重庆市荣昌中学校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

一、单选题 1．设 i i z   1 ，则在复平面内 z 对应点位于（ C ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，若 60 , 45 ,A B   6b  ，则a （ ） A． 3 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由正弦定理运算得解. 【详解】根据正弦定理 3 6 sin 2 3 sin 2 2 b A a B     . 故选：C. 3. 已知向量 a  , b  ，满足 0)(  baa  ， 1a  , 2b  ， 则  ba  2 （ B ） A. 3 B. 32 C. 6 D.12 4. 一个圆锥底面半径为 1，高为 3 ，则这个圆锥的表面积为（ C ） A.  B. 2 C. 3 D. 5 5. 已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为 4 和 3 的矩形，侧棱长为 35 ，则这个直四棱柱的外接球的体积 为（D ） A. 50 B. 100 C. 3 400 D. 3 005  6. 已知单位向量 ,a b   满足 1 3 a b    ，则a b  在a  上的投影向量为（）． A. 1 3 a  B. 2 3 a  C. 4 3 a  D. 5 3 a  【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解判断. 【详解】单位向量 ,a b   满足 1 3 a b    ，则 2 2 ( ) 3 a b a a a b            ， 所以所求的投影向量为 2 ( ) 2 3 a b a a a a          ． 荣昌中学高 2027 届高一下半期教学检测 数学试题参考答案 故选：B 7. 在 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a ,b , c ，已知 )cos3(sin3 CCab  ， 2 cb ，则a 的 最小值为（ A ） A. 1 B. 2 3 C. 2 D. 2 5 解：  3 sin 3cosb a C C  ， 由正弦定理得 3sin sin (sin 3 cos )B A C C  ， 3sin( ) sin sin 3sin cosA C A c A C   ， 3(sin cos cos sin ) sin sin 3sin cosA C A C A C A C   ， 3cos sin sin sinA C A C ，三角形中sin 0C  ，所以 tan 3A  ，又 (0, )A  ， 所以 3 A   ； 8. 向量 ,a b   是互相垂直 单位向量，向量 c  满足 2c a    ，则 2c b   的取值范围是（） A. 3 1, 3 1    B.  0,4 C.  1,3 D. 5 2, 5 2    【答案】D 【解析】 【分析】设  1,0a   ，  0,1b   ，  ,c x y  ，将问题化为圆   2 21 4x y   上的点到点 (0,2) 的距离， 即可得. 【详解】已知向量 a  ， b  是互相垂直的单位向量， 设  1,0a   ，  0,1b   ，  ,c x y  ， 由 2c a    ，则   2 21 4x y   ， 由  2 , 2c b x y    ，   222 2c b x y     ， 其几何意义是圆   2 21 4x y   上的点到点 (0,2) 的距离， 圆心 (1,0) 到 (0,2) 的距离为 5 ，圆的半径为 2， 所以 2c b  的取值范围是 5 2, 5 2   ． 故选：D 二、多选题 9. 已知向量 )0,1(a  ， )1,2(b  ， ),1( mc   ，下列说法正确的是（ AD ） A. 12  ba  B. 若 ca  // ，则 1m C. )( caa   D. 向量b  方向的单位向量为 ) 5 5 , 5 52 ( 10．荣昌折扇是国家级非物质文化遗产之一，其始于北宋年间，以楠竹和皮纸为原料，经青山、风骨、皂 锅、棕风、坯子、纸口、头子、梳练、扇糊、折扇、捆扎、白扇页、角告、扇箱、书画、装运等传统工序 手工精制而成，具有很高的艺术和收藏价值（图 1）．图 2 是一个扇形面，其对应一个圆台的侧面展开图， 若此扇形面的两个圆弧所在圆的半径分别是 1 和 3，且 120ABC  ，则该圆台（ ） A．高为 2 2 3 B．表面积为 34π 9 C．体积为 52 2 π 81 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9 : 24 【答案】BCD 【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断 A；根据圆台的侧面 积以及体积公式求得表面积和体积，判断 B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断 D. 【详解】对于 A，设圆台的上底面半径为 r，下底面半径为 R，则 1 1 2π 2π 1,2π 2π 3 3 3 r R      ， 解得 1 , 1 3 r R  ,所以圆台的母线长为3 1 2  ，高为 2 2 1 4 2 (1 ) 3 3 2h     ，选项 A 错误； 对于 B，圆台的上底面积为 1 π 9 ，下底面积为 π，侧面积为 1 8 π ( 1) 2 π 3 3     ， 所以圆台的表面积为 1 8 34 π π π π 9 3 9 S     ，选项 B 正确； 对于 C，圆台的体积为 2 2 1 1 1 4 2 52 π π [( ) 1 1 3 8 1 ) 3 2 3 3 V        ，选项 C 正确； 对于 D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为 1 8 π π π 1:9 : 24 9 3 ∶∶ ，选项 D 正确， 故选：BCD． 