第八讲 几何图形的体积（升学考向预测+知识梳理+11个考点分类真题训练 共33题）-2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）

2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用） 第八讲 几何图形的体积 （升学考向预测+知识梳理+11个考点分类真题训练 共33题） 目录 资料简介 2 2025年升学考向预测 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：圆的周长和面积 2 知识点梳理02：组合图形的面积 3 知识点梳理03：圆柱与圆锥的测量 3 知识点梳理04：用排水法计算不规则物体的体积 3 知识点梳理05：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 3 知识点梳理06：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 4 知识点梳理07：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： 4 考点分类培优训练 4 重点难点考点01：长方体和正方体的体积 4 重点难点考点02：长方体、正方体表面积与体积计算的应用 6 重点难点考点03：圆柱的体积 7 重点难点考点04：圆柱的侧面积、表面积和体积 8 重点难点考点05：圆锥的体积 9 重点难点考点06：组合图形的体积 10 重点难点考点07：探索某些实物体积的测量方法 11 重点难点考点08：规则立体图形的表面积 12 重点难点考点09：规则立体图形的体积 12 重点难点考点10：不规则立体图形的表面积 13 重点难点考点11：染色问题 14 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 主要知识点： 1. 基础体积公式：长方体、正方体、圆柱、圆锥体积计算（难度★☆）； 2. 组合体与切割体：叠加或挖空立体（如圆柱中挖圆锥）体积求解（难度★★☆）； 3. 实际应用题：液体容积（注水问题）、材料优化（最小表面积对应体积）等（难度★★★）。 重点难点： • 圆锥体积公式（需×1/3）与圆柱体积关系易混淆； • 不规则体体积转换（如排水法、等积变形）； • 动态问题中体积与时间/效率的比例分析（如水管进水与排水）。 预测考察趋势： 基础题占40%（直接公式套用），中等题45%（组合体分层计算），难题15%（跨章节综合，如体积+分数应用题）。需警惕单位换算（升/毫升与立方分米/厘米）陷阱，强化立体展开图与体积关联的逆向思维训练。 知识点梳理01：圆的周长和面积 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点梳理02：组合图形的面积 1.求组合图形面积的方法。 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 知识点梳理03：圆柱与圆锥的测量 1.圆柱的侧面积、表面积。 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点梳理04：用排水法计算不规则物体的体积 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点梳理05：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点梳理06：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 知识点梳理07：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 重点难点考点01：长方体和正方体的体积 1．（2024•三河市）小明认为：数学学习中，准确理解“单位”的意义十分重要。数学中的“数量”是由表示这种量的“单位”和“单位的个数”组成的。比如5千克，表示5个“1千克”。但有时候，同样的“量”用于解决不同问题的时候，表示的意义却不同。比如在“边长5厘米的正方形”这个信息里面：求周长的时候，“5厘米”表示5个“1厘米”，但是在求面积的时候，“5厘米”就表示5个“1平方厘米”。下面说法与小明的想法道理相同的是（　　） ①长方形的长是7厘米：求周长的时候表示7个“1厘米”，求面积的时候表示7个“1平方厘米”。 ②平行四边形的底是8厘米；测量平行四边形的底边长度时表示8个“1厘米”，求面积的时候表示底边方向每层有8个“1平方厘米”。 ③正方体的棱长是9厘米：求底面周长时表示9个“1厘米”，求体积的时候表示9个“1立方厘米”。 ④长方体的底面积是16平方厘米：求表面积时表示16个“1平方厘米”，求体积的时候表示每层有16个“1立方厘米”。 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．（2024•集美区）小美想要知道一个底面是正方形的瓶子（如图）的容积大约是多少，她设计了一个试验。请仔细阅读下面的实验记录表，计算出这个瓶子的容积。（瓶子厚度忽略不计） 步骤 实验记录 第一步 将这个瓶子装入一部分水，正着放，量得水的高度是8cm。 第二步 将这个瓶子倒置放平，量得空气的高度是10cm。 第三步 用尺子量得瓶子的底面边长是5cm。 3．（2025•北碚区）一个高1米的直柱体容器如图1所示，俯视图如图2所示（单位：分米）。容器中有甲、乙两块挡板（挡板的体积忽略不计）将容器分成A、B、C三个区域，其中甲挡板高6分米，乙挡板高8分米。往C区域匀速注水，10分钟后，B区域水的高度是3分米。 （1）每分钟注水多少升？ （2）如果往C区域注水的同时以同样的速度往A区域注水，多少分钟后，A区域水的高度是B区域的2倍？ 重点难点考点02：长方体、正方体表面积与体积计算的应用 4．（2024•柳州）图①是一块大太阳能板，它由六块同样的小太阳能板拼成，每块小太阳能板长12分米，宽3分米，高2.5分米。 （1）在大太阳能板的四周和上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）要把大太阳能板装入如图②所示的长方体包装箱中，最多能装多少块？请用算式说明理由。 5．（2024•禅城区模拟）杭州奥体中心游泳体育馆，又称“化碟”双馆，该馆获杭州第19届亚运会“十大场馆”之“智能建设奖”。场馆内有一个长50米，宽25米，深2米的游泳池。 （1）如果要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）工作人员往游泳池内注入了1.8米深的水，此时游池内有多少立方米的水？ 6．（2024•襄城区）图中是一个无盖长方体纸盒展开图（单位：dm），与①号面相对的是 　　 号面，这个纸盒的容积是 　 　 dm3。