专题六 微拓展8 抛物线中的阿基米德三角形-【步步高·考前三个月】2025年高考数学复习讲义课件（课件PPT+word教案）

专题六　解析几何 微拓展8 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线中的阿基米德三角形在近几年的高考中经常出现，主要考查抛物线中的阿基米德三角形中的定点、面积及最值问题，常以多选题、解答题为主，难度较大. 考情分析 如图所示，AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦，A(x1，y1)， B(x2，y2)，分别过A，B作抛物线的切线交于点P，称 △PAB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的 底边. (1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴. (2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(x0，y0)，则另一顶点P的轨迹为一条直线. (3)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点. (4)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为. (5)若阿基米德三角形的底边即弦AB过焦点，则顶点P的轨迹为抛物线的准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2. (6)点P的坐标为. (7)底边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0. (8)△PAB的面积为S△PAB=. (9)若点P的坐标为(x0，y0)，则底边AB的直线方程为x0x-p(y+y0)=0. (10)若弦AB过抛物线的焦点，则PA⊥PB；当F点为焦点时，PF⊥AB. (11)抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的. 高频考点练 补偿强化练 内容索引 高频考点练 PART ONE 微点一　定点问题 1.设M是抛物线y2=4x准线上一点，过M作抛物线的切线，切点为A，B.则直线AB所过定点的坐标为　　　　.  1 2 3 4 5 6 (1，0) 设M(-1，y0)， 过M(-1，y0)所作抛物线的切线的斜率为k(k≠0)，则方程为y-y0=k(x+1)， 由得ky2-4y+4y0+4k=0， 则Δ=16-4k(4y0+4k)=0，得k2+ky0=1， 所以k2y2-4ky+4ky0+4k2=0，即k2y2-4ky+4=(ky-2)2=0， 所以可设AB 1 2 3 4 5 6 所以kAB=== 所以直线AB的方程为y-= 整理得y=x+-=x+=x+=(x-1)，即y=(x-1)， 所以直线AB过定点(1，0). 1 2 3 4 5 6 2.已知直线l与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB，D为垂足，O为坐标原点，点D的坐标为(1，1). (1)求C的方程； 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)， 因为kOD=1，所以kAB=-1， 则直线AB的方程为y=-x+2. 联立方程组 消去y，整理得x2+2px-4p=0，所以x1+x2=-2p，x1x2=-4p. 又OA⊥OB，得x1x2+y1y2=x1x2+(2-x1)(2-x2)=0， 整理得x1x2-(x1+x2)+2=-4p+2p+2=0，解得p=1. 所以C的方程为x2=2y. (2)若点E是直线y=x-4上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P，Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由x2=2y，得y=x2，所以y'=x， 设过点E作抛物线C的切线的切点为 则相应的切线方程为y-=x0(x-x0)， 即y=x0x-.设点E(t，t-4)， 由切线经过点E，得t-4=x0t- 即-2tx0+2t-8=0. 1 2 3 4 5 6 设PQ 则x3，x4是x2-2tx+2t-8=0的两个实数根， 可得x3+x4=2t，x3x4=2t-8. 设M是PQ的中点，则xM==t， yM=== 即yM=t2-t+4.又kPQ===t， 1 2 3 4 5 6 所以直线PQ的方程为y-(t2-t+4)=t(x-t)， 即y=t(x-1)+4， 所以直线PQ恒过定点(1，4). 微点二　性质 3.(多选)如图所示，在抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，给出以下结论，其中正确的为 A.点P的坐标是 B.△PAB的边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0 C.△PAB的面积S△PAB= D.△PAB的边AB上的中线平行(或重合)于y轴 √ 1 2 3 4 5 6 √ √ 由y=x2，得y'= 由题意，点A处的切线方程为y-=(x-x1)， 点B处的切线方程为y-=(x-x2)， 联立两个方程，并消去y化简得x= 代入点A处的切线方程得y=+= 所以点P的坐标为故A，D正确； 1 2 3 4 5 6 由题意直线AB的斜率一定存在，设为kAB， 则kAB=== 故直线AB的方程为y-=(x-x1)， 化简得(x1+x2)x-2py-x1x2=0，故B正确； 1 2 3 4 5 6 由A，B项分析得点P到直线AB的距离 d== |AB|=·|x1-x2|=·|x1-x2|， 故S△PAB=·|AB|·d=·|x1-x2|·= 故C错误. 1 2 3 4 5 6 4.(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p； 1 2 3 4 5 6 由题意知M(0，-4)，F圆M的半径r=1， 所以|MF|-r=4，即+4-1=4，解得p=2. (2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 由(1)知，抛物线方程为x2=4y， 由题意可知直线AB的斜率存在，设AB直线AB的方程为y=kx+b， 联立消去y得x2-4kx-4b=0， 则Δ=16k2+16b>0(※)，x1+x2=4k，x1x2=-4b， 所以|AB|=|x1-x2|=· =4·. 1 2 3 4 5 6 因为x2=4y，即y=所以y'=则抛物线在点A处的切线斜率为在点A处的切线方程为y-=(x-x1)，即y=x- 同理得抛物线在点B处的切线方程为y=x-. 联立 即P(2k，-b). 因为点P在圆M上，所以4k2+(4-b)2=1， ① 1 2 3 4 5 6 且-1≤2k≤1，-5≤-b≤-3，即-≤k≤3≤b≤5，满足(※). 设点P到直线AB的距离为d，则d= 所以S△PAB=|AB|·d=4. 由①得，k2== 令t=k2+b，则t=且3≤b≤5. 因为t=在[3，5]上单调递增， 所以当b=5时，t取得最大值，tmax=5，此时k=0， 所以△PAB面积的最大值为20. 1 2 3 4 5 6 微点三　性质的应用 5.(多选)已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过其准线上的点T(t，-1)作C的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是 A.p=2 B.当t=1时，TA⊥TB C.当t=1时，直线AB的斜率为2 D.△TAB面积的最小值为4 √ 1 2 3 4 5 6 √ √ 对于A，易知抛物线的准线方程为y=-1，∴p=2，C：x2=4y，故A正确； 对于B，当t=1时，点T在准线上，根据阿基米德三角形的性质，故TA⊥TB，故B正确； 对于C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1=y2=. 则TA：y-=(x-x1)，即y=x-y1. 代入点(1，-1)，得x1-2y1+2=0，同理可得x2-2y2+2=0， 故AB：x-2y+2=0，故kAB=故C不正确； 对于D，根据阿基米德三角形的性质，因为点T在抛物线的准线上，故△TAB面积的最小值为p2=4，故D正确. 1 2 3 4 5 6 6.已知动圆过点F(0，1)，且与直线l：y=-1相切. (1)求动圆圆心的轨迹E的方程； 6 1 2 3 4 5 由题意，动圆圆心到点F的距离和到定直线l的距离相等， 所以动圆圆心的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为x2=4y. (2)设P为一动点，过P作曲线E的两条切线PA，PB，切点分别为A和B，且PA⊥PB，直线AB与圆x2+y2=4相交于C，D两点，设点P到直线AB的距离为d，是否存在点P，使得|AB|·|CD|=4d2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 显然直线AB的斜率存在，故可设其方程为y=kx+m， 设AB 联立消去y整理得，x2-4kx-4m=0， 则Δ=16k2+16m>0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1x2=-4m， 由x2=4y得y=所以y'= 故直线PA的方程为y-=(x-x1)，整理得y=x-. 6 1 2 3 4 5 同理，直线PB的方程为y=x- 联立 解得x==2k，y==-m， 所以点P的坐标为(2k，-m)，因为PA⊥PB， 所以·=-m=-1，故m=1，满足Δ>0，从而AB过点F， 所以|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4， 6 1 2 3 4 5 原点到直线AB的距离为故|CD|=2 点P到直线AB的距离d==2 所以|AB|·|CD|=4d2等价于(4k2+4)·2=16(k2+1)， 化简得=0，无解，故不存在点P，使得|AB|·|CD|=4d2. 总结提升 熟记阿基米德三角形的定义及性质，在选填题可直接应用，在解答题中需要推导证明. 31 补偿强化练 PART TWO 1.(2024·烟台模拟)过抛物线y2=4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB的面积S的最小值为 A.　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 由题知，弦AB过抛物线焦点，则由“阿基米德三角形”性质知，点P在抛物线的准线上，△PAB的面积的最小值为S=p2=4. 2.(2024·白山模拟)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，顶点为O，斜率为的直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则|OP|等于 A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 依题意，F(2，0)，设直线l：y=(x-2)，联立 则y2-6y-16=0，解得y1=8，y2=-2. 方法一　不妨设M(8，8)，N. 设直线PM方程为y-8=k(x-8)，与C：y2=8x联立得， =8x，整理得k2x2+(16k-16k2-8)x+64k2-128k+64=0， Δ=(16k-16k2-8)2-4k2(64k2-128k+64)=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 解得k=故直线PM的斜率k= 故直线PM：y=x+4. 