专题六 微拓展9 极点、极线-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

微拓展9　极点、极线 [考情分析]　“极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定地说“极点、极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点、极线的相关知识，就可以从“高观点”下看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质. 微点一　极点与极线 1.极点和极线的代数定义 已知圆锥曲线Γ：Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，P(x0，y0)(非中心)和直线l：Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，则称点P(x0，y0)是直线l关于圆锥曲线Γ的极点，直线l称为P点关于曲线Γ的极线. 以上代数定义表明，在圆锥曲线方程中，以替换xy，以x0x替换x2，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x0，y0)关于曲线Γ的极线方程. 2.极点和极线的几何定义(以椭圆为例说明) 如图(1)所示，点P在椭圆上，极线l是以点P为切点的切线； 如图(2)所示，点P在椭圆外，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引切线的切点弦所在直线； 如图(3)所示，点P在椭圆内，极线l与椭圆相离，极线l为经过点P的弦在两端处切线交点的轨迹，且极线l与以P为中点的弦所在直线平行. 3.极点和极线的几何定义对应以下两个定理 已知P(x0，y0)和抛物线y2=2px(p>0)，椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1(a>0，b>0)的方程. 定理1：若点P(x0，y0)在曲线上，则曲线在点P处的切线方程分别是y0y=p(x+x0)+=1-=1. 定理2：若点P(x0，y0)是曲线外的一点，过P(x0，y0)作曲线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程分别是y0y=p(x+x0)+=1-=1. 1.已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点F，则直线BF的斜率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题知，-=-2⇒p=4，则抛物线方程为y2=8x，设过点A的直线与抛物线C相切于另一点D，则经过这两个切点的连线BD就是点A对应的极线，其方程是3y=4(x-2)⇒y=x-.由于点A在抛物线的准线上，焦点F(2，0)在点A的极线上， 所以B，F，D三点共线，则kBF=kBD=. 2.在直线x=3上任取一点P，过点P向圆x2+(y-2)2=4作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB经过一个定点，该定点的坐标为(　　) A. B. C.(-1，2) D.(2，-1) 答案　A 解析　设点P的坐标为(3，t)，点P关于圆的极线为直线AB，其方程为3x+(t-2)(y-2)=4， 整理得(y-2)t+(3x-2y)=0， 令则 可得直线AB过定点. 3.(5分)(2024·保定模拟)过点P(3，3)作双曲线C：x2-y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为　　　　　　　　.  答案　3x-3y-1=0 解析　方法一　设PA的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得到PA：y-y1=k(x-x1)， 联立 消去y得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0， 因为PA与双曲线相切，所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)(y1-kx1)2+4(1-k2)=0， 即4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0， 即k2-2kx1y1++1-k2=0， 即(-1)k2-2kx1y1++1=0. 因为-=1，所以-1=+1= 代入可得k2-2x1y1k+=0， 即(y1k-x1)2=0，所以k= 所以PA：y-y1=(x-x1)， 即y1y=x1x-1. 同理可得PB的方程为y2y=x2x-1， 因为P(3，3)在切线PA，PB上， 所以 所以A，B满足方程3y=3x-1， 又由两点确定一条直线，所以A，B满足直线方程3y=3x-1， 所以过点A，B的直线方程为3x-3y-1=0. 方法二　由题意得，直线AB为点P关于双曲线C的极线，其方程为3x-3y=1， 即3x-3y-1=0. 4.