安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷

绝密★启用前 安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟 2024—2025学年高一(下)期中检测 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={0,1,2,3,4},I 则M∩N= A.{1,2} B.{1,2,3} C.[1,2] D.[1,3] 2.已知复数 则|z|= A. B.1 C. D.2 3.如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD 的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知 ，则四边形ABCD的面积为 A.9 B. 4.已知平面向量a，b，c满足||a|=|b|=1,|c|= 且a+b=c,则a与b的夹角为 A.π/6 B.π/4 C.π/3 数学试题 第1页(共4页) 5.下列不等式成立的是 6.如图，在平面四边形ACBD中， 则 CD的长为 A.1 B. C.、6 7.已知a，b是两个互相垂直的单位向量，向量c满足c·a=t+4，c·b=t-4，则对于任意的实数1、1cl的最小值是 A.4 B.5 C.4 D.5 8.如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为4 ，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为 A.2 B.4 C.2 D.6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列选项中说法正确的是 A.以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转180°所得的旋转体是圆锥 C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D.有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台 10.已知向量a=(-2,3),b=(1,-2),则下列说法正确的是 C.若a+b与a+kb的夹角为锐角，则k的取值范围为 D. a与a+b夹角的余弦值为 11.已知函数 则 B.直线 是曲线y=f(x)的一条对称轴 C. f(x)在区间 上单调递增 D.存在 使得f(x+α) =f(x+3α)成立 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12.若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是 . 13.如图，长方体 的体积为12,M,N,P,Q分别是棱AB,CD, 的中点，则四面体MNPQ 的体积为 . 14.已知点G为△ABC的重心,D,E分别为边AB,AC上一点,F为BC的中点,若D,G,E三点共线，且 则λμ的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知复数z=2+ai(a∈R)在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 (Ⅰ)求a; (Ⅱ)若z是关于x的方程 的一个复数根，求pq的值. 笛2 面(共4页) 16.(15分) 在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm,高为50cm,圆锥的高为20cm. (Ⅰ)若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； (Ⅱ)为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 17.(15分) 在直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(5,2),C(2,2),点D 满足 (Ⅰ)求λ; (Ⅱ)求 在 上的投影向量的坐标. 18.(17分) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 sin A(cos 2A+2)= cos A(sin 2A- (Ⅰ)求A; (Ⅱ)若b=3,c=8,∠A的平分线交BC于点D,求线段AD的长; (Ⅲ)若△ABC是锐角三角形,且b=1,求△ABC面积的取值范围. 19.(17分) 已知O为坐标原点，对于函数jf(x)= asinx+ bcos x,称向量 为f(x)的相伴向量，同时称f(x)为向量(OME的相伴函数. (Ⅰ)记 的相伴函数为f(x)，求f(x)的最大值； (Ⅱ)已知动点M(1,b)满足 且 的相伴函数g(x)在x=x₀时取得最大值，求 的最小值； (Ⅲ)已知 为函数h(x)的相伴向量，在△ABC中， 且点 G为△ABC的外心，求 的最大值. 数学试题 第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $$1/7 安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟 2024—2025学年高一(下)期中检测 数学 答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.答案 A 命题透析 本题考查集合的交运算与解一元二次不等式. 解析 因为 所以M∩N={1,2}. 2.答案 C 命题透析 本题考查复数的运算与模. 解析 因为所以 3.答案 D 命题透析 本题考查斜二测画法. 解析 如图,画出原四边形ABCD,可知 且 ,则四边形 ABCD 为直角梯形,其面积为 4.答案 C 命题透析 本题考查平面向量的数量积. 解析 因为a+b=c,所以 将 代入,得 设a与b的夹角为 ,则 所以 5.答案 B 命题透析 本题考查比较大小. 解析 对于A,因为 所以 故A 错误;对于B, 故B正确;对于C, 故C错误;对于D,因为 所以 故 D错误. 6.答案 B 命题透析 本题考查正弦定理与余弦定理的应用. — 1 — 解析 在 中,由余弦定理得 所以 在 中,由正弦定理得 所以 7.答案 A 命题透析 本题考查平面向量的运算. 解析 ∵ a,b是两个互相垂直的单位向量,∴ 可令 设 则当 时等号成立). 8.答案 C 命题透析 本题考查正四棱台的内切球、表面积与体积的计算. 解析 设正四棱台 的下底面边长. 