第十二讲 计数问题（拓展提高初等奥数篇 7个考点分类真题训练 共25题）-2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）

2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）【拓展提高】 第十二讲 计数问题 （7个考点分类真题训练 共25题） 目录 资料简介 1 考点分类培优训练 1 重点难点考点01：乘法原理 1 重点难点考点02：容斥原理 2 重点难点考点03：抽屉原理 3 重点难点考点04：握手问题 3 重点难点考点05：排队论问题 4 重点难点考点06：烙饼问题 4 重点难点考点07：沏茶问题 4 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 重点难点考点01：乘法原理 1．（2024•礼县模拟）一辆变速自行车有3个前齿轮，5个后齿轮，它能变化出 　　 种速度。 2．（2024•皇姑区）小梅从学校到书店有3条路线，从书店到公园有2条路线，那么小梅从学校经书店到公园，一共有 　　 条路线可以走。 3．（2024•巧家县校级模拟）A、B、C、D四位同学排成一排照相，B与C要求站在一起，一共有（　　）种不同的站法。 A．3 B．6 C．8 D．12 4．（2024•福州）小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书．在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法． A．3 B．4 C．7 D．12 重点难点考点02：容斥原理 5．（2024•北碚区校级模拟）六（5）班同学参加社区志愿者活动，参加A社区志愿者活动的有30人，参加B社区志愿者活动的有34人，两个社区活动都参加的有21人。若每人至少参加一个社区活动，则六（5）班共有 　　 人。 6．（2022秋•虎林市期末）五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？ 7．（2024•高新区模拟）一次科学测验只有两道题，结果全班有13人全对，第一道题有27人做对，第二道题有20人做错，那么两道题都做错的有（　　）人。 A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2024•二七区）一次外语小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有（　　）人。 A．8 B．7 C．3 D．6 9．（2024•南宁）快递员要派送快递。某栋楼上有110户人家，其中82户人家收到过甲快递员的派件，75户人家收到过乙快递员的派件，62户人家收到过甲、乙两位快递员的派件，有（　　）户人家没有收到过这两位快递员的派件。 A．13 B．15 C．20 D．28 重点难点考点03：抽屉原理 10．（2024•唐县模拟）把一堆书放进8个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉里至少有4本书，那么这堆书最少有 　　 本；一枚1元硬币约重6克，照这样计算，1亿枚1元硬币约重 　　 吨。 11．（2023•双牌县）填空题。 （1）掷两粒骰子，出现点数和7与点数和8，　 　 的可能性大的。 （2）有黑色、白色、红色筷子各6根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色相同的一双筷子，至少要取出 　4　 根才能保证达到要求。 （3）有含糖15%的糖水200克，要使这杯糖水的含糖率变为20%。需加糖 　 　 克。 （4）由甲、乙两个工程队修一段长4272米的公路，先由甲队以每天60米的速度修了若干天，然后再由乙队接着修，每天修84米，两队共用60天修完这段路，甲队修了 　 　 天。 12．（2024•鼓楼区）在一个密封的不透明的袋子里装了2个红球、4个白球和3个蓝球，要确保能抓到蓝球，至少需要抓（　　）个球。 A．9 B．8 C．7 D．6 13．（2024•高新区）下列说法中，正确的是（　　） A．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放进1个袋子里。至少取11个球，才可以保证取到两个颜色相同的球。 B．一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是2π：1。 C．轿车和货车同时从A、B两地出发，相向而行，相遇时轿车行了全程的，那么轿车的速度比货车快25%。 D．若甲，则甲、乙、丙三个数中，丙最小。 重点难点考点04：握手问题 14．（2024•天津）三年级有5个班进行足球比赛，每两个班赛一场，一共要赛 　　 场。 15．（2024•播州区模拟）有16支球队采用单循环赛制，一共要赛（　　） A．16场 B．240场 C．120场 D．136场 16． （2024•渭源县）六（1）班8名同学进行乒乓球比赛，每两名同学之间要进行一场比赛，一共要比赛28场。 　　 （判断对错） 17． 重点难点考点05：排队论问题 17．