(5分)已知椭圆C的方程为+=1，过直线l：x=4上任意一点Q，作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，则原点到直线AB距离的最大值为　　　　.  答案　1 解析　由题设，切点弦AB是点Q关于椭圆C的极线，设点Q的坐标为(4，y0)， 则可知直线AB的方程为+=1，即x+=1，显然直线AB过焦点(1，0)， 所以原点到直线AB距离的最大值为1. 微点二　极点、极线性质应用 5.(17分)已知椭圆G：+=1，点P是直线l：y=-x+2上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当=时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 解　设点P(x0，y0)，由点P在直线y=-x+2上运动，得y0=-x0+2， 由 消去y并整理得3x2-8x+8=0，显然Δ=82-4×3×8=-32<0， 即此方程组无实数解，所以直线y=-x+2与椭圆G相离，即点P在椭圆G外. 又PM，PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线. 对于椭圆+=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为+=1， 将y0=-x0+2代入+=1，整理得x0(x-y)+4y-4=0， 显然定点T的坐标与x0的取值无关，即有解得 所以存在定点T(1，1)恒在直线MN上. 当=时，T是线段MN的中点且在椭圆G内，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的斜率为k，所以x1+x2=2，y1+y2=2， 则两式相减并整理得=-·=-·=-即k=-. 所以当=时，直线MN的方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0. 6.(17分)已知椭圆Γ：+=1(a>b>0)过点A其焦距为2. (1)求椭圆Γ的方程；(5分) (2)如图，点B为Γ在第一象限内的任意一点，过B作Γ的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值.(12分) 解　(1)设椭圆的左、右焦点为F1，F2，依题意得F1(-1，0)，F2(1，0)，由椭圆定义知2a=|AF1|+|AF2|=+=+=2 所以a=c=1，所以b=1， 所以椭圆Γ的方程为+y2=1. (2)设B(x1，y1)，则椭圆Γ在点B处的切线即为点B关于曲线Γ的极线，其方程为x+y1y=1， 又点B为椭圆在第一象限内的一点， 所以x1>0，y1>0， 令x=0，yD=；令y=0，xC= 所以= 又+=1， 所以1=+≥2=x1y1， 即所以S△OCD= 当且仅当=且+=1，即x1=y1=1时取等号， 所以当点B坐标为时，△OCD的面积取最小值. [总结提升] 极点、极线在解答题中不能直接应用，在求圆锥曲线的切线问题时，常用的证明过程为“导→差→代→联”. 1.(17分)(2024·绵阳模拟)椭圆方程Γ：+=1(a>b>0)，平面上有一点P(x0，y0).定义直线方程l：+=1是椭圆Γ在点P(x0，y0)处的极线.已知椭圆方程C：+=1. (1)若P(1，y0)在椭圆C上，求椭圆C在点P处的极线方程；(5分) (2)若P(x0，y0)在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线；(6分) (3)若过点P(-4，0)分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X，Y，割线交椭圆C于M，N两点，过点M，N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明：Q，X，Y三点共线.(6分) (1)解　由题意知，当x0=1时，y0=±所以P或P. 由定义可知椭圆C在点P(x0，y0)处的极线方程为+=1， 所以椭圆C在点P处的极线方程为+=1，即x+2y-4=0， 在点P处的极线方程为-=1， 即x-2y-4=0. (2)证明　因为P(x0，y0)在椭圆C上， 所以+=1⇒3+4-12=0， 由定义可知椭圆C在点P(x0，y0)处的极线方程为+=1， 当y0=0时，x0=±2，此时极线方程为x=±2， 此时在点P处的极线是过点P的切线； 当y0≠0时，极线方程为 +=1⇒y=-x+ 联立 得x2-x+-12=0， 所以Δ=-4 ==0， 此时在点P处的极线也是过点P的切线. 综上所述，椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线. (3)证明　设点Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由(2)可知，过点M的切线方程为l1：+=1， 过点N的切线方程为l2：+=1. 因为l1，l2都过点Q(x0，y0)， 所以 则割线MN的方程为l0：+=1； 同理可得，过点P(-4，0)的两条切线的切点弦XY的方程为l3：=1⇒x=-1. 又因为割线MN过点P(-4，0)，代入割线方程得=1⇒x0=-1. 所以Q，X，Y三点共线，且都在直线x=-1上. 2.