制作这个无盖纸盒至少需要 　 　 dm2的纸板，它的占地面积是 　 　 dm2。 重点难点考点03：圆柱的体积 7．（2024•崇川区）下面四个容器中均装有一定量的开水（图中涂色部分），如果把15克糖溶解在水中，那么最甜的是（　　）（容积厚度忽略不计） A． B． C． D． 8．（2024•玉溪）图中运用了“转化”思想方法的有（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 9．（2024•常州）如图，一个水箱由两个圆柱组成（单位：分米） （1）下层水箱的容积是 　 　 升，上层水箱的容积是 　 升。 （2）如果注满下层水箱需要4分钟，照这样的注水速度，注满整个水箱需要多少分钟？ （3）在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的变化而变化，如图哪幅图表示正确的注水情况？请在（　　）里打“√”。 重点难点考点04：圆柱的侧面积、表面积和体积 10．（2024•沙坪坝区校级模拟）一根圆柱形木料的底面半径是2厘米，长是40厘米。如图所示，将它截成5段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（　　）平方厘米。 A．200.96 B．100.48 C．80 D．50.24 11．（2024•黄埔区）一个圆柱形的玻璃缸内底面直径为8厘米，高为12厘米，装有一些水，把一个铅锤放入玻璃缸中，全部浸没水中，水面上升了0.5厘米，铅锤的高为4厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 12．（2024•雨花台区）如图所示，圆圆和芳芳分别用纸剪下了两个相同的圆和一个长方形，想制作成圆柱。（单位：厘米） （1）她们两个剪下来的图形都能围成圆柱吗？写出你的理由。 （2）计算出围成的圆柱的表面积。 重点难点考点05：圆锥的体积 13．（2024•黄埔区）如图，圆锥形玻璃容器内装满水，将这些水全部倒入圆柱形玻璃容器中，圆柱形玻璃容器中水的高度是（　　）（玻璃厚度忽略不计） A．15cm B．5cm C．10cm D．1cm 14．（2024•宁波）王师傅做了一个底面积为240cm2的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸 　 　 分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 15．（2024•东阳市）一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，这个圆柱的底面积是 　 　 cm2，体积是 　 　 cm3。把这个圆柱削成最大的圆锥，圆锥与削去部分的体积比是 　 　 。 重点难点考点06：组合图形的体积 16．（2024•海门区）如图①，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导出了梯形的面积计算公式。用这样的思路，可以求出如图②所示的立体图形的体积是（　　）cm3。 A．100 B．160π C．200π D．240π 17．（2024•南平）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图是一种木制玩具陀螺，可以看作是一个近似的圆锥和圆柱组合起来的立体图形。它的底面半径是3厘米，圆柱部分的高是6厘米（即AB＝6厘米），圆锥部分的高是3厘米（即BC＝3厘米）。这个木质陀螺的体积是多少立方厘米？ 18．（2024•福州）如图，在容器内注入细沙。细沙填满圆锥后，还填了部分圆柱。若将容器上方封口并上下倒置，细沙的高度是 　 　 厘米。 重点难点考点07：探索某些实物体积的测量方法 19．（2024•大洼区）数学课上，为了比较土豆和西红柿体积的大小，琳琳学习小组用“排水法”进行试验，试验过程如图。关于土豆和西红柿体积的大小，下面说法正确的是（　　） A．一样大 B．土豆大 C．西红柿大 D．无法判断 20．（2024•渭南）小飞在一个长方体玻璃容器中装了一些水，把一个底面半径是4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，水面上升了8厘米，如果把铁块垂直拉出水面5厘米，那么水面下降2厘米（如图），这个圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？（玻璃厚度忽略不计） 21．（2024•宿迁）“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，王老师和同学们合作测量一些相同螺丝钉的体积，他们进行了如下实验： ①小亮准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量底面直径是4厘米，高是14厘米； ②小明往玻璃杯里注入一些水，水的高度8厘米； ③小芳把40枚螺丝钉放入玻璃杯（螺丝钉浸没在水中），测得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是5：2，根据上面的信息，计算出1枚螺丝钉的体积。 重点难点考点08：规则立体图形的表面积 22．（2024•余杭区）如图，由棱长为1厘米的小正方体拼搭而成，它的表面积是 　　 平方厘米；至少还需要 　　 个这样的小正方体，才能搭拼成一个大正方体。 23．（2024•安宁市）乐乐沿着墙角按如图所示的方式摆放一些棱长是1cm的小正方体。按照这样的摆放方式，摆7个小正方体，如果把露出的表面涂上颜色，涂色部分的面积为 　　 平方厘米。 24．（2024•寿光市）用棱长1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型。这个模型的体积是 　　 立方厘米；若拿走最上面一层的小正方体，表面积会减少 　　 平方厘米。 重点难点考点09：规则立体图形的体积 25．（2024•陕州区）一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？ 26．（2024•城厢区）有甲、乙、丙三个圆柱形水杯，如图，顶部用管道相连（甲杯与乙杯相连，乙杯与丙杯相连），排成一排，甲杯中有1厘米高的水，乙、丙杯空． 已知甲、乙、丙三个水杯的底面半径之比为1：2：1，高度均为5厘米．现在向丙杯中注水，注水速度恒定，1钟能注厘米高的水．问：开始倒水后的多久，甲、乙两杯中的水面高度相差0.5厘米？ 27.（2024•舞阳县模拟）如图是从一段钢材上截下的一段（单位：厘米），如果每立方厘米的钢材重7.8克，这段钢材重多少克？ 重点难点考点10：不规则立体图形的表面积 28．（2024•郫都区校级模拟）如图，桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为（　　） A．