同理可得，直线PN的斜率k'=-2，故直线PN：y=-2x-1， 联立 即P(-2，3)，则|OP|=. 方法二　由阿基米德三角形性质得点P的坐标为=(-2，3)，则|OP|=. 1 2 3 4 5 6 7 8 3.若抛物线方程为y2=2px(p>0)，且直线x=与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p等于 A.1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴，即x=时， 如图，设直线x=与抛物线交于点A，B， 以AB为底边的阿基米德三角形为△PAB， 则S△PAB==p2=6，即p=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 4.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线x2=4y的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为 A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 方法一　易知，焦点F(0，1)，准线方程y=-1，直线AB斜率必然存在，设AB：y=kx+1，ABx1>0，x2<0，P(x0，-1)， 联立得x2-4kx-4=0， 显然Δ>0，x1x2=-4； 由PF⊥AB可得·=0， 即(-x0，2)·=0， 化简得x0=过P作PM∥y轴交AB于M点， 可得M为AB中点，故M 故S△PAB=S△PAM+S△PBM=|PM|·|x1-x2|=··|x1-x2| =··2=4， 当且仅当x1=-x2=2时取等号. 故△PAB的面积的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 方法二　设AB：y=kx+1，联立 得x2-4kx-4=0， ∴x1+x2=4k，x1x2=-4， ∴|x1-x2|=4. 由阿基米德三角形的性质得S△PAB==4()3≥4， 当且仅当k=0时等号成立，∴△PAB的面积最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 5.(多选)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l与C交于P，Q两点，且=2R(4，6)，若过点P，Q分别作C的两条切线交于点A，则下列选项正确的是 A.|AF|=4 B.|PQ|=12 C.PQ⊥AF D.以PQ为直径的圆过点A √ 1 2 3 4 5 6 7 8 √ √ 抛物线C的焦点F到准线的距离为p=4， 所以抛物线C的方程为x2=8y. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由=2可知R(4，6)为PQ的中点， 所以x1≠x2且x1+x2=8，y1+y2=12， 由-=(x1-x2)(x1+x2)=8(x1-x2)=8(y1-y2)， 所以直线l的斜率为kPQ==1，则直线l的方程为y-6=x-4，可得y=x+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 联立可得x2-8x-16=0，所以x1x2=-16， 所以=4=-2， 即点A(4，-2). 易知抛物线C的焦点为F(0，2)， 所以|AF|==4故A正确； 因为直线PQ：y=x+2过点F， 所以|PQ|=y1+y2+4=16，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 因为kAF==-1，kPQ=1， 所以kAFkPQ=-1，所以PQ⊥AF，故C正确； 因为|AR|=8=|PQ|，且R为PQ的中点，所以|AR|=|PR|=|QR|， 因此，以PQ为直径的圆过点A，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 6.已知点M(2，-1)和抛物线C：x2=4y，过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB=90°，则k=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 1 由题意，M在抛物线C的准线上，直线AB过点F且∠AMB=90°， 所以△MAB是阿基米德三角形. 如图，由阿基米德三角形性质得MF⊥AB， 而kMF==-1， 所以直线AB的斜率为1. 7.(2024·潍坊模拟)已知平面曲线C满足：它上面任意一点到点的距离比到直线y=-的距离小1. (1)求曲线C的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 方法一　由题意知，曲线C是以点为焦点，以直线y=-为准线的抛物线， 故曲线C的方程为x2=2y. 方法二　设曲线C上的点为(x，y)，则=-1， 由题意易知，y≥0，整理得x2=2y. (2)若D为直线y=-上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点； 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 设DA(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=. 又因为y=x2，所以y'=x，则切线DA的斜率为x1， 故切线DA的方程为y+=x1(x-t)，代入A(x1，y1)，得y1+=x1(x1-t)， 整理得2tx1-2y1+1=0. 