(17分)(2024·武汉模拟)已知T(m，1)为抛物线C：x2=2py(p>0)上一点，F是抛物线C的焦点，且|TF|=2. (1)求抛物线C的方程；(5分) (2)过圆E：x2+(y+2)2=1上任意一点G，作抛物线C的两条切线l1，l2，与抛物线相切于点M，N，与x轴分别交于点A，B，求四边形ABNM面积的最大值.(12分) 解　(1)因为|TF|=2，由抛物线定义知+1=2，所以p=2， 故抛物线C的方程为x2=4y. (2)方法一　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(x0，y0)，y0∈则y1=y2= 对于函数y=求导得y'= 所以切线AM的斜率为k1= 所以切线AM的方程为y-y1=(x-x1)， 即y=-+y1=-2y1+y1=-y1， 即x1x=2y+2y1，所以xA== 同理可得切线BN的方程为x2x=2y+2y2， 则xB== 另一方面，点G(x0，y0)在两切线上，从而满足 因此切点弦MN的方程为x0x=2(y0+y)， 直线MN与抛物线x2=4y联立得x2-2x0x+4y0=0，从而 且|MN|=· =·=· 点G(x0，y0)到直线MN的距离为d= S四边形ABNM=S△GMN-S△GAB=···-|y0|· =-4y0+|x1-x2| =-4y0+ =·(-4y0+y0) =·(--7y0-3)， 当y0∈时 = --7y0-3=-+≤9， 当且仅当y0=-3时，两个等号同时成立， 所以S四边形ABNM≤9 故四边形ABNM面积的最大值为9. 方法二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(x0，y0)，y0∈由定义可知G(x0，y0)的极线方程为2(y+y0)=xx0， 即切点弦MN的方程为x0x=2(y0+y)， 直线MN与抛物线x2=4y联立得x2-2x0x+4y0=0，从而 且|MN|=· =·=· 同方法一求得点A的横坐标为点B的横坐标为点G(x0，y0)到直线MN的距离为d= 所以S四边形ABNM=S△GMN-S△GAB=···-|y0|· =-4y0+|x1-x2| =-4y0+ =·(-4y0+y0) =·(--7y0-3)， 当y0∈时 = --7y0-3=-+≤9， 当且仅当y0=-3时，两个等号同时成立， 所以S四边形ABNM≤9 故四边形ABNM面积的最大值为9. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题六　解析几何 微拓展9 极点、极线 “极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定地说“极点、极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点、极线的相关知识，就可以从“高观点”下看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质. 考情分析 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　极点与极线 1.极点和极线的代数定义 已知圆锥曲线Γ：Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，P(x0，y0)(非中心)和直线l：Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，则称点P(x0，y0)是直线l关于圆锥曲线Γ的极点，直线l称为P点关于曲线Γ的极线. 以上代数定义表明，在圆锥曲线方程中，以替换xy，以x0x替换x2，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x0，y0)关于曲线Γ的极线方程. 1 2 3 4 5 6 2.极点和极线的几何定义(以椭圆为例说明) 如图(1)所示，点P在椭圆上，极线l是以点P为切点的切线； 如图(2)所示，点P在椭圆外，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引切线的切点弦所在直线； 如图(3)所示，点P在椭圆内，极线l与椭圆相离，极线l为经过点P的弦在两端处切线交点的轨迹，且极线l与以P为中点的弦所在直线平行. 1 2 3 4 5 6 3.极点和极线的几何定义对应以下两个定理 已知P(x0，y0)和抛物线y2=2px(p>0)，椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1(a>0，b>0)的方程. 定理1：若点P(x0，y0)在曲线上，则曲线在点P处的切线方程分别是y0y=p(x+x0)+=1-=1. 定理2：若点P(x0，y0)是曲线外的一点，过P(x0，y0)作曲线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程分别是y0y=p(x+x0)+=1-=1. 1 2 3 4 5 6 1.已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点F，则直线BF的斜率为 A.　　　　B. 　　　　C.　