+y2)(12+12)≥(x+y)2， 则8≥(x+y)2， 所以x+y≤2当且仅当x=y=时等号成立. 2.(15分)设x，y，z∈R，且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；(6分) (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立，证明：a≤-3或a≥-1.(9分) (1)解　[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2](12+12+12)≥[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x+y+z+1)2=4， 故(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥ 等号成立当且仅当x-1=y+1=z+1，① 又因为x+y+z=1，② ①②联立解得此时等号成立，所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为. (2)证明　因为(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥ 所以[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2](12+12+12)≥1. 根据柯西不等式等号成立的条件， 当x-2=y-1=z-a，即时有[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2](12+12+12)=(x-2+y-1+z-a)2=(a+2)2成立. 所以(a+2)2≥1成立，所以有a≤-3或a≥-1. 微点二　权方和不等式 3.已知a>1，b>且2a+b=3，则+的最小值为(　　) A.1 B. C.9 D. 答案　C 解析　因为2a+b=3，所以4a+2b=6， 因为a>1，b>所以a-1>0，2b-1>0. 由权方和不等式+可得+=+=+=9， 当且仅当= 即a=b=时，等号成立. 4.(5分)已知x>0，y>0，且x+y=1，则+的最小值是　　　　.  答案　 解析　+= 当且仅当=即x=y=时，等号成立. 微点三　排序不等式 5.(13分)已知x，y，z是正数，且x+y+z=1，求t=++的最小值. 解　不妨设x≥y≥z>0， 则x2≥y2≥z2. 由排序不等式，乱序和≥反序和可得++≥x2·+y2·+z2·=x+y+z. 又x+y+z=1，则++≥1， 当且仅当x=y=z=时，等号成立. 故t=++的最小值为1. 微点四　切比雪夫不等式 6.(13分)用切比雪夫不等式证明：设a1，a2，…，an是正数，则当且仅当a1=a2=…=an时取等号. 证明　不妨设a1≥a2≥…≥an>0， 则≤…≤. 由切比雪夫不等式知 n2=n≤(ai). 所以当且仅当a1=a2=…=an时取等号. 微点五　琴生不等式 7.(13分)设x∈证明：2++<2. 证明　令f(x)=则f'(x)=f″(x)=-<0， 所以f(x)=在[0，+∞)上是上凸函数，由琴生不等式得2++ =2f(x+1)+f(2x-3)+f(15-3x) =4 ≤4f =4f=4≤4=2. 当且仅当x+1=2x-3=15-3x，x=5时取等. 因为x+1=2x-3⇒x=4≠5，于是2++<2. [总结提升] 利用重要不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组. 1.柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数a1，a2，a3和b1，b2，b3，有(++)(++)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，等号成立当且仅当==.已知x2+y2+z2=14，利用柯西不等式求出x+2y+3z的最大值是(　　) A.14 B.12 C.10 D.8 答案　A 解析　由题干中柯西不等式可得(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14×14=196， 所以x+2y+3z的最大值为14，当且仅当x=1，y=2，z=3时取等号. 2.设a，b，c为正数，P=a3+b3+c3，Q=a2b+b2c+c2a，则P与Q的大小关系是(　　) A.P>Q B.P≥Q C.P<Q D.P≤Q 答案　B 解析　不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0. 由排序不等式得a2a+b2b+c2c≥a2b+b2c+c2a， 当且仅当a=b=c时等号成立，∴P≥Q. 3.(5分)(2024·沈阳模拟)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则+当且仅当=时，等号成立.根据权方和不等式，函数f(x)=+的最小值为　　　　.  答案　25 解析　因为a，b，x，y>0，则+ 当且仅当=时，等号成立， 又0<x<即1-2x>0， 于是得f(x)=+=25，当且仅当=即x=时，等号成立， 所以函数f(x)=+的最小值为25. 4.(5分)设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是　　　　　　.  答案　[20，30] 解析　由排序不等式得 a1+2a2+3a3+4a4≤12+22+32+42=30， a1+2a2+3a3+4a4≥1×4+2×3+3×2+4×1=20， ∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是[20，30]. 5.(13分)已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：++++. 证明　∵a≥b≥c>0，∴a5≥b5≥c5， >0，∴ ∴ 由顺序和≥乱序和得 ++++ =++ 当且仅当a=b=c时取等号， ∴++++. 6.(15分)设ai>0(i=1，2，…，n)，且ai=1.求S=++…+的最小值. 解　S=++…+. 不妨设1>a1≥a2≥…≥an>0， 则≥…≥>0. 使用切比雪夫不等式有 S≥(a1+a2+…+an) =. 再使用权方和不等式得 S≥· =. 当且仅当a1=a2=…=an=时等号成立. 所以S的最小值为. 7.(15分)已知x，y，z>0，且x+y+z=1，求证：. 证明　令g= 则ln g=ln+ln+ln 设f(x)=ln则f'(x)= f″(x)= = 当x∈(0，1)时，f″(x)>0，所以f(x)=ln在(0，1)上是下凸函数，于是由琴生不等式得ln g=ln+ln+ln ≥3ln=ln所以g≥ 即. 8.