20a2 B．30a2 C．40a2 D．50a2 29．（2024•柳河县）如图是由同样大小的小正方体堆积起来的几何体，已知小正方体的棱长是1厘米，那么这个几何体的表面积是 　　 平方厘米。 30． （2024•谷城县）图形是由棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是　　 平方厘米；至少还需要　 　 个这样的小正方体才能拼成一个大正方体． 重点难点考点11：染色问题 31．（2024•天河区）给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，需要有（　　）个面涂红色。 A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2024•天府新区）如图，一个中间有方孔的模型，将它的露在外面的面涂上黄色，然后沿线切开，正好可以切成16个小正方体。下面描述正确的是（　　） A．切开后两面涂色的正方体有8个。 B．切开后三面涂色的正方体有8个。 C．切开后三面涂色的正方体有12个。 D．切开后三面涂色的正方体有16 个。 33．（2024•渝北区）1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是 　　 个。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用） 第八讲 几何图形的体积 （升学考向预测+知识梳理+11个考点分类真题训练 共33题） 目录 资料简介 2 2025年升学考向预测 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：圆的周长和面积 2 知识点梳理02：组合图形的面积 3 知识点梳理03：圆柱与圆锥的测量 3 知识点梳理04：用排水法计算不规则物体的体积 3 知识点梳理05：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 3 知识点梳理06：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 4 知识点梳理07：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： 4 考点分类培优训练 4 重点难点考点01：长方体和正方体的体积 4 重点难点考点02：长方体、正方体表面积与体积计算的应用 7 重点难点考点03：圆柱的体积 10 重点难点考点04：圆柱的侧面积、表面积和体积 13 重点难点考点05：圆锥的体积 15 重点难点考点06：组合图形的体积 17 重点难点考点07：探索某些实物体积的测量方法 19 重点难点考点08：规则立体图形的表面积 21 重点难点考点09：规则立体图形的体积 22 重点难点考点10：不规则立体图形的表面积 25 重点难点考点11：染色问题 27 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 主要知识点： 1. 基础体积公式：长方体、正方体、圆柱、圆锥体积计算（难度★☆）； 2. 组合体与切割体：叠加或挖空立体（如圆柱中挖圆锥）体积求解（难度★★☆）； 3. 实际应用题：液体容积（注水问题）、材料优化（最小表面积对应体积）等（难度★★★）。 重点难点： • 圆锥体积公式（需×1/3）与圆柱体积关系易混淆； • 不规则体体积转换（如排水法、等积变形）； • 动态问题中体积与时间/效率的比例分析（如水管进水与排水）。 预测考察趋势： 基础题占40%（直接公式套用），中等题45%（组合体分层计算），难题15%（跨章节综合，如体积+分数应用题）。需警惕单位换算（升/毫升与立方分米/厘米）陷阱，强化立体展开图与体积关联的逆向思维训练。 知识点梳理01：圆的周长和面积 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点梳理02：组合图形的面积 1.求组合图形面积的方法。 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 知识点梳理03：圆柱与圆锥的测量 1.圆柱的侧面积、表面积。 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点梳理04：用排水法计算不规则物体的体积 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点梳理05：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点梳理06：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 知识点梳理07：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 重点难点考点01：长方体和正方体的体积 1．（2024•三河市）小明认为：数学学习中，准确理解“单位”的意义十分重要。数学中的“数量”是由表示这种量的“单位”和“单位的个数”组成的。比如5千克，表示5个“1千克”。但有时候，同样的“量”用于解决不同问题的时候，表示的意义却不同。比如在“边长5厘米的正方形”这个信息里面：求周长的时候，“5厘米”表示5个“1厘米”，但是在求面积的时候，“5厘米”就表示5个“1平方厘米”。下面说法与小明的想法道理相同的是（　　） ①长方形的长是7厘米：求周长的时候表示7个“1厘米”，求面积的时候表示7个“1平方厘米”。 ②平行四边形的底是8厘米；测量平行四边形的底边长度时表示8个“1厘米”，求面积的时候表示底边方向每层有8个“1平方厘米”。 ③正方体的棱长是9厘米：求底面周长时表示9个“1厘米”，求体积的时候表示9个“1立方厘米”。 ④长方体的底面积是16平方厘米：求表面积时表示16个“1平方厘米”，求体积的时候表示每层有16个“1立方厘米”。 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【思路引导】周长是指封闭图形一周的长，面积是指物体或图形平面的大小，体积是指物体所占空间的大小；厘米是长度单位，平方厘米是面积单位，立方厘米是体积单位；结合长方形的周长、面积公式、平行四边形的面积公式、正方体的体积公式、长方体的表面积、体积公式，进行解答。 【完整解答】解：①长方形的长是7厘米：求周长的时候表示7个“1厘米”，求面积的时候表示7个“1平方厘米”，说法正确； ②平行四边形的底是8厘米：测量平行四边形的底边长度时表示8个“1厘米”，求面积的时候表示底边方向每层有8个“1平方厘米”，说法正确； ③正方体的棱长是9厘米：求底面周长时表示9个“1厘米”，求体积的时候表示9个“1立方厘米”，说法正确； ④长方体的底面积是16平方厘米：求表面积时表示16个“1平方厘米”，求体积的时候表示每层有16个“1立方厘米”，说法正确。 