同理可得2tx2-2y2+1=0. A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足直线方程2tx-2y+1=0. 所以直线AB的方程为2tx-2y+1=0，即y=tx+所以直线AB过定点. (3)在(2)的条件下，以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 方法一　(利用公共边结合根与系数的关系求面积) 设AB的中点为G，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2，则G==(x1-x2，y1-y2). 由·=0，得(x1-x2)+(y1-y2)=0， 将y1=y2=代入上式并整理得(x1-x2)(x1+x2)(+-6)=0， 因为x1-x2≠0，所以x1+x2=0或+=6. 由(2)知直线AB的方程为y=tx+与x2=2y联立得x2-2tx-1=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 则x1+x2=2t，x1x2=-1. 则D所以DG⊥x轴， 则S四边形ADBE=S△ABE+S△ABD =|EF|·(x2-x1)+|GD|·(x2-x1)=(x2-x1)+(x2-x1). 当x1+x2=0时，(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=4，即x2-x1=2，S四边形ADBE=3； 当+=6时，(x1+x2)2=4，(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=8， 即x2-x1=2S四边形ADBE=4. 综上，四边形ADBE的面积为3或4. 方法二　(利用弦长结合面积公式求面积) 由(1)知抛物线的焦点F的坐标为准线方程为y=-. 由抛物线的定义，得|AB|=+++=+1=+1=2t2+2. 线段AB的中点为G. 当x1+x2=0时，由(2)知t=0，AB⊥y轴，|AB|=2， S四边形ADBE=×2×=3； 当x1+x2≠0时，t≠0，由EG⊥AB，得·t=-1，即t=±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 所以G|AB|=4，直线AB的方程为y=±x+. 根据对称性考虑点GD和直线AB的方程y=x+即可. 点E到直线AB的距离为|EG|== 点D到直线AB的距离为=. 所以S四边形ADBE=×4×(+)=4. 综上，四边形ADBE的面积为3或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 方法三　(结合抛物线的光学性质求面积) 当直线AB斜率不为0时，如图1，过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线的光学性质易得∠1=∠2， 又∠1=∠3，所以∠2=∠3. 因为|AF|=|AA1|，|AD|=|AD|，所以△AFD≌△AA1D， 所以∠AFD=∠AA1D=90°，DF⊥AB，|DA1|=|DF|. 同理△BDF≌△BDB1⇒|DB1|=|DF|， 所以|DA1|=|DB1|，即点D为A1B1的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 图2中已去掉坐标系和抛物线，圆E与AB相切于点G，延长BA，B1A1交于点H，延长EF交A1B1于点I， 因为GE⊥AB，DF⊥AB，所以GE∥DF. 又因为G，D分别为AB，A1B1的中点，所以GD∥AA1∥EF， 故四边形EFDG为平行四边形， 从而|GD|=|EF|=2，|AB|=|AA1|+|BB1|=2|GD|=4. 因为FI∥GD且|FI|=|GD|=1， 所以I为HD的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 从而|DF|=|GE|=. S四边形ADBE=S△ADB+S△ABE=|AB|·|DF|+|AB|·|GE|=4. 当直线AB平行于准线时，易得S四边形ADBE=3. 综上，四边形ADBE的面积为3或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 方法四　(结合弦长公式和向量的运算求面积) 由(2)得直线AB的方程为y=tx+. 由可得x2-2tx-1=0， 于是x1+x2=2t，x1x2=-1，y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1. |AB|=|x1-x2|==2(t2+1)， 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1=d2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 因此，四边形ADBE的面积S=|AB|(d1+d2)=(t2+3). 则线段AB的中点G 由于⊥而=(t，t2-2)与向量(1，t)平行，所以t+(t2-2)t=0， 解得t=0或t=±1. 当t=0时，S=3； 当t=±1时，S=4. 因此，四边形ADBE的面积为3或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 8.(2024·武汉调研)已知抛物线E：x2=y，过点T(1，2)的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，已知l1与x轴交于点M，l2与x轴交于点N，设l1与l2的交点为P. (1)证明：点P在定直线上； 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 由y=x2，得y'=2x，设A(x1)，B(x2)，P(xP，yP). 