课时8.4～2 功能关系 能量守恒定律-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（人教版2019必修第二册）

第八章机械能守恒定律 课时8.4-2功能关系能量守恒定律 2020年课程标准 物理素养 2.1.4通过实验，验证机械能守恒定律。理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。 物理观念：建立“功是能量转化的量度”核心认知，理解不同力做功对应不同能量转化（如重力做功→重力势能与动能转化，摩擦力做功→机械能转化为内能），形成“能量守恒”的普适观念。能从能量视角分析复杂物理过程（如制动减速、机械运转），认识能量总量不变但形式可多样转化，构建完整的能量世界观。 科学思维：通过归纳“力做功与能量转化”的对应关系（如WG＝－△Ep)、(Wf＝－△E机），培养从特殊到一般的抽象思维；运用能量守恒定律简化多过程问题分析，通过数学建模（如能量流程图、守恒方程）提升逻辑推理能力，辩证理解“能量守恒”与“能量耗散”的区别与联系。 科学探究：设计实验验证功能关系（如测量摩擦力做功与内能增加量），经历“提出问题—设计方案—数据验证”流程，掌握控制变量法与转换法。在探究能量转化效率时（如机械装置能量损耗），通过误差分析优化实验方案，提升实证能力与创新思维。 科学态度与责任：在分析能源利用问题（如化石能源消耗、新能源开发）时，秉持严谨态度评估能量转化效率，树立“科学用能、低碳发展”的责任感。通过能量守恒定律在航天、环保等领域的应用，体会科学对社会可持续发展的推动作用，增强用科学知识解决实际问题的担当意识。 知识点一、功能关系 1.几种常见的功能关系及其表达式 力的类型 力做功 对应的能量变化 定量关系 合外力的功 W合 动能变化△Ek W合＝△Ek（动能定理） 重力的功 WG 重力势能变化△Ep WG＝－△Ep（重力做正功，势能减少） 弹簧弹力的功 W弹 弹性势能变化 △Ep弹 W弹＝－△Ep弹（弹力做正功，势能减少） 只有重力、弹簧弹力做功 WG＋W弹 机械能守恒（动能↔势能） △E机＝0（机械能守恒定律） 除重力、弹力外其他力的功 W外 机械能变化△E机 W外＝△E机（功能原理） 一对滑动摩擦力的总功 Wf总 内能变化（产热）△Q Wf总＝－△Q＝－f△x,△x为相对位移） 2.功的正负与能量增减的对应关系 ①动能：合外力做正功→动能增加；合外力做负功→动能减少。 ②势能：重力/弹力做正功→势能减少；做负功→势能增加。 ③机械能：其他力（非重力、弹力）做正功→机械能增加；做负功→机械能减少。 知识点二、能量守恒定律及应用 1.内容及表达式 （1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，总量保持不变。 （2）表达式：△E减＝△E增（减少的能量等于增加的能量，需明确能量形式如动能、势能、内能等。） 2.解题步骤 （1）确定能量形式：分析过程中涉及的能量类型（动能、重力势能、弹性势能、内能等）。 （2）判断增减情况：明确哪种能量增加，哪种能量减少，列出△E减和△E增的表达式。 （3）建立守恒方程：根据△E减＝△E增列式求解。 3.对能量守恒定律的理解 （1）能量形式转化：某种形式的能量减少，一定有其他形式的能量增加（如摩擦生热：机械能减少→内能增加）。 （2）能量物体转移：一个物体的能量减少，一定有其他物体的能量增加（如热传递：高温物体内能减少→低温物体内能增加）。 4.能量转化问题的解题思路 （1）机械能不守恒场景：若涉及摩擦力做功、空气阻力或外力做功，优先用能量守恒定律。 （2）分析流程：①确定初末状态的能量组成；②分析能量转化路径（如机械能→内能）；③利用△E减＝△E增列方程（如|△E机|＝△Q）。 5.涉及弹簧的能量问题 （1）系统机械能守恒条件：只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒（动能＋重力势能＋弹性势能总和不变）。 （2）共速条件：若系统内物体除弹簧弹力外合外力为零（如水平光滑平面），当弹簧形变量最大（最长或最短）时，各物体速度相同（动能最小，势能最大）。 知识点三、摩擦力做功与能量转化 1、两种摩擦力做功的比较 类型 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 能量转化 只发生能量转移，不产生内能 既有能量转移，又产生内能（摩擦生热） 做功特点 ①可做正功、负功或不做功；②一对静摩擦力总功为零 ①可做正功、负功或不做功；②一对滑动摩擦力总功为负值（对应内能增加） 典型场景 传送带启动时物块与传送带间（未打滑） 木块在桌面滑动、传送带打滑时的相对滑动 2、三步求解相对滑动物体的能量问题 （1）分析运动与受力 明确各物体的运动阶段（加速、匀速、减速），画出受力示意图，确定摩擦力方向。 例：木块以初速度滑上静止传送带，受向右滑动摩擦力做匀减速，传送带受向左摩擦力做匀加速。 （2）建立速度与位移关系 利用运动学公式（如v＝v0＋at、x＝v0t＋at2）分析物体间的相对速度和位移。 关键：找出共速时刻或相对静止的临界点，计算各阶段位移x物和x传。 （3）计算能量转化 摩擦生热：Q＝fx相对，其中x相对＝|x物－x传|（相对位移）或总相对路程 s相对（往复运动时）。 机械能变化：结合功能关系，判断除重力、弹力外的摩擦力做功对机械能的影响W其他力＝△E机。 知识点四、关键公式与结论 1.动能定理： 2.功能原理： 3.能量守恒方程：△E机械＋△E内＋△E其他＝0 4.滑动摩擦力产热：Q＝f△x（△x为相对位移） 问题一：功能关系 【角度1】功能关系的理解 【典例1】（23-24高一下·河南·阶段练习）（多选）电梯的钢索发生断裂后向下坠落，为了尽量保证内部人员安全，会启动电梯安全钳加大阻力，同时在井底安装有缓冲弹簧，如图所示.已知电梯总质量为2400kg，下落过程安全钳提供给电梯的滑动摩擦力大小为，弹簧的劲度系数.整个过程的摩擦力仅考虑安全钳提供的，安全钳提供的滑动摩擦力等于最大静摩擦力，不考虑弹簧自重及其他阻力，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度。则下列说法正确的是（    ） A．电梯从开始坠落至压缩弹簧到最低点的过程，重力势能与动能的减少量之和与弹簧的弹性势能增加量大小相等 B．电梯从开始坠落至压缩弹簧到最低点的过程，重力势能与动能减少量之和的大小大于弹簧的弹性势能增加量 C．电梯与弹簧刚接触时的动能最大 D．电梯下落过程速度最大时，弹簧的压缩量为40cm 解法通则 （1）明确研究对象与力的类型： ①单个物体：分析合外力、重力、其他力（如拉力、摩擦力）。 ②系统：关注内力（如弹簧弹力）与外力（如阻力）。 （2）判断能量转化路径： ①机械能是否守恒（仅重力/弹力做功则守恒，否则用功能关系）。 ②涉及摩擦生热用Q＝fx相对计算内能。 （3）列式求解： ①守恒场景：E初＝E末（机械能守恒）。 ②非守恒场景：△E增＝△E减＋W外（能量守恒）。 （4）易错点规避 ①混淆功能关系对应力：重力做功对应重力势能变化，而非机械能！其他力做功才影响机械能。 ②相对位移与对地位移：滑动摩擦力生热用相对位移，单个摩擦力做功可能用对地位移（如传送带对物块的摩擦力做功）。 ③能量转化的方向性：势能减少量＝对应力做的正功，机械能增加量＝其他力做的正功。 （5）口诀辅助 合外力功看动能，重力弹力看势能；其他力功机械能，摩擦生热相对程。 守恒与否先判断，路径清晰再计算；相对位移算热量，功能关系破难题。 【变式1-1】（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）（多选）如图所示，一小球用轻质细线悬挂在木板的支架上，木板沿倾角为的斜面下滑时，细线呈竖直状态。则在木板下滑的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．木板沿斜面做匀加速运动 B．木板、小球组成的系统机械能守恒 C．木板与斜面间的动摩擦因数为 D．木板、小球组成的系统减少的机械能转化成了内能 【变式1-2】（多选）下列说法中正确的是（　　） A．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功 B．功是矢量，正、负表示方向 C．功是能量转化的量度，通过做功可以使一种形式的能转化为另一种形式的能 D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量 【角度2】功能关系与图像结合 【典例2】（2025·陕西宝鸡·二模）（多选）如图甲所示，在倾角为的斜面上放一轻质弹簧，其下端固定，静止时上端位置在B点。质量为m的小物块在A点由静止释放，开始运动的一段时间内的图像如图乙所示。小物块在0.8s时运动到B点，在1.0s时到达C点（图中未标出），在1.3s时到达D点，经过一段时间后又回到B点，且速度不为零。重力加速度为g，由图可知（　　） A．在整个运动过程中，小物块和弹簧的系统机械能减小 B．从A点运动到D点的过程中，小物块在C点时弹簧的弹力为 C．从B点运动到D点的过程中，小物块的加速度不断减小 D．小物块第一次经过B点的加速度值小于第二次经过B点的加速度值 （1）图像类型识别 ①常见图像：F-x（力-位移）、v-t（速度-时间）、Ek-x（动能-位移）、Ep-x（势能-位移）、E机-t（机械能-时间）。 ②关键信息： 斜率：如F-x图线与横轴围成面积表示功，Ek-x斜率为合外力。 截距：初态能量或位移为零时的力/能值。 交点/极值点：能量转化临界点（如共速、最高点）。 （2）功能关系与图像对应 图像类型 功能关系应用 F-x图 ①图线面积求力做的功（）；②结合动能定理求动能变化。 v-t图 ①斜率求加速度→合外力；②面积求位移→结合摩擦力求内能（）。 Ek-x图 ①斜率为合外力（）；②初末值差为合外力功。 E机-t图 ①斜率为其他力功率（）；②下降段对应机械能损失（如摩擦）。 （3）解题步骤 ①明确图像物理意义：标注横纵轴物理量、单位、斜率/面积含义。 ②提取关键数据： 特殊点：起点、终点、转折点（如速度为零、斜率突变点）。 数值关系：功的大小（面积）、能量变化量（坐标差）。 ③联立功能关系公式： 动能定理：W合＝△Ek（结合F-x或v-t图）。 机械能变化：W外＝△E机（结合E机-t图）。 摩擦生热：Q＝fx相对（结合v-t图中相对位移）。 （4）易错点规避 ①图像斜率正负：负斜率表示力与位移方向相反（如摩擦力做负功）。 ②相对位移计算：\(v-t\)图中相对位移为两物体图线间面积绝对值，非对地位移差。 ③能量守恒验证：图像中能量增减应符合△E减＝△E增（如机械能减少量＝内能增加量）。 （5）口诀总结 图像先看轴和点，斜率面积藏技巧；功变能量看对应，相对位移算热好。 分段分析转折点，功能关系联立妙；数据代入需谨慎，守恒验证不可少。 【变式2-1】（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）（多选）传送带经常用于分拣货物。如图甲为传送带输送机简化模型图，传送带输送机倾角，顺时针匀速转动，在传送带下端点无初速度放入货物。货物从下端点运动到上端点的过程中，其机械能与位移的关系图像（以位置所在水平面为零势能面）如图乙所示。货物视为质点，质量，重力加速度。下列说法正确的是（    ） A．货物在传送带上先匀加速再匀减速 B．货物与传送带间的动摩擦因数 C．货物从下端点运动到上端点的时间为 D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为 【变式2-2】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选）如图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员的动能或合外力大小F随时间t变化的图像是（　　） A． B． C． D． 【角度3】摩擦力做功与能量转化 【典例3】（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图所示，长木板AB置于水平面上，板长为L，板的B端放置质量为m的小物块。现将板绕A端由静止开始在竖直平面内转动角时，物块的速度为v，物块始终保持与板相对静止，重力加速度为g，则在上述转动过程中（　　） A．重力对物块做的功为 B．摩擦力对物块做的功为 C．弹力对物块做的功为0 D．板对物块做的功为 （1）摩擦力分类与核心规律 类型 做功特点 能量转化 关键公式 静摩擦力 可做正/负功，系统内总功为零 机械能转移（无内能产生） W静＝fx对地 滑动摩擦力 对单物体可做功，系统内总功为负 机械能→内能（生热） Q＝fx相对 （2）解题三步法 ①判类型，定对象： 单个物体：分析摩擦力对其做的功（Wf＝fx对地）。 多物体系统：用相对位移求内能（x相对＝|x1－x2|）。 ②析运动，找位移： 画运动过程图，标注初末速度、对地位移(x对地)和相对位移(x相对)。 例：滑块滑上木板，共速时相对位移为板长L，生热(Q＝fL)。 ③联规律，列方程： 动能定理（单物体）：W合＝△Ek（含摩擦力的功）。 能量守恒（系统）：△E机械＝－Q（机械能减少量＝内能增加量）。 （3）易错点提醒 ①静摩擦力不生热，仅转移能量（如人走路时静摩擦不做功）。 ②滑动摩擦力对单个物体可能做正功（如传送带带动物体加速），但系统内必生热。 ③相对位移方向：与摩擦力方向相反（如滑块向右滑，木板受摩擦力向右，相对位移向左）。 （4）口诀记忆 摩擦生热看相对，单物做功对地位；系统能量守恒用，机械减少内增替。 板块共速临界算，传送带上路程计；正负功看夹角角，方向位移要对齐。 【变式3-1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，薄板B放在倾角为30°的光滑斜面上，斜面固定且足够长，薄板的下端位于斜面底端，上端通过轻绳与固定在地面上的电动机连接，轻绳跨过定滑轮，定滑轮质量与摩擦均不计，斜面上方的细绳与斜面平行。时刻，一小物块A从薄板上端由静止释放的同时，薄板在电动机带动下由静止开始沿斜面向上做加速度m/s2的匀加速直线运动。已知薄板长m，小物块A的质量kg，薄板B的质量kg，A、B间的动摩擦因数。下列说法正确的是（　　） A．从到小物块A离开薄板前，细绳对薄板B的拉力为15N B．小物块A离开B板时的速度为m/s C．从开始到A、B分离的过程中电动机对B板所做的功为J D．从开始到A、B分离的过程中，小物块A与薄板B之间因摩擦产生的内能为J 【变式3-2】（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图所示，原长为的轻质弹簧，一端固定在点，另一端与一质量为的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数恒定不变。杆上M、N两点与点的距离均为，P点为中点，重力加速度大小为。