专题一 微拓展3 拉格朗日中值定理-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

微拓展3　拉格朗日中值定理 [考情分析]　随着高考改革的不断推进，以高等数学为背景的高考命题成为热点，部分模拟试卷中的导数题目往往可以用拉格朗日中值定理解答，从而使问题简捷巧妙． 1.拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数f(x)满足如下条件： (1)f(x)在闭区间[a，b]上连续； (2)f(x)在开区间(a，b)内可导. 则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=. 2.拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点P(ξ，f(ξ))，使得该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线. 3.需要注意的地方(逆命题不成立) 拉格朗日中值定理没有逆定理，即对曲线的任一切线，并不一定存在割线，使割线斜率等于切线斜率，如f(x)=x3在x=0处的切线斜率为0，但f(x)不存在斜率等于0的割线. 4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b)， f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a)(0<θ<1)， f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h(0<θ<1). 注：拉格朗日公式无论对于a<b还是a>b都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数.显然，当0<θ<1时，a<a+θ(b-a)<b. 微点一　拉格朗日中值定理的认知及简单应用 1.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-2x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 答案　B 解析　函数f(x)=x3-2x，求导得f'(x)=3x2-2，令x0为f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”， 则有3-2=即3-2=2，解得x0=± 所以函数f(x)=x3-2x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 2.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内至少存在一点x0，使得f(b)-f(a)=f'(x0)(b-a)，x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的“中值点”.若关于函数f(x)=sin x在区间[0，π]上的“中值点”的个数为m，函数g(x)=ex在区间[0，1]上的“中值点”的个数为n，则有m+n等于(参考数据：π≈3.14，e≈2.72)(　　) A.1 B.2 C.0 D.3 答案　B 解析　设函数f(x)=sin x在区间[0，π]上的“中值点”为x0，由f(x)=sin x，得f'(x)=cos x， 则由拉格朗日中值定理得，f(π)-f(0)=f'(x0)(π-0)，即πcos x0=0，因为x0∈[0，π]，所以x0=所以函数f(x)=sin x在区间[0，π]上的“中值点”的个数为1，即m=1； 设函数g(x)=ex在区间[0，1]上的“中值点”为x1，由g(x)=ex，得g'(x)=ex，则由拉格朗日中值定理得，g(1)-g(0)=g'(x1)(1-0)，即e-1=作出函数y=ex和y=e-1的图象如图所示，1<e-1<e，当x∈[0，1]时，1≤ex≤e， 由图可知，函数y=ex和y=e-1的图象在区间[0，1]上有一个交点，即方程e-1=在区间[0，1]上有1个解，所以函数g(x)=ex在区间[0，1]上的“中值点”的个数为1，即n=1，所以m+n=2. 3.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数f(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可导，则必有ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a).已知函数f(x)=(1+x)ln(1+x)-x2-x，∀a，b∈(a<b)，λ=那么实数λ的最大值为(　　) A.e-2 B.0 C. D.ln 2 答案　B 解析　由题意知，∀a，b∈∃ξ∈(a，b)，使得λ=f'(ξ)=. 因为f(x)=(1+x)ln(1+x)-x2-x， 则f'(x)=ln(1+x)-x， 令h(x)=ln(1+x)-x， 则h'(x)=-1=. 当-1<x<0时，h'(x)>0， 即h(x)在上单调递增； 当0<x<e-1时，h'(x)<0， 即h(x)在(0，e-1)上单调递减. 所以f'(x)=ln(1+x)-x≤f'(0)=0， 所以f'(x)max=0， 所以实数λ的最大值为0. 