所以l1的方程为y=2x1(x-x1)+整理得y=2x1x-. 同理可得，l2的方程为y=2x2x-. 联立方程 因为点T(1，2)在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1)+2，与抛物线方程联立得x2-kx+k-2=0， 故x1+x2=k，x1x2=k-2， 所以xP=yP=k-2，可知yP=2xP-2. 所以点P在定直线y=2x-2上. (2)若△PMN面积为求点P的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 在l1，l2的方程中，令y=0，得MN 所以S△PMN=|MN|·|yP|=|(x1-x2)x1x2|=. 故(x1-x2)2(x1x2)2=[(x1+x2)2-4x1x2](x1x2)2=32， 代入x1+x2=k，x1x2=k-2可得(k2-4k+8)(k-2)2=32. 整理得=0，解得k=0或k=4. 所以点P的坐标为(0，-2)或(2，2). (3)若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 抛物线焦点F由M得直线MF斜率kMF=-=- 可知MF⊥MP，同理NF⊥NP，所以PF是△PMN外接圆的直径. 若点T也在该圆上，则TF⊥TP. 由kTF=得kTP=-得直线TP的方程为y=-(x-1)+2. 又点P在定直线y=2x-2上， 联立两直线方程 所以点P的坐标为. $$ 微拓展8　抛物线中的阿基米德三角形 [考情分析]　抛物线中的阿基米德三角形在近几年的高考中经常出现，主要考查抛物线中的阿基米德三角形中的定点、面积及最值问题，常以多选题、解答题为主，难度较大. 如图所示，AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作抛物线的切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边. (1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴. (2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(x0，y0)，则另一顶点P的轨迹为一条直线. (3)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点. (4)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为. (5)若阿基米德三角形的底边即弦AB过焦点，则顶点P的轨迹为抛物线的准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2. (6)点P的坐标为. (7)底边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0. (8)△PAB的面积为S△PAB=. (9)若点P的坐标为(x0，y0)，则底边AB的直线方程为x0x-p(y+y0)=0. (10)若弦AB过抛物线的焦点，则PA⊥PB；当F点为焦点时，PF⊥AB. (11)抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的. 微点一　定点问题 1.(5分)设M是抛物线y2=4x准线上一点，过M作抛物线的切线，切点为A，B.则直线AB所过定点的坐标为　　　　.  答案　(1，0) 解析　设M(-1，y0)， 过M(-1，y0)所作抛物线的切线的斜率为k(k≠0)，则方程为y-y0=k(x+1)， 由得ky2-4y+4y0+4k=0，则Δ=16-4k(4y0+4k)=0，得k2+ky0=1， 所以k2y2-4ky+4ky0+4k2=0，即k2y2-4ky+4=(ky-2)2=0，所以可设AB 所以kAB=== 所以直线AB的方程为y-= 整理得y=x+-=x+=x+=(x-1)，即y=(x-1)， 所以直线AB过定点(1，0). 2.(17分)已知直线l与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB，D为垂足，O为坐标原点，点D的坐标为(1，1). (1)求C的方程；(6分) (2)若点E是直线y=x-4上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P，Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.(11分) 解　(1)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)， 因为kOD=1，所以kAB=-1， 则直线AB的方程为y=-x+2. 联立方程组 消去y，整理得x2+2px-4p=0， 所以x1+x2=-2p，x1x2=-4p. 又OA⊥OB，得x1x2+y1y2=x1x2+(2-x1)(2-x2)=0， 整理得x1x2-(x1+x2)+2=-4p+2p+2=0，解得p=1. 所以C的方程为x2=2y. (2)由x2=2y，得y=x2，所以y'=x， 设过点E作抛物线C的切线的切点为 则相应的切线方程为y-=x0(x-x0)， 即y=x0x-.设点E(t，t-4)， 由切线经过点E，得t-4=x0t- 即-2tx0+2t-8=0. 设PQ 则x3，x4是x2-2tx+2t-8=0的两个实数根， 可得x3+x4=2t，x3x4=2t-8. 设M是PQ的中点，则xM==t， yM== = 即yM=t2-t+4.又kPQ===t， 所以直线PQ的方程为y-(t2-t+4)=t(x-t)， 即y=t(x-1)+4， 所以直线PQ恒过定点(1，4). 微点二　性质 3.