其内切球半径为r,则 解得 取AB,CD,A₁B₁,C₁D₁的中点分别为E,F,E₁,F₁,则四边形 的内切圆是正四棱台内切球的截面圆中最大的,且四边形 是等腰梯形, 所以 整理得 又 所以 所以上、下底面的对角线长分别为4 和8,故侧棱长为 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.答案 BC 命题透析 本题考查立体图形的结构特征. 解析 对于A,以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台,故A 错误;对于B,等腰三角形底边上的中线与底边垂直,由圆锥的特征易知B正确; 对于C,棱锥的侧面都为三角形,有一个面是平行四边形,则此面为底面,所以该棱锥为四棱锥,故C正确; 对于D,如图所示,四边形ABCD 和. 是相似的矩形, 但显然该几何体不是四棱台,故D错误. — 2 — 10.答案 ABD 命题透析 本题考查平面向量的数量积. 解析 对于A, 则 故A正确; 对于B,因为 所以 故B 正确; 对于C,a+ kb=(k-2,3-2k),则( ,解得 当 与 共线时,-1 (3-2k)-1 (k-2)=0,解得k=1,所以k的取值范围是( 故C错误; 对于D,因为a (a+b)=(-2) (-1)+3 1=5,|a|=√(-2) +3 = ,|a+b|= 所以a与 夹角的余弦值为 故D正确. 11.答案 AC 命题透析 本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质. 解析 对于 故 A 正确; 对于B,当 时 故B错误; 对于C,当 时 因为y= cosx在区间 上单调递增,所以 在区间 上单调递增,故C正确; 对于D,若f(x+ ) =f(x+3 ),,则2 是f(x)的周期,而f(x)的最小正周期为 ,所以 即 显然不存在整数k,使得 故 D错误. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.答案 (-1,3) 命题透析 本题考查复数的虚部. 解析 由复数z的虚部大于0,得 解得 — 3 — 13.答案 2 命题透析 本题考查棱柱与棱锥的体积. 解析 如图,因为长方体 的体积为12,所以三棱柱 的体积为6,四棱锥. 的体积为4,所以四棱锥 和四棱锥 的体积均为2,所以四面体MNPQ 的体积 14. 答案 命题透析 本题考查平面向量与基本不等式的应用. 解析 因为点 G为 的重心,所以 因为D,G,E三点共线,所以存在 使得 又 所以 则 由图可知 , 因为 所以 当且仅当 时等号成立,故 的最大值为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析 本题考查复数的几何意义及运算. 解析 ( )由题意知复数z在复平面内对应的点为Z(2,a),因为点Z在第一象限,所以a>0,………(1分) 由z z=5,得(2+ ai)(2-ai)=5,……………………………………………………………………………… (3分) 即 则 所以a=1. ……………………………………… (6分) ( )由( )知z=2+i, ………………………………………………………………………………………… (7分) 由z是关于x的方程 的一个复数根,可知z是 的另一个复数根,因此 解得 …………………………………………………………………… (11分)所以 ……………………………………………………………………………… (13分) — 4 — 16.命题透析 本题考查几何体的体积与表面积. ( )由题意可知,圆柱的底面半径高圆锥的高, ………………………………………………… (1分) 圆柱的体积 圆锥的体积 ………………………………………………………………………………………… (5分) 所以该容器的容积为 ……………………………………………………………………………… (7分) ( )圆柱的侧面积 ……………………………………………………………………………… (9分) 圆柱的底面积 ……………………………………………………………………………………… (11分) 圆锥的母线长 所以圆锥的侧面积 ………………………………………………………………………………… (13分) 所以需要涂防水涂料的面积为 . ………………………………………………………………………………………………… (15分) 17.命题透析 本题考查平面向量的线性运算与数量积. 解析( )因为所以O,D,C共线, ………………………………………………………………… (1分) 又因为C(2,2),所以设D(x,x). 因为 所以((x,x)= (1,4)+(1- )(5,2)=(5-4 ,2+2 ),…………………………………………………… (4分) 所以 解得 所以 ………………………………………………………………………………………………… (8分) ( )由( )可知D(3,3),所以 因为所以 ………………………………………………………………………………………… (11分) 设 在 上的投影向量为m, 与 的夹角为 , 则 ………………………………………………………………………………………………… (15分) 18.命题透析 本题考查三角恒等变换,诱导公式及正弦定理的应用. 解析 — 5 — 即 … (4分) 解得 … (6分) ( )由( )可知 ∵ AD为 的平分线, … (7分) ,… (9分) 即 解得 … (10分) ( )方法一:如图,作 ,垂足分别为F,C,且点 E 在直线AB上,当点 B 在点 F,E 之间时, 为锐角三角形.…………………………………………………………………………………………(13分) ∴AF<AB<AE,即 得 … (15分) 面积的取值范围为 … (17分) 方法二:由正弦定理得 ………………… (12分) ∵B,C均为锐角 解得 故 可得 … (15分) 又 面积的取值范围为 … (17分) 19.命题透析 本题考查三角函数的诱导公式,对勾函数的性质,正弦定理的应用及向量的数量积. 解析 ( )由题意得 … (2分) 所以f(x)的最大值为 ……………………………… ……………………………………… (4分) ( )由题设可得 且 … (6分) — 6 — 由g(x)在 时取得最大值,得 则 … (7分) 所以 ……… (8分) 根据对勾函数的性质知 在 上单调递减,故 所以 的最小值为 … (10分) ( )由题意得 因此 … (11分) 设 外接圆的半径为R,根据正弦定理可得 故 所以 … … (13分) 又GC CC-GC …………………… (15分) 又 所以 所以 所以当 时, 取得最大值,最大值为6.…(17分) 学科网(北京)股份有限公司 $$