微点二　拉格朗日中值定理在导数中的综合应用 4.(13分)已知函数f(x)=x2++aln x(x>0)，f(x)的导函数是f'(x)，对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：当a≤4时，|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|. 证明　由f(x)=x2++aln x，得 f'(x)=2x-+令g(x)=f'(x)， 则由拉格朗日中值定理得 |f'(x1)-f'(x2)|=|g(x1)-g(x2)| =|g'(λ)(x1-x2)|. 下面只要证明： 当a≤4时，任意λ>0，都有|g'(λ)|>1. 因为x>0，a≤4，则有g'(x)=2+->1， 即证当a≤4时，a<x2+恒成立. 这等价于证明x2+的最小值大于4， 由x2+=x2++≥3 当且仅当x=时取到最小值， 又a≤4<3 故当a≤4时，2+->1恒成立. 所以|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|. 5.(13分)(2024·杭州调研改编)已知函数f(x)=x2++aln x(x>0)，对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：当a≤0时>f. 证明　不妨设0<x1<x2， 即证f(x2)-f>f-f(x1). 由拉格朗日中值定理知， 存在ξ1∈ξ2∈ 则ξ1<ξ2，且f(x2)-f =f'(ξ2)· f-f(x1)=f'(ξ1)· 又f'(x)=2x-+f″(x)=2+-. 当a≤0时，f″(x)>0，所以f'(x)在(0，+∞)上单调递增，故f'(ξ1)<f'(ξ2)，从而f(x2)-f>f-f(x1)成立， 因此结论成立. 6.(13分)设f(x)=若对任意的x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围. 解　当x=0时，f(x)≤ax对任意a恒成立； 当x>0时，f(x)≤ax等价于≤a， 由拉格朗日中值定理，可知存在x0>0使得=f'(x0)， 故只需a≥f'(x0)恒成立即可. 又f'(x0)==-3+∈所以a≥. 综上，a的取值范围为. 7.(15分)已知函数f(x)=ln x. (1)求函数g(x)=f(x+1)-x的最大值；(6分) (2)当0<a<b时，求证：f(b)-f(a)>.(9分) (1)解　g(x)=f(x+1)-x=ln(x+1)-x，x∈(-1，+∞)，g'(x)=-1= 当-1<x<0时，g'(x)>0， 当x>0时，g'(x)<0， 故当x=0时，g(x)取得最大值，且最大值为0. (2)证明　∵b-a>0， 要证f(b)-f(a)> 即证>. 由拉格朗日中值定理知，∃x0∈(a，b)， 使f'(x0)= 又f'(x)=∴f'(x)在(a，b)上单调递减， ∴f'(x0)>f'(b)= ∴f'(x0)->-=>0，∴f'(x0)> 即>即原不等式成立. [总结提升] 1.能利用拉格朗日中值定理证明的不等式的特征：既有两自变量的差，又有两函数(或导数)值的差. 2.利用拉格朗日中值定理求参数的步骤： (1)分离参数； (2)构造成的形式，求其最值(范围). 1.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，ξ称为函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的中值点.则函数f(x)=tan x在区间上的中值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　由题意，函数f(x)=tan x，x∈ 所以f=-1，f=1，f'(x)='=所以f-f=2，f'(ξ)= 所以由拉格朗日中值定理得2=· 即cos2ξ=所以cos ξ=± 由于当x∈时，cos x∈ 所以cos ξ=-在上无解，cos ξ=在上有两解. 所以函数f(x)=tan x在区间上的中值点的个数为2. 2.(5分)如果函数y=f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)上可导，则在开区间(a，b)上至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值点”.则g(x)=x3在区间[0，1]上的“拉格朗日中值点”ξ=　　　.  答案　 解析　由题意，g'(x)=3x2，故g(1)-g(0)=g'即g'=1， 故3ξ2=1，又ξ∈(0，1)，故ξ=. 3.(13分)设f(x)=x2-ax+(a-1)ln x，求证：当1<a<5时，对任意x1，x2∈(0，1)，x1≠x2，有>-1. 证明　由拉格朗日中值定理可知只需证f'(x)>-1对x∈(0，1)恒成立， f'(x)+1=x+-(a-1)=令g(x)=x2-(a-1)x+(a-1)(0<x<1)， 因为1<a<5，所以g(x)=x2-(a-1)x+(a-1)=+>0， 则f'(x)+1>0⇒f'(x)>-1，命题得证. 4.