所以四种说法都与小明的想法道理相同。 故选：D。 【考点评析】本题考查了长度单位、面积单位、体积单位的认识，理解掌握这些单位的意义是解题的关键。 2．（2024•集美区）小美想要知道一个底面是正方形的瓶子（如图）的容积大约是多少，她设计了一个试验。请仔细阅读下面的实验记录表，计算出这个瓶子的容积。（瓶子厚度忽略不计） 步骤 实验记录 第一步 将这个瓶子装入一部分水，正着放，量得水的高度是8cm。 第二步 将这个瓶子倒置放平，量得空气的高度是10cm。 第三步 用尺子量得瓶子的底面边长是5cm。 【思路引导】瓶内空气部分的体积等于底面是边长为5cm的正方形，高为10cm的长方体的体积，即空气部分的体积＝边长×边长×高。所以瓶子的容积＝正放时高度为8cm的长方体体积+空气部分的体积，据此代入数据即可解答。 【完整解答】解：5×5×（8+10） ＝25×18 ＝450（cm3） 450cm3＝450mL 答：这个瓶子的容积是450mL。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．（2025•北碚区）一个高1米的直柱体容器如图1所示，俯视图如图2所示（单位：分米）。容器中有甲、乙两块挡板（挡板的体积忽略不计）将容器分成A、B、C三个区域，其中甲挡板高6分米，乙挡板高8分米。往C区域匀速注水，10分钟后，B区域水的高度是3分米。 （1）每分钟注水多少升？ （2）如果往C区域注水的同时以同样的速度往A区域注水，多少分钟后，A区域水的高度是B区域的2倍？ 【思路引导】（1）先向C区域注水，注满后再流向B区域，当B区域水的高度是3分米时，用此时B、C区域的水的总容积除以10分钟就是每分钟注水多少升； （2）因为A区域的底面积是12平方分米，C区域的底面积是8平方分米，所以相同时间内一定是C区域先注满水后流向B区域。先求B区域注满水需要的时间及此时A区域里水面的高度。再设还需t分钟，A区域水的高度是B区域的2倍。解出的t与B区域注满所需时间求和，即为所求。 【完整解答】解：（1）2×4×6+2×2×3 ＝8×6+4×3 ＝48+12 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60÷10＝6（升） 答：每分钟注水6升。 （2）2×4×6÷6 ＝8×6÷6 ＝8（分钟） 6×8÷（2×6） ＝48÷12 ＝4（分米） 设还需t分钟，A区域水位是B区域的2倍， t＝1.6 8+1.6＝9.6（分钟） 答：9.6分钟后，A区域水位是B区域的2倍。 【考点评析】本题考查应用长方体体积公式的灵活变形解决水的容积问题。 重点难点考点02：长方体、正方体表面积与体积计算的应用 4．（2024•柳州）图①是一块大太阳能板，它由六块同样的小太阳能板拼成，每块小太阳能板长12分米，宽3分米，高2.5分米。 （1）在大太阳能板的四周和上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）要把大太阳能板装入如图②所示的长方体包装箱中，最多能装多少块？请用算式说明理由。 【思路引导】（1）根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式求出长方体包装箱的容积，每块大太阳能板的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 【完整解答】解：（1）12×2＝24（分米） 3×3＝9（分米） 24×9+24×2.5×2+9×2.5×2 ＝216+120+45 ＝381（平方分米） 答：涂吸热材料的面积是381平方分米。 （2）24×18×10÷（24×9×2.5） ＝4320÷540 ＝8（块） 答：最多能装8块。 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．（2024•禅城区模拟）杭州奥体中心游泳体育馆，又称“化碟”双馆，该馆获杭州第19届亚运会“十大场馆”之“智能建设奖”。场馆内有一个长50米，宽25米，深2米的游泳池。 （1）如果要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）工作人员往游泳池内注入了1.8米深的水，此时游池内有多少立方米的水？ 【思路引导】（1）由于游泳池无盖，所以贴瓷砖的面积等于这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，据此解答即可； （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，可得游池内有多少立方米的水。 【完整解答】解：（1）50×25+50×2×2+25×2×2 ＝1250+200+100 ＝1550（平方米） 答：一共需要贴1550平方米的瓷砖。 （2）50×25×1.8 ＝1250×1.8 ＝2250（立方米） 答：游此时游池内有2250立方米的水。 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活应用。 6．（2024•襄城区）图中是一个无盖长方体纸盒展开图（单位：dm），与①号面相对的是 　④　 号面，这个纸盒的容积是 　72　 dm3。制作这个无盖纸盒至少需要 　108　 dm2的纸板，它的占地面积是 　12　 dm2。 【思路引导】依据题意结合图示可知，①号和④号形状相同，这个长方体的长是6分米，宽是2分米，高是6分米，利用长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，结合题中数据计算即可。 【完整解答】解：与①号面相对的是④， 6×6×2＝72（立方分米） 6×6×2+2×6×3 ＝72+36 ＝108（平方分米） 6×2＝12（平方分米） 答：这个纸盒的容积是72立方分米，需要108平方分米的纸板，占地面积是12平方分米。 故答案为：④，72，108，12。 【考点评析】本题考查的是长方体表面积、体积公式的应用。 重点难点考点03：圆柱的体积 7．（2024•崇川区）下面四个容器中均装有一定量的开水（图中涂色部分），如果把15克糖溶解在水中，那么最甜的是（　　）（容积厚度忽略不计） A． B． C． D． 【思路引导】分别求出每个容器中水的体积，糖的质量相同，水越少，糖水越甜。 【完整解答】解：A，5×8×10＝400（立方厘米），400立方厘米＝400毫升； B，1分米＝10厘米 10×10×10＝1000（立方厘米），1000立方厘米＝1000毫升； C，1÷2＝0.5（厘米） 3.14×0.52×1 ＝3.14×0.25×1 ＝0.785（立方厘米） 0.785立方厘米＝0.785毫升 D，1÷2＝0.5（厘米） 3.14×0.52×1÷3 ＝3.14×0.25×1÷3 ＝0.785÷3 （立方厘米） 立方厘米毫升 1000＞400＞0.785，所以圆锥中水最少，故最甜的是D。 