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 由题知，-=-2⇒p=4，则抛物线方程为y2=8x， 设过点A的直线与抛物线C相切于另一点D，则经过这两个切点的连线BD就是点A对应的极线，其方程是3y=4(x-2)⇒y=x-. 由于点A在抛物线的准线上，焦点F(2，0)在点A的极线上， 所以B，F，D三点共线，则kBF=kBD=. 1 2 3 4 5 6 2.在直线x=3上任取一点P，过点P向圆x2+(y-2)2=4作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB经过一个定点，该定点的坐标为 A. B. C.(-1，2) D.(2，-1) √ 1 2 3 4 5 6 设点P的坐标为(3，t)，点P关于圆的极线为直线AB， 其方程为3x+(t-2)(y-2)=4， 整理得(y-2)t+(3x-2y)=0， 令 可得直线AB过定点. 1 2 3 4 5 6 3.(2024·保定模拟)过点P(3，3)作双曲线C：x2-y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 3x-3y-1=0 方法一　设PA的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得到PA：y-y1=k(x-x1)， 联立 消去y得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0， 因为PA与双曲线相切，所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)(y1-kx1)2+4(1-k2)=0， 即4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0， 即k2-2kx1y1++1-k2=0， 即(-1)k2-2kx1y1++1=0. 1 2 3 4 5 6 因为-=1，所以-1=+1= 代入可得k2-2x1y1k+=0， 即(y1k-x1)2=0，所以k= 所以PA：y-y1=(x-x1)， 即y1y=x1x-1. 同理可得PB的方程为y2y=x2x-1， 因为P(3，3)在切线PA，PB上， 1 2 3 4 5 6 所以 所以A，B满足方程3y=3x-1， 又由两点确定一条直线，所以A，B满足直线方程3y=3x-1， 所以过点A，B的直线方程为3x-3y-1=0. 方法二　由题意得，直线AB为点P关于双曲线C的极线， 其方程为3x-3y=1， 即3x-3y-1=0. 1 2 3 4 5 6 4.已知椭圆C的方程为+=1，过直线l：x=4上任意一点Q，作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，则原点到直线AB距离的最大值为　 　.  1 2 3 4 5 6 1 由题设，切点弦AB是点Q关于椭圆C的极线，设点Q的坐标为(4，y0)， 则可知直线AB的方程为+=1，即x+=1，显然直线AB过焦点(1，0)， 所以原点到直线AB距离的最大值为1. 微点二　极点、极线性质应用 5.已知椭圆G：+=1，点P是直线l：y=-x+2上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当=时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 设点P(x0，y0)，由点P在直线y=-x+2上运动，得y0=-x0+2， 由 消去y并整理得3x2-8x+8=0，显然Δ=82-4×3×8=-32<0， 即此方程组无实数解，所以直线y=-x+2与椭圆G相离，即点P在椭圆G外. 又PM，PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线. 1 2 3 4 5 6 对于椭圆+=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为+=1， 将y0=-x0+2代入+=1，整理得x0(x-y)+4y-4=0， 显然定点T的坐标与x0的取值无关，即有 所以存在定点T(1，1)恒在直线MN上. 1 2 3 4 5 6 当=时，T是线段MN的中点且在椭圆G内，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的斜率为k，所以x1+x2=2，y1+y2=2， 则 =-·=-·=-即k=-. 所以当=时，直线MN的方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0. 6.已知椭圆Γ：+=1(a>b>0)过点A 其焦距为2. (1)求椭圆Γ的方程； 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 设椭圆的左、右焦点为F1，F2，依题意得F1(-1，0)，F2(1，0)， 由椭圆定义知2a=|AF1|+|AF2| =+ =+=2 所以a=c=1，所以b=1， 所以椭圆Γ的方程为+y2=1. (2)如图，点B为Γ在第一象限内的任意一点，过B作Γ的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值. 