11．如图，已知圆O的内接四边形 ABCD中， 2AB , 6BC , 4 CDAD .下列说法正确的 是（） A．四边形 ABCD的面积为 38 B.该外接圆的直径为 3 212 C. 4CDBO D.过D作 BCDF  交BC于 F 点，则 10DFDO 【答案】ACD 三、填空题 12. 已知 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且满足 : : 7 : 2 :1a b c  ．则角 A= 解：设 1c  ，则 7a  ， 2b  ，利用余弦定理可得 2 2 2 4 1 7 1 cos 2 2 2 1 2 b c a A bc           ，又因为  0,πA ， 所以 2π 3 A  ． 13. 已知在 ABCV 中， 2AB  ， 3AC  ， 3 BAC    ，点D 为边 BC 上靠近 B 的三等分点，则 AD BC   的 值为 4 3 . 解：如下图所示：   1 1 2 1 3 3 3 3 AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC                   ， 由平面向量数量积的定义可得 1 cos 2 3 3 3 2 AB AC AB AC             ， 因此，       2 21 1 2 2 3 3 AD BC AB AC AC AB AC AB AC AB                    2 2 1 4 3 3 2 2 3 3       . 14. 某湖中有一小岛C ，沿该湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 A 处测得小岛在公路的南偏西 15 的方向上，汽车行驶 2km 到达 B 处后，又测得小岛在公路的南偏西 45 的方向上，则小岛到公路的距离是 13  km. 四、解答题 15. 已知平面向量 a  ， b  ， 3a   ， 2b   ，且 a  与 b  的夹角为 π 6 ． （1）求 a b  的值； （2）若 a b  与  Ra b    垂直，求 λ的值． 【答案】（1） 3a b    ， 13   a b （2） 6 7    【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义求出a b   ，再利用向量数量积的运算律计算 a b  ； （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【小问 1 详解】 ∵ 3a   ， 2b   ，且 a  与 b  的夹角为 π 6 ， ∴ π 3 cos 3 2 3 6 2 a b a b         , 故   2 22 2 22 ( 3) 2 3 2 13a b a b a a b b                   ； 【小问 2 详解】 ∵ a b  与  Ra b    垂直， ∴     22 (1 ) 0a b a b a b a b                  ， 即3 4 3 3 0     ，解得： 6 7    ． 16． ABCV 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知  2cos cos cosA c B b C a  ． (1)求 A； (2)若 2a  ， ABCV 的面积为 3，求 b，c的值． 【答案】(1) π 3 A  (2) 2b c  ． 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得 4bc  ，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理及  2cos cos cosA c B b C a  ． 得  2cos sin cos sin cos sinA C B B C A  ， 即  2cos sin sinA C B A  ， 即2cos sin sinA A A ， 因为0 πA  ，所以sin 0A  ， 所以 1 cos 2 A  ，所以 π 3 A  ． （2）由题意得 ABCV 的面积 1 sin 3 2 S bc A  ，所以 4bc  ①． 又 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，且 2a  ，所以 2 2 8b c  ②． 由①②得 2b c  ． 17．如图，直四棱柱 1111 DCBAABCD 的底面为菱形，  120ADC ， 61 BB ， 4AB ，M , N 分 别为BC , 1AA 中点． （1）证明： //BN 平面 1AMD ； （2）平面 1AMD 将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的 体积为 1V ；较小的体积为 2V ，求 1V ， 2V 的值． D1 M A B C D N A1 C1 B1 解答：（1）连接 1DA 交 1AD 于 E ，则 E 为 1DA 中点， ADNE// ，且 ADNE 2 1  ，又M 为 BC中点， BMNE// ，且 BMNE  ， 平行四边形 NBME， EMNB// 又 NB 平面 1AMD ， EM 平面 1AMD ， //BN 平面 1AMD ； （2）取 1CC 中点F ，连接 FD1 , MF ，由M 为BC中点，知 1// BCMF 又 11//ADBC ， 1//ADMF ，平面 1AMFD 即为平面 1AMD . 