(多选)如图所示，在抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，给出以下结论，其中正确的为(　　) A.点P的坐标是 B.△PAB的边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0 C.△PAB的面积S△PAB= D.△PAB的边AB上的中线平行(或重合)于y轴 答案　ABD 解析　由y=x2，得y'= 由题意，点A处的切线方程为y-=(x-x1)， 点B处的切线方程为y-=(x-x2)， 联立两个方程，并消去y化简得x= 代入点A处的切线方程得y=+= 所以点P的坐标为故A，D正确； 由题意直线AB的斜率一定存在，设为kAB，则kAB=== 故直线AB的方程为y-=(x-x1)， 化简得(x1+x2)x-2py-x1x2=0，故B正确； 由A，B项分析得点P到直线AB的距离d= = |AB|=·|x1-x2| =·|x1-x2|， 故S△PAB=·|AB|·d=·|x1-x2|·=故C错误. 4.(17分)(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p；(5分) (2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.(12分) 解　(1)由题意知M(0，-4)，F圆M的半径r=1，所以|MF|-r=4，即+4-1=4，解得p=2. (2)由(1)知，抛物线方程为x2=4y， 由题意可知直线AB的斜率存在，设AB直线AB的方程为y=kx+b， 联立消去y得x2-4kx-4b=0， 则Δ=16k2+16b>0(※)，x1+x2=4k，x1x2=-4b， 所以|AB|=|x1-x2|=·=4·. 因为x2=4y，即y=所以y'=则抛物线在点A处的切线斜率为在点A处的切线方程为y-=(x-x1)，即y=x- 同理得抛物线在点B处的切线方程为y=x-. 联立则 即P(2k，-b).因为点P在圆M上， 所以4k2+(4-b)2=1，① 且-1≤2k≤1，-5≤-b≤-3， 即-≤k≤3≤b≤5，满足(※). 设点P到直线AB的距离为d，则d= 所以S△PAB=|AB|·d=4. 由①得，k2== 令t=k2+b，则t=且3≤b≤5. 因为t=在[3，5]上单调递增， 所以当b=5时，t取得最大值，tmax=5，此时k=0， 所以△PAB面积的最大值为20. 微点三　性质的应用 5.(多选)已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过其准线上的点T(t，-1)作C的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是(　　) A.p=2 B.当t=1时，TA⊥TB C.当t=1时，直线AB的斜率为2 D.△TAB面积的最小值为4 答案　ABD 解析　对于A，易知抛物线的准线方程为y=-1，∴p=2，C：x2=4y，故A正确； 对于B，当t=1时，点T在准线上，根据阿基米德三角形的性质，故TA⊥TB，故B正确； 对于C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1=y2=.则TA：y-=(x-x1)，即y=x-y1.代入点(1，-1)，得x1-2y1+2=0，同理可得x2-2y2+2=0， 故AB：x-2y+2=0，故kAB=故C不正确； 对于D，根据阿基米德三角形的性质，因为点T在抛物线的准线上，故△TAB面积的最小值为p2=4，故D正确. 6.(17分)已知动圆过点F(0，1)，且与直线l：y=-1相切. (1)求动圆圆心的轨迹E的方程；(5分) (2)设P为一动点，过P作曲线E的两条切线PA，PB，切点分别为A和B，且PA⊥PB，直线AB与圆x2+y2=4相交于C，D两点，设点P到直线AB的距离为d，是否存在点P，使得|AB|·|CD|=4d2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(12分) 解　(1)由题意，动圆圆心到点F的距离和到定直线l的距离相等， 所以动圆圆心的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为x2=4y. (2)显然直线AB的斜率存在，故可设其方程为y=kx+m，设AB 联立消去y整理得，x2-4kx-4m=0，则Δ=16k2+16m>0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1x2=-4m， 由x2=4y得y=所以y'=故直线PA的方程为y-=(x-x1)，整理得y=x-. 同理，直线PB的方程为y=x- 联立 解得x==2k，y==-m， 所以点P的坐标为(2k，-m)，因为PA⊥PB， 所以·=-m=-1，故m=1，满足Δ>0，从而AB过点F， 所以|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4， 原点到直线AB的距离为故|CD|=2 点P到直线AB的距离d==2 所以|AB|·|CD|=4d2等价于(4k2+4)·2=16(k2+1)， 化简得=0，无解，故不存在点P，使得|AB|·|CD|=4d2. [总结提升] 熟记阿基米德三角形的定义及性质，在选填题可直接应用，在解答题中需要推导证明. 1.(2024·烟台模拟)过抛物线y2=4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB的面积S的最小值为(　　) A. B.2 C.4 D.4 答案　C 解析　由题知，弦AB过抛物线焦点，则由“阿基米德三角形”性质知，点P在抛物线的准线上，△PAB的面积的最小值为S=p2=4. 2.