小球以某一初速度从点向下运动到点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．从点到点的运动过程中，小球动能的变化量等于摩擦力所做的功 B．从点到点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大 C．小球在M、N两点的加速度不相等 D．从点到点和从点到点的运动过程中，小球、地球和弹簧组成的系统机械能的减少量相同 问题二：能量守恒定律及应用 【角度1】应用能量守恒定律定性分析 【典例4】（2023·江苏南通·模拟预测）网上热卖的一款“钢球永动机”如图所示。小球从平台中心小孔P由静止下落，经小孔下方快速旋转的传动轮加速后，由Q点抛出并落回平台，每次轨迹如图中虚线所示。则（　　） A．该“钢球永动机”不违背能量守恒定律 B．小球在空中上升过程中，处于超重状态 C．小球在空中上升过程中，速度变化的方向竖直向上 D．小球在空中上升过程中，克服重力做功的功率恒定 （1）抓“三态”“两变化” ①明确研究系统： 确定是否包含重力、弹簧弹力外的力（如摩擦力、电场力等）。 ②分析能量形态： 机械能（动能Ek、重力势能Ep、弹性势能E弹）。 其他能量（内能Q、电能E电、化学能等）。 ③判断能量转化方向： 机械能内部转化：只有重力/弹力做功，机械能守恒。 机械能与其他能转化：有摩擦力、电场力等做功，需定量计算转化量。 （2）解题三步法 ①定系统，判守恒条件： 若系统只有保守力（重力、弹力）做功→ 机械能守恒，直接用E初＝E末。 若有其他力做功→ 能量守恒，用△E减＝△E增（减少的能量＝增加的能量）。 ②列能量转化链： 例：滑块在木板上滑动停下：动能（摩擦力做功）→内能（生热Q) ③定性推理结论： 关注能量“来源”与“去向”，忽略中间过程细节。 ④常见逻辑： 摩擦力做功→机械能减少，内能增加。 电场力做正功→电势能减少，动能增加。 弹簧压缩/伸长→弹性势能与动能相互转化。 （3）易错点规避 ①混淆系统与单个物体： 单个物体能量变化需考虑外力做功（如拉力对物体做功，其机械能不守恒）。 ②忽略隐性能量转化： 爆炸过程：化学能→动能＋内能；碰撞过程：动能→内能（非弹性碰撞）。 ③错误判断做功正负： 力与位移夹角<90°做正功（能量增加），>90°做负功（能量减少）。 （4）口诀记忆 先定系统看做功，保守力在机守恒；其他力来能量变，增减相等要记清。 能量流向分清楚，摩擦生热必记住；转化前后总量定，定性分析快准行。 【变式4-1】如图所示，某同学将带弹簧的圆珠笔倒置，在桌面上竖直向下压紧弹簧，突然松手，圆珠笔竖直向上弹起。对于圆珠笔（含弹簧），下列说法正确的是（　　） A．向下压缩弹簧的过程中，笔的机械能守恒 B．笔竖直向上运动的过程中机械能守恒 C．圆珠笔刚离开桌面时动能最大 D．换用不同的弹簧，只要压缩量相同，笔上升的最大高度相同 【变式4-2】（24-25高三上·广东·期末）（多选）如图所示，圆心为O、半径为R的光滑半圆弧槽固定在水平地面上，一根轻橡皮筋一端连在可视为质点的小球上，另一端连在距离O点正上方R处的P点。小球放在与O点等高的槽口A点时，轻橡皮筋处于原长。现将小球从A点由静止释放，小球沿圆弧槽ABC运动，当运动到最低点B时对圆弧槽的压力恰好为零。已知小球的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力。则小球从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球运动到B点时，橡皮筋的弹力大于 B．橡皮筋弹力做功的瞬时功率逐渐变大 C．小球重力做的功等于小球动能的增加量 D．小球机械能的减少量等于橡皮筋弹性势能的增加量 【角度2】利用能量守恒解决实际问题 【典例5】（2025·浙江台州·二模）（多选）如图为位于新疆哈密的熔盐塔式光热发电站，电站中有约14000块五边形定日镜随太阳转动，每块约50平方米，定日镜将吸收的阳光反射到中心位置的吸热塔上。太阳落山后，熔盐继续放热保证24小时不间断发电。已知地球的半径R＝6400km，地球到太阳的距离r＝1.5×1011m，太阳能照射到地球上时，有约30％在穿过大气层的过程中被云层或较大的粒子等反射，有约20％被大气层吸收，现测得在地球表面垂直太阳光方向每平方米面积上接收到太阳能的平均功率为P＝6.8×102W。哈密全年日照时数约3400小时，该电站已实现年供电2.0×108kW·h，可供24万人一整年的生活用电。已知我国燃煤电厂平均每发一度电，消耗的煤炭约为300克。则（    ） A．该电站每年可节约煤炭约6000万吨 B．该电站光能转化为电能的效率约为12% C．太阳辐射能量的总功率约为7.0×1017W D．太阳辐射能量中只有二十二亿分之一到达地球大气层上表面 【变式5-1】（2025·广东·一模）图甲是风力发电机的发电原理简化图，水平风力推动叶片转轴a低速旋转，通过齿轮升速箱使转轴b高速旋转，驱动发电机的线圈同步转动，实现将机械能转化为电能的过程。某型号的风力发电机叶片旋转半径为40m，调整其叶尖速比（叶片尖端线速度与自然风速的比值），可以优化发电效率。 (1)已知自然风速为20m/s，叶尖速比为4时，转轴b的转速为，求齿轮升速箱使转轴b的转速提高到a的多少倍； (2)线圈发电功率与自然风速的关系如图乙，自然风可认为垂直叶片组所在平面吹入，叶片旋转一圈所扫过的面积为风吹入的有效面积，已知空气密度为，取。当风速为10m/s时，求： ①1min内通过有效面积的风的总动能； ②该风力发电机的发电效率。 【变式5-2】（24-25高二上·浙江台州·期末）一台热水器的聚热面积约，若每天相当于太阳直射热水器，太阳能的20%可转化为水的内能，已知太阳辐射的总功率约为，太阳与地球之间的距离约为，阳光垂直射到地面附近的能量约为太阳辐射到地球能量的一半。则下列说法正确的是（　　） A．太阳垂直射到地面附近单位面积的辐射功率约为 B．这台热水器单位时间聚集的太阳能最多约为700J C．这台热水器一天内最多能利用的太阳能约为 D．这台热水器全年内最多转化的水的内能约为 【角度3】能量守恒定律的简单应用 【典例6】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）如图，水平轨道的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切于B点，右端与一倾角为的光滑斜面在C点平滑连接（即物体经过C点时速度大小不变），斜面顶端固定一轻质弹簧。一质量为的滑块（可视为质点）从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点。已知光滑圆弧轨道的半径为，水平轨道长为，与滑块间的动摩擦因数为，光滑斜面部分长为，不计空气阻力，重力加速度大小为。 求： (1)滑块第一次经过光滑斜面上的C点时，滑块速度的大小； (2)滑块到达D点时，弹簧具有的弹性势能； (3)滑块在水平轨道上停止的位置距B点的距离及滑块经过C点的次数。 （1）核心步骤：抓“初末状态”与“能量形式” ①确定研究系统：明确是否包含重力、弹力外的物体（如涉及摩擦、电机等）。 ②罗列能量形式： 机械能：动能（Ek）、重力势能（Ep）、弹性势能（E弹）。 其他能：内能（Q）、电能（E电）、化学能（E化）等。 ③写出守恒方程：△E减＝△E增(减少的能量＝增加的能量) （2）典型场景解法 场景 能量转化关系 守恒方程示例 自由落体/抛体运动 重力势能→动能（无其他能量介入） mgh＝mv2 滑块在水平面滑行 动能→内能（摩擦力做功） mv2＝μmgx 弹簧压缩/弹开 动能↔弹性势能（忽略摩擦） mv2＝kx2 电动机提升物体 电能→机械能（动能＋重力势能）＋内能 W电＝mgh＋mv2＋Q 燃烧/爆炸过程 化学能→动能＋内能＋光能等 E化＝△Ek＋Q＋…… （3）解题关键点 ①忽略次要能量：题目未提及的能量形式（如光能、声能）可忽略，仅保留主要转化。 ②相对量与绝对量： 势能变化用相对量（如△Ep＝mg△h），无需设定零势能面。 动能变化用绝对量△Ek＝m（v22－v12）。 ③功与能量转化对应： 摩擦力做功→对应内能（Q＝fx相对）。 （4）易错规避 ①漏算能量形式：例如碰撞问题中忽略内能损失，需明确是否为弹性碰撞（机械能守恒）。 ②混淆系统边界：单个物体机械能不守恒时，需将做功的外力来源纳入系统（如“物体＋地球＋电机”）。 ③符号错误：能量减少量取正值，增加量也取正值，直接列等式（如△E机减＝Q增）。 （5）口诀总结 初末状态能量清，形式转化要辨明；减少增加等式列，关键抓住守恒量。 摩擦生热相对程，势能变化看高度；电能化学能细审，简单应用快解成。 【变式6-1】（24-25高一下·湖北·期中）（多选）如图所示，质量为m的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量为的物体乙用轻绳跨过光滑的定滑轮与小球甲连接，开始用手托住物体乙，使滑轮左侧绳竖直，右侧绳与水平方向夹角为，轻绳刚好伸直但无拉力，某时刻由静止释放物体乙（距离地面足够高），经过一段时间小球甲运动到Q点，两点的连线水平，，且小球甲在两点处时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为g，弹簧弹性势能表达式为劲度系数，x为形变量，，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数 B．小球甲位于O点时的速度大小 C．在小球甲从P点上升到中点的过程中，甲乙总机械能增加量为 D．在小球甲从P点上升到中点的过程中，甲乙总机械能增加量为 【变式6-2】（24-25高三下·广东·开学考试）（多选）如图，竖直面内有一固定的半径为R、表面粗糙程度不同的圆弧轨道，其圆心O与A点等高。一小物块以恒定的速率v0沿轨道自A点运动到B点，圆弧AP与圆弧PB长度相等。小物块从A到B运动过程，下列说法正确的是（　　） A．小物块所受重力的功率越来越大 B．小物块对轨道的压力越来越大 C．小物块与圆弧轨道间动摩擦因数越来越大 D．小物块在AP段产生的内能比PB段产生的内能大 【角度4】能量守恒与传送带结合 【典例7】（2025·河南焦作·二模）（多选）如图所示，质量为可视为质点的物件与传送带之间的动摩擦因数为，传送带倾角为，上、下两端点、间的距离为。传送带顺时针匀速转动，速度大小为，物件轻放于点后运动至点时达到最大速度，之后做匀速运动至点，然后电机紧急制动使传送带立即静止不动，物件恰好能到达最高点。已知重力加速度为，则下列叙述正确的有（　　） A．段长为 B．段传送带装置输出功率为 C．物件从到运行的时间为 D．全过程物件增加的机械能和摩擦产生的热量之比为 （1）核心模型与能量转化 ①传送带分类： 水平传送带：动能↔内能（摩擦生热）。 倾斜传送带：动能＋重力势能↔内能＋电能（电机做功）。 ②关键能量关系： 电机做功(W电）＝物体机械能增量（△Ek＋△Ep）＋摩擦生热（Q）。 摩擦生热Q＝fx相对（x相对为物块与传送带相对路程）。 （2）解题三步法 ①运动分析： 确定物块运动阶段（加速/匀速），画出v-t图，标注传送带速度v0、物块初速度v1、共速时间t。 例：物块初速为零滑上水平传送带，经时间t与传送带共速v0，则： 物块位移x1＝v0t，传送带位移x2＝v0t，相对位移x相对＝x2－x1＝v0t。 ②能量定量计算： 动能增量：△Ek＝mv02－mv12。 重力势能增量（倾斜传送带）：△Ep＝mgh（h为高度差）。 摩擦生热：Q＝μmgx相对（μ为动摩擦因数）。 ③能量守恒列式：W电＝△Ek＋△Ep＋Q（水平传送带无△Ep，倾斜传送带需包含） （3）典型场景公式 场景 能量守恒方程 关键结论 水平传送带（物块静止启动） W电＝mv02＋μmg·v0t 电机做功＝物块动能＋生热，且Q＝△Ek（因△Ek＝mv02\)，故W电＝2△Ek 倾斜传送带（物块与传送带共速） W电＝mgh＋mv02＋μmgcosθ·x相对 需克服重力做功，生热与相对位移成正比 物块从传送带滑离（未共速） W电＝mv2＋mg△h＋μmgL（L为传送带长度） 相对位移取传送带长度，生热Q＝μmgL （4）易错点规避 ①相对位移方向：无论物块加速或减速，x相对取绝对值（如物块滑离时，相对位移为传送带长度）。 ②静摩擦不生热：物块与传送带共速后，静摩擦力不做功，无能量转化。 ③多段运动处理：若物块在传送带上先加速后匀速，生热仅计算加速阶段的相对位移。 （5）口诀总结 传送带上看运动，共速前后分清楚；相对位移算热量，电机做功包三者。 水平只算动与热，倾斜再加势能步；能量守恒方程列，变量代入解无误。 【变式7-1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）（多选）如图甲所示，足够长的水平传送带以恒定速率逆时针转动，一质量为的小物块从传送带的左端向右滑上传送带。小物块在传送带上运动时，小物块的动能与小物块的位移的关系图像如图乙所示，图中，取重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．小物块滑上传送带的初速度大小为 B．从小物块开始滑动到滑离传送带所需时间为 C．整个过程中小物块与传送带之间因摩擦而产生的热量为 D．由于小物块的出现导致传送带电动机多消耗的电能为 【变式7-2】（24-25高三下·湖南郴州·开学考试）如图所示，一倾角为的倾斜传送带以的速度顺时针匀速转动。现将一质量为的物体（可看成质点）轻放在传送带的顶端A点，物体从A点运动到传送带底端点，离开点时的速度大小为。已知物体与传送带间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。在物体从A点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．传送带的长度可能为 B．若传送带的长度为，则摩擦力对物体做的功为 C．若传送带的长度为，则摩擦力对传送带做的功为 D．若传送带的长度为，则因摩擦而产生的热量为 【角度5】能量守恒定律测量动摩擦因数 【典例8】（2025·重庆·模拟预测）某兴趣小组用如图甲所示的装置测量物块与桌面的动摩擦因数，粗糙水平桌面的右边缘点与一个斜面顶端重合于O点，实验步骤如下： ①将轻弹簧的一端固定在水平桌面左侧的墙面上，另一端与物块接触但不拴接； ②用外力把物块压缩至P点由静止释放，物块从O点水平飞出后落到斜面上，测得物块的质量m及落点到O点的距离x； ③使用质量不同、与桌面动摩擦因数相同的物块重复步骤②； ④利用以上所测数据得到如图乙所示的图像。已知图像的斜率为k，纵坐标截距为b，空气阻力忽略不计。        (1)物块在桌面上运动时，物块和弹簧组成的系统机械能（填“守恒”或“不守恒”）； (2)为了测量物块与桌面的动摩擦因数，还需要测量的物理量有______； A．O点与P点之间的距离L B．当地的重力加速度g C．弹簧的原长 D．斜面的倾斜角 (3)物块与桌面的动摩擦因数为（用（2）中所选的物理量符号和k、b表示）。 （1）利用能量守恒定律，通过 机械能减少量 与 内能增加量（摩擦生热） 相等建立方程，求解动摩擦因数μ。 （2）通用解题步骤 ①明确研究过程：确定物体从 起点到终点 的运动路径（如水平滑行、斜面下滑等）。 ②分析能量形式： 机械能：初动能Ek1、末动能 Ek2、重力势能变化△Ep。 内能：摩擦生热Q＝μmgx摩擦(x摩擦 为接触面间路程）。 ③列能量守恒方程：△E机械减＝Q,即(Ek1＋△Ep)－Ek2＝μmgx摩擦 ④求解μ：整理方程，代入已知量计算。 （3）口诀总结 能量守恒测摩擦，机械减少热来补；水平动能换内能，斜面势能分两处。 公式列准路程对，变量代入单位符；实验数据细分析，动摩擦数轻松出。 【变式8-1】（2024·辽宁·三模）利用如图甲所示的装置探究轻弹簧的弹性势能。弹簧的左端固定，右端与小滑块接触但不连接，小滑块位于桌面边缘时弹簧恰好处于原长。向左推小滑块移动距离s后，由静止释放，小滑块向右移动离开桌面落到水平地面上。测出桌面到地面高度h，桌边到小滑块落地点的水平距离x。重力加速度为g，则： (1)小滑块离开桌面时的速度大小为； (2)若改变滑块的质量m，仍将弹簧压缩s后由静止开始释放滑块，测出不同滑块离开桌面后的水平距离x，作的关系图像如图乙所示。图像的斜率为k，与纵轴的截距为b，则弹簧压缩s时的弹性势能为； (3)本实验中滑块与桌面间动摩擦因数为，桌面有摩擦对计算弹簧的弹性势能结果（选填“有影响”或“无影响”）。 【变式8-2】（23-24高三下·福建福州·阶段练习）用如图所示的装置可以测量滑块与滑板的动摩擦因数。滑板水平固定，左端固定一个弹簧，弹簧原长时右端为O点，在O点右侧标注A点、B点，在B点处安装一光电门。滑块正中固定一遮光片后去压缩弹簧到C点，静止释放，记录AB的距离L、遮光片通过光电门的时间t。已知遮光片宽为d，重力加速为g。 (1)滑块通过B点处的速度大小； (2)保持A点不动，多次移动B点和光电门，每次滑块都将弹簧压缩到C点后释放，测量各次AB的距离L、遮光片通过光电门的时间t。则作出的图像是___________； A． B． C． D． (3)如果算出图像的斜率大小为k，则滑块与滑板的动摩擦因数为。 【角度6】能量守恒与板块问题 【典例9】（24-25高三上·吉林·开学考试）如图甲所示，一足够长的木板静置于水平地面上，右端放置一可视为质点的小物块。在时刻对木板施加一水平向右的恒定拉力，作用后撤去F，整个过程木板运动的图像如图乙所示。已知小物块的质量，木板的质量M，物块与木板间及木板与地面间动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，物块始终未从木板掉落。下列说法正确的是（　　） A．木板的质量 B．物块与木板及木板与地面间的动摩擦因数大小为0.1 C．整个过程系统因摩擦而产生的热量为 D．整个过程木板运动的位移大小为 （1）板块模型：滑块（质量m）在木板（质量M）上滑动，涉及动能、内能转化，能量守恒用于求摩擦生热。 （2）关键物理量与公式 ①相对位移：x相对＝|x块－x板|（滑块与木板对地位移差）。 ②摩擦生热：Q＝fx相对（f＝μmg为滑动摩擦力）。 ③能量守恒方程：Ek初＝Ek末＋Q（初态总动能＝末态总动能＋内能） （3）解题步骤 ①判守恒条件： 能量守恒：无论地面是否光滑，摩擦生热均用Q＝fx相对。 ②运动分析： 画运动示意图，标注滑块初速度v0、木板初速度0、共速v共。 对地位移：滑块x块＝t，木板x板＝t。 ③联立方程求解： 共速时能量守恒： 临界条件：滑块未滑离木板时，x相对≤L（板长），此时。 【变式9-1】（2025·贵州毕节·二模）（多选）如图所示，倾角为且足够长的光滑斜面固定在水平地面上，物体A被锁定在光滑斜面上，物体C置于水平地面。物体B、C通过劲度系数为的轻弹簧相连，A、B用轻绳跨过光滑定滑轮连接，轻绳恰好伸直，滑轮右侧轻绳竖直，左侧轻绳与斜面平行。解除锁定，A沿斜面下滑，当A速度最大时，C恰好要离开地面。已知B、C的质量均为，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．物体A的质量为 B．物体A下滑过程中加速度一直在增大 C．物体A和B组成的系统机械能守恒 D．物体A下滑过程中的最大动能为 【变式9-2】（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量为m的小滑块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，经过B点后恰好能通过最高点C做平抛运动。已知导轨半径，小滑块的质量，小滑块与轨道AB间的动摩擦因数，的长度，重力加速度取。 （1）求小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小； （2）求弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能； （3）若仅改变AB的长度L，其他条件不变，要使小滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，求出L的可能值。 【角度7】天体运动中的能量变化 【典例10】（2025·河北保定·模拟预测）2023年2月23日，我国首颗超百Gbps容量的高通量卫星——中星26号搭乘长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心起飞，随后卫星进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。假设该卫星发射后先在近地圆轨道I（轨道高度忽略不计）做匀速圆周运动，在点瞬时点火进入椭圆转移轨道II，之后通过椭圆转移轨道II进入地球同步圆轨道III，定点于东经，如图所示。点和点分别为轨道I与轨道II、轨道II与轨道III的切点。若同步圆轨道III距地面的高度约为，地球半径约为，地球自转周期为，地球表面的重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．中星26号在转移轨道II上从点运动到点的过程中，机械能减小 B．中星26号在转移轨道II上点运行的速率为 C．中星26号在点和点的重力加速度之比约为6.6 D．中星26号在近地圆轨道I上运行的周期约为 （1）机械能组成： ①动能：Ek＝mv2＝（由万有引力提供向心力推导，r为轨道半径）。 ②引力势能：Ep＝－（取无穷远处为零势能点）。 ③总机械能：E＝Ek＋Ep＝－。 （2）关键结论： 轨道半径与能量关系： ①r越大，Ek越小，Ep越大，E越大（越远离中心天体，机械能越高）。 ②变轨本质：加速（能量增加）→离心运动（轨道升高）；减速（能量减少）→向心运动（轨道降低）。 （3）解题步骤与模型 ①定轨分析（圆轨道）： 已知轨道半径r，直接用公式求Ek、Ep、E。 ②变轨分析（椭圆轨道或不同圆轨道）： 变轨瞬间：速度突变导致离心/向心运动，动能突变，势能瞬时不变（位置未变）。 椭圆轨道能量：总机械能守恒，E＝－（a为椭圆半长轴，与近/远地点关系：2a＝r近＋r远。 ③能量与运动参量关联： 由E＝－可知： 速度：（圆轨道中，E越大，v越小，因E与r正相关）。 周期：（E越大，r越大，T越长）。 （4）易错点规避 ①势能正负：引力势能为负值，比较大小时需注意（如(r2>r1时，Ep2>Ep1，因>。 ②变轨能量突变：变轨瞬间速度改变（动能突变），但势能不变（位置未变），总能量突变值等于动能变化量。 ③椭圆轨道半长轴：半长轴a是椭圆轨道能量的唯一决定量，与近/远地点速度无关。 （5）口诀总结 天体能量看半径，径大动能小，势总增；变轨加速轨道升，机械能增要记清； 椭圆半长轴定总能，近远地点互转化；势能为负莫搞错，联立公式步骤明。 【变式10-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）截至目前，我国神舟飞船已成功发射了十九次，神舟飞船发射升空后与空间站对接过程示意图如图所示，对接前飞船在圆轨道Ⅰ上运动，空间站在圆轨道Ⅲ上运动，Ⅱ为对接转移轨道，下列说法正确的是（　　） A．若空间站在轨道Ⅲ上沿顺时针运转，飞船在轨道Ⅰ上必须沿逆时针运转 B．飞船从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ的过程中，机械能增大 C．飞船从轨道Ⅱ的近地点向远地点运动过程中，合力一直做正功 D．飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行时，与地心连线在相等时间内扫过的面积相等 【变式10-2】（24-25高二上·广西防城港·期末）飞船登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，则可以推知火星的密度 B．飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度大于在轨道Ⅱ上P点的加速度 C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点启动加速装置 D．飞船在变轨的过程中，机械能守恒 【基础强化】 1．如图所示，在电梯中的斜面上放置了一滑块，在电梯加速上升的过程中，滑块相对斜面静止，则在该过程中（　　） A．斜面对滑块的弹力对滑块所做的功等于滑块增加的重力势能 B．滑块所受合力对滑块所做的功等于滑块增加的机械能 C．斜面对滑块的摩擦力对滑块做负功 D．斜面对滑块的弹力对滑块所做的功小于滑块增加的机械能 2．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）滑草是一项前卫运动，和滑雪一样能给运动者带来动感和刺激。特别对少雪地区的人们来说，滑草就更新鲜了，因为它比滑雪更具有娱乐性，更能体验人与大自然的和谐。如图所示，某滑草场有两个坡度不同的斜草面AB和（均可看作斜面）。质量不同的甲、乙两名游客先后乘坐同一滑草板从A点由静止开始分别沿AB和滑下，最后都停在水平草面上，斜草面和水平草面平滑连接，滑草板与草面之间的动摩擦因数处处相同，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙经过斜面底端时的速率相等 B．甲、乙最终停在水平草面上的同一位置 C．甲沿斜面下滑的时间比乙沿斜面下滑的时间长 D．甲沿斜面下滑过程中克服摩擦力做的功比乙的大 3．（2025·北京延庆·一模）如图所示，水平传送带以v＝2m/s的速率匀速运行，上方漏斗每秒将40kg的煤粉竖直放到传送带上，然后一起随传送带匀速运动，该过程传送带与传送轮之间不打滑。如果要使传送带保持原来的速率匀速运行，则电动机应增加的输出功率为（　　） A．80W B．160W C．320W D．640W 4．（2025·贵州·模拟预测）我国航天事业取得重大突破，2021年12月9日，中国宇航员王亚平、霍志刚、叶光富。在离地球表面400km-500km的中国空间站，为广大的师生进行一场形象而生动的太空课堂教学。以下就是我国神舟十三号载人飞船，与空间站结合体前的变轨示意图。下列说法正确的是（　　） A．神舟十三号沿着轨道I运动，环绕速度大于第一宇宙速度 B．中国空间站内乒乓球下沉，浮力消失，是失重状态的体现，同时能用弹簧测力计测量出的重力大小 C．飞船在轨道II运行时，经过M、N两点时，N点的机械能最大 D．神舟十三号在M点从轨道I到轨道II，长征二号火箭需朝运动反方向点火，两者结合前需减速，长征二号火箭需朝运动方向点火 5．（2025·山东青岛·模拟预测）（多选）如图所示，长度为的轻杆上固定质量均为的3个小球，1、2球将杆三等分，轻杆一端通过转轴与点链接。让轻杆由水平位置自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．摆至竖直位置时，小球1和2的动能之比为 B．摆至竖直位置时，球的角速度为 C．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球2做功为0 D．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球3做功为 6．（2024·黑龙江佳木斯·三模）（多选）如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，将轻弹簧正上方质量的小球由静止释放，小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为y轴正方向，取地面处为重力势能零点，在小球第一次下落到最低点的过程中，弹簧的弹性势能、小球的重力势能、小球的动能、小球的机械能E随小球位移变化的关系图像分别如图甲、乙、丙、丁所示，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球和弹簧系统机械能守恒 B．空气阻力对小球做功1.2J C．图丙中x0处的弹簧弹力为8N D．图丙中b＝4，图丁中d＝4 7．（23-24高一下·上海黄浦·期末）某实验小组“用DIS研究机械能守恒定律”的实验装置如图甲所示。实验时，将摆球（连同遮光片J）每次都从同一位置M下摆，传感器K分别固定在A、B、C、D采集数据，D点为摆球通过的最低点。在一次实验中以图象方式采集数据并分析实验结果，所显示的图象如图乙所示。图象的横轴表示摆球距离D点的高度h，纵轴表示摆球的重力势能Ep、动能Ek或机械能E（不计空气阻力）。 (1)图乙中的图像表示摆球重力势能Ep随摆球距离D点的高度h变化关系的图线是（选填“Ⅰ”、“Ⅱ”或“Ⅲ”）。 (2)从图乙中的图象可以得出本实验的结论是：。 8．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，将原长为的轻弹簧置于长为的光滑水平面上，为的中点，弹簧一端固定在点，另一端与可视为质点且质量为的滑块接触。左侧为半径为的光滑半圆轨道，点与圆心等高。现将滑块压缩弹簧至点（图中未标出）后由静止释放，滑块恰好能到达轨道的最高点，重力加速度为。 (1)求弹簧被压缩至点时的弹性势能； (2)在段铺一表面粗糙的薄膜，改用质量为的滑块仍将弹簧压缩到点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的点，求滑块与薄膜间的动摩擦因数； (3)接第（2）问，求滑块在薄膜上运动的总路程。 9．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）如图所示，竖直平面内的光滑圆形轨道AB与水平轨道BCD在B点平滑相接，轨道半径为，水平轨道BC段粗糙且长度为，CD段光滑。现将轻质弹簧水平放置，一端固定在D点，处于原长时另一端恰好在C点。一质量为的小滑块从距离圆形轨道A点正上方处由静止释放，从A点沿切线无机械能损失地进入圆形轨道。小滑块视为质点，小滑块与BC段间的动摩擦因数为，重力加速度大小g取。 (1)求小滑块与弹簧相碰过程中弹簧的最大弹性势能； (2)小滑块与弹簧第一次分离后，求小滑块运动到圆形轨道上到达最大高度时对轨道的压力大小。 【素养提升】 10．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，光滑曲面轨道，光滑竖直圆轨道、水平轨道、水平传送带各部分平滑连接，水平区域足够长，圆轨道最低点B处的入，出口靠近但相互错开。现将一质量为的滑块从轨道上某一位置由静止释放，若已知圆轨道半径m，水平面的长度，传送带长度，滑块始终不脱离圆轨道，且与水平轨道和传送带间的动摩擦因数均为，传送带以恒定速度逆时针转动（不考虑传送带轮的半径对运动的影响），。 (1)若，则滑块运动至B点时对圆弧轨道的压力； (2)若时，计算滑块从释放到飞出传送带的过程中，因摩擦产生的热量Q是多少。 11．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，有一款游戏，需要游戏者通过调整管口A点坐标位置，然后压缩弹簧把小物块弹出，使物块恰好无碰撞落入下方倾角为37°的固定斜面的顶部B点，随后物块沿长L＝10m、动摩擦因数的粗糙斜面BC下滑，无障碍进入固定在斜面上的光滑圆弧曲面，最终不离开轨道BCD即通关成功。以斜面的顶端B为原点O，建立水平直角坐标系，某次调整管口A点的纵坐标为7.2m，物块以某一速度v0抛出后，恰好到达圆弧右侧D点后返回，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： (1)速度v0的大小； (2)圆弧半径R； (3)要满足整个游戏通关要求，A点坐标x与y的关系如何。 【能力培优】 12．（24-25高三上·福建龙岩·期中）如图所示，ABC为固定在竖直平面内的光滑轨道，AB段为水平轨道，BC段为圆心角θ37°、半径为2d的圆弧轨道；CD段为粗糙平直倾斜轨道，CD的长度为d，与BC段圆弧相切于C点，与滑块间的动摩擦因数，各段轨道均平滑连接。AB段的右侧有一缓冲装置，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，缓冲装置锁定时，轻杆不可移动；缓冲装置解除锁定时，轻杆可在固定的槽内移动。轻杆与槽间的滑动摩擦力fmg，轻杆向右移动不超过d时，装置可安全工作。缓冲装置解除锁定时，将一质量为m的滑块从C点由静止释放，滑块撞击弹簧后将导致轻杆向右移动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°0.6，重力加速度为g。 (1)现将缓冲装置锁定，滑块从C点由静止释放，经过圆弧轨道B点时，求轨道对滑块的支持力FN； (2)仍保持缓冲装置的锁定状态，将滑块由D点静止释放，求弹簧最大的弹性势能Ep； (3)现将缓冲装置解除锁定，在缓冲装置安全工作时，试讨论该滑块第一次被弹回后上升距B点的最大高度h与释放时距B点的高度H之间的关系。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章机械能守恒定律 课时8.4-2功能关系能量守恒定律 2020年课程标准 物理素养 2.1.4通过实验，验证机械能守恒定律。理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。 物理观念：建立“功是能量转化的量度”核心认知，理解不同力做功对应不同能量转化（如重力做功→重力势能与动能转化，摩擦力做功→机械能转化为内能），形成“能量守恒”的普适观念。能从能量视角分析复杂物理过程（如制动减速、机械运转），认识能量总量不变但形式可多样转化，构建完整的能量世界观。 科学思维：通过归纳“力做功与能量转化”的对应关系（如WG＝－△Ep)、(Wf＝－△E机），培养从特殊到一般的抽象思维；运用能量守恒定律简化多过程问题分析，通过数学建模（如能量流程图、守恒方程）提升逻辑推理能力，辩证理解“能量守恒”与“能量耗散”的区别与联系。 科学探究：设计实验验证功能关系（如测量摩擦力做功与内能增加量），经历“提出问题—设计方案—数据验证”流程，掌握控制变量法与转换法。在探究能量转化效率时（如机械装置能量损耗），通过误差分析优化实验方案，提升实证能力与创新思维。 科学态度与责任：在分析能源利用问题（如化石能源消耗、新能源开发）时，秉持严谨态度评估能量转化效率，树立“科学用能、低碳发展”的责任感。通过能量守恒定律在航天、环保等领域的应用，体会科学对社会可持续发展的推动作用，增强用科学知识解决实际问题的担当意识。 知识点一、功能关系 1.几种常见的功能关系及其表达式 力的类型 力做功 对应的能量变化 定量关系 合外力的功 W合 动能变化△Ek W合＝△Ek（动能定理） 重力的功 WG 重力势能变化△Ep WG＝－△Ep（重力做正功，势能减少） 弹簧弹力的功 W弹 弹性势能变化 △Ep弹 W弹＝－△Ep弹（弹力做正功，势能减少） 只有重力、弹簧弹力做功 WG＋W弹 机械能守恒（动能↔势能） △E机＝0（机械能守恒定律） 除重力、弹力外其他力的功 W外 机械能变化△E机 W外＝△E机（功能原理） 一对滑动摩擦力的总功 Wf总 内能变化（产热）△Q Wf总＝－△Q＝－f△x,△x为相对位移） 2.功的正负与能量增减的对应关系 ①动能：合外力做正功→动能增加；合外力做负功→动能减少。 ②势能：重力/弹力做正功→势能减少；做负功→势能增加。 ③机械能：其他力（非重力、弹力）做正功→机械能增加；做负功→机械能减少。 知识点二、能量守恒定律及应用 1.内容及表达式 （1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，总量保持不变。 （2）表达式：△E减＝△E增（减少的能量等于增加的能量，需明确能量形式如动能、势能、内能等。） 2.解题步骤 （1）确定能量形式：分析过程中涉及的能量类型（动能、重力势能、弹性势能、内能等）。 （2）判断增减情况：明确哪种能量增加，哪种能量减少，列出△E减和△E增的表达式。 （3）建立守恒方程：根据△E减＝△E增列式求解。 3.对能量守恒定律的理解 （1）能量形式转化：某种形式的能量减少，一定有其他形式的能量增加（如摩擦生热：机械能减少→内能增加）。 （2）能量物体转移：一个物体的能量减少，一定有其他物体的能量增加（如热传递：高温物体内能减少→低温物体内能增加）。 4.能量转化问题的解题思路 （1）机械能不守恒场景：若涉及摩擦力做功、空气阻力或外力做功，优先用能量守恒定律。 （2）分析流程：①确定初末状态的能量组成；②分析能量转化路径（如机械能→内能）；③利用△E减＝△E增列方程（如|△E机|＝△Q）。 5.涉及弹簧的能量问题 （1）系统机械能守恒条件：只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒（动能＋重力势能＋弹性势能总和不变）。 （2）共速条件：若系统内物体除弹簧弹力外合外力为零（如水平光滑平面），当弹簧形变量最大（最长或最短）时，各物体速度相同（动能最小，势能最大）。 知识点三、摩擦力做功与能量转化 1、两种摩擦力做功的比较 类型 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功 能量转化 只发生能量转移，不产生内能 既有能量转移，又产生内能（摩擦生热） 做功特点 ①可做正功、负功或不做功；②一对静摩擦力总功为零 ①可做正功、负功或不做功；②一对滑动摩擦力总功为负值（对应内能增加） 典型场景 传送带启动时物块与传送带间（未打滑） 木块在桌面滑动、传送带打滑时的相对滑动 2、三步求解相对滑动物体的能量问题 （1）分析运动与受力 明确各物体的运动阶段（加速、匀速、减速），画出受力示意图，确定摩擦力方向。 例：木块以初速度滑上静止传送带，受向右滑动摩擦力做匀减速，传送带受向左摩擦力做匀加速。 （2）建立速度与位移关系 利用运动学公式（如v＝v0＋at、x＝v0t＋at2）分析物体间的相对速度和位移。 关键：找出共速时刻或相对静止的临界点，计算各阶段位移x物和x传。 （3）计算能量转化 摩擦生热：Q＝fx相对，其中x相对＝|x物－x传|（相对位移）或总相对路程 s相对（往复运动时）。 机械能变化：结合功能关系，判断除重力、弹力外的摩擦力做功对机械能的影响W其他力＝△E机。 知识点四、关键公式与结论 1.动能定理： 2.功能原理： 3.能量守恒方程：△E机械＋△E内＋△E其他＝0 4.滑动摩擦力产热：Q＝f△x（△x为相对位移） 问题一：功能关系 【角度1】功能关系的理解 【典例1】（23-24高一下·河南·阶段练习）（多选）电梯的钢索发生断裂后向下坠落，为了尽量保证内部人员安全，会启动电梯安全钳加大阻力，同时在井底安装有缓冲弹簧，如图所示.已知电梯总质量为2400kg，下落过程安全钳提供给电梯的滑动摩擦力大小为，弹簧的劲度系数.整个过程的摩擦力仅考虑安全钳提供的，安全钳提供的滑动摩擦力等于最大静摩擦力，不考虑弹簧自重及其他阻力，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度。则下列说法正确的是（    ） A．电梯从开始坠落至压缩弹簧到最低点的过程，重力势能与动能的减少量之和与弹簧的弹性势能增加量大小相等 B．电梯从开始坠落至压缩弹簧到最低点的过程，重力势能与动能减少量之和的大小大于弹簧的弹性势能增加量 C．电梯与弹簧刚接触时的动能最大 D．电梯下落过程速度最大时，弹簧的压缩量为40cm 【答案】BD 【解析】AB．根据能量守恒，重力势能与动能减少量应等于弹性势能与内能的增加量，A错误，B正确； CD．动能最大时，速度最大，即加速度为零，由平衡条件有 解得 C错误，D正确。 故选BD。 解法通则 （1）明确研究对象与力的类型： ①单个物体：分析合外力、重力、其他力（如拉力、摩擦力）。 ②系统：关注内力（如弹簧弹力）与外力（如阻力）。 （2）判断能量转化路径： ①机械能是否守恒（仅重力/弹力做功则守恒，否则用功能关系）。 ②涉及摩擦生热用Q＝fx相对计算内能。 （3）列式求解： ①守恒场景：E初＝E末（机械能守恒）。 ②非守恒场景：△E增＝△E减＋W外（能量守恒）。 （4）易错点规避 ①混淆功能关系对应力：重力做功对应重力势能变化，而非机械能！其他力做功才影响机械能。 ②相对位移与对地位移：滑动摩擦力生热用相对位移，单个摩擦力做功可能用对地位移（如传送带对物块的摩擦力做功）。 ③能量转化的方向性：势能减少量＝对应力做的正功，机械能增加量＝其他力做的正功。 （5）口诀辅助 合外力功看动能，重力弹力看势能；其他力功机械能，摩擦生热相对程。 守恒与否先判断，路径清晰再计算；相对位移算热量，功能关系破难题。 【变式1-1】（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）（多选）如图所示，一小球用轻质细线悬挂在木板的支架上，木板沿倾角为的斜面下滑时，细线呈竖直状态。则在木板下滑的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．木板沿斜面做匀加速运动 B．木板、小球组成的系统机械能守恒 C．木板与斜面间的动摩擦因数为 D．木板、小球组成的系统减少的机械能转化成了内能 【答案】CD 【解析】A．因拉小球的细线呈竖直状态，所以小球受到重力和竖直向上的拉力，在水平方向没有分力，所以小球在水平方向没有加速度，结合小球沿斜面向下运动，所以小球一定是匀速下滑，而木板与小球的运动状态相同，故A错误； B．木板与小球的运动状态相同，均沿斜面匀速下滑，所以木板、小球组成的系统动能不变，重力势能减小，机械能不守恒，故B错误； C．木板与小球下滑过程中满足 即木板与斜面间的动摩擦因数为 故C正确； D．由能量守恒知，木板、小球组成的系统减少的机械能转化为内能，故D正确。 故选CD。 【变式1-2】（多选）下列说法中正确的是（　　） A．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功 B．功是矢量，正、负表示方向 C．功是能量转化的量度，通过做功可以使一种形式的能转化为另一种形式的能 D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量 【答案】ACD 【解析】AB．功只有大小，没有方向，所以功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功，故A正确，B错误； C．功是能量转化的量度，通过做功可以使一种形式的能转化为另一种形式的能，故C正确； D．根据公式，l是位移大小，力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量，故D正确。 故选ACD。 【角度2】功能关系与图像结合 【典例2】（2025·陕西宝鸡·二模）（多选）如图甲所示，在倾角为的斜面上放一轻质弹簧，其下端固定，静止时上端位置在B点。质量为m的小物块在A点由静止释放，开始运动的一段时间内的图像如图乙所示。小物块在0.8s时运动到B点，在1.0s时到达C点（图中未标出），在1.3s时到达D点，经过一段时间后又回到B点，且速度不为零。重力加速度为g，由图可知（　　） A．在整个运动过程中，小物块和弹簧的系统机械能减小 B．从A点运动到D点的过程中，小物块在C点时弹簧的弹力为 C．从B点运动到D点的过程中，小物块的加速度不断减小 D．小物块第一次经过B点的加速度值小于第二次经过B点的加速度值 【答案】AD 【解析】A．从A点运动到B点的过程，根据图像有 令物块与斜面之间的滑动摩擦力大小为f，根据牛顿第二定律有 解得 由于有滑动摩擦力的存在，可知，在整个运动过程中，小物块和弹簧的系统机械能减小，故A正确； B．小物块在C点速度最大，此时物块所受外力的合力为0，则有 解得 故B错误； C．图像斜率的绝对值表示加速度大小，根据图像可知，从B点运动到D点的过程中，小物块的加速度大小先减小后增大，故C错误； D．小物块第一次经过B点时，滑动摩擦力方向沿斜面向上，合力等于重力沿斜面分力与滑动摩擦力之差，小物块第二次经过B点时，滑动摩擦力方向沿斜面向下，合力等于重力沿斜面分力与滑动摩擦力之和，根据牛顿第二定律可知，小物块第一次经过B点的加速度值小于第二次经过B点的加速度值，故D正确。 故选AD。 （1）图像类型识别 ①常见图像：F-x（力-位移）、v-t（速度-时间）、Ek-x（动能-位移）、Ep-x（势能-位移）、E机-t（机械能-时间）。 ②关键信息： 斜率：如F-x图线与横轴围成面积表示功，Ek-x斜率为合外力。 截距：初态能量或位移为零时的力/能值。 交点/极值点：能量转化临界点（如共速、最高点）。 （2）功能关系与图像对应 图像类型 功能关系应用 F-x图 ①图线面积求力做的功（）；②结合动能定理求动能变化。 v-t图 ①斜率求加速度→合外力；②面积求位移→结合摩擦力求内能（）。 Ek-x图 ①斜率为合外力（）；②初末值差为合外力功。 E机-t图 ①斜率为其他力功率（）；②下降段对应机械能损失（如摩擦）。 （3）解题步骤 ①明确图像物理意义：标注横纵轴物理量、单位、斜率/面积含义。 ②提取关键数据： 特殊点：起点、终点、转折点（如速度为零、斜率突变点）。 数值关系：功的大小（面积）、能量变化量（坐标差）。 ③联立功能关系公式： 动能定理：W合＝△Ek（结合F-x或v-t图）。 机械能变化：W外＝△E机（结合E机-t图）。 摩擦生热：Q＝fx相对（结合v-t图中相对位移）。 （4）易错点规避 ①图像斜率正负：负斜率表示力与位移方向相反（如摩擦力做负功）。 ②相对位移计算：\(v-t\)图中相对位移为两物体图线间面积绝对值，非对地位移差。 ③能量守恒验证：图像中能量增减应符合△E减＝△E增（如机械能减少量＝内能增加量）。 （5）口诀总结 图像先看轴和点，斜率面积藏技巧；功变能量看对应，相对位移算热好。 分段分析转折点，功能关系联立妙；数据代入需谨慎，守恒验证不可少。 【变式2-1】（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）（多选）传送带经常用于分拣货物。如图甲为传送带输送机简化模型图，传送带输送机倾角，顺时针匀速转动，在传送带下端点无初速度放入货物。货物从下端点运动到上端点的过程中，其机械能与位移的关系图像（以位置所在水平面为零势能面）如图乙所示。货物视为质点，质量，重力加速度。下列说法正确的是（    ） A．货物在传送带上先匀加速再匀减速 B．货物与传送带间的动摩擦因数 C．货物从下端点运动到上端点的时间为 D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为 【答案】BC 【解析】A．由图像易得，货物在传送带上先加速，再匀速运动，A错误； B．根据功能关系有 可得货物与传送带间的动摩擦因数为 B正确； C．货物沿传送带向上运动时，与传送带保持相对静止，此时有 解得传送带速度为 设货物加速过程所用时间为，根据运动学公式可得 解得 设A点到B点的距离为L，货物在B点时则有 解得 则货物匀速阶段所用时间为 货物从下端A点运动到上端B点的时间为 C正确； D．货物在与传送带共速前，发生的相对位移为 因摩擦产生的热量为 根据能量守恒可知传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为 D错误。 故选BC。 【变式2-2】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选）如图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员的动能或合外力大小F随时间t变化的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】运动员在MN段做匀加速直线运动，合外力为 运动员的动能 运动员在NP段做匀速直线运动，合外力为零，运动员动能不变，运动员在PQ段做平抛运动，合外力为 设经时间运动员到达P点，运动员在P点的速度为，运动员的动能 故在MN段的合外力小于在PQ段的合外力，动能与时间成二次函数关系。 故选BC。 【角度3】摩擦力做功与能量转化 【典例3】（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图所示，长木板AB置于水平面上，板长为L，板的B端放置质量为m的小物块。现将板绕A端由静止开始在竖直平面内转动角时，物块的速度为v，物块始终保持与板相对静止，重力加速度为g，则在上述转动过程中（　　） A．重力对物块做的功为 B．摩擦力对物块做的功为 C．弹力对物块做的功为0 D．板对物块做的功为 【答案】D 【解析】A．重力对物块做的功为 故A错误； B．小物块始终保持与板相对静止，在这个过程中物块所受的为静摩擦力，静摩擦力的方向总是与速度的方向垂直，则摩擦力对物块做的功为零，故B错误； C．根据动能定理可知 解得弹力对物块做的功为 故C错误； D．根据动能定理可知，合力对物块做的功为，重力对物块做的功为，则板对物块做的功为，故D正确。 故选D。 （1）摩擦力分类与核心规律 类型 做功特点 能量转化 关键公式 静摩擦力 可做正/负功，系统内总功为零 机械能转移（无内能产生） W静＝fx对地 滑动摩擦力 对单物体可做功，系统内总功为负 机械能→内能（生热） Q＝fx相对 （2）解题三步法 ①判类型，定对象： 单个物体：分析摩擦力对其做的功（Wf＝fx对地）。 多物体系统：用相对位移求内能（x相对＝|x1－x2|）。 ②析运动，找位移： 画运动过程图，标注初末速度、对地位移(x对地)和相对位移(x相对)。 例：滑块滑上木板，共速时相对位移为板长L，生热(Q＝fL)。 ③联规律，列方程： 动能定理（单物体）：W合＝△Ek（含摩擦力的功）。 能量守恒（系统）：△E机械＝－Q（机械能减少量＝内能增加量）。 （3）易错点提醒 ①静摩擦力不生热，仅转移能量（如人走路时静摩擦不做功）。 ②滑动摩擦力对单个物体可能做正功（如传送带带动物体加速），但系统内必生热。 ③相对位移方向：与摩擦力方向相反（如滑块向右滑，木板受摩擦力向右，相对位移向左）。 （4）口诀记忆 摩擦生热看相对，单物做功对地位；系统能量守恒用，机械减少内增替。 板块共速临界算，传送带上路程计；正负功看夹角角，方向位移要对齐。 【变式3-1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，薄板B放在倾角为30°的光滑斜面上，斜面固定且足够长，薄板的下端位于斜面底端，上端通过轻绳与固定在地面上的电动机连接，轻绳跨过定滑轮，定滑轮质量与摩擦均不计，斜面上方的细绳与斜面平行。时刻，一小物块A从薄板上端由静止释放的同时，薄板在电动机带动下由静止开始沿斜面向上做加速度m/s2的匀加速直线运动。已知薄板长m，小物块A的质量kg，薄板B的质量kg，A、B间的动摩擦因数。下列说法正确的是（　　） A．从到小物块A离开薄板前，细绳对薄板B的拉力为15N B．小物块A离开B板时的速度为m/s C．从开始到A、B分离的过程中电动机对B板所做的功为J D．从开始到A、B分离的过程中，小物块A与薄板B之间因摩擦产生的内能为J 【答案】C 【解析】A．对薄板，根据牛顿第二定律 代入数据得 N 故A错误； B．对A，根据动能定理 当时 m/s 因为 所以 m/s 故B错误； C．A在薄板上运动的加速度大小 m/s2 根据 得小物块A在薄板B上运动时间 s 此时A、B的速度为 m/s m/s 电动机对B做的功为 J 故C正确； D．小物块A与薄板B之间因摩擦产生的内能 故D错误。 故选C． 【变式3-2】（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图所示，原长为的轻质弹簧，一端固定在点，另一端与一质量为的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数恒定不变。杆上M、N两点与点的距离均为，P点为中点，重力加速度大小为。小球以某一初速度从点向下运动到点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．从点到点的运动过程中，小球动能的变化量等于摩擦力所做的功 B．从点到点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大 C．小球在M、N两点的加速度不相等 D．从点到点和从点到点的运动过程中，小球、地球和弹簧组成的系统机械能的减少量相同 【答案】D 【解析】A．杆上M、N两点与点的距离均为，等于弹簧原长。从点到点的运动过程中，由对称性可知弹簧弹力先做负功，后做正功，弹簧弹力做的总功为零。由动能定理，小球动能的变化量等于重力做的功与摩擦力所做的功的代数和，故A错误； B．在MN之间任取一点A，令AO与MN之间的夹角为，设长度为，则此时弹簧的弹力为 小球受到的摩擦力为 化简得 在MP之间先增大，在PN之间变小，先增大后减小，即摩擦力先变大后变小，故B错误； C．小球在M、N两点只受重力，由牛顿第二定律，小球在两点的加速度相等，都等于重力加速度，故C错误； D．根据对称性可知在任意关于P点对称的点摩擦力大小相等，因此由对称性可知M到P和P到N摩擦力均做负功，且做功大小相等，从点到点和从点到点的运动过程中，小球、地球和弹簧组成的系统机械能的减少量相同，故D正确。 故选D。 问题二：能量守恒定律及应用 【角度1】应用能量守恒定律定性分析 【典例4】（2023·江苏南通·模拟预测）网上热卖的一款“钢球永动机”如图所示。小球从平台中心小孔P由静止下落，经小孔下方快速旋转的传动轮加速后，由Q点抛出并落回平台，每次轨迹如图中虚线所示。则（　　） A．该“钢球永动机”不违背能量守恒定律 B．小球在空中上升过程中，处于超重状态 C．小球在空中上升过程中，速度变化的方向竖直向上 D．小球在空中上升过程中，克服重力做功的功率恒定 【答案】A 【解析】A．钢球运动中因摩擦力、空气阻力造成的机械能损失，由小孔下方快速旋转的传动轮补充，该“钢球永动机”不违背能量守恒定律，故A正确； B．小球在空中上升过程中，加速度向下，处于失重状态，故B错误； C．小球在空中上升过程中，由，可知速度变化的方向与加速度方向相同，加速度方向向下，故C错误； D．小球在空中上升过程中，重力做功的功率 由于竖直方向上速度大小变化，所以克服重力做功的功率不恒定，故D错误。 故选A。 （1）抓“三态”“两变化” ①明确研究系统： 确定是否包含重力、弹簧弹力外的力（如摩擦力、电场力等）。 ②分析能量形态： 机械能（动能Ek、重力势能Ep、弹性势能E弹）。 其他能量（内能Q、电能E电、化学能等）。 ③判断能量转化方向： 机械能内部转化：只有重力/弹力做功，机械能守恒。 机械能与其他能转化：有摩擦力、电场力等做功，需定量计算转化量。 （2）解题三步法 ①定系统，判守恒条件： 若系统只有保守力（重力、弹力）做功→ 机械能守恒，直接用E初＝E末。 若有其他力做功→ 能量守恒，用△E减＝△E增（减少的能量＝增加的能量）。 ②列能量转化链： 例：滑块在木板上滑动停下：动能（摩擦力做功）→内能（生热Q) ③定性推理结论： 关注能量“来源”与“去向”，忽略中间过程细节。 ④常见逻辑： 摩擦力做功→机械能减少，内能增加。 电场力做正功→电势能减少，动能增加。 弹簧压缩/伸长→弹性势能与动能相互转化。 （3）易错点规避 ①混淆系统与单个物体： 单个物体能量变化需考虑外力做功（如拉力对物体做功，其机械能不守恒）。 ②忽略隐性能量转化： 爆炸过程：化学能→动能＋内能；碰撞过程：动能→内能（非弹性碰撞）。 ③错误判断做功正负： 力与位移夹角<90°做正功（能量增加），>90°做负功（能量减少）。 （4）口诀记忆 先定系统看做功，保守力在机守恒；其他力来能量变，增减相等要记清。 能量流向分清楚，摩擦生热必记住；转化前后总量定，定性分析快准行。 【变式4-1】如图所示，某同学将带弹簧的圆珠笔倒置，在桌面上竖直向下压紧弹簧，突然松手，圆珠笔竖直向上弹起。对于圆珠笔（含弹簧），下列说法正确的是（　　） A．向下压缩弹簧的过程中，笔的机械能守恒 B．笔竖直向上运动的过程中机械能守恒 C．圆珠笔刚离开桌面时动能最大 D．换用不同的弹簧，只要压缩量相同，笔上升的最大高度相同 【答案】B 【解析】A．向下压缩弹簧的过程中，手对圆珠笔做功，所以笔的机械能不守恒，故A错误； B．笔竖直向上运动的过程中，只有弹簧弹力和重力做功，笔的机械能守恒，故B正确； C．圆珠笔向上运动的某一时刻，重力和弹簧弹力平衡，这一时刻速度最大，但此时，笔还没有离开桌面，故C错误； D．由机械能守恒定律可得，换一弹簧，当压缩量相同时，弹性势能不同，故最大高度不同，故D错误。 故选B。 【变式4-2】（24-25高三上·广东·期末）（多选）如图所示，圆心为O、半径为R的光滑半圆弧槽固定在水平地面上，一根轻橡皮筋一端连在可视为质点的小球上，另一端连在距离O点正上方R处的P点。小球放在与O点等高的槽口A点时，轻橡皮筋处于原长。现将小球从A点由静止释放，小球沿圆弧槽ABC运动，当运动到最低点B时对圆弧槽的压力恰好为零。已知小球的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力。则小球从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球运动到B点时，橡皮筋的弹力大于 B．橡皮筋弹力做功的瞬时功率逐渐变大 C．小球重力做的功等于小球动能的增加量 D．小球机械能的减少量等于橡皮筋弹性势能的增加量 【答案】AD 【解析】A．当运动到最低点B时对圆弧槽的压力恰好为零，设小球运动至最低点B时速度为v，据牛顿第二定律可得 可知橡皮筋的弹力F大于重力mg，故A正确； B．根据PFv 开始时v0，P0 在最低点时F与v垂直，P0 故橡皮筋弹力做功的功率先变大后变小，故B错误； C．小球运动过程中，由于橡皮筋弹性势能增大，故小球重力势能的减少量大于小球动能增加量，故C错误； D．小球和橡皮筋组成的系统机械能守恒，故小球运动过程中，机械能的减少量等于橡皮筋弹性势能的增加量，故D正确。 故选AD。 【角度2】利用能量守恒解决实际问题 【典例5】（2025·浙江台州·二模）（多选）如图为位于新疆哈密的熔盐塔式光热发电站，电站中有约14000块五边形定日镜随太阳转动，每块约50平方米，定日镜将吸收的阳光反射到中心位置的吸热塔上。太阳落山后，熔盐继续放热保证24小时不间断发电。已知地球的半径R＝6400km，地球到太阳的距离r＝1.5×1011m，太阳能照射到地球上时，有约30％在穿过大气层的过程中被云层或较大的粒子等反射，有约20％被大气层吸收，现测得在地球表面垂直太阳光方向每平方米面积上接收到太阳能的平均功率为P＝6.8×102W。哈密全年日照时数约3400小时，该电站已实现年供电2.0×108kW·h，可供24万人一整年的生活用电。已知我国燃煤电厂平均每发一度电，消耗的煤炭约为300克。则（    ） A．该电站每年可节约煤炭约6000万吨 B．该电站光能转化为电能的效率约为12% C．太阳辐射能量的总功率约为7.0×1017W D．太阳辐射能量中只有二十二亿分之一到达地球大气层上表面 【答案】BD 【解析】A．年供电2.0×108kW·h，每度电耗煤300克，节约煤炭的质量为 所以可节约煤炭约6万吨，故A错误； B．定日镜总面积 地球表面单位面积接收到太阳能的平均功率为 定日镜接收的光能为 提供的电能为 光能转化为电能的效率，故B正确； C．地球大气层上表面每平方米接收功率为 太阳辐射的总功率为，故C错误； D．地球大气层上表面接收到的功率 所以到达大气层的能量占总的太阳能的比例为 即二十二亿分之一，故D正确。 故选BD。 【变式5-1】（2025·广东·一模）图甲是风力发电机的发电原理简化图，水平风力推动叶片转轴a低速旋转，通过齿轮升速箱使转轴b高速旋转，驱动发电机的线圈同步转动，实现将机械能转化为电能的过程。某型号的风力发电机叶片旋转半径为40m，调整其叶尖速比（叶片尖端线速度与自然风速的比值），可以优化发电效率。 (1)已知自然风速为20m/s，叶尖速比为4时，转轴b的转速为，求齿轮升速箱使转轴b的转速提高到a的多少倍； (2)线圈发电功率与自然风速的关系如图乙，自然风可认为垂直叶片组所在平面吹入，叶片旋转一圈所扫过的面积为风吹入的有效面积，已知空气密度为，取。当风速为10m/s时，求： ①1min内通过有效面积的风的总动能； ②该风力发电机的发电效率。 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）根据题意有 又，， 联立并代入数据，解得 （2）①有效面积 在t时间内通过叶片的风的总质量 t时间内通过叶片的风的总动能 联立并代入数据，解得内风的总动能 ②发电效率 内发电量 由图乙可知 联立并代入数据，解得 【变式5-2】（24-25高二上·浙江台州·期末）一台热水器的聚热面积约，若每天相当于太阳直射热水器，太阳能的20%可转化为水的内能，已知太阳辐射的总功率约为，太阳与地球之间的距离约为，阳光垂直射到地面附近的能量约为太阳辐射到地球能量的一半。则下列说法正确的是（　　） A．太阳垂直射到地面附近单位面积的辐射功率约为 B．这台热水器单位时间聚集的太阳能最多约为700J C．这台热水器一天内最多能利用的太阳能约为 D．这台热水器全年内最多转化的水的内能约为 【答案】C 【解析】A．太阳垂直射到地面附近单位面积的辐射功率，故A错误； B．由题意可知，这台热水器单位时间聚集的太阳能最多为，故B错误； C．根据题意，这台热水器一天内最多能利用的太阳能为，故C正确； D．根据题意，这台热水器全年内最多转化的水的内能约为，故D错误。 故选C。 【角度3】能量守恒定律的简单应用 【典例6】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）如图，水平轨道的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切于B点，右端与一倾角为的光滑斜面在C点平滑连接（即物体经过C点时速度大小不变），斜面顶端固定一轻质弹簧。一质量为的滑块（可视为质点）从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点。已知光滑圆弧轨道的半径为，水平轨道长为，与滑块间的动摩擦因数为，光滑斜面部分长为，不计空气阻力，重力加速度大小为。 求： (1)滑块第一次经过光滑斜面上的C点时，滑块速度的大小； (2)滑块到达D点时，弹簧具有的弹性势能； (3)滑块在水平轨道上停止的位置距B点的距离及滑块经过C点的次数。 【答案】(1) (2) (3)，6次 【解析】（1）滑块从A点到C点，由动能定理可得 可得滑块第一次经过光滑斜面上的C点时，滑块速度的大小为 （2）滑块到达D点时，设弹簧具有的弹性势能为，滑块从A点到D点，由功能关系可得 代入数据解得 （3）由于圆弧轨道和斜面均光滑，所以滑块最终停止在水平轨道BC间，设滑块在BC段运动的总路程为s，从滑块第一次经过B点到最终停下来的全过程，由动能定理可得 解得 则有 故滑块经过C点6次，最后距离B点的距离为 （1）核心步骤：抓“初末状态”与“能量形式” ①确定研究系统：明确是否包含重力、弹力外的物体（如涉及摩擦、电机等）。 ②罗列能量形式： 机械能：动能（Ek）、重力势能（Ep）、弹性势能（E弹）。 其他能：内能（Q）、电能（E电）、化学能（E化）等。 ③写出守恒方程：△E减＝△E增(减少的能量＝增加的能量) （2）典型场景解法 场景 能量转化关系 守恒方程示例 自由落体/抛体运动 重力势能→动能（无其他能量介入） mgh＝mv2 滑块在水平面滑行 动能→内能（摩擦力做功） mv2＝μmgx 弹簧压缩/弹开 动能↔弹性势能（忽略摩擦） mv2＝kx2 电动机提升物体 电能→机械能（动能＋重力势能）＋内能 W电＝mgh＋mv2＋Q 燃烧/爆炸过程 化学能→动能＋内能＋光能等 E化＝△Ek＋Q＋…… （3）解题关键点 ①忽略次要能量：题目未提及的能量形式（如光能、声能）可忽略，仅保留主要转化。 ②相对量与绝对量： 势能变化用相对量（如△Ep＝mg△h），无需设定零势能面。 动能变化用绝对量△Ek＝m（v22－v12）。 ③功与能量转化对应： 摩擦力做功→对应内能（Q＝fx相对）。 （4）易错规避 ①漏算能量形式：例如碰撞问题中忽略内能损失，需明确是否为弹性碰撞（机械能守恒）。 ②混淆系统边界：单个物体机械能不守恒时，需将做功的外力来源纳入系统（如“物体＋地球＋电机”）。 ③符号错误：能量减少量取正值，增加量也取正值，直接列等式（如△E机减＝Q增）。 （5）口诀总结 初末状态能量清，形式转化要辨明；减少增加等式列，关键抓住守恒量。 摩擦生热相对程，势能变化看高度；电能化学能细审，简单应用快解成。 【变式6-1】（24-25高一下·湖北·期中）（多选）如图所示，质量为m的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量为的物体乙用轻绳跨过光滑的定滑轮与小球甲连接，开始用手托住物体乙，使滑轮左侧绳竖直，右侧绳与水平方向夹角为，轻绳刚好伸直但无拉力，某时刻由静止释放物体乙（距离地面足够高），经过一段时间小球甲运动到Q点，两点的连线水平，，且小球甲在两点处时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为g，弹簧弹性势能表达式为劲度系数，x为形变量，，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数 B．小球甲位于O点时的速度大小 C．在小球甲从P点上升到中点的过程中，甲乙总机械能增加量为 D．在小球甲从P点上升到中点的过程中，甲乙总机械能增加量为 【答案】BC 【解析】A．小球甲在P、Q两点处时弹簧的弹力大小相等，可知在两点的弹簧的形变量相等，因 则在P点时弹簧的压缩量为 由胡克定律 解得 选项A错误； B．小球甲位于Q点时，乙的速度为零，则由能量关系 解得小球甲的速度大小 选项B正确； CD．在小球甲在PQ的中点时弹簧的形变量为零，则小球甲从P点上升到PQ中点的过程中，甲乙总机械能增加量等于弹性势能的减小量，即 选项C正确，D错误。 故选BC。 【变式6-2】（24-25高三下·广东·开学考试）（多选）如图，竖直面内有一固定的半径为R、表面粗糙程度不同的圆弧轨道，其圆心O与A点等高。一小物块以恒定的速率v0沿轨道自A点运动到B点，圆弧AP与圆弧PB长度相等。小物块从A到B运动过程，下列说法正确的是（　　） A．小物块所受重力的功率越来越大 B．小物块对轨道的压力越来越大 C．小物块与圆弧轨道间动摩擦因数越来越大 D．小物块在AP段产生的内能比PB段产生的内能大 【答案】BD 【解析】A．对物块受力分析，根据 θ从0°增加到90°，因此小物块所受重力功率越来越小，故A错误； B．对物块受力分析，如图所示 根据牛顿第二定律可得 解得 θ从0°增加到90°，FN越来越大，故B正确； C．因为小物块恒定的速率运动，故切线方向上合力为零，因此有 可得 结合上述分析可知，μ越来越小，故C错误； D．由于从A到P重力做功大于从P到B重力做功，根据功能关系，小物块在AP段产生的内能比PB段产生的内能大，故D正确。 故选BD。 【角度4】能量守恒与传送带结合 【典例7】（2025·河南焦作·二模）（多选）如图所示，质量为可视为质点的物件与传送带之间的动摩擦因数为，传送带倾角为，上、下两端点、间的距离为。传送带顺时针匀速转动，速度大小为，物件轻放于点后运动至点时达到最大速度，之后做匀速运动至点，然后电机紧急制动使传送带立即静止不动，物件恰好能到达最高点。已知重力加速度为，则下列叙述正确的有（　　） A．段长为 B．段传送带装置输出功率为 C．物件从到运行的时间为 D．全过程物件增加的机械能和摩擦产生的热量之比为 【答案】AC 【解析】A．物件在CD段运动过程中，由牛顿第二定律,得 由运动学公式 联立解得 故正确； B．物件在BC段匀速运动，由功能关系可知传送带输出的机械能等于物件机械能增加量，因此 故错误； D．全过程物件增加的机械能为 整个过程，物件与传送带摩擦产生的内能包括，物件在AB段加速运动过程中，由牛顿第二定律，得 对物块，根据速度-位移公式，有 对传送带，有 运动时间为 物块相对传送带的路程 联立解得 减速过程，由牛顿第二定律，得 相对路程 产生内能为 所以可知 故D错误； C．物件从B到C运行的时间 故C正确。 故选AC。 （1）核心模型与能量转化 ①传送带分类： 水平传送带：动能↔内能（摩擦生热）。 倾斜传送带：动能＋重力势能↔内能＋电能（电机做功）。 ②关键能量关系： 电机做功(W电）＝物体机械能增量（△Ek＋△Ep）＋摩擦生热（Q）。 摩擦生热Q＝fx相对（x相对为物块与传送带相对路程）。 （2）解题三步法 ①运动分析： 确定物块运动阶段（加速/匀速），画出v-t图，标注传送带速度v0、物块初速度v1、共速时间t。 例：物块初速为零滑上水平传送带，经时间t与传送带共速v0，则： 物块位移x1＝v0t，传送带位移x2＝v0t，相对位移x相对＝x2－x1＝v0t。 ②能量定量计算： 动能增量：△Ek＝mv02－mv12。 重力势能增量（倾斜传送带）：△Ep＝mgh（h为高度差）。 摩擦生热：Q＝μmgx相对（μ为动摩擦因数）。 ③能量守恒列式：W电＝△Ek＋△Ep＋Q（水平传送带无△Ep，倾斜传送带需包含） （3）典型场景公式 场景 能量守恒方程 关键结论 水平传送带（物块静止启动） W电＝mv02＋μmg·v0t 电机做功＝物块动能＋生热，且Q＝△Ek（因△Ek＝mv02\)，故W电＝2△Ek 倾斜传送带（物块与传送带共速） W电＝mgh＋mv02＋μmgcosθ·x相对 需克服重力做功，生热与相对位移成正比 物块从传送带滑离（未共速） W电＝mv2＋mg△h＋μmgL（L为传送带长度） 相对位移取传送带长度，生热Q＝μmgL （4）易错点规避 ①相对位移方向：无论物块加速或减速，x相对取绝对值（如物块滑离时，相对位移为传送带长度）。 ②静摩擦不生热：物块与传送带共速后，静摩擦力不做功，无能量转化。 ③多段运动处理：若物块在传送带上先加速后匀速，生热仅计算加速阶段的相对位移。 （5）口诀总结 传送带上看运动，共速前后分清楚；相对位移算热量，电机做功包三者。 水平只算动与热，倾斜再加势能步；能量守恒方程列，变量代入解无误。 【变式7-1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）（多选）如图甲所示，足够长的水平传送带以恒定速率逆时针转动，一质量为的小物块从传送带的左端向右滑上传送带。小物块在传送带上运动时，小物块的动能与小物块的位移的关系图像如图乙所示，图中，取重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．小物块滑上传送带的初速度大小为 B．从小物块开始滑动到滑离传送带所需时间为 C．整个过程中小物块与传送带之间因摩擦而产生的热量为 D．由于小物块的出现导致传送带电动机多消耗的电能为 【答案】BD 【解析】A．由图乙可知，图像斜率的绝对值表示合外力的大小，小物块向右滑动过程，合外力为摩擦力 则有 根据动能的表达式有 物块返回与传送带共速的动能为，则有 联立解得小物块滑上传送带的初速度大小为 初始动能为 滑动摩擦因数为 故A错误； B．小物块与传送带共速前，根据牛顿第二定律，有 解得小物块的加速度大小为 从小物块开始滑动到与传送带达到共同速度所需时间为t，则有 解得 从小物块开始滑动到与传送带达到共同速度过程，小物块向右运动的位移大小为 共速后至滑离传送带的过程做匀速运动，则所需时间 全过程时间为 故B正确； C．从小物块开始滑动到与传送带达到共同速度过程，小物块向右运动的位移大小为 传送带向左运动的位移大小为 则整个过程中小物块与传送带相对位移大小为 整个过程中小物块与传送带因摩擦产生的热量为 故C错误； D．根据能量守恒可得 可得整个过程中电动机多消耗的电能为 故D正确。 故选BD。 【变式7-2】（24-25高三下·湖南郴州·开学考试）如图所示，一倾角为的倾斜传送带以的速度顺时针匀速转动。现将一质量为的物体（可看成质点）轻放在传送带的顶端A点，物体从A点运动到传送带底端点，离开点时的速度大小为。已知物体与传送带间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。在物体从A点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．传送带的长度可能为 B．若传送带的长度为，则摩擦力对物体做的功为 C．若传送带的长度为，则摩擦力对传送带做的功为 D．若传送带的长度为，则因摩擦而产生的热量为 【答案】C 【解析】A．物体相对传送带上滑时，根据牛顿第二定律可知，此时物体的加速度大小为 物体与传送带间的动摩擦因数 故物体与传送带间的最大静摩擦力大于重力沿传送带向下的分力，物体离开B点时的速度大小为5m/s，故物体可能一直加速运动或者先加速后匀速运动，若一直加速运动，则传送带的长度 若先加速后匀速运动，则传送带的长度必然大于1m，故A错误； B．若传送带的长度，则根据动能定理有 解得摩擦力对物体做的功 故B错误； C．若传送带的长度为3m，则物体运动的时间 物体匀加速运动阶段，传送带的位移 匀速运动阶段，传送带的位移 根据受力分析可知，前2m物体对传送带的摩擦力沿传送带向上，后2m物体对传送带的摩擦力沿传送带向下，则摩擦力对传送带做的功 故C正确； D．若传送带的长度为3m，则因摩擦而产生的热量 其中，相对运动距离 解得 故D错误。 故选C。 【角度5】能量守恒定律测量动摩擦因数 【典例8】（2025·重庆·模拟预测）某兴趣小组用如图甲所示的装置测量物块与桌面的动摩擦因数，粗糙水平桌面的右边缘点与一个斜面顶端重合于O点，实验步骤如下： ①将轻弹簧的一端固定在水平桌面左侧的墙面上，另一端与物块接触但不拴接； ②用外力把物块压缩至P点由静止释放，物块从O点水平飞出后落到斜面上，测得物块的质量m及落点到O点的距离x； ③使用质量不同、与桌面动摩擦因数相同的物块重复步骤②； ④利用以上所测数据得到如图乙所示的图像。已知图像的斜率为k，纵坐标截距为b，空气阻力忽略不计。        (1)物块在桌面上运动时，物块和弹簧组成的系统机械能（填“守恒”或“不守恒”）； (2)为了测量物块与桌面的动摩擦因数，还需要测量的物理量有______； A．O点与P点之间的距离L B．当地的重力加速度g C．弹簧的原长 D．斜面的倾斜角 (3)物块与桌面的动摩擦因数为（用（2）中所选的物理量符号和k、b表示）。 【答案】(1)不守恒 (2)AD (3) 【解析】（1）由于存在摩擦力，系统的机械能不守恒； （2）设弹簧初始的弹性势能为，物体离开桌面的速度为，由能量守恒有 由平抛运动规律有， 整理为 因此需要测量L和。 故选AD。 （3）结合以上函数关系式，可知图像纵截距、斜率分别为， 解得 （1）利用能量守恒定律，通过 机械能减少量 与 内能增加量（摩擦生热） 相等建立方程，求解动摩擦因数μ。 （2）通用解题步骤 ①明确研究过程：确定物体从 起点到终点 的运动路径（如水平滑行、斜面下滑等）。 ②分析能量形式： 机械能：初动能Ek1、末动能 Ek2、重力势能变化△Ep。 内能：摩擦生热Q＝μmgx摩擦(x摩擦 为接触面间路程）。 ③列能量守恒方程：△E机械减＝Q,即(Ek1＋△Ep)－Ek2＝μmgx摩擦 ④求解μ：整理方程，代入已知量计算。 （3）口诀总结 能量守恒测摩擦，机械减少热来补；水平动能换内能，斜面势能分两处。 公式列准路程对，变量代入单位符；实验数据细分析，动摩擦数轻松出。 【变式8-1】（2024·辽宁·三模）利用如图甲所示的装置探究轻弹簧的弹性势能。弹簧的左端固定，右端与小滑块接触但不连接，小滑块位于桌面边缘时弹簧恰好处于原长。向左推小滑块移动距离s后，由静止释放，小滑块向右移动离开桌面落到水平地面上。测出桌面到地面高度h，桌边到小滑块落地点的水平距离x。重力加速度为g，则： (1)小滑块离开桌面时的速度大小为； (2)若改变滑块的质量m，仍将弹簧压缩s后由静止开始释放滑块，测出不同滑块离开桌面后的水平距离x，作的关系图像如图乙所示。图像的斜率为k，与纵轴的截距为b，则弹簧压缩s时的弹性势能为； (3)本实验中滑块与桌面间动摩擦因数为，桌面有摩擦对计算弹簧的弹性势能结果（选填“有影响”或“无影响”）。 【答案】(1) (2) (3)无影响 【解析】（1）小滑块离开桌面后做平抛运动，设小滑块离开桌面时的速度大小为，竖直方向有 水平方向有 联立解得 （2）设弹簧压缩s时的弹性势能为，滑块与桌面间动摩擦因数为，根据能量守恒可得 又 联立可得 可知图像的斜率为 解得弹簧压缩s时的弹性势能为 （3）[1]根据 可得 解得滑块与桌面间动摩擦因数为 [2]桌面有摩擦，不影响图像的斜率，所以桌面有摩擦对计算弹簧的弹性势能结果无影响。 【变式8-2】（23-24高三下·福建福州·阶段练习）用如图所示的装置可以测量滑块与滑板的动摩擦因数。滑板水平固定，左端固定一个弹簧，弹簧原长时右端为O点，在O点右侧标注A点、B点，在B点处安装一光电门。滑块正中固定一遮光片后去压缩弹簧到C点，静止释放，记录AB的距离L、遮光片通过光电门的时间t。已知遮光片宽为d，重力加速为g。 (1)滑块通过B点处的速度大小； (2)保持A点不动，多次移动B点和光电门，每次滑块都将弹簧压缩到C点后释放，测量各次AB的距离L、遮光片通过光电门的时间t。则作出的图像是___________； A． B． C． D． (3)如果算出图像的斜率大小为k，则滑块与滑板的动摩擦因数为。 【答案】(1) (2)D (3) 【解析】（1）滑块通过B点处的速度大小 （2）由能量守恒定律可得 从C到A由能量守恒可知，由于弹簧压缩量不变，则滑块到达A点的动能不变，则 结合数学知识可知，故选D； （3）由数学知识可得 得滑块与滑板的动摩擦因数为 【角度6】能量守恒与板块问题 【典例9】（24-25高三上·吉林·开学考试）如图甲所示，一足够长的木板静置于水平地面上，右端放置一可视为质点的小物块。在时刻对木板施加一水平向右的恒定拉力，作用后撤去F，整个过程木板运动的图像如图乙所示。已知小物块的质量，木板的质量M，物块与木板间及木板与地面间动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，物块始终未从木板掉落。下列说法正确的是（　　） A．木板的质量 B．物块与木板及木板与地面间的动摩擦因数大小为0.1 C．整个过程系统因摩擦而产生的热量为 D．整个过程木板运动的位移大小为 【答案】D 【解析】AB．由图像乙可知，在时木板的加速度发生了变化，说明此时小物块与木板的速度相等，小物块对木板的摩擦力方向发生了变化，在1-1.5s时间内小物块相对木板滑动，根据图象，可得此时木板的加速度为 对木板，由牛顿第二定律 根据图象，在0-1s时间内木板的加速度为 对木板，由牛顿第二定律 联立解得 ， 故AB错误； CD．在0-1.5s时间内小物块始终相对木板滑动，由牛顿第二定律，则小物块的加速度 小物块的位移为 木板的位移为v−t图像包围的面积，则有 时，小物块与木板相对静止，则整个过程小物块相对木板运动的位移大小为 整个过程小物块相对木板运动时产生的热量为 木板与小物块相对静止后，一起运动的位移 木板运动的总位移 木板与地面之间的摩擦产生的热量为 因此整个过程系统因摩擦而产生的热量为 故C错误，D正确。 故选D。 （1）板块模型：滑块（质量m）在木板（质量M）上滑动，涉及动能、内能转化，能量守恒用于求摩擦生热。 （2）关键物理量与公式 ①相对位移：x相对＝|x块－x板|（滑块与木板对地位移差）。 ②摩擦生热：Q＝fx相对（f＝μmg为滑动摩擦力）。 ③能量守恒方程：Ek初＝Ek末＋Q（初态总动能＝末态总动能＋内能） （3）解题步骤 ①判守恒条件： 能量守恒：无论地面是否光滑，摩擦生热均用Q＝fx相对。 ②运动分析： 画运动示意图，标注滑块初速度v0、木板初速度0、共速v共。 对地位移：滑块x块＝t，木板x板＝t。 ③联立方程求解： 共速时能量守恒： 临界条件：滑块未滑离木板时，x相对≤L（板长），此时。 【变式9-1】（2025·贵州毕节·二模）（多选）如图所示，倾角为且足够长的光滑斜面固定在水平地面上，物体A被锁定在光滑斜面上，物体C置于水平地面。物体B、C通过劲度系数为的轻弹簧相连，A、B用轻绳跨过光滑定滑轮连接，轻绳恰好伸直，滑轮右侧轻绳竖直，左侧轻绳与斜面平行。解除锁定，A沿斜面下滑，当A速度最大时，C恰好要离开地面。已知B、C的质量均为，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．物体A的质量为 B．物体A下滑过程中加速度一直在增大 C．物体A和B组成的系统机械能守恒 D．物体A下滑过程中的最大动能为 【答案】AD 【解析】A．开始轻绳恰好伸直，对B进行分析有 A速度最大时，C恰好要离开地面，对C进行分析有 此时A速度最大，A所受外力合力为0，则有 解得 故A正确； B．弹簧开始处于压缩状态后处于拉伸状态，对A、B整体进行分析可知，A的加速度大小先减小，当A的速度达到最大值时，C恰好要离开地面，此时A、B速度大小相等，C的速度为0，之后，弹簧的拉伸量进一步增大，对A、B整体进行分析可知，A的加速度方向变为沿斜面向上，大小增大，即物体A下滑过程中加速度先减小后增大，故B错误； C．A下滑过程，弹簧的形变量发生变化，即弹簧的弹力对B做了功，可知，在C没有离开地面之前，A、B与弹簧构成的系统机械能守恒，当A、B构成的系统机械能不守恒，故C错误； D．结合上述可知 即上述两个整体弹簧的弹性势能相等，对A、B构成的系统有 物体A下滑过程中的最大动能 解得 故D正确。 故选AD。 【变式9-2】（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量为m的小滑块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，经过B点后恰好能通过最高点C做平抛运动。已知导轨半径，小滑块的质量，小滑块与轨道AB间的动摩擦因数，的长度，重力加速度取。 （1）求小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小； （2）求弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能； （3）若仅改变AB的长度L，其他条件不变，要使小滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，求出L的可能值。 【答案】（1）6N；（2）5J；（3）或 【解析】（1）小滑块恰好能通过最高点，有 解得 从到根据动能定理有 解得 在点，对小滑块有 解得 根据牛顿第三定律可得小滑块对圆轨道最低处点的压力大小为6N。 （2）设弹簧压缩至点时弹簧的弹性势能为，根据能量守恒定律有 解得 （3）当小滑块恰好能通过最高点做平抛运动时，的长度为20m，则有； 当小滑块运动到与圆心等高时速度为零，从到与圆心等高位置，根据能量守恒定律可得 解得 小滑块恰好到达点时，根据能量守恒定律可得 解得 则有 【角度7】天体运动中的能量变化 【典例10】（2025·河北保定·模拟预测）2023年2月23日，我国首颗超百Gbps容量的高通量卫星——中星26号搭乘长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心起飞，随后卫星进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。假设该卫星发射后先在近地圆轨道I（轨道高度忽略不计）做匀速圆周运动，在点瞬时点火进入椭圆转移轨道II，之后通过椭圆转移轨道II进入地球同步圆轨道III，定点于东经，如图所示。点和点分别为轨道I与轨道II、轨道II与轨道III的切点。若同步圆轨道III距地面的高度约为，地球半径约为，地球自转周期为，地球表面的重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．中星26号在转移轨道II上从点运动到点的过程中，机械能减小 B．中星26号在转移轨道II上点运行的速率为 C．中星26号在点和点的重力加速度之比约为6.6 D．中星26号在近地圆轨道I上运行的周期约为 【答案】D 【解析】A．在转移轨道II上从点运动到点的过程中，万有引力对中星26号做负功，动能转化为引力势能，机械能守恒，故A错误； B．根据万有引力提供向心力，有 在地球表面，有 解得中星26号在近地圆轨道上运行的速率为 中星26号从近地圆轨道I变轨到转移轨道II，做离心运动，需在点加速，所以中星26号在转移轨道II上点运行的速率，故B错误； C．根据万有引力与重力的关系，在点有 在Q点有 中星26号在点和点的重力加速度之比约为 故C错误； D．由开普勒第三定律可得 中星26号在近地圆轨道上运行的周期 故D正确。 故选D。 （1）机械能组成： ①动能：Ek＝mv2＝（由万有引力提供向心力推导，r为轨道半径）。 ②引力势能：Ep＝－（取无穷远处为零势能点）。 ③总机械能：E＝Ek＋Ep＝－。 （2）关键结论： 轨道半径与能量关系： ①r越大，Ek越小，Ep越大，E越大（越远离中心天体，机械能越高）。 ②变轨本质：加速（能量增加）→离心运动（轨道升高）；减速（能量减少）→向心运动（轨道降低）。 （3）解题步骤与模型 ①定轨分析（圆轨道）： 已知轨道半径r，直接用公式求Ek、Ep、E。 ②变轨分析（椭圆轨道或不同圆轨道）： 变轨瞬间：速度突变导致离心/向心运动，动能突变，势能瞬时不变（位置未变）。 椭圆轨道能量：总机械能守恒，E＝－（a为椭圆半长轴，与近/远地点关系：2a＝r近＋r远。 ③能量与运动参量关联： 由E＝－可知： 速度：（圆轨道中，E越大，v越小，因E与r正相关）。 周期：（E越大，r越大，T越长）。 （4）易错点规避 ①势能正负：引力势能为负值，比较大小时需注意（如(r2>r1时，Ep2>Ep1，因>。 ②变轨能量突变：变轨瞬间速度改变（动能突变），但势能不变（位置未变），总能量突变值等于动能变化量。 ③椭圆轨道半长轴：半长轴a是椭圆轨道能量的唯一决定量，与近/远地点速度无关。 （5）口诀总结 天体能量看半径，径大动能小，势总增；变轨加速轨道升，机械能增要记清； 椭圆半长轴定总能，近远地点互转化；势能为负莫搞错，联立公式步骤明。 【变式10-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）截至目前，我国神舟飞船已成功发射了十九次，神舟飞船发射升空后与空间站对接过程示意图如图所示，对接前飞船在圆轨道Ⅰ上运动，空间站在圆轨道Ⅲ上运动，Ⅱ为对接转移轨道，下列说法正确的是（　　） A．若空间站在轨道Ⅲ上沿顺时针运转，飞船在轨道Ⅰ上必须沿逆时针运转 B．飞船从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ的过程中，机械能增大 C．飞船从轨道Ⅱ的近地点向远地点运动过程中，合力一直做正功 D．飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行时，与地心连线在相等时间内扫过的面积相等 【答案】B 【解析】A．为了能顺利对接，若空间站在轨道Ⅲ上沿顺时针运转，飞船在轨道Ⅰ上也必须沿顺时针运转，故A错误； B．飞船从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ的过程中，需要加速，发动机做正功，机械能增大，故B正确； C．飞船从轨道Ⅱ的近地点向远地点运动过程中，合力一直做负功，动能一直减小，故C错误； D．飞船在同一轨道上运行时，与地心连线在相同时间内扫过的面积相等，不同的轨道扫过的面积不相等，故D错误。 故选B。 【变式10-2】（24-25高二上·广西防城港·期末）飞船登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，则可以推知火星的密度 B．飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度大于在轨道Ⅱ上P点的加速度 C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点启动加速装置 D．飞船在变轨的过程中，机械能守恒 【答案】A 【解析】A．根据万有引力提供向心力2R 火星的密度为 联立可得 已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，故A正确； B．飞船在三个轨道上过P点时，根据万有引力提供向心力 解得 因为距离相等，所以受到的万有引力是一样大的，即飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度等于在轨道Ⅱ上P点的加速度，故B错误； C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，做向心运动需要减速，故C错误； D．飞船在变轨的过程中，需要飞船上的发动机做功，所以飞船的机械能不守恒，故D错误。 故选A。 【基础强化】 1．如图所示，在电梯中的斜面上放置了一滑块，在电梯加速上升的过程中，滑块相对斜面静止，则在该过程中（　　） A．斜面对滑块的弹力对滑块所做的功等于滑块增加的重力势能 B．滑块所受合力对滑块所做的功等于滑块增加的机械能 C．斜面对滑块的摩擦力对滑块做负功 D．斜面对滑块的弹力对滑块所做的功小于滑块增加的机械能 【答案】D 【解析】A．根据题给条件无法判断斜面对滑块的弹力在竖直方向的分力与重力的大小关系，所以不能判断斜面对滑块的弹力对滑块所做的功是否等于滑块增加的重力势能，故A错误； B．根据动能定理可知，滑块所受合力对滑块所做的功等于滑块增加的动能，故B错误； C．斜面对滑块的摩擦力与滑块速度方向的夹角小于90°，所以做正功，故C错误； D．