故选：D。 【考点评析】此题考查长方体、正方体、圆柱及圆锥体积的计算。 8．（2024•玉溪）图中运用了“转化”思想方法的有（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【思路引导】转化是数学的一种思想方法，是把新知识转化为学过的旧知识解决新问题的方法，根据小数乘法的计算方法，平行四边形面积公式的推导过程，圆柱体积公式的推导过程对各个问题进行分析从而的结论。 【完整解答】解：①探索平行四边形的面积时，利用割补法，将平行四边形剪切成长方形，运用了转化的思想； ②计算小数乘法，根据小数的基本性质，先把小数化成整数，运用了转化的思想； ③求圆柱的体积，利用割补法，将圆柱沿着底面半径和高切拼成小长方体，运用了转化的思想。 ①②③都运用了转化的思想。 故选：D。 【考点评析】本题是考查小数乘法的计算方法，平行四边形面积公式的推导，圆柱的体积公式的推导，关键是利用“转化”思想做题。 9．（2024•常州）如图，一个水箱由两个圆柱组成（单位：分米） （1）下层水箱的容积是 　37.68　 升，上层水箱的容积是 　150.72　 升。 （2）如果注满下层水箱需要4分钟，照这样的注水速度，注满整个水箱需要多少分钟？ （3）在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的变化而变化，如图哪幅图表示正确的注水情况？请在（　　）里打“√”。 【思路引导】（1）根据圆柱的容积公式计算即可； （2）根据注水的速度一定，列出正比例式解答； （3）在水箱的两层，下层的底面积比上层的底面积小，底面积大水上升的就慢，底面积小水上升的就快，据此解答即可。 【完整解答】解：（1）3.14×（4÷2）2×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方分米） ＝37.68（升） 2+4+2＝8（分米） 3.14×（8÷2）2×3 ＝3.14×16×3 ＝50.24×3 ＝150.72（立方分米） ＝150.72（升） 答：下层水箱的容积是37.68升，上层水箱的容积是150.72升。 （2）设注满下层水箱需要x分钟。 37.68x＝4×150.72 37.68x＝602.88 37.68x÷37.68＝602.88÷37.68 x＝16 4+16＝20（分钟） 答：注满整个水箱需要20分钟。 （3）37.68＜150.72 图如下： 故答案为：37.68；150.72。 【考点评析】熟练掌握圆柱的容积公式、正比例关系的意义、单式折线统计图的特征是解答本题的关键。 重点难点考点04：圆柱的侧面积、表面积和体积 10．（2024•沙坪坝区校级模拟）一根圆柱形木料的底面半径是2厘米，长是40厘米。如图所示，将它截成5段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（　　）平方厘米。 A．200.96 B．100.48 C．80 D．50.24 【思路引导】通过观察图形可知，把这根圆柱形木料横截成5段，表面积比原来增加8个截面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（平方厘米） 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了100.48平方厘米。 故选：B。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱表面积的意义及应用，圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。 11．（2024•黄埔区）一个圆柱形的玻璃缸内底面直径为8厘米，高为12厘米，装有一些水，把一个铅锤放入玻璃缸中，全部浸没水中，水面上升了0.5厘米，铅锤的高为4厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【思路引导】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：VSh，那么S＝3V÷h，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：3.14×（8÷2）2×0.5×3÷4 ＝3.14×16×0.5×3÷4 ＝25.12×3÷4 ＝75.36÷4 ＝18.84（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是18.84平方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．（2024•雨花台区）如图所示，圆圆和芳芳分别用纸剪下了两个相同的圆和一个长方形，想制作成圆柱。（单位：厘米） （1）她们两个剪下来的图形都能围成圆柱吗？写出你的理由。 （2）计算出围成的圆柱的表面积。 【思路引导】（1）先算出相应的圆周长，若周长与长方形的长或宽相等，则可以围成圆柱，反之则不能围成圆柱。 （2）算出两个圆形底面积的面积之和，再累加侧面积（长方形面积）得解。 【完整解答】解：（1）圆圆剪的圆周长：3.14×2＝6.28（厘米）， 芳芳剪的圆周长：3.14×3＝9.42（厘米）。 答：圆圆剪下来的图形能围成圆柱，芳芳剪下来的图形不能围成圆柱；因为圆的周长等于长方形的长或宽，才能围成圆柱。 （2）3.14×（2÷2）2×2+6.28×4 ＝3.14×12×2+25.12 ＝3.14×2+25.12 ＝6.28+25.12 ＝31.4（平方厘米）。 答：围成的圆柱表面积是31.4平方厘米。 【考点评析】本题考查了圆柱表面积的认识与计算问题，解答本题的关键有两点：一是熟练掌握圆柱表面展开图的特征，二是理解表面积的组成情况成计算方法。 重点难点考点05：圆锥的体积 13．（2024•黄埔区）如图，圆锥形玻璃容器内装满水，将这些水全部倒入圆柱形玻璃容器中，圆柱形玻璃容器中水的高度是（　　）（玻璃厚度忽略不计） A．15cm B．5cm C．10cm D．1cm 【思路引导】观察图形可得，圆柱与圆锥玻璃容器等底等高，则圆锥体积是圆柱的，将圆锥形玻璃容器里的水全部倒入圆柱形玻璃容器，高是圆柱的，据此即可解题。 【完整解答】解：155（cm） 答：圆柱形玻璃容器中水的高度是5cm。 故选：B。 【考点评析】本题考查圆柱和圆锥体积的应用，熟练掌握圆柱和圆锥体积的计算公式是解题的关键。 14．