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 设B(x1，y1)，则椭圆Γ在点B处的切线即为点B关于曲线Γ的极线，其方程为x+y1y=1， 又点B为椭圆在第一象限内的一点， 所以x1>0，y1>0， 令x=0，yD=；令y=0，xC= 所以= 6 1 2 3 4 5 又+=1， 所以1=+≥2=x1y1， 即所以S△OCD= 当且仅当=+=1，即x1=y1=1时取等号， 所以当点B坐标为时，△OCD的面积取最小值. 总结提升 极点、极线在解答题中不能直接应用，在求圆锥曲线的切线问题时，常用的证明过程为“导→差→代→联”. 25 补偿强化练 PART TWO 1.(2024·绵阳模拟)椭圆方程Γ：+=1(a>b>0)，平面上有一点P(x0，y0).定义直线方程l：+=1是椭圆Γ在点P(x0，y0)处的极线.已知椭圆方程C：+=1. (1)若P(1，y0)在椭圆C上，求椭圆C在点P处的极线方程； 1 2 1 2 由题意知，当x0=1时，y0=±所以P或P. 由定义可知椭圆C在点P(x0，y0)处的极线方程为+=1， 所以椭圆C在点P+=1，即x+2y-4=0， 在点P-=1， 即x-2y-4=0. (2)若P(x0，y0)在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线； 1 2 1 2 因为P(x0，y0)在椭圆C上， 所以+=1⇒3+4-12=0， 由定义可知椭圆C在点P(x0，y0)处的极线方程为+=1， 当y0=0时，x0=±2，此时极线方程为x=±2， 此时在点P处的极线是过点P的切线； 当y0≠0时，极线方程为+=1⇒y=-x+ 1 2 联立 得x2-x+-12=0， 所以Δ=-4==0， 此时在点P处的极线也是过点P的切线. 综上所述，椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线. (3)若过点P(-4，0)分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X，Y，割线交椭圆C于M，N两点，过点M，N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明：Q，X，Y三点共线. 1 2 1 2 设点Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由(2)可知，过点M的切线方程为l1：+=1， 过点N的切线方程为l2：+=1. 因为l1，l2都过点Q(x0，y0)， 所以 1 2 则割线MN的方程为l0：+=1； 同理可得，过点P(-4，0)的两条切线的切点弦XY的方程为l3：=1⇒ x=-1. 又因为割线MN过点P(-4，0)，代入割线方程得=1⇒x0=-1. 所以Q，X，Y三点共线，且都在直线x=-1上. 2.(2024·武汉模拟)已知T(m，1)为抛物线C：x2=2py (p>0)上一点，F是抛物线C的焦点，且|TF|=2. (1)求抛物线C的方程； 1 2 因为|TF|=2，由抛物线定义知+1=2，所以p=2， 故抛物线C的方程为x2=4y. (2)过圆E：x2+(y+2)2=1上任意一点G，作抛物线C的两条切线l1，l2，与抛物线相切于点M，N，与x轴分别交于点A，B，求四边形ABNM面积的最大值. 1 2 1 2 方法一　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(x0，y0)，y0∈ 则y1=y2= 对于函数y=求导得y'= 所以切线AM的斜率为k1= 所以切线AM的方程为y-y1=(x-x1)， 即y=-+y1=-2y1+y1=-y1， 1 2 即x1x=2y+2y1，所以xA== 同理可得切线BN的方程为x2x=2y+2y2， 则xB== 另一方面，点G(x0，y0)在两切线上，从而满足 因此切点弦MN的方程为x0x=2(y0+y)， 直线MN与抛物线x2=4y联立得x2-2x0x+4y0=0，从而 1 2 且|MN|=·=·=· 点G(x0，y0)到直线MN的距离为d= S四边形ABNM=S△GMN-S△GAB=···-|y0|· =-4y0+|x1-x2|=-4y0+ =·(-4y0+y0)=·(--7y0-3)， 1 2 当y0∈时 = --7y0-3=-+≤9， 当且仅当y0=-3时，两个等号同时成立， 所以S四边形ABNM≤9 故四边形ABNM面积的最大值为9. 1 2 方法二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(x0，y0)，y0∈ 由定义可知G(x0，y0)的极线方程为2(y+y0)=xx0， 即切点弦MN的方程为x0x=2(y0+y)， 直线MN与抛物线x2=4y联立得x2-2x0x+4y0=0，从而 且|MN|=· =·=· 1 2 同方法一求得点A的横坐标为点B的横坐标为 点G(x0，y0)到直线MN的距离为d= 所以S四边形ABNM=S△GMN-S△GAB=···-|y0|· =-4y0+|x1-x2|=-4y0+ =·(-4y0+y0)=·(--7y0-3)， 1 2 当y0∈时 = --7y0-3=-+≤9， 当且仅当y0=-3时，两个等号同时成立， 所以S四边形ABNM≤9 故四边形ABNM面积的最大值为9. $$