斜面对滑块的弹力对滑块所做的功与摩擦力对滑块所做的功的代数和等于滑块增加的机械能，且由于两个力均做正功，所以斜面对滑块的弹力对滑块所做的功小于滑块增加的机械能，故D正确。 故选D。 2．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）滑草是一项前卫运动，和滑雪一样能给运动者带来动感和刺激。特别对少雪地区的人们来说，滑草就更新鲜了，因为它比滑雪更具有娱乐性，更能体验人与大自然的和谐。如图所示，某滑草场有两个坡度不同的斜草面AB和（均可看作斜面）。质量不同的甲、乙两名游客先后乘坐同一滑草板从A点由静止开始分别沿AB和滑下，最后都停在水平草面上，斜草面和水平草面平滑连接，滑草板与草面之间的动摩擦因数处处相同，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙经过斜面底端时的速率相等 B．甲、乙最终停在水平草面上的同一位置 C．甲沿斜面下滑的时间比乙沿斜面下滑的时间长 D．甲沿斜面下滑过程中克服摩擦力做的功比乙的大 【答案】B 【解析】AC．设滑道的倾角为，动摩擦因数为，滑沙者在由斜面滑到水平面的过程中，由动能定理可得 可得 由于与水平面的夹角小于AB与水平面的夹角，所以甲在B点的速率大于乙在点的速率；设斜面长度为，根据运动学公式可得 可得滑沙者在斜面上下滑的时间为 由于甲到达底端的速度较大，且下滑的位移较小，则甲沿斜面下滑的时间比乙沿斜面下滑的时间短，故AC错误； B．对滑沙者滑行全过程，根据动能定理可得 得 即水平位移为 可知水平位移为定值，与斜面的倾角无关，所以他们将停在离出发点水平位移相同的位置，即甲、乙最终停在水平草面上的同一位置，故B正确； D．由于甲、乙的质量不同，所以无法判断甲、乙沿斜面下滑过程中克服摩擦力做功的大小关系，故D错误。 故选B。 3．（2025·北京延庆·一模）如图所示，水平传送带以v＝2m/s的速率匀速运行，上方漏斗每秒将40kg的煤粉竖直放到传送带上，然后一起随传送带匀速运动，该过程传送带与传送轮之间不打滑。如果要使传送带保持原来的速率匀速运行，则电动机应增加的输出功率为（　　） A．80W B．160W C．320W D．640W 【答案】B 【解析】由功能关系，电动机增加的功率用于使单位时间内落在传送带上的煤粉获得的动能以及煤粉相对传送带滑动过程中产生的热量，所以 传送带做匀速运动，而煤粉相对地面做匀加速运动过程中的平均速度为传送带速度的一半，所以煤粉相对传送带的位移大小等于相对地面的位移大小，结合动能定理，故 代入题中数据，联立解得 故选B。 4．（2025·贵州·模拟预测）我国航天事业取得重大突破，2021年12月9日，中国宇航员王亚平、霍志刚、叶光富。在离地球表面400km-500km的中国空间站，为广大的师生进行一场形象而生动的太空课堂教学。以下就是我国神舟十三号载人飞船，与空间站结合体前的变轨示意图。下列说法正确的是（　　） A．神舟十三号沿着轨道I运动，环绕速度大于第一宇宙速度 B．中国空间站内乒乓球下沉，浮力消失，是失重状态的体现，同时能用弹簧测力计测量出的重力大小 C．飞船在轨道II运行时，经过M、N两点时，N点的机械能最大 D．神舟十三号在M点从轨道I到轨道II，长征二号火箭需朝运动反方向点火，两者结合前需减速，长征二号火箭需朝运动方向点火 【答案】D 【解析】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得 可得 第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，所以神舟十三号沿着轨道I运动，环绕速度不可能大于第一宇宙速度，故A错误； B．中国空间站内乒乓球处于完全失重状态，不能用弹簧测力计测量出的重力大小，故B错误； C．飞船在轨道II运行时，只有万有引力做功，飞船的机械能守恒，经过M、N两点时的机械能相等，故C错误； D．卫星从低轨道变轨到高轨道，需要在变轨处点火加速，所以神舟十三号在M点从轨道I到轨道II，长征二号火箭需朝运动反方向点火，使其加速；两者结合前需减速，则长征二号火箭需朝运动方向点火，使其减速，故D正确。 故选D。 5．（2025·山东青岛·模拟预测）（多选）如图所示，长度为的轻杆上固定质量均为的3个小球，1、2球将杆三等分，轻杆一端通过转轴与点链接。让轻杆由水平位置自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．摆至竖直位置时，小球1和2的动能之比为 B．摆至竖直位置时，球的角速度为 C．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球2做功为0 D．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球3做功为 【答案】AD 【解析】A．由于3个球在同一杆上，三个球角速度相等，根据题意可知三个球半径之比为 由可得 由可得，摆至竖直位置时，小球1和2的动能之比为 故A正确； B．从起始位置摆至竖直位置过程中，机械能守恒，有 又有 联立解得 故B错误； CD．从起始位置摆至竖直位置过程中，对小球2、3，分别由动能定理得， 又有， 联立解得， 故C错误、D正确。 故选AD。 6．（2024·黑龙江佳木斯·三模）（多选）如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，将轻弹簧正上方质量的小球由静止释放，小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为y轴正方向，取地面处为重力势能零点，在小球第一次下落到最低点的过程中，弹簧的弹性势能、小球的重力势能、小球的动能、小球的机械能E随小球位移变化的关系图像分别如图甲、乙、丙、丁所示，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球和弹簧系统机械能守恒 B．空气阻力对小球做功1.2J C．图丙中x0处的弹簧弹力为8N D．图丙中b＝4，图丁中d＝4 【答案】CD 【解析】A．由于小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用，空气阻力做负功，可知，小球和弹簧系统的机械能减小，故A错误； B．根据图丙可知，小球动能为0时，下降高度为0.6m，即小球在最低点时，下降了高度0.6m，弹性势能增加了4.8J，重力势能减小了 令空气阻力与弹簧对小球的弹力对小球做功分别为，，对小球进行分析，根据动能定理有 结合图甲，根据功能关系有 解得 故B错误； C．阻力为恒力，则有 其中 解得 根据动能定理可知，图像中，图像某点切线的斜率表示合外力，图丙中x0处图像斜率为0，表明该位置小球所受外力的合力为0，则有 解得 故C正确； D．根据图甲可知，小球刚刚接触弹簧时，小球下降了0.5m，在这y0＝0.5m内小球做匀加速直线运动，根据动能定理有 结合上述解得 结合上述可知，小球下降到最低点的重力势能为 小球在最低点的动能为0，则小球在最低点的机械能等于重力势能，可知 d＝4 故D正确。 故选CD。 7．（23-24高一下·上海黄浦·期末）某实验小组“用DIS研究机械能守恒定律”的实验装置如图甲所示。实验时，将摆球（连同遮光片J）每次都从同一位置M下摆，传感器K分别固定在A、B、C、D采集数据，D点为摆球通过的最低点。在一次实验中以图象方式采集数据并分析实验结果，所显示的图象如图乙所示。图象的横轴表示摆球距离D点的高度h，纵轴表示摆球的重力势能Ep、动能Ek或机械能E（不计空气阻力）。 (1)图乙中的图像表示摆球重力势能Ep随摆球距离D点的高度h变化关系的图线是（选填“Ⅰ”、“Ⅱ”或“Ⅲ”）。 (2)从图乙中的图象可以得出本实验的结论是：。 【答案】(1)Ⅱ (2)在只有重力做功的情况下，重力势能和动能相互转化，机械能总量不变 【解析】（1）[1]根据 知高度增大时，重力势能线性增大，由动能定理可知，重力做负功，动能减小，而机械能保持不变，则摆球重力势能Ep随摆球距离D点的高度h变化关系的图线是Ⅱ。 （2）[1]由三个图线可知，动能增加，重力势能减小，而两者之和保持不变，因此摆球在摆动过程中，机械能守恒。故得出本实验的结论是在只有重力做功的情况下，重力势能和动能相互转化，机械能总量不变。 8．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，将原长为的轻弹簧置于长为的光滑水平面上，为的中点，弹簧一端固定在点，另一端与可视为质点且质量为的滑块接触。左侧为半径为的光滑半圆轨道，点与圆心等高。现将滑块压缩弹簧至点（图中未标出）后由静止释放，滑块恰好能到达轨道的最高点，重力加速度为。 (1)求弹簧被压缩至点时的弹性势能； (2)在段铺一表面粗糙的薄膜，改用质量为的滑块仍将弹簧压缩到点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的点，求滑块与薄膜间的动摩擦因数； (3)接第（2）问，求滑块在薄膜上运动的总路程。 【答案】(1) (2) (3)5L 【解析】（1）滑块恰好能到达轨道的最高点，则有 从E到D过程，由能量守恒有 联立解得 （2）题意可知滑块Q到C点时速度为0，则从E到C过程，由能量守恒有 联立解得 （3）分析可知滑块Q最终停在BF上，由能量守恒有 联立解得 9．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）如图所示，竖直平面内的光滑圆形轨道AB与水平轨道BCD在B点平滑相接，轨道半径为，水平轨道BC段粗糙且长度为，CD段光滑。现将轻质弹簧水平放置，一端固定在D点，处于原长时另一端恰好在C点。一质量为的小滑块从距离圆形轨道A点正上方处由静止释放，从A点沿切线无机械能损失地进入圆形轨道。小滑块视为质点，小滑块与BC段间的动摩擦因数为，重力加速度大小g取。 (1)求小滑块与弹簧相碰过程中弹簧的最大弹性势能； (2)小滑块与弹簧第一次分离后，求小滑块运动到圆形轨道上到达最大高度时对轨道的压力大小。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）从开始到小滑块与弹簧相碰过程中，根据能量守恒可得弹簧的最大弹性势能为 （2）设小滑块运动到圆形轨道上到达最大高度为，此时与O点连线与水平方向的夹角为，根据能量守恒得 解得 到达最高点时对小滑块分析可知此时速度为0，故可得 解得 根据牛顿第三定律可得对轨道的压力大小为 【素养提升】 10．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，光滑曲面轨道，光滑竖直圆轨道、水平轨道、水平传送带各部分平滑连接，水平区域足够长，圆轨道最低点B处的入，出口靠近但相互错开。现将一质量为的滑块从轨道上某一位置由静止释放，若已知圆轨道半径m，水平面的长度，传送带长度，滑块始终不脱离圆轨道，且与水平轨道和传送带间的动摩擦因数均为，传送带以恒定速度逆时针转动（不考虑传送带轮的半径对运动的影响），。 (1)若，则滑块运动至B点时对圆弧轨道的压力； (2)若时，计算滑块从释放到飞出传送带的过程中，因摩擦产生的热量Q是多少。 【答案】(1)20N，方向竖直向下。 (2)17J 【解析】（1）若h＝1.2m，则滑块运动至B点时，由机械能守恒可得 由牛顿第二定律可得 解得轨道对滑块的弹力F＝20N 由牛顿第三定律可知，滑块运动至B点时对圆弧轨道的压力为20N，方向竖直向下。 （2）从释放到传送带左端过程，对滑块，由动能定理有 解得 从释放到传送带右端过程，对滑块，由动能定理有 解得 因为 联立解得 则滑块位移 传送带位移 因为 故因摩擦产生的热量 联立以上解得 11．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，有一款游戏，需要游戏者通过调整管口A点坐标位置，然后压缩弹簧把小物块弹出，使物块恰好无碰撞落入下方倾角为37°的固定斜面的顶部B点，随后物块沿长L＝10m、动摩擦因数的粗糙斜面BC下滑，无障碍进入固定在斜面上的光滑圆弧曲面，最终不离开轨道BCD即通关成功。以斜面的顶端B为原点O，建立水平直角坐标系，某次调整管口A点的纵坐标为7.2m，物块以某一速度v0抛出后，恰好到达圆弧右侧D点后返回，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： (1)速度v0的大小； (2)圆弧半径R； (3)要满足整个游戏通关要求，A点坐标x与y的关系如何。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）由平抛运动位移规律，可得 物块无障碍进入固定在斜面上的光滑圆弧曲面，则有 解得 代入数据解得 （2）物块在B点的速度为合速度，根据合速度与分速度关系，则有 由动能定理可知 解得 （3）由，则 要满足整个游戏通关，只要 物体便不会从右侧滑出；要使不从左侧滑出，则有 解得 要使小物块能进入光滑圆弧曲面，则有 解得 综合得，只要 且满足 游戏可通关。 【能力培优】 12．（24-25高三上·福建龙岩·期中）如图所示，ABC为固定在竖直平面内的光滑轨道，AB段为水平轨道，BC段为圆心角θ37°、半径为2d的圆弧轨道；CD段为粗糙平直倾斜轨道，CD的长度为d，与BC段圆弧相切于C点，与滑块间的动摩擦因数，各段轨道均平滑连接。AB段的右侧有一缓冲装置，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，缓冲装置锁定时，轻杆不可移动；缓冲装置解除锁定时，轻杆可在固定的槽内移动。轻杆与槽间的滑动摩擦力fmg，轻杆向右移动不超过d时，装置可安全工作。缓冲装置解除锁定时，将一质量为m的滑块从C点由静止释放，滑块撞击弹簧后将导致轻杆向右移动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°0.6，重力加速度为g。 (1)现将缓冲装置锁定，滑块从C点由静止释放，经过圆弧轨道B点时，求轨道对滑块的支持力FN； (2)仍保持缓冲装置的锁定状态，将滑块由D点静止释放，求弹簧最大的弹性势能Ep； (3)现将缓冲装置解除锁定，在缓冲装置安全工作时，试讨论该滑块第一次被弹回后上升距B点的最大高度h与释放时距B点的高度H之间的关系。 【答案】(1)，方向竖直向上 (2)0.8mgd (3)见解析 【解析】（1）从C到B的过程中，机械能守恒 根据牛顿第二定律 解得 方向竖直向上。 （2）由能量守恒 得 （3）缓冲装置解除锁定时，滑块从C点释放至滑块向右速度为零，设弹簧最大的弹性势能为，则根据能量守恒 ⅰ）若杆未被推动，小球刚接触弹簧时动能的最大值为 则有 联立解得，小球释放时距B点的最大高度为 即当 时 ⅱ）若杆被推动，小球被弹簧弹回时的动能为 则有 得 即当 时 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$