（2024•渝北区校级模拟）运动场上有一排旗共100面，从左往右数，第70面起往右是红旗；从右往左数，第60面起往左都是黄旗，其余的是蓝旗，蓝旗有 　　 面。 18．（2024•四川校级模拟）某班43名同学围成一圈．由班长起从1开始连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后再由这个同学起从1开始连续报数结果第一个演节目的是小明，第二个演节目的是小强．那么小明和小强之间有 　 名同学． 19．（2024•峰峰矿区）一群孩子匀距坐成一个圆圈玩游戏，从大毛开始按顺时针方向数，数到二毛为第8个．而且大毛和二毛正好面对面坐，这群孩子一共有（　　）人． A．16 B．14 C．15 D．17 重点难点考点06：烙饼问题 20．（2024•罗湖区）笑笑帮妈妈煎饼，一只平底锅每次最多只能放下两个饼，煎一个饼需要6分钟，每个饼的正反面各需要3分钟，笑笑煎3个饼至少需要 　　 分钟。 21．（2024•增城区）（1）妈妈要烙5张饼，锅里每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面烙3分钟，至少需要 　　 分钟。 （2）下面图形是由若下个圆按规律组成的，第6个图形中有 　　 个圆，第n个图形中有 　 　 个圆。 22．（2024•墨竹工卡县模拟）一口平底锅上只能同时煎3张饼，用它煎一张饼需要2分钟（正、反面各1分钟）。煎4张饼至少需要（　　）分钟。 A．3 B．4 C．6 D．7 重点难点考点07：沏茶问题 23．（2024•渝北区）选做题，学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动、已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序： ③各道工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要多少分钟？若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要多少分钟？ 24．（2024•濮阳）星期日丽丽打算做的家务及所用时间如下：洗衣机洗衣服20分钟，拖地要用7分钟，擦家具要用9分钟，晾衣服要用4分钟。经过合理安排，她做完这些家务至少要用（　　）分钟。 A．20 B．24 C．40 D．29 25．（2024•梅河口市模拟）五一假期快到了，小明准备和爸爸妈妈一起去北京旅游。出发前，小明和爸爸妈妈需要去超市买一些旅游必备用品。小明要用8分钟，爸爸比小明多用的时间，妈妈花的时间要比爸爸长2分钟。要使三人等候时间的总和最少，应按_____的顺序购物，最少要_____分钟。（　　） A．爸爸→妈妈→小明，64 B．爸爸→小明→妈妈，46 C．小明→爸爸→妈妈，56 D．妈妈→爸爸→小明，30 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）【拓展提高】 第十二讲 计数问题 （7个考点分类真题训练 共25题） 目录 资料简介 1 考点分类培优训练 1 重点难点考点01：乘法原理 1 重点难点考点02：容斥原理 3 重点难点考点03：抽屉原理 5 重点难点考点04：握手问题 7 重点难点考点05：排队论问题 8 重点难点考点06：烙饼问题 10 重点难点考点07：沏茶问题 11 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 重点难点考点01：乘法原理 1．（2024•礼县模拟）一辆变速自行车有3个前齿轮，5个后齿轮，它能变化出 　15　 种速度。 【思路引导】前齿轮有3种选择，后齿轮有5种选择，然后根据乘法原理解答即可。 【完整解答】解：3×5＝15（种） 答：它能变化出15种速度。 故答案为：15。 【考点评析】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×……×mn种不同的方法。 2．（2024•皇姑区）小梅从学校到书店有3条路线，从书店到公园有2条路线，那么小梅从学校经书店到公园，一共有 　6　 条路线可以走。 【思路引导】小梅从学校到书店有3条路线可以选择，从书店到公园有2条路线可以选择，然后根据乘法原理解答即可。 【完整解答】解：3×2＝6（种） 答：一共有6条路线可以走。 故答案为：6。 【考点评析】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×……×mn种不同的方法。 3．（2024•巧家县校级模拟）A、B、C、D四位同学排成一排照相，B与C要求站在一起，一共有（　　）种不同的站法。 A．3 B．6 C．8 D．12 【思路引导】根据题意，先将B与C看作一个整体，与A、D进行全排列，再考虑B与C之间的排列顺序，最后根据排列组合的乘法原理解答即可。 【完整解答】解：把B与C捆绑在一起，此时相当于有3个元素（BC整体、A、D）进行全排列。B与C两人之间也有不同的排列顺序，B在左C在右和B在右C在左，两种不同的站法，所以有ABCD、ACBD、ADBC、ADCB、BCAD、BCDA、CBAD、CBDA、DBCA、DCBA、DABC、DACB，共12种不同的站法。 故选：D。 【考点评析】本题考查了排列组合知识，结合乘法原理知识解答即可。 