广东省广州市真光中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

广州市真光中学2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：黄林盛 审题人：钟三明 （试卷共4页，满分：150分，考试用时：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 2. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数f（x）有极大值f(-3)和f（3） B. 函数f（x）有极小值f(-3)和f（3） C. 函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3) D. 函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3） 3. 的展开式的常数项为（ ） A. B. C. D. 4 4. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 6. 在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（ ） A. 9种 B. 36种 C. 38种 D. 45种 7. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为3”，事件“两次点数的最大值为6”，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，．则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知二项式，则下列结论正确的是（ ） A. 第5项的二项式系数最大 B. 所有项的系数之和为1 C. 有且仅有第6项的系数的绝对值最大 D. 展开式中共有4项有理项 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的各项均为正数，且，则_____. 13. 在的展开式中，记项的系数为，则___________． 14. 函数的最小值为______. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）当时，求在上的最值； （2）讨论的单调性． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； （3）若，求证：． 19. 在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在． （1）对于元一次方程，试求其正整数解的个数； （2）对于元一次方程组，试求其非负整数解的个数； （3）证明：（可不使用组合分析法证明）． 注：与可视为二元一次方程的两组不同解． 广州市真光中学2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：黄林盛 审题人：钟三明 （试卷共4页，满分：150分，考试用时：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】10 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）最大值为32，最小值为 （2）答案见解析 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 【18题答案】 【答案】（1） （2）2 （3） 先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【19题答案】 【答案】（1） （2）. （3）证明见详解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $