精品解析：广东省广州市天河外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024－2025学年第二学期高二数学期中考试卷 出题人：陈功 审题人：张卉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式系数再利用等差中项建立方程，求解即得. 【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为， 依题意成等差数列，故，得到：， 化简得，即：， 解得：或（舍去） 故选：C 2. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用条件概率公式计算． 【详解】设事件目标至少被命中1次，事件甲命中目标． 则， ， 所以． 故选：C． 3. 已知函数，为的导函数，则的大致图象是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，再判断的奇偶性，以及由特殊值，利用排除法判断即可. 【详解】因为的定义域为，且，， 又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D； 又，故排除C. 故选：B 4. 已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，则在有根，且根的两侧异号即可. 【详解】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得. 故选：C. 5. 中国是世界上最早发明雨伞国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故选：B． 6. 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可． 【详解】因为为等比数列，， 所以，解得或（不合题意，舍去）， 所以， ，令，即， 由题意得，是方程的两个相异正根， 则，，符合题意， 故选：D． 7. 定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：，满足，则p可以是（ ） A. 26 B. 31 C. 32 D. 37 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理求得除以的余数，再结合选项即可求得结果. 【详解】因为， 而， 因此除以的余数为除以的余数2， 而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题意，37除以7的余数为2，即D满足. 故选：D 8. 已知实数a，b，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据函数的单调性即可判断. 【详解】构造函数 ， ， 显然 时， ，即 时是单调递增的 ， 当 时，是单调递减的，故 的最大值是 ， 当 时 的值域是 ， 由题意，对于 ， ， ， ， 对于 ，即 ，∵， ， ∴必然存在， 使得 ， 由于 ， ，即，由于 是单调递增的， ， 对于 ，即 ，同理 ， ， ， 由于 ， ，即 ， ； 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（ ） A. 第二次摸出红球的概率为 B. 第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C. 第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D. 已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用概率公乘法式求解；B利用条件概率求解；C 利用概率乘法公式求解；D由条件概率公式可得. 【详解】对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、设第一摸出黄球求事件，第二次摸出红球为事件， 由前面的计算可得， 由条件概率公式，所以选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数和的定义域为R，为偶函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数关于对称 B. C. 关于点对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对函数求导，根据为偶函数，可得为奇函数，进而可得函数的周期性，即可根据函数的周期性、奇偶性以及对称性，结合选项逐一进行求解即可． 【详解】因为，所以关于对称， 则，则关于对称，A正确； 为偶函数，所以，故，所以为奇函数， 由可得，周期为4， ，B正确； ，，则， ,故关于对称，C错误； ，周期为4． 的周期也为4，,， D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对以及求导得，，即可得到函数的周期性. 11. 下列不等式中，所有正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，构造函数，，利用其单调性即可判断；对B和D分别利用正切函数和余弦函数单调性即可比较大小，对C利用函数，的单调性即可. 【详解】对A，令，，， ，则在上恒成立， 则，即，故A错误； 对B，，而，则， 而，则成立，故B正确； 对C，设，，则， 再令，则，， 则在上恒成立，则在上单调递减， 则，则在上恒成立，则在上单调递减， 因为，则，则成立，故C正确； 对D，根据余弦函数单调性知，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有______种. 【答案】960 【解析】 【分析】 【详解】5名志愿者再进行全排列有种，再排2位老人，有 种排法，所以共有种 13. 已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意令，利用导数得到函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，对任意，有， 令，，则， 所以在上单调递增， 不等式， 即，即， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 14. 计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数表示为，其中，则其二进制为，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为．记为中0的个数，如，则______；从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有______个． 【答案】 ①. 0 ②. 35 【解析】 【分析】由二进制表示可求，由当时，有1个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，可求得答案． 【详解】因为， 所以； 当时，有1个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，当时，有个， 则一共个， 所以从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有35个． 故答案为：0；35． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. （1）6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ （2）6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ （3）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【答案】（1）120 （2）144 （3）540 【解析】 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【小问1详解】 先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； 【小问2详解】 从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； 【小问3详解】 由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 16. 设. （1）求； （2）若是，，，，中唯一的最大值，求的值； （3）若，求. 【答案】（1） （2）17，18，19. （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）由求解不等式即可； （3）由，结合通项公式即可求解. 【小问1详解】 令，可得； 令，可得； 所以. 【小问2详解】 由题意知的展开式的通项为，， 所以，. 因为是中唯一的最大值， 可得， 即， 解得，又因为，所以的取值为17，18，19. 【小问3详解】 由题意可得：， 所以，， 则. 17. 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中． （1）写出关于的函数关系式； （2）如何设计，使得有最大值？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式； （2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可． 【小问1详解】 由已知可得， 在△中由正弦定理可得： ，所以， 从而， 所以，. 【小问2详解】 ， 由 令增区间是； 令减区间是； 所以在处取得最大值是． 答：设计成时，该设施的平面图面积最大是． 18. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导得到导函数，再求导取为0，计算得到对称中心. （2）求导得到导函数，考虑，，三种情况，分类讨论得到答案. （3）确定函数对称中心，根据对称性和常数项得到，，计算，得到答案. 【小问1详解】 ，，， 令，，， 故的对称中心为. 【小问2详解】 ， 令，则，， 当时，，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 ，， 令，，，所以对称中心为， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ； ， 要使得有三个解，故，， 且，，是方程根， 由于对称性，为了简化研究，只研究的情况， ， 根据常数项知：，根据对称性知：， ，且， 故，即， . 当时，取得最大值，此时. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导数求函数的单调性，参数范围问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据对称性将，转为为的函数关系，再根据二次函数性质求解是解题的关键. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数） （2）已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导数，求出在点处的斜率，最后求切线方程即可； （2）（ⅰ）方程有两个不相等的正实根，等价于函数的图象与直线有两个交点，利用函数导数求出极值，再结合图象求出的取值范围即可； （ⅱ）结合（ⅰ）及指对互化得，，从而把最小值化为的最小值，多次构造函数，求导，研究函数的单调性及最值，利用最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，又， 所以函数在点上的切线方程为，即； 【小问2详解】 （ⅰ）即，则有，， 设，，则，令，得， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又x趋向于0时，趋向负无穷，x趋向于正无穷大时，无限趋向0，且， 函数图象如下： 由题意，方程有两个不相等的正实根， 即方程有两个不相等的正实根， 所以函数的图象与直线有两个交点， 由图知，，故实数a的取值范围为； （ⅱ）因为，由（ⅰ）得，则， 所以，设，则， 即，， 由题意有最小值，即有最小值， 设，，则， 记，则， 由于，，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 又，，且t趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大， 故存在唯一，使得， 时，，即，所以在上单调递减， 时，，即，所以在上单调递增， 所以时，有最小值， 而，则，即， 所以， 由题意知，令， 设，则， 设，则， 设，则， 故在上单调递增，，此时在上单调递增， 有，此时，故在上单调递增， 又，故的唯一解是， 故的唯一解是，即， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期高二数学期中考试卷 出题人：陈功 审题人：张卉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 9 7. 定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：，满足，则p可以是（ ） A. 26 B. 31 C. 32 D. 37 8 已知实数a，b，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（ ） A. 第二次摸出红球的概率为 B. 第一次摸出黄球条件下，第二次摸出红球的概率为 C. 第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D. 已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 10. 已知函数和的定义域为R，为偶函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数关于对称 B. C. 关于点对称 D. 11. 下列不等式中，所有正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有______种. 13. 已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是______． 14. 计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数表示为，其中，则其二进制为，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为．记为中0的个数，如，则______；从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. （1）6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ （2）6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ （3）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 16 设. （1）求； （2）若是，，，，中唯一的最大值，求的值； （3）若，求. 17. 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中． （1）写出关于的函数关系式； （2）如何设计，使得有最大值？ 18. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数） （2）已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$