4．（2024•福州）小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书．在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法． A．3 B．4 C．7 D．12 【思路引导】由题意可知，共有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，如果固定科技类图书与故事类图书进行组合的话，则每本科技类图书可分别与3本不同的故事类图书组合，共有3种组合方法，一共有四本科技类书，根据乘法原理，所以共有4×3＝12种不同的捐法． 【完整解答】解：4×3＝12（种）． 所以共有12种不同的捐法． 故选：D。 【考点评析】乘法原理与加法原理是数学概率方面的基本原理，理解时要注意这两种原理的区别． 重点难点考点02：容斥原理 5．（2024•北碚区校级模拟）六（5）班同学参加社区志愿者活动，参加A社区志愿者活动的有30人，参加B社区志愿者活动的有34人，两个社区活动都参加的有21人。若每人至少参加一个社区活动，则六（5）班共有 　43　 人。 【思路引导】用参加A社区志愿者活动的人数加上参加B社区志愿者活动的人数，减去既参加A社区志愿者活动又参加B社区志愿者活动的人数即是所求。 【完整解答】解：30+34﹣21＝43（人） 答：六（5）班共有43人。 故答案为：43。 【考点评析】本题考查了容斥原理的应用。 6．（2022秋•虎林市期末）五年级一班有40人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课外小组的有32位同学，参加了信息技术课外小组的有20位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？ 【思路引导】由容斥原理可知：参加了英语课外小组的有32位同学加上参加了信息技术课外小组的有20位同学，再减去40人就是两个小组都参加的同学． 【完整解答】解：32+20﹣40 ＝52﹣40 ＝12（位） 答：两个小组都参加的同学12位． 【考点评析】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 7．（2024•高新区模拟）一次科学测验只有两道题，结果全班有13人全对，第一道题有27人做对，第二道题有20人做错，那么两道题都做错的有（　　）人。 A．4 B．5 C．6 D．7 【思路引导】只做错第一道题的有27﹣13＝14（人），然后再与20作差即可。 【完整解答】解：27﹣13＝14（人） 20﹣14＝6（人） 答：两道题都做错的有6人。 故选：C。 【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 8．（2024•二七区）一次外语小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有（　　）人。 A．8 B．7 C．3 D．6 【思路引导】首先根据题意，第一题做对的25人中，有10人是全部做对，则有25﹣10＝15（人）是只做对第一题，而做错第二题的；然后根据第二题总共有18人做错，则多余的3人就是全错的，据此求解即可。 【完整解答】解：18﹣（25﹣10） ＝18﹣15 ＝3（人） 答：两题都做错的有3人。 故选：C。 【考点评析】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 9．（2024•南宁）快递员要派送快递。某栋楼上有110户人家，其中82户人家收到过甲快递员的派件，75户人家收到过乙快递员的派件，62户人家收到过甲、乙两位快递员的派件，有（　　）户人家没有收到过这两位快递员的派件。 A．13 B．15 C．20 D．28 【思路引导】用收到过甲快递员的派件的户数加收到过乙快递员的派件的户数，求出和，再减去收到过甲、乙两位快递员的派件的户数，即可求出收到过甲快递员或乙快递员派件的户数，再用总户数减没有收到过甲快递员或乙快递员派件的户数即可求出没有收到过这两位快递员派件的户数。 【完整解答】解：82+75﹣62 ＝157﹣62 ＝95（户） 110﹣95＝15（户） 答：有15户人家没有收到过这两位快递员的派件。 故选：B。 【考点评析】此题考查容斥原理。理解题意是解答的关键。 重点难点考点03：抽屉原理 10．（2024•唐县模拟）把一堆书放进8个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉里至少有4本书，那么这堆书最少有 　25　 本；一枚1元硬币约重6克，照这样计算，1亿枚1元硬币约重 　600　 吨。 【思路引导】要保证总有一个抽屉里至少有4本书，考虑最差情况：每个抽屉先都有3本书，此时书本数最少是3×8＝24（本），再加上1本，即可出现一个抽屉里至少有4本书，据此即可求出这堆书最少有多少本；根据题意，已知1枚1元的硬币约重6克，求1亿枚1元的硬币大约重多少用乘法解法，然后根据进率化成吨。 【完整解答】解：8×（4﹣1）+1 ＝24+1 ＝25（本） 答：这堆书最少有25本。 