连接DM ， 32DM 计算得 314 12   DADMFCVV ， 334314-348 11   DADMFCVVV 18. 在 ABCV 中，角 , ,A B C 的对边分别为 222 abccb  ． （1）求A ； （2）若 1a  ，求 ABCV 的周长的取值范围． （3）若 1a  ，且 ABCV 是锐角三角形，求 ABCV 内切圆半径的取值范围． 【答案】（1） π 3 A  ； （2） (2,3] （3） 3 3 3 ( , ] 6 6  . 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出范围. （3）利用等面积法得到 ABCV 内切圆半径 r 的表达式，利用余弦定理转化 r 的表达式，运用正弦定理及三 角函数的图象与性质求解. D1 M A B C D N A1 C1 B1 E F 【小问 1 详解】 在 ABCV 中，由 (2 )cos cosc b A a B  及正弦定理，得 (2sin sin )cos sin cosC B A A B  ， 2sin cos sin cos sin cos sin( ) sinC A A B B A A B C     ，而sin 0C  ，则 1 cos 2 A  ，又0 πA  ， 所以 π 3 A  . 【小问 2 详解】 由（1）知， π 3 A  ，而 1a  ，由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   ， 得 2 2 2 2 2 211 ( ) 3 ( ) 3( ) ( ) 2 4 b c b c bc b c bc b c b c             ，当且仅当 1b c  时取等号， 因此 2( ) 4b c  ，解得 2b c  ，而 1b c a   ，则2 3a b c   ≤ ， 故 ABCV 的周长的取值范围是 (2,3] . 【小问 3 详解】 由（2）得 2( 1 1 ( 1)( 1) 3 3 )b c bc b c b c         ，设 ABCV 的内切圆半径为 r ， 由 1 1 sin ( ) 2 2 ABCS bc A a b c r    ，得 sin 3 3 ( 1) 2(1 ) 6 bc A bc r b c a b c b c          ， 由（1）及正弦定理，得 1 2 πsin sin sin 3sin 3 b c a B C A     ， 2 2 sin , sin 3 3 b B c C  ， 则 2 2 π 2 3 3 (sin sin ) [sin sin( )] ( sin cos ) 3 2 23 3 3 b c B C B B B B        π 2sin( ) 6 B  ， 由 ABCV 为锐角三角形，得 π 0 2 2 π 0 π 3 2 B B          ，解得 π π 6 2 B  ， π π 2π 3 6 3 B   ， 则 π 3 sin( ) ( ,1] 6 2 B   ，因此 π 2sin( ) ( 3,2] 6 b c B    ， 3 3 3 3 ( 1) ( , ] 6 6 6 r b c      ， 所以 ABCV 内切圆半径的取值范围为 3 3 3 ( , ] 6 6  . 19.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的 几何问题:“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小。”它 的答案是:“当三角形的三个角均小于 120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与 三角形的三个顶点的连线两两成角 120°；当三角形有一内角大于或等于 120°时，所求点为 三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.试用以上知识解决下面问题:已 知 ABC 的内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,且 12cos2cos2cos  ACB (1)求 A； (2)若 2bc ，设点 P 为 ABC 的费马点，求 PAPCPCPBPBPA  ； (3)设点 P 为 ABC 的费马点， PAtPCPB  ，求实数 t的最小值, 数学 1 荣昌中学高 2027 届高一下半期教学检测 数学试题 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题．本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．设 i i z   1 ，则在复平面内 z 对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，若  60A ,  45B , 6b ，则 a （ ） A． 3 B．2 C．3 D．6 3．已知向量 a  , b  ，满足 0)(  baa  ， 1a  , 2b  ， 则  ba  2 （ ） A． 3 B． 32 C．6 D．12 4．一个圆锥底面半径为 1，高为 3 ，则这个圆锥的表面积为（ ） A． B． 2 C． 3 D． 5 5．已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为 4 和 3 的矩形，侧棱长为 35 ，则这个直四棱柱的外接球的 体积为（ ） A． 