(15分)(2024·衡水模拟)已知f(x)=ex-x. (1)求f(x)的单调区间和最值；(6分) (2)定理：若函数f(x)在(a，b)上可导，在[a，b]上连续，则存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=.该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题： 若0<m<n，求证：-<(m+1)2.(9分) (1)解　f'(x)=ex-1，令f'(x)=0，解得x=0， 当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 当x=0时，f(x)取得最小值1，无最大值. 故f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)，最小值为1，无最大值. (2)证明　因为0<m<n，则要证-<(m+1)2只需证mem-nen<(m+1)2(m-n)， 只需证>(m+1)2. 令g(x)=xex(x>0)，显然g(x)在(m，n)上可导，在[m，n]上连续， 故由拉格朗日中值定理知存在ξ∈(m，n)，使得g'(ξ)== 而g'(x)=(x+1)ex>0，易知g'(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为m<ξ<n，故g'(ξ)>g'(m)，即g'(ξ)>(m+1)em， 故只需证(m+1)em≥(m+1)2即可，因为m>0，故只需证em≥m+1. 由(1)知ex≥x+1恒成立，因此原命题得证. 5.(17分)微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下： 如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，导数为f'(x)，那么在开区间(a，b)内至少存在一点c，使得f'(c)=其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.已知函数f(x)=ln x+b2(x-4)eax-x3+x2. (1)若a=-1，b=0，求函数f(x)在[1，7]上的“拉格朗日中值点”c；(4分) (2)若a=-1，b=1，求证：函数f(x)的图象在区间(0，+∞)上任意两点A，B连线的斜率不大于18-e-6；(5分) (3)若a=1，b=-1，∀x1，x2，x3∈且x1<x2<x3，求证：>.(8分) (1)解　当a=-1，b=0时，f(x)=x2，则f'(x)=x， 因为c为函数f(x)在上的“拉格朗日中值点”， 则f'(c)===15， 即f'(c)=c=15，解得c=4. (2)证明　当a=-1，b=1时，f(x)=e-x-x3+3x2， 不妨设AB0<x4<x5，则kAB= 又f'(x)=e-x-x2+6x(x>0)， 令F(x)=f'(x)=e-x-x2+6x， 则F'(x)=e-x-x+6= 又x>0，所以e-x-1<0恒成立， 所以当0<x<6时，F'(x)>0，当x>6时，F'(x)<0， 所以F(x)在上单调递增，在上单调递减，所以F(x)在x=6处取得极大值，即最大值， 所以F(x)≤F=18-e-6，所以f'(x)≤18-e-6， 由拉格朗日中值定理可知必存在c∈使得f'(c)= 即f'(c)=kAB，又f'(x)≤18-e-6，所以kAB≤18-e-6， 即函数f(x)的图象在区间(0，+∞)上任意两点A，B连线的斜率不大于18-e-6. (3)证明　当a=1，b=-1时，f(x)=ln x+(x-4)ex-x3+x2， 由拉格朗日中值定理知，存在c1∈和c2∈ 使得f'(c1)=f'(c2)= 所以只需证明f'(c1)>f'(c2)，即证明f'(x)在上单调递减， 又f'(x)=xln x+(x-3)ex-x2+2x， 令G(x)=f'(x)=xln x+(x-3)ex-x2+2x， 则G'(x)=ln x+(x-2)ex-x+3， 令m(x)=G'(x)=ln x+(x-2)ex-x+3， 则m'(x)=+(x-1)ex-1= 当x∈时，x-1<0， 令n(x)=ex-x∈则n'(x)=ex+>0，则n(x)在上单调递增， 又n=-4<0，n(1)=e-1>0， 所以存在x0∈使得n=0，即=则x0=-ln x0， 所以当x∈时，n(x)<0，则m'(x)>0，即m(x)单调递增， 当x∈时，n(x)>0，则m'(x)<0，即m(x)单调递减， 所以m(x)在x0处取得极大值，即最大值， 所以m(x)≤m(x0)=ln x0+-x0+3=-x0+-x0+3 ==<0， 所以G'(x)<0，所以G(x)在上单调递减， 即f'(x)在上单调递减，命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一　函数与导数 微拓展3 拉格朗日中值定理 随着高考改革的不断推进，以高等数学为背景的高考命题成为热点，部分模拟试卷中的导数题目往往可以用拉格朗日中值定理解答，从而使问题简捷巧妙． 考情分析 1.拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数f(x)满足如下条件： (1)f(x)在闭区间[a，b]上连续； (2)f(x)在开区间(a，b)内可导. 则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=. 2.拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点P(ξ，f(ξ))，使得该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线. 3.需要注意的地方(逆命题不成立) 拉格朗日中值定理没有逆定理，即对曲线的任一切线，并不一定存在割线，使割线斜率等于切线斜率，如f(x)=x3在x=0处的切线斜率为0，但f(x)不存在斜率等于0的割线. 4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b)， f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a)(0<θ<1)， f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h(0<θ<1). 注：拉格朗日公式无论对于a<b还是a>b都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数.显然，当0<θ<1时，a<a+θ(b-a)<b. 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　拉格朗日中值定理的认知及简单应用 1.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-2x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为 A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0 √ 1 2 3 4 5 6 7 函数f(x)=x3-2x，求导得f'(x)=3x2-2，令x0为f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”， 则有3-2=即3-2=2，解得x0=± 所以函数f(x)=x3-2x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 1 2 3 4 5 6 7 2.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内至少存在一点x0，使得f(b)-f(a)=f'(x0)(b-a)，x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的“中值点”.若关于函数f(x)=sin x在区间[0，π]上的“中值点”的个数为m，函数g(x)=ex在区间[0，1]上的“中值点”的个数为n，则有m+n等于(参考数据：π≈3.14，e≈2.72) A.1　　　　B.2　　　　C.0　　　　D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 设函数f(x)=sin x在区间[0，π]上的“中值点”为x0，由f(x)=sin x，得f'(x)=cos x， 则由拉格朗日中值定理得，f(π)-f(0)=f'(x0)(π-0)，即πcos x0=0，因为x0∈[0，π]，所以x0=所以函数f(x)=sin x在区间[0，π]上的“中值点”的个数为1，即m=1； 1 2 3 4 5 6 7 设函数g(x)=ex在区间[0，1]上的“中值点”为x1， 由g(x)=ex，得g'(x)=ex， 则由拉格朗日中值定理得，g(1)-g(0)=g'(x1)(1-0)， 即e-1=作出函数y=ex和y=e-1的图象如图所示， 1<e-1<e，当x∈[0，1]时，1≤ex≤e， 由图可知，函数y=ex和y=e-1的图象在区间[0，1]上有一个交点， 即方程e-1=在区间[0，1]上有1个解， 所以函数g(x)=ex在区间[0，1]上的“中值点”的个数为1， 即n=1，所以m+n=2. 1 2 3 4 5 6 7 3.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数f(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可导，则必有ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a).已知函数f(x)= (1+x)ln(1+x)-x2-x，∀a，b∈(a<b)，λ=那么实数λ的最大值为 A.e-2　　　　B.0　　　　C.　　　　D.ln 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 由题意知，∀a，b∈∃ξ∈(a，b)，使得λ=f'(ξ)=. 因为f(x)=(1+x)ln(1+x)-x2-x， 则f'(x)=ln(1+x)-x， 令h(x)=ln(1+x)-x， 则h'(x)=-1=. 当-1<x<0时，h'(x)>0， 即h(x)在上单调递增； 1 2 3 4 5 6 7 当0<x<e-1时，h'(x)<0， 即h(x)在(0，e-1)上单调递减. 所以f'(x)=ln(1+x)-x≤f'(0)=0， 所以f'(x)max=0， 所以实数λ的最大值为0. 1 2 3 4 5 6 7 微点二　拉格朗日中值定理在导数中的综合应用 4.