1亿＝100000000 6×100000000＝600000000（克） 600000000克＝600吨 答：1亿枚1元的硬币重600吨。 故答案为：25，600。 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑，还考查了乘法意义的运用及单位换算。 11．（2023•双牌县）填空题。 （1）掷两粒骰子，出现点数和7与点数和8，　点数和是7　 的可能性大的。 （2）有黑色、白色、红色筷子各6根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色相同的一双筷子，至少要取出 　4　 根才能保证达到要求。 （3）有含糖15%的糖水200克，要使这杯糖水的含糖率变为20%。需加糖 　12.5　 克。 （4）由甲、乙两个工程队修一段长4272米的公路，先由甲队以每天60米的速度修了若干天，然后再由乙队接着修，每天修84米，两队共用60天修完这段路，甲队修了 　32　 天。 【思路引导】（1）找出和为7的情况和为8的情况再比较即可； （2）假设前3次取的颜色各不相同，则再取一次，一定和前面3次中某一次的颜色相同； （3）根据水的质量不变，先去原糖水中水的质量，再根据加糖后的含水率，求糖水在质量，减去原来糖水在质量，就是加糖的质量。 （4）设甲队修了x天，根据两队的工作效率及工作总量，列方程求解即可。 【完整解答】解：（1）出现和等于7的情况：1与6，2与5，3与4，4与3，5与2，6与1，共有6种；出现和为8的情况：2和6，3与5，4与4，5与3，6与2，共有5种．6＞5，点数和为7的可能性大。 （2）3+1＝4（次） 答：至少要取出4根才能保证达到要求。 （3）200×（1﹣15%）÷（1﹣20%）﹣200 ＝200×85%÷80%﹣200 ＝212.5﹣200 ＝12.5（克） 答：需加糖12.5克。 （4）设甲队修了x天，则乙队修了（60﹣x）天。 60x+（60﹣x）×84＝4272 60x+5040﹣84x＝4272 24x＝768 x＝32 答：甲修了32天。 故答案为：点数和是7；4；12.5；32。 【考点评析】本题主要考查抽屉原理的应用、观察问题的应用等。 12．（2024•鼓楼区）在一个密封的不透明的袋子里装了2个红球、4个白球和3个蓝球，要确保能抓到蓝球，至少需要抓（　　）个球。 A．9 B．8 C．7 D．6 【思路引导】考虑最差的情况，拿出6个球可能是2个红球和4个白球，再拿一个球，肯定是蓝球。因此要确保能抓到蓝球，至少需要抓7个球。 【完整解答】解：2+4+1＝7（个） 答：至少需要抓7个球。 故选：C。 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 13．（2024•高新区）下列说法中，正确的是（　　） A．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放进1个袋子里。至少取11个球，才可以保证取到两个颜色相同的球。 B．一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是2π：1。 C．轿车和货车同时从A、B两地出发，相向而行，相遇时轿车行了全程的，那么轿车的速度比货车快25%。 D．若甲，则甲、乙、丙三个数中，丙最小。 【思路引导】根据抽屉原理判断； 根据圆柱侧面展开图的特点判断； 根据相遇问题公式判断； 根据分数乘除法中各部分的关系判断。 【完整解答】解：从最坏的结果考虑，把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放进1个袋子里。至少取5个球，才可以保证取到两个颜色相同的球，A选项说法错误； 一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱的底面周长等于高，底面半径与高的比是1：2π。B选项说法错误； 轿车和货车同时从A、B两地出发，相向而行，相遇时轿车行了全程的，那么轿车的速度比货车快（5﹣3）÷3≈66.7%，C选项说法错误； 若甲，则甲、乙、丙三个数中，丙最小。D选项说法正确。 故选：D。 【考点评析】本题主要考查抽屉原理的应用、比的应用及分数大小比较的方法及应用。 重点难点考点04：握手问题 14．（2024•天津）三年级有5个班进行足球比赛，每两个班赛一场，一共要赛 　10　 场。 【思路引导】如果每两个班踢一场，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n﹣1）÷2解答。 【完整解答】解：5×（5﹣1）÷2 ＝20÷2 ＝10（场） 答：一共要踢10场。 故答案为：10。 【考点评析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式n（n﹣1）÷2解答。 15．（2024•播州区模拟）有16支球队采用单循环赛制，一共要赛（　　） A．16场 B．240场 C．120场 D．136场 【思路引导】共有16支队参赛，如果每两队都要比赛一场即循环赛，则每支队都要和其它队赛一场，所以所有球队参赛的场数为16×（16﹣1）＝240场，而比赛是在两个队之间进行的，所以一共要赛16×（16﹣1）÷2＝120场． 