(2024·白山模拟)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，顶点为O，斜率为的直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则|OP|等于(　　) A. B.2 C. D. 答案　C 解析　依题意，F(2，0)，设直线l：y=(x-2)，联立 则y2-6y-16=0，解得y1=8，y2=-2. 方法一　不妨设M(8，8)，N. 设直线PM方程为y-8=k(x-8)，与C：y2=8x联立得， =8x，整理得k2x2+(16k-16k2-8)x+64k2-128k+64=0， Δ=(16k-16k2-8)2-4k2(64k2-128k+64)=0， 解得k=故直线PM的斜率k= 故直线PM：y=x+4. 同理可得，直线PN的斜率k'=-2，故直线PN：y=-2x-1， 联立解得 即P(-2，3)，则|OP|=. 方法二　由阿基米德三角形性质得点P的坐标为=(-2，3)，则|OP|=. 3.若抛物线方程为y2=2px(p>0)，且直线x=与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p等于(　　) A.1 B.2 C. D.3 答案　D 解析　由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴，即x=时，如图，设直线x=与抛物线交于点A，B，以AB为底边的阿基米德三角形为△PAB，则S△PAB==p2=6，即p=3. 4.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线x2=4y的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　方法一　易知，焦点F(0，1)，准线方程y=-1，直线AB斜率必然存在，设AB：y=kx+1，ABx1>0，x2<0，P(x0，-1)，联立得x2-4kx-4=0， 显然Δ>0，x1x2=-4； 由PF⊥AB可得·=0， 即(-x0，2)·=0， 化简得x0=过P作PM∥y轴交AB于M点，可得M为AB中点， 故M故S△PAB=S△PAM+S△PBM=|PM|·|x1-x2|=··|x1-x2|=··2=4， 当且仅当x1=-x2=2时取等号.故△PAB的面积的最小值为4. 方法二　设AB：y=kx+1，联立得x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4， ∴|x1-x2|=4. 由阿基米德三角形的性质得S△PAB==4()3≥4，当且仅当k=0时等号成立，∴△PAB的面积最小值为4. 5.(多选)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l与C交于P，Q两点，且=2R(4，6)，若过点P，Q分别作C的两条切线交于点A，则下列选项正确的是(　　) A.|AF|=4 B.|PQ|=12 C.PQ⊥AF D.以PQ为直径的圆过点A 答案　ACD 解析　抛物线C的焦点F到准线的距离为p=4， 所以抛物线C的方程为x2=8y. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由=2可知R(4，6)为PQ的中点， 所以x1≠x2且x1+x2=8，y1+y2=12， 由可得-=(x1-x2)(x1+x2)=8(x1-x2)=8(y1-y2)， 所以直线l的斜率为kPQ==1，则直线l的方程为y-6=x-4，可得y=x+2. 联立可得x2-8x-16=0，所以x1x2=-16， 所以=4=-2， 即点A(4，-2). 易知抛物线C的焦点为F(0，2)，所以|AF|==4故A正确； 因为直线PQ：y=x+2过点F， 所以|PQ|=y1+y2+4=16，故B错误； 因为kAF==-1，kPQ=1， 所以kAFkPQ=-1，所以PQ⊥AF，故C正确； 因为|AR|=8=|PQ|，且R为PQ的中点，所以|AR|=|PR|=|QR|， 因此，以PQ为直径的圆过点A，故D正确. 6.(5分)已知点M(2，-1)和抛物线C：x2=4y，过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB=90°，则k=　　　　.  答案　1 解析　由题意，M在抛物线C的准线上，直线AB过点F且∠AMB=90°，所以△MAB是阿基米德三角形.如图，由阿基米德三角形性质得MF⊥AB，而kMF==-1，所以直线AB的斜率为1. 7.(17分)(2024·潍坊模拟)已知平面曲线C满足：它上面任意一点到点的距离比到直线y=-的距离小1. (1)求曲线C的方程；(4分) (2)若D为直线y=-上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点；(6分) (3)在(2)的条件下，以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.(7分) (1)解　方法一　由题意知，曲线C是以点为焦点，以直线y=-为准线的抛物线， 故曲线C的方程为x2=2y. 方法二　设曲线C上的点为(x，y)，则=-1， 由题意易知，y≥0，整理得x2=2y. (2)证明　设DA(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1=. 又因为y=x2，所以y'=x，则切线DA的斜率为x1， 故切线DA的方程为y+=x1(x-t)，代入A(x1，y1)，得y1+=x1(x1-t)，整理得2tx1-2y1+1=0. 同理可得2tx2-2y2+1=0. A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足直线方程2tx-2y+1=0. 所以直线AB的方程为2tx-2y+1=0，即y=tx+所以直线AB过定点. (3)解　方法一　(利用公共边结合根与系数的关系求面积) 设AB的中点为G，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2，则G==(x1-x2，y1-y2). 