(15分)已知正数x，y满足+=1，求+的最小值. 解　要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a>0，b>0，x>0，y>0，有+当且仅当=时取等号. 证明：利用柯西不等式：m，n，x，y>0，(m2+n2)(x2+y2)≥(mx+ny)2，当且仅当=时取等号， 要证+ 只须证(x+y)≥(a+b)2， 若a>0，b>0，x>0，y>0，则(x+y) =[()2+()2] ≥=(a+b)2， 当且仅当=时，即=时取等号. 故由+=+ =+= 当且仅当=时取等号. 由解得 即当x=y=17时+取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一　函数与导数 微拓展4 著名不等式 不等式的高阶拓展(柯西不等式、排序不等式、权方和不等式、琴生不等式、切比雪夫不等式等)在近几年出现的越来越多，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值、证明不等式等问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！ 考情分析 1.柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). (2)二维形式的柯西不等式的变式 ①·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). ②·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立). ③(a+b)(c+d)≥(+)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立). (3)扩展：(+++…+)(+++…+)≥(ai，bi∈R，且bi≠0，i=1，2，…，n，当且仅当==…=时，等号成立). 2.权方和不等式 权方和不等式：若a，b，x，y>0，则+当且仅当=时，等号成立.(注：熟练掌握这个足以应对高考中的这类型最值问题，可以实现对一些问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式：设x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn>0，n∈N*. 若m>0或m<-1，则++…+； 若-1<m<0，则++…+. 上述两个不等式，当且仅当===…=时，等号成立. 注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.特别地，高考题中以m=1最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式的变形. 3.排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn且j1，j2，…，jn是1，2，…，n(n∈N*) 的任意一个排列，则akbn-k+1≤ak≤akbk ，当且仅当a1=a2= …=an或b1=b2=…=bn时，等号成立. 可简记为“反序和≤乱序和≤顺序和”. 4.切比雪夫不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn(n∈N*)，则(ai)(bi)≤naibi； 设a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn(n∈N*)，则(ai)( bi)≥naibi. 上述两个不等式，当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，等号成立. 5.琴生不等式 (1)设曲线y=f(x)是区间D上的上凸函数，x1，x2，…，xn为D上的任意n点(n∈N*)，则f 当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立. (2)设曲线y=f(x)是区间D上的下凸函数，x1，x2，…，xn为D上的任意n点(n∈N*)，则f 当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立. 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　柯西不等式 1.实数x，y满足x2+y2=4，则x+y的最大值是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 2 (x2+y2)(12+12)≥(x+y)2， 则8≥(x+y)2， 所以x+y≤2当且仅当x=y=时等号成立. 2.设x，y，z∈R，且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 [(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2](12+12+12)≥[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x+y+z+1)2=4， 故(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥ 等号成立当且仅当x-1=y+1=z+1， ① 又因为x+y+z=1， ② ①②联立解得此时等号成立， 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立，证明：a≤-3或a≥-1. 1 2 3 4 5 6 7 因为(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥ 所以[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2](12+12+12)≥1. 根据柯西不等式等号成立的条件，当x-2=y-1=z-a， 即时有[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2](12+12+12)=(x-2+y-1+z-a)2= (a+2)2成立. 所以(a+2)2≥1成立，所以有a≤-3或a≥-1. 微点二　权方和不等式 3.已知a>1，b>且2a+b=3，则+的最小值为 A.1　　　　B.　　　　C.9　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 因为2a+b=3，所以4a+2b=6， 因为a>1，b>所以a-1>0，2b-1>0. 