已知函数f(x)=x2++aln x(x>0)，f(x)的导函数是f'(x)，对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：当a≤4时，|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 由f(x)=x2++aln x，得f'(x)=2x-+令g(x)=f'(x)， 则由拉格朗日中值定理得 |f'(x1)-f'(x2)|=|g(x1)-g(x2)|=|g'(λ)(x1-x2)|. 下面只要证明： 当a≤4时，任意λ>0，都有|g'(λ)|>1. 因为x>0，a≤4，则有g'(x)=2+->1， 即证当a≤4时，a<x2+恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 这等价于证明x2+的最小值大于4， 由x2+=x2++≥3 当且仅当x=时取到最小值， 又a≤4<3 故当a≤4时，2+->1恒成立. 所以|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|. 5.(2024·杭州调研改编)已知函数f(x)=x2++aln x(x>0)，对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：当a≤0时>f . 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 不妨设0<x1<x2， 即证f(x2)-f >f -f(x1). 由拉格朗日中值定理知， 存在ξ1∈ξ2∈ 则ξ1<ξ2，且f(x2)-f =f'(ξ2)· f -f(x1)=f'(ξ1)· 又f'(x)=2x-+f″(x)=2+-. 1 2 3 4 5 6 7 当a≤0时，f″(x)>0，所以f'(x)在(0，+∞)上单调递增，故f'(ξ1)<f'(ξ2)，从而f(x2)-f >f -f(x1)成立， 因此结论成立. 6.设f(x)=若对任意的x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围. 当x=0时，f(x)≤ax对任意a恒成立； 当x>0时，f(x)≤ax等价于≤a， 由拉格朗日中值定理，可知存在x0>0使得=f'(x0)， 故只需a≥f'(x0)恒成立即可. 又f'(x0)==-3+∈所以a≥. 综上，a的取值范围为. 6 1 2 3 4 5 7 7.已知函数f(x)=ln x. (1)求函数g(x)=f(x+1)-x的最大值； 6 1 2 3 4 5 7 g(x)=f(x+1)-x=ln(x+1)-x，x∈(-1，+∞)，g'(x)=-1= 当-1<x<0时，g'(x)>0， 当x>0时，g'(x)<0， 故当x=0时，g(x)取得最大值，且最大值为0. (2)当0<a<b时，求证：f(b)-f(a)>. ∵b-a>0， 要证f(b)-f(a)>即证>. 由拉格朗日中值定理知，∃x0∈(a，b)， 使f'(x0)= 又f'(x)=∴f'(x)在(a，b)上单调递减， ∴f'(x0)>f'(b)=∴f'(x0)->-=>0，∴f'(x0)> 即>即原不等式成立. 6 1 2 3 4 5 7 总结提升 1.能利用拉格朗日中值定理证明的不等式的特征：既有两自变量的差，又有两函数(或导数)值的差. 2.利用拉格朗日中值定理求参数的步骤： (1)分离参数； (2)构造成的形式，求其最值(范围). 25 补偿强化练 PART TWO 1.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，ξ称为函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的中值点.则函数f(x)=tan x在区间上的中值点的个数为 A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 √ 1 2 3 4 5 由题意，函数f(x)=tan x，x∈ 所以f =-1，f =1，f'(x)='=所以f -f =2，f'(ξ)= 所以由拉格朗日中值定理得2=· 即cos2ξ=所以cos ξ=± 1 2 3 4 5 由于当x∈时，cos x∈ 所以cos ξ=-上无解，cos ξ=上有两解. 所以函数f(x)=tan x在区间上的中值点的个数为2. 1 2 3 4 5 2.如果函数y=f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)上可导，则在开区间(a，b)上至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值 点”.则g(x)=x3在区间[0，1]上的“拉格朗日中值点”ξ=　　　.  1 2 3 4 5 由题意，g'(x)=3x2，故g(1)-g(0)=g'即g'=1， 故3ξ2=1，又ξ∈(0，1)，故ξ=. 3.设f(x)=x2-ax+(a-1)ln x，求证：当1<a<5时，对任意x1，x2∈(0，1)，x1≠x2，有>-1. 1 2 3 4 5 由拉格朗日中值定理可知只需证f'(x)>-1对x∈(0，1)恒成立， f'(x)+1=x+-(a-1)=令g(x)=x2-(a-1)x+(a-1)(0<x<1)， 因为1<a<5，所以g(x)=x2-(a-1)x+(a-1)=+>0， 则f'(x)+1>0⇒f'(x)>-1，命题得证. 4.