【完整解答】解：16×（16﹣1）÷2 ＝16×15÷2 ＝120（场） 答：一共要赛120场． 故选：C。 【考点评析】循环赛制参赛队数与比赛场数之间的关系为：参赛队数×（参赛队数﹣1）÷2＝比赛总场数． 16．（2024•渭源县）六（1）班8名同学进行乒乓球比赛，每两名同学之间要进行一场比赛，一共要比赛28场。 　√　 （判断对错） 【思路引导】8名同学进行乒乓球比赛，每两名同学之间都要进行一场比赛即进行单循环比赛，则每位同学都要和其它的7位同学赛一场，所以所有同学参赛的场数为（8×7）场，由于比赛是在每两个人之间进行的，要去掉重复计算的情况，所以再除以2；据此解答即可。 【完整解答】解：8×（8﹣1）÷2 ＝8×7÷2 ＝28（场） 答：—共要比赛28场。原题说法正确。 故答案为：√。 【考点评析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式n （ n﹣1）÷2解答。 重点难点考点05：排队论问题 17．（2024•渝北区校级模拟）运动场上有一排旗共100面，从左往右数，第70面起往右是红旗；从右往左数，第60面起往左都是黄旗，其余的是蓝旗，蓝旗有 　28　 面。 【思路引导】根据总面数先计算红旗和黄旗的面数，再用减法计算蓝旗的面数即可。 【完整解答】解：100﹣70+1＝31（面） 100﹣60+1＝41（面） 100﹣31﹣41＝28（面） 答：蓝旗有28面。 故答案为：28。 【考点评析】本题主要考查排队论的应用，关键注意不要忘记加1。 18．（2024•四川校级模拟）某班43名同学围成一圈．由班长起从1开始连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后再由这个同学起从1开始连续报数结果第一个演节目的是小明，第二个演节目的是小强．那么小明和小强之间有　12或29　 名同学． 【思路引导】由于班长起从1开始按顺序报数，谁报到100就给同学们讲一个故事，所以可将第1个讲故事的同学是报的数是1，则第2个讲故事的同学是100，由于共有43个同学，100÷43＝2（圈）…14（人），即第3圈到第16个人时就是100，也就是第2个讲故事的人．他和第1个讲故事的人中间隔了14﹣2＝12（人）．这里的2是指第1个讲故事的人和第2个讲故事的人他们俩． 【完整解答】解：由题意可知，第一个讲故事的人报数为1， 第二个讲故事的人报数为100， 100÷43＝2（圈）…14（人）， 即第3圈到第14个就是第2个讲故事的人． 则他和第1个讲故事的人中间隔了： 14﹣2＝12（人） 或者43﹣14＝29（人）。 故答案为：12或29． 【考点评析】完成本题要注意在计算中间隔的人数时要将首尾这两个讲故事的人减去． 19．（2024•峰峰矿区）一群孩子匀距坐成一个圆圈玩游戏，从大毛开始按顺时针方向数，数到二毛为第8个．而且大毛和二毛正好面对面坐，这群孩子一共有（　　）人． A．16 B．14 C．15 D．17 【思路引导】此题可以画图分析： 从大毛开始按顺时针方向数，数到二毛为第8个，则大毛和二毛之间报数的孩子一共有8﹣2＝6人，因为大毛和二毛面对面坐，则另一侧也有6人，由此即可求得总人数． 【完整解答】解：（8﹣2）×2+2， ＝12+2， ＝14（人）， 故选：B． 【考点评析】此类问题采用画图法分析，可以使问题更加简洁明了． 重点难点考点06：烙饼问题 20．（2024•罗湖区）笑笑帮妈妈煎饼，一只平底锅每次最多只能放下两个饼，煎一个饼需要6分钟，每个饼的正反面各需要3分钟，笑笑煎3个饼至少需要 　9　 分钟。 【思路引导】根据烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间，代入数据即可计算。 【完整解答】解：3×2÷2×3 ＝3×3 ＝9（分） 答：笑笑煎3个饼至少需要9分钟。 故答案为：9。 【考点评析】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用功。 21．（2024•增城区）（1）妈妈要烙5张饼，锅里每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面烙3分钟，至少需要 　15　 分钟。 （2）下面图形是由若下个圆按规律组成的，第6个图形中有 　37　 个圆，第n个图形中有 　（n2+1）　 个圆。 【思路引导】（1）根据烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间，代入数据计算即可； （2）图1灰圆1个，黑圆1个，合计2个，2＝12+1； 图2灰圆4个，黑圆1个，合计5个，5＝22+1； 图3灰圆9个，黑圆1个，合计10个，10＝32+1； 图4灰圆16个，黑圆1个，合计17个，5＝42+1； …… 图n灰圆（n2）个，黑圆1个，合计（n2+1）个。 据此解答。 【完整解答】解：（1）5×2÷2×3＝15（分钟） 答：至少需要15分钟。 （2）根据分析知图n灰圆（n2）个，黑圆1个，合计（n2+1）个。 当n＝6时，62+1＝37（个） 答：第6个图形中有37个圆，第n个图形中有（n2+1）个圆。 故答案为：（1）15；（2）37，（n2+1）。 【考点评析】本题考查了烙饼问题的应用以及图形的变化类问题的应用。 22．（2024•墨竹工卡县模拟）一口平底锅上只能同时煎3张饼，用它煎一张饼需要2分钟（正、反面各1分钟）。煎4张饼至少需要（　　）分钟。 A．3 B．4 C．6 D．7 【思路引导】要使煎4张饼花费时间最少，就需要充分利用平底锅每次能煎3张饼这个条件，合理安排煎饼的顺序。 【完整解答】解：第一步：先把第一张饼、第二张饼和第三张饼放入锅中煎正面，花费1分钟。此时第一张饼正面、第二张饼正面、第三张饼正面煎好了； 第二步：把第一张饼翻面煎反面，取出第二张饼，放入第四张饼煎正面，第三张饼继续煎反面，花费1分钟。这时第一张饼煎好了，第三张饼也煎好了，第四张饼正面煎好了； 第三步：把第二张饼放入锅中煎反面，第四张饼翻面煎反面，花费1分钟，这样第二张饼和第四张饼也煎好了。 总共花费1+1+1＝3（分钟）。 答：煎4张饼至少需要3分钟。 故选：A。 【考点评析】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用功。 重点难点考点07：沏茶问题 23．（2024•渝北区）选做题，学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动、已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序： ③各道工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要多少分钟？若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要多少分钟？ 【思路引导】根据各个工序的时间求出由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工需要的时间，各个工序所需时间相加求和即可； 根据题意分配两人完成各个工序的顺序，进而求出由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工需要的时间。 【完整解答】解：由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要的时间为： 9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟） 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟。 求由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工需要的时间，设两名学生为甲和乙。 因为工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行， 所以由甲完成工序A，乙完成工序B，需要9分钟； 由甲完成工序D，由乙完成工序C后，再完成工序G需要9分钟； 再有甲完成工序E，乙完成工序F，需要10分钟。 共需时间：9+9+10＝28（分钟） 答：由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟，由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要28分钟。 【考点评析】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。 24．（2024•濮阳）星期日丽丽打算做的家务及所用时间如下：洗衣机洗衣服20分钟，拖地要用7分钟，擦家具要用9分钟，晾衣服要用4分钟。经过合理安排，她做完这些家务至少要用（　　）分钟。 A．20 B．24 C．40 D．29 【思路引导】洗衣机洗衣服的同时去拖地、擦家具，做完这两项家务后，休息会等待衣服洗好。衣服洗好后晾衣服。所以，将洗衣服用的时间加上晾衣服用的时间，即可解题。 【完整解答】解：7+9＝16（分钟） 16＜20 20+4＝24（分钟） 答：她做完这些家务至少要用24分钟。 故选：B。 【考点评析】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。 25．（2024•梅河口市模拟）五一假期快到了，小明准备和爸爸妈妈一起去北京旅游。出发前，小明和爸爸妈妈需要去超市买一些旅游必备用品。小明要用8分钟，爸爸比小明多用的时间，妈妈花的时间要比爸爸长2分钟。要使三人等候时间的总和最少，应按_____的顺序购物，最少要_____分钟。（　　） A．爸爸→妈妈→小明，64 B．爸爸→小明→妈妈，46 C．小明→爸爸→妈妈，56 D．妈妈→爸爸→小明，30 【思路引导】购物时间按从短到长的顺序进行三人等候时间的总和最少。 【完整解答】解：8×（1）＝10（分钟）10+2＝12（分钟） 按小明→爸爸→妈妈的顺序购物三人等候时间的总和最少。 8×3+10×2+12 ＝24+20+12 ＝56（分钟） 答：应按小明→爸爸→妈妈的顺序购物，最少要56分钟。 故选：C。 【考点评析】明确按购物时间从短到长的顺序进行就能使三人等候时间的总和最少是解决本题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$