由·=0，得(x1-x2)+(y1-y2)=0， 将y1=y2=代入上式并整理得(x1-x2)(x1+x2)(+-6)=0， 因为x1-x2≠0，所以x1+x2=0或+=6. 由(2)知直线AB的方程为y=tx+与x2=2y联立得x2-2tx-1=0， 则x1+x2=2t，x1x2=-1. 则D所以DG⊥x轴， 则S四边形ADBE=S△ABE+S△ABD=|EF|·(x2-x1)+|GD|·(x2-x1)=(x2-x1)+(x2-x1). 当x1+x2=0时，(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=4，即x2-x1=2，S四边形ADBE=3； 当+=6时，(x1+x2)2=4，(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=8， 即x2-x1=2S四边形ADBE=4. 综上，四边形ADBE的面积为3或4. 方法二　(利用弦长结合面积公式求面积) 由(1)知抛物线的焦点F的坐标为准线方程为y=-. 由抛物线的定义，得|AB|=+++=+1=+1=2t2+2. 线段AB的中点为G. 当x1+x2=0时，由(2)知t=0，AB⊥y轴，|AB|=2，S四边形ADBE=×2×=3； 当x1+x2≠0时，t≠0，由EG⊥AB，得·t=-1，即t=±1. 所以G|AB|=4，直线AB的方程为y=±x+. 根据对称性考虑点GD和直线AB的方程y=x+即可. 点E到直线AB的距离为 |EG|== 点D到直线AB的距离为=. 所以S四边形ADBE=×4×(+)=4. 综上，四边形ADBE的面积为3或4. 方法三　(结合抛物线的光学性质求面积) 当直线AB斜率不为0时，如图1，过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线的光学性质易得∠1=∠2， 又∠1=∠3，所以∠2=∠3. 因为|AF|=|AA1|，|AD|=|AD|，所以△AFD≌△AA1D， 所以∠AFD=∠AA1D=90°，DF⊥AB，|DA1|=|DF|. 同理△BDF≌△BDB1⇒|DB1|=|DF|， 所以|DA1|=|DB1|，即点D为A1B1的中点. 图2中已去掉坐标系和抛物线，圆E与AB相切于点G，延长BA，B1A1交于点H，延长EF交A1B1于点I， 因为GE⊥AB，DF⊥AB，所以GE∥DF. 又因为G，D分别为AB，A1B1的中点，所以GD∥AA1∥EF， 故四边形EFDG为平行四边形，从而|GD|=|EF|=2，|AB|=|AA1|+|BB1|=2|GD|=4. 因为FI∥GD且|FI|=|GD|=1， 所以I为HD的中点， 从而|DF|=|GE|=.S四边形ADBE=S△ADB+S△ABE=|AB|·|DF|+|AB|·|GE|=4. 当直线AB平行于准线时，易得S四边形ADBE=3. 综上，四边形ADBE的面积为3或4. 方法四　(结合弦长公式和向量的运算求面积) 由(2)得直线AB的方程为y=tx+. 由可得x2-2tx-1=0， 于是x1+x2=2t，x1x2=-1，y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1. |AB|=|x1-x2| ==2(t2+1)， 设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1=d2=. 因此，四边形ADBE的面积S=|AB|(d1+d2)=(t2+3). 则线段AB的中点G 由于⊥而=(t，t2-2)与向量(1，t)平行，所以t+(t2-2)t=0， 解得t=0或t=±1.当t=0时，S=3； 当t=±1时，S=4. 因此，四边形ADBE的面积为3或4. 8.(17分)(2024·武汉调研)已知抛物线E：x2=y，过点T(1，2)的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，已知l1与x轴交于点M，l2与x轴交于点N，设l1与l2的交点为P. (1)证明：点P在定直线上；(5分) (2)若△PMN面积为求点P的坐标；(6分) (3)若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标.(6分) (1)证明　由y=x2，得y'=2x，设A(x1)，B(x2)，P(xP，yP). 所以l1的方程为y=2x1(x-x1)+整理得y=2x1x-. 同理可得，l2的方程为y=2x2x-. 联立方程解得 因为点T(1，2)在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1)+2，与抛物线方程联立得x2-kx+k-2=0， 故x1+x2=k，x1x2=k-2， 所以xP=yP=k-2，可知yP=2xP-2. 所以点P在定直线y=2x-2上. (2)解　在l1，l2的方程中， 令y=0，得MN 所以S△PMN=|MN|·|yP| =|(x1-x2)x1x2|=.故(x1-x2)2(x1x2)2 =[(x1+x2)2-4x1x2](x1x2)2=32， 代入x1+x2=k，x1x2=k-2可得(k2-4k+8)(k-2)2=32. 整理得=0，解得k=0或k=4.所以点P的坐标为(0，-2)或(2，2). (3)解　抛物线焦点F由M得直线MF斜率kMF=-=- 可知MF⊥MP，同理NF⊥NP，所以PF是△PMN外接圆的直径. 若点T也在该圆上，则TF⊥TP. 由kTF=得kTP=-得直线TP的方程为y=-(x-1)+2.又点P在定直线y=2x-2上， 联立两直线方程解得 所以点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$