(2024·衡水模拟)已知f(x)=ex-x. (1)求f(x)的单调区间和最值； 1 2 3 4 5 f'(x)=ex-1，令f'(x)=0，解得x=0， 当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 当x=0时，f(x)取得最小值1，无最大值. 故f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)，最小值为1，无最大值. (2)定理：若函数f(x)在(a，b)上可导，在[a，b]上连续，则存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=.该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题： 若0<m<n，求证：-<(m+1)2. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 因为0<m<n，则要证-<(m+1)2只需证mem-nen<(m+1)2(m-n)， 只需证>(m+1)2. 令g(x)=xex(x>0)，显然g(x)在(m，n)上可导，在[m，n]上连续， 故由拉格朗日中值定理知存在ξ∈(m，n)，使得g'(ξ)== 而g'(x)=(x+1)ex>0，易知g'(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为m<ξ<n，故g'(ξ)>g'(m)，即g'(ξ)>(m+1)em， 故只需证(m+1)em≥(m+1)2即可，因为m>0，故只需证em≥m+1. 由(1)知ex≥x+1恒成立，因此原命题得证. 5.微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下： 如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，导数为f'(x)，那么在开区间(a，b)内至少存在一点c，使得f'(c)=其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.已知函数f(x)=ln x+b2(x-4)eax-x3+x2. (1)若a=-1，b=0，求函数f(x)在[1，7]上的“拉格朗日中值点”c； 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当a=-1，b=0时，f(x)=x2，则f'(x)=x， 因为c为函数f(x)在上的“拉格朗日中值点”， 则f'(c)===15， 即f'(c)=c=15，解得c=4. (2)若a=-1，b=1，求证：函数f(x)的图象在区间(0，+∞)上任意两点A，B连线的斜率不大于18-e-6； 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当a=-1，b=1时，f(x)=e-x-x3+3x2， 不妨设AB0<x4<x5，则kAB= 又f'(x)=e-x-x2+6x(x>0)， 令F(x)=f'(x)=e-x-x2+6x， 则F'(x)=e-x-x+6= 又x>0，所以e-x-1<0恒成立， 所以当0<x<6时，F'(x)>0，当x>6时，F'(x)<0， 1 2 3 4 5 所以F(x)在上单调递减，所以F(x)在x=6处取得极大值，即最大值， 所以F(x)≤F=18-e-6，所以f'(x)≤18-e-6， 由拉格朗日中值定理可知必存在c∈使得f'(c)= 即f'(c)=kAB，又f'(x)≤18-e-6，所以kAB≤18-e-6， 即函数f(x)的图象在区间(0，+∞)上任意两点A，B连线的斜率不大于18-e-6. (3)若a=1，b=-1，∀x1，x2，x3∈且x1<x2<x3，求证：> . 1 2 3 4 5 当a=1，b=-1时，f(x)=ln x+(x-4)ex-x3+x2， 由拉格朗日中值定理知，存在c1∈和c2∈ 使得f'(c1)=f'(c2)= 所以只需证明f'(c1)>f'(c2)，即证明f'(x)在上单调递减， 又f'(x)=xln x+(x-3)ex-x2+2x， 令G(x)=f'(x)=xln x+(x-3)ex-x2+2x， 则G'(x)=ln x+(x-2)ex-x+3， 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 令m(x)=G'(x)=ln x+(x-2)ex-x+3， 则m'(x)=+(x-1)ex-1= 当x∈时，x-1<0， 令n(x)=ex-x∈则n'(x)=ex+>0，则n(x)在上单调递增， 又n=-4<0，n(1)=e-1>0， 所以存在x0∈使得n=0，即=则x0=-ln x0， 所以当x∈时，n(x)<0，则m'(x)>0，即m(x)单调递增， 当x∈时，n(x)>0，则m'(x)<0，即m(x)单调递减， 所以m(x)在x0处取得极大值，即最大值， 所以m(x)≤m(x0)=ln x0+-x0+3=-x0+-x0+3 ==<0， 所以G'(x)<0，所以G(x)在上单调递减， 即f'(x)在上单调递减，命题得证. 1 2 3 4 5 $$