（2024•宁波）王师傅做了一个底面积为240cm2的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸 　10　 分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 【思路引导】（1）通过观察统计图可知，圆锥零件浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 （2）把圆锥理解放入油漆缸中，上升部分油漆的体积就等于圆锥零件的体积，通过观察统计图可知，放入圆锥零件后，液面上升了5厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，圆锥的体积公式：VSh，那么h＝3V÷S，把数据代入公式解答。 （3）首先求出油漆的体积，然后用油漆的体积除以漏的时间（20分钟）即可。 【完整解答】解：（1）圆锥理解浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 （2）20×20×（18﹣15）×3÷240 ＝400×3×3÷240 ＝3600÷240 ＝15（厘米） 答：铁质圆锥的高度是15厘米。 （3）20×10×15÷20 ＝400×15÷20 ＝6000÷20 ＝300（立方厘米） 答：油漆理解每分钟漏掉300立方厘米。 故答案为：10。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，长方体的体积公式、圆锥的体积公式及应用。 15．（2024•东阳市）一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，这个圆柱的底面积是 　50.24　 cm2，体积是 　502.4　 cm3。把这个圆柱削成最大的圆锥，圆锥与削去部分的体积比是 　1：2　 。 【思路引导】根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出圆柱的底面积、圆柱的体积，把这个圆柱削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，等底等高的圆柱的体积是圆柱锥积的3倍，所以削求部分的体积相当于圆锥体积的（3﹣1）倍，再根据比的意义解答。 【完整解答】解：3.4×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 50.24×10＝502.4（立方厘米） 1：（3﹣1）＝1：2 答：这个圆柱的底面积是50.24平方厘米，体积是502.4立方厘米，把这个圆柱削成最大的圆锥，圆锥与削去部分的体积比是1：2。 故答案为：50.24，502.4，1：2。 【考点评析】此题主要考查圆的面积公式、圆柱的体积公式、以及等底等高的圆柱与圆锥体积的关系及应用，比的意义及应用。 重点难点考点06：组合图形的体积 16．（2024•海门区）如图①，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导出了梯形的面积计算公式。用这样的思路，可以求出如图②所示的立体图形的体积是（　　）cm3。 A．100 B．160π C．200π D．240π 【思路引导】①根据梯形面积公式的推导方法，用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形的上、下底之和，拼成的平行四边形的高等于梯形的高，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式。 ②同理，用这样两个完全一样的图形拼成一个圆柱体，拼成的圆柱体的体积是每个图形的2倍，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【完整解答】解：π×（8÷2）2×（10+15）÷2 ＝π×16×25÷2 ＝200π（立方厘米） 答：图②所示的立体图形的体积是（200π）立方厘米。 故选：C。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握梯形面积公式的推导方法及应用，圆柱体积公式的灵活运用。 17．（2024•南平）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图是一种木制玩具陀螺，可以看作是一个近似的圆锥和圆柱组合起来的立体图形。它的底面半径是3厘米，圆柱部分的高是6厘米（即AB＝6厘米），圆锥部分的高是3厘米（即BC＝3厘米）。这个木质陀螺的体积是多少立方厘米？ 【思路引导】由图可知，陀螺由一个底面半径为3厘米、高为3厘米的圆锥和一个底面半径为3厘米、高为6厘米的圆柱组成，根据圆锥体体积公式Vπr2h、圆柱体体积公式V＝πr2h，代入数据分别计算出圆锥和圆柱的体积，然后相加求和即可。 【完整解答】解：3.14×32×3+3.14×32×6 ＝28.26+169.56 ＝197.82（立方厘米） 答：这个木质陀螺的体积是197.82立方厘米。 【考点评析】解答本题需熟练掌握圆柱体和圆锥体的体积公式。 18．（2024•福州）如图，在容器内注入细沙。细沙填满圆锥后，还填了部分圆柱。若将容器上方封口并上下倒置，细沙的高度是 　6　 厘米。 【思路引导】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此可以求出圆锥容器中的沙倒入圆柱容器中沙的高是（12）厘米，再加上原来圆柱容器中的沙高即可。 【完整解答】解：122 ＝4+2 ＝6（厘米） 答：若将容器上方封口并上下倒置，细沙的高度是6厘米。 故答案为：6。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 重点难点考点07：探索某些实物体积的测量方法 19．（2024•大洼区）数学课上，为了比较土豆和西红柿体积的大小，琳琳学习小组用“排水法”进行试验，试验过程如图。关于土豆和西红柿体积的大小，下面说法正确的是（　　） A．一样大 B．土豆大 C．西红柿大 D．无法判断 【思路引导】根据不规则物体体积的测量方法，把不规则物体放入有一些水的长方体容器中，上升部分水的体积就等于这个不规则体积的体积。 【完整解答】解：长方体容器内水的高度是9厘米，把一个土豆放入后水面高是11厘米，水面上升了11﹣9＝2（厘米）；再放入一个西红柿后水面高是14.5厘米，此时水面上升了14.5＝11＝3.5（厘米）， 3.5＞2 所以西红柿的如同就比土豆的体积大。 故选：C。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用。 20．（2024•渭南）小飞在一个长方体玻璃容器中装了一些水，把一个底面半径是4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，水面上升了8厘米，如果把铁块垂直拉出水面5厘米，那么水面下降2厘米（如图），这个圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？