50 B． 100 C． 3 400 D． 3 005  6．已知单位向量 a  , b  满足 3 1 ba  ，则 ba   在 a  上的投影向量为（ ） A． a  3 1 B． a  3 2 C． a  3 4 D． a  3 5 数学 2 7．在 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，已知 )cos3(sin3 CCab  ， 2 cb ， 则 a 的最小值为（ ） A．1 B． 2 3 C．2 D． 2 5 8．向量 a  , b  是互相垂直的单位向量，向量 c  满足 2 ac  ，则 bc  2 的取值范围是（ ） A． ]13,13[  B． ]4,0[ C． ]3,1[ D． ]25,25[  二、多项选择题．本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知向量 )0,1(a  ， )1,2(b  ， ),1( mc   ，下列说法正确的是（ ） A． 12  ba  B．若 ca  // ，则 1m C． )( caa   D．向量b  方向的单位向量为 ) 5 5 , 5 52 ( 10．荣昌折扇是国家级非物质文化遗产之一，其始于北宋年间，以楠竹和皮纸为原料，经青山、风骨、 皂锅、棕风、坯子、纸口、头子、梳练、扇糊、折扇、捆扎、白扇页、角告、扇箱、书画、装运等传统 工序手工精制而成，具有很高的艺术和收藏价值（图 1）．图 2 是一个扇形面，其对应一个圆台的侧面展 开图，若此扇形面的两个圆弧所在圆的半径分别是 1 和 3，且 120ABC  ，则该圆台（ ） A．高为 2 2 3 B．表面积为 34π 9 C．体积为 52 2 π 81 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9 : 24 图 2 A B C E D 图 1 数学 3 11．如图，已知圆O的内接四边形 ABCD中， 2AB , 6BC , 4 CDAD ．下列说法正确的是（ ） A．四边形 ABCD的面积为 38 B．该外接圆的直径为 3 212 C． 4CDBO D．过 D 作 BCDF  交 BC于 F 点，则 10DFDO 三、填空题．本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知 ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，且满足 1:2:7:: cba ．则角 A 13．已知在 ABC 中， 2AB ， 3AC ， 3  BAC ，点D 为边BC上靠近 B 的三等分点，则 BCAD  的值为 ． 14．某湖中有一小岛C ，沿该湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 A 处测得小岛在公路的南偏西 15 的方向上，汽车行驶 2km 到达 B 处后，又测得小岛在公路的南偏西 45 的方向上，则小岛到公路的 距离是 km． 四、解答题．本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15．已知平面向量 a  , b  ， 3a  ， 2b  ，且 a  与b  的夹角为 6  ． （1）求 ba   的值； （2）若 ba   与 ba   )( R 垂直，求的值． 16． ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，已知 aCbBcA  )coscos(cos2 ． （1）求 A ； （2）若 2a ， ABC 的面积为 3 ，求b , c 的值． O A B C D 数学 4 17．如图，直四棱柱 1111 DCBAABCD 的底面为菱形，  120ADC ， 61 BB ， 4AB ，M , N 分别为 BC , 1AA 中点． （1）证明： //BN 平面 1AMD ； （2）平面 1AMD 将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的 体积为 1V ；较小的体积为 2V ，求 1V ， 2V 的值． 18．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 a ,b , c ， 222 abccb  ． （1）求 A ； （2）若 1a ，求 ABC 的周长的取值范围． （3）若 1a ，且 ABC 是锐角三角形，求 ABC 内切圆半径的取值范围． 19．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题:“已知 一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小。”它的答案是:“当三角形的三个 角均小于 120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 120 ； 当三角形有一内角大于或等于 120 时，所求点为三角形最大内角的顶点．”在费马问题中所求的点称为 费马点．试用以上知识解决下面问题 :已知 ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 12cos2cos2cos  ACB （1）求 A ； （2）若 2bc ，设点 P 为 ABC 的费马点，求 PAPCPCPBPBPA  ； （3）设点 P 为 ABC 的费马点， PAtPCPB  ，求实数 t 的最小值, D1 M A B C D N A1 C1 B1