由权方和不等式++=+=+ =9， 当且仅当= 即a=b=时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 4.已知x>0，y>0，且x+y=1，则+的最小值是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 += 当且仅当=即x=y=时，等号成立. 微点三　排序不等式 5.已知x，y，z是正数，且x+y+z=1，求t=++的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 不妨设x≥y≥z>0， 则x2≥y2≥z2. 由排序不等式，乱序和≥反序和可得++≥x2·+y2·+z2·=x+y+z. 又x+y+z=1，则++≥1， 当且仅当x=y=z=时，等号成立. 故t=++的最小值为1. 微点四　切比雪夫不等式 6 1 2 3 4 5 7 6.用切比雪夫不等式证明：设a1，a2，…，an是正数，则当且仅当a1=a2=…=an时取等号. 6 1 2 3 4 5 7 不妨设a1≥a2≥…≥an>0， 则≤≤…≤. 由切比雪夫不等式知 n2=n≤(ai). 所以当且仅当a1=a2=…=an时取等号. 微点五　琴生不等式 7.设x∈证明：2++<2. 6 1 2 3 4 5 7 6 1 2 3 4 5 7 令f(x)=则f'(x)=f″(x)=-<0， 所以f(x)=在[0，+∞)上是上凸函数，由琴生不等式得2++=2f(x+1)+f(2x-3)+f(15-3x) =4 ≤4f =4f=4≤4=2. 当且仅当x+1=2x-3=15-3x，x=5时取等. 因为x+1=2x-3⇒x=4≠5，于是2++<2. 总结提升 利用重要不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组. 24 补偿强化练 PART TWO 1.柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数a1，a2，a3和b1，b2，b3，有(++)(++) ≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，等号成立当且仅当==.已知x2+y2+z2=14，利用柯西不等式求出x+2y+3z的最大值是 A.14　　　　B.12　　　　C.10　　　　D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 由题干中柯西不等式可得(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14×14=196， 所以x+2y+3z的最大值为14，当且仅当x=1，y=2，z=3时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 2.设a，b，c为正数，P=a3+b3+c3，Q=a2b+b2c+c2a，则P与Q的大小关系是 A.P>Q　　　　B.P≥Q　　　　C.P<Q　　　　D.P≤Q √ 1 2 3 4 5 6 7 8 不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0. 由排序不等式得a2a+b2b+c2c≥a2b+b2c+c2a， 当且仅当a=b=c时等号成立，∴P≥Q. 3.(2024·沈阳模拟)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则+ 当且仅当=时，等号成立.根据权方和不等式，函数f(x)=+ 的最小值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 25 因为a，b，x，y>0，则+ 当且仅当=时，等号成立， 又0<x<即1-2x>0， 于是得f(x)=+=25，当且仅当=即x=时，等号成立， 所以函数f(x)=+的最小值为25. 1 2 3 4 5 6 7 8 4.设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 [20，30] 由排序不等式得 a1+2a2+3a3+4a4≤12+22+32+42=30， a1+2a2+3a3+4a4≥1×4+2×3+3×2+4×1=20， ∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是[20，30]. 5.已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：++++. 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵a≥b≥c>0，∴a5≥b5≥c5， >0，∴ ∴ 由顺序和≥乱序和得++++=++ 当且仅当a=b=c时取等号， ∴++++. 6.设ai>0(i=1，2，…，n)，且ai=1.求S=++ …+的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 S=++…+. 不妨设1>a1≥a2≥…≥an>0， 则≥…≥>0. 使用切比雪夫不等式有 S≥(a1+a2+…+an)=. 再使用权方和不等式得 S≥· =. 1 2 3 4 5 6 7 8 当且仅当a1=a2=…=an=时等号成立. 所以S的最小值为. 7.已知x，y，z>0，且x+y+z=1，求证：. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 令g= 则ln g=ln+ln+ln 设f(x)=ln则f'(x)= f″(x)== 当x∈(0，1)时，f″(x)>0，所以f(x)=ln在(0，1)上是下凸函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 于是由琴生不等式得ln g=ln+ln+ln ≥3ln=ln所以g≥ 即. 8.已知正数x，y满足+=1，求+的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a>0，b>0，x>0，y>0，有+当且仅当=时取等号. 证明：利用柯西不等式：m，n，x，y>0，(m2+n2)(x2+y2)≥(mx+ny)2，当且仅当=时取等号， 要证+ 只须证(x+y)≥(a+b)2， 1 2 3 4 5 6 7 8 若a>0，b>0，x>0，y>0，则(x+y) =[()2+()2]≥=(a+b)2， 当且仅当==时取等号. 故由+=+=+= 当且仅当=时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 由 即当x=y=17时+. $$