（玻璃厚度忽略不计） 【思路引导】根据题意，把底面半径为4厘米的圆柱形铁块垂直拉出水面5厘米，即铁块露出水面5厘米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块露出水面部分的体积；已知铁块垂直拉出水面5厘米，水面下降2厘米，那么铁块露出水面部分的体积相当于长方体容器内2厘米水深的体积；而铁块完全浸入水中，水面上升了8厘米，那么整个铁块的体积相当于长方体容器内8厘米水深的体积；用铁块露出水面部分的体积除以2，求出长方体容器内1厘米水深的体积，再乘8，即是长方体容器内8厘米水深的体积，也就是整个铁块的体积。 【完整解答】解：3.14×42×5 ＝3.14×16× ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 251.2÷2×8 ＝125.6×8 ＝1004.8（立方厘米） 答：这个铁块的体积是1004.8立方厘米。 【考点评析】此题考查的理解掌握探索某些实物体积的方法及应用，圆柱的体积公式及应用，关键是熟记公式。 21．（2024•宿迁）“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，王老师和同学们合作测量一些相同螺丝钉的体积，他们进行了如下实验： ①小亮准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量底面直径是4厘米，高是14厘米； ②小明往玻璃杯里注入一些水，水的高度8厘米； ③小芳把40枚螺丝钉放入玻璃杯（螺丝钉浸没在水中），测得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是5：2，根据上面的信息，计算出1枚螺丝钉的体积。 【思路引导】根据题意可知，圆柱形玻璃杯的底面直径是4厘米，里面注入水的高度是8厘米，40枚螺丝钉放入玻璃杯中，此时水的高度与水面离杯口的距离之比是5：2，用玻璃杯的高度乘，即可求出此时水的高度为10厘米，可求得水面前后高度的差是10﹣8＝2（厘米），因为螺丝钉的体积就等于此时上升部分水的体积；根据圆柱的体积V＝πr2h，可求出此时玻璃杯中40枚螺丝钉的总体积，再除以40，即可求出一枚螺丝钉的体积。 【完整解答】解：（厘米） 半径：4÷2＝2（厘米） 3.14×22×（10﹣8）÷40 ＝25.12÷40 ＝0.628（立方厘米） 答：1枚螺丝钉的体积是0.628立方厘米。 【考点评析】本题考查了用排水法测量实物体积的方法，结合题意分析解答即可。 重点难点考点08：规则立体图形的表面积 22．（2024•余杭区）如图，由棱长为1厘米的小正方体拼搭而成，它的表面积是 　18　 平方厘米；至少还需要 　4　 个这样的小正方体，才能搭拼成一个大正方体。 【思路引导】根据题干可得：这个图形是由4个小正方体组成的，它的表面积就是这4个小正方体的表面积之和减去重叠部分的面积．外露的3个正方体都有一个面和被挡住的小正方体的3个面互相重叠，所以表面积一共减少了6个面；由此即可求得此立体图形的表面积；根据题干小正方体拼组大正方体的特点可以得出：至少需要8个这样的小正方体才能拼成一个大正方体，所以至少还需要8﹣4＝4个小正方体。 【完整解答】解：表面积为： 1×1×6×4﹣1×1×6 ＝24﹣6 ＝18（平方厘米） 8﹣4＝4（个） 答：它的表面积是18平方厘米；至少还需要4个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。 故答案为：18；4。 【考点评析】这个立体图形的表面积就是这4个小正方体的表面积之和减去重叠部分的面积，找出图形中重叠的面，是解决本题的关键。 23．（2024•安宁市）乐乐沿着墙角按如图所示的方式摆放一些棱长是1cm的小正方体。按照这样的摆放方式，摆7个小正方体，如果把露出的表面涂上颜色，涂色部分的面积为 　15　 平方厘米。 【思路引导】依据题意结合图示可知，第1个图中有3个面涂色，第2个图中有（3+2）个面涂色，第3个图中有（3+2+2）个面涂色，第n个图中有[3+2×（n﹣1）]个面涂色，由此解答本题。 【完整解答】解：3+2×（7﹣1） ＝3+12 ＝15（个） 15×1×1＝15（平方厘米） 答：涂色部分的面积是15平方厘米。 故答案为：15。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 24．（2024•寿光市）用棱长1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型。这个模型的体积是 　10　 立方厘米；若拿走最上面一层的小正方体，表面积会减少 　4　 平方厘米。 【思路引导】这个图形的体积就等于10个小正方体的体积之和，据此利用正方体的体积公式计算即可；若拿走最上面一层的小正方体，会减少4个面，据此求解即可。 【完整解答】解：1×1×1×10＝10（立方厘米） 1×1×4＝4（平方厘米） 答：这个模型的体积是10立方厘米；若拿走最上面一层的小正方体，表面积会减少4平方厘米。 故答案为：10；4。 【考点评析】解答此题的关键是熟练数出小正方体的个数。 重点难点考点09：规则立体图形的体积 25．（2024•陕州区）一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？ 【思路引导】根据圆柱的体积公式可得，这个铅笔的底面积是9÷18＝0.5平方厘米，即得出图中剩下的铅笔的底面积是0.5平方厘米，据此再利用圆柱与圆锥的体积公式求出剩下的体积即可． 【完整解答】解：9÷18＝0.5（平方厘米） 0.5×8+0.5×3 ＝4+0.5 ＝4.5（立方厘米） 答：此时铅笔的体积是4.5立方厘米． 【考点评析】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的计算应用，剩下的铅笔的体积等于图中圆柱与圆锥的体积之和． 26．（2024•城厢区）有甲、乙、丙三个圆柱形水杯，如图，顶部用管道相连（甲杯与乙杯相连，乙杯与丙杯相连），排成一排，甲杯中有1厘米高的水，乙、丙杯空． 已知甲、乙、丙三个水杯的底面半径之比为1：2：1，高度均为5厘米．现在向丙杯中注水，注水速度恒定，1钟能注厘米高的水．问：开始倒水后的多久，甲、乙两杯中的水面高度相差0.5厘米？ 【思路引导】甲乙两杯相差0.5厘米，应该分三种情况，①是甲比乙高0.5厘米；②是乙刚刚超过甲0.5厘米；③是乙已经注满甲还差0.5厘米注满． ①甲、乙两杯中的水面高度相差0.5厘米，即只要乙杯中有1﹣0.5＝0.5（厘米）的水深即可，又因为乙、丙两个水杯的底面半径之比为2：1，即相当于丙杯向其倒水高度0.5×（22）＝2（厘米）；注水5+2＝7（厘米），然后除以厘米就是需要的时间． 同理，解决②③两种情况即可． 【完整解答】解：①甲比乙高0.5厘米： 1﹣0.5＝0.5（厘米） 0.5×（22）＝2（厘米） 5+2＝7（厘米） 74.2（分钟） ②乙刚刚超过甲0.5厘米： 1+0.5＝1.5（厘米） 1.5×（22）＝6（厘米） 5+6＝11（厘米） 116.6（分钟） ③乙已经注满甲还差0.5厘米注满： 5﹣0.5﹣1＝3.5（厘米） 5×（22）＝20（厘米） 3.5+5+20＝28.5（厘米） 28.517.1（分钟） 答：开始倒水后的4.2分钟、或6.6分钟、或17.1分钟，甲、乙两杯中的水面高度相差0.5厘米． 【考点评析】本题考查了等积变形问题，关键是求出倒入乙杯中水的高度，相当于丙杯中水的高度． 27． （2024•舞阳县模拟）如图是从一段钢材上截下的一段（单位：厘米），如果每立方厘米的钢材重7.8克，这段钢材重多少克？ 【思路引导】如果这个图再增加一半，可以拼成一个底面直径是4厘米，高（10+8）厘米的圆柱体，根据圆柱的体积V＝πr2h，求出这个圆柱的体积，再除以2求出图形的体积，然后再乘7.8克，即可求出这段钢材重多少克． 【完整解答】解：3.14×（4÷2）2×（10+8） ＝3.14×4×18 ＝12.56×18 ＝226.08（立方厘米） 226.08÷2×7.8 ＝113.04×7.8 ＝881.712（克） 答：这段钢材重881.712克． 【考点评析】此题是考查圆柱的体积计算公式的灵活运用，关键是利用拼组的方法把图形变成一个圆柱． 重点难点考点10：不规则立体图形的表面积 28．（2024•郫都区校级模拟）如图，桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为（　　） A．20a2 B．30a2 C．40a2 D．50a2 【思路引导】首先根据正方形的面积的求法，求出棱长为a的小正方体每个面的面积是多少；然后判断出一共有多少个面露在外面，再用棱长为a的小正方体每个面的面积乘以露在外面的面的数量，求出涂上涂料部分的总面积为多少即可． 【完整解答】解：从正面看，有10个面露在外面， 从左面看，有10个面露在外面， 从右面看，有10个面露在外面， 从后面看，有10个面露在外面， 从上面看，有10个面露在外面， 所以涂上涂料部分的总面积为： a2×（10+10+10+10+10）＝50a2． 答：涂上涂料部分的总面积为50a2． 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了不规则立体图形的表面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一共有多少个面露在外面． 29．（2024•柳河县）如图是由同样大小的小正方体堆积起来的几何体，已知小正方体的棱长是1厘米，那么这个几何体的表面积是 　28　 平方厘米。 【思路引导】依据题意结合图示可知，从上面看有4个正方形，从前面看有5个正方形，从右边看有5个正方形，由此解答本题。 【完整解答】解：由分析可知：1×1＝1（平方厘米） （4+5+5）×2×1 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 答：几何体的表面积是28平方厘米。 故答案为：28。 【考点评析】本题考查的是不规则图形的表面积的应用。 30．（2024•谷城县）图形是由棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是　18　 平方厘米；至少还需要　4　 个这样的小正方体才能拼成一个大正方体． 【思路引导】根据题干可得，（1）这个图形是由4个小正方体组成的，它的表面积就是这4个小正方体的表面积之和减去重叠部分的面积．外露的3个正方体都有一个面和被挡住的小正方体的3个面互相重叠，所以表面积一共减少了6个面；由此即可求得此立体图形的表面积． （2）根据题干小正方体拼组大正方体的特点可以得出：至少需要8个这样的小正方体才能拼成一个大正方体，所以至少还需要8﹣4＝4个小正方体． 【完整解答】解：根据题干分析可得： （1）表面积为： 1×1×6×4﹣1×1×6， ＝24﹣6， ＝18（平方厘米）， （2）8﹣4＝4（个）， 答：它的表面积是18平方厘米；至少还需要4个这样的小正方体才能拼成一个大正方体． 故答案为：18；4． 【考点评析】这个立体图形的表面积就是这4个小正方体的表面积之和减去重叠部分的面积．找出图形中重叠的面，是解决本题的关键． 重点难点考点11：染色问题 31．（2024•天河区）给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，需要有（　　）个面涂红色。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引导】一个正方体有6个相同的面积，这6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，涂红色的面数最多，涂蓝色、蓝色的面数相同。6个面只能4份涂红色，蓝色、黄色各涂1份。 【完整解答】解：根据题意，涂红色的面数最多，涂涂蓝色、蓝色的面数相同 正方体有6个面，这6个面只能4份涂红色，蓝色、黄色各涂1份。 答：需要4个面涂红色。 故选：D。 【考点评析】要想涂红色朝上的可能性最大，涂红色的面数面数最多；要想涂蓝色、黄色面数朝上的可能性相同，涂蓝色、黄色的面数就要相同。 32．（2024•天府新区）如图，一个中间有方孔的模型，将它的露在外面的面涂上黄色，然后沿线切开，正好可以切成16个小正方体。下面描述正确的是（　　） A．切开后两面涂色的正方体有8个。 B．切开后三面涂色的正方体有8个。 C．切开后三面涂色的正方体有12个。 D．切开后三面涂色的正方体有16 个。 【思路引导】依据题意结合图示可知，正方体的表面与内部都是黄色，所以切成的小正方体都是三面涂色，由此解答本题。 【完整解答】解：由分析可知，三面涂色的正方体有16个。 故选：D。 【考点评析】本题考查的是染色问题的应用。 33．（2024•渝北区）1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是 　488　 个。 【思路引导】这些小正方体至少有一面被涂过的分三种情况：处在顶点的，有三面涂色；处在棱的中间的，有两面涂色；处在每个面的中间的，只有一面涂色；据此解答． 【完整解答】解：方法一： 处在顶点的，有三面涂色的：8个； 处在棱的中间的，有两面涂色的：（10﹣2）×12＝96（个）； 处在每个面的中间的：（10﹣2）×（10﹣2）×6＝384（个）； 至少有一面被涂过的：8+96+384＝488（个）； 方法二： 103﹣（10﹣1﹣1）×（10﹣1﹣1）×（10﹣1﹣1） ＝1000﹣512 ＝488（个） 答：这些小正方体至少有一面被涂过的数目488个． 故答案为：488． 【考点评析】本题关键是理解“至少有一面被涂过的数目”的意思是分三种情况讨论． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$