查漏补缺07 圆中的计算及其综合（2考点7题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

查漏补缺07 圆中的计算及其综合（7大题型） 考点一： 圆中的角度、线段计算问题 【题型一】圆中常见的角度计算问题 1）圆中角度定理都有一个大前提--在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的 1）遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线 ①作同弧所对的两个圆周角； ②作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角； ③连接多个半径，构造等腰三角形. 2）圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明. 3）圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 4）在同圆中，已知弧中点是最常见的给等弧的方式. 【中考真题】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 8．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【模拟训练】 1．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·一模）如图，四边形内接于，点C是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·二模）如图，内接于，是的内心，的延长线交于点，连接、，若是的直径，，则的值为 ． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为 6．（2025·陕西西安·二模）如图，点均在圆上．若，，则的度数为 ． 【题型二】垂径定理 【基础模型】在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD与点E 图示： 模型结论：CE=DE， 【模型进阶】①AB过圆心O；②CD⊥AB；③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分. 模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二得二”，解题过程中应灵活运用该定理. 常见辅助线做法（考点）： 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE,弦长CD，拱高BE四个量知二推二. 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 【中考真题】 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 2．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在中，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．4 4．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 【模拟训练】 1．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则圆柱形木材半径是（   ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，是垂直于直径的弦，垂足为，若，，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成如图，它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西来宾·一模）如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 5．（2025·河南南阳·一模）边长为的等边三角形内接于，长度为2的线段绕点C在平面内旋转．当点D落在上时的长为 ． 6．（2025·上海金山·二模）圆是的外接圆，，，垂足分别是点、，如果，那么 ． 7（2025·安徽亳州·二模）在中，为的弦，连接，， (1)如图1，若半径于点D，，求弦的长； (2)如图2，为的切线，点P为切点，且，过点P作于点F，与半径相交于点E．若的半径是3，求的长． 【题型三】弧长与扇形面积 1）熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给条件求得. 2）当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式 3）圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个. 【中考真题】 1．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 32．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 6．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别是． (1)将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长． 【模拟训练】 1．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转，使点正好落在边上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南保山·模拟预测）孩子为妈妈制作一个圆锥形生日帽，已知帽子的底面直径为，展开后的侧面是一个扇形，扇形的半径为．则该圆锥形生日帽的侧面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）若一个圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥的母线与其底面圆的半径之比为，则这个圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建龙岩·一模）滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，定滑轮半径为，现需将重物拉升（取），则滑轮旋转的情况为（    ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 6．（2025·甘肃·一模）一个吊灯的外罩呈圆锥形（如图），如图是这个吊灯的外罩的主视图，则该吊灯外罩的侧面积是 ．（结果保留） 7．（2025·河北邯郸·一模）如图，量角器的直径，点对应刻度，点对应刻度，的中点即量角器的外轮廓所在圆的圆心为点，点为右下方上一点，弧所对应的圆心角为，射线从与重合的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，射线与，分别相交于点，点． (1)当点处的刻度为时，直接写出的度数； (2)当射线刚好经过点时，求在量角器上扫过部分的面积； (3)当射线旋转至与相切时，求射线旋转的时间． 【题型四】不规则图形面积的计算 1）求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积． 【中考真题】 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【模拟训练】 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 考点二： 圆与直线的位置关系 【题型一】切线性质与判定综合 1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”. 2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”. 3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”. 4）运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度 【中考真题】 1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 4．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．    (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D，求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 【模拟训练】 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（　　） A． B．5 C． D． 3．（2024·河南郑州·二模）如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的面积为 ． 4．（2022·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 5．（2025·广西桂林·一模）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 6．（2025·山东枣庄·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点O作的平行线，交于点E，作射线交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【题型二】利用切线长定理求解 1）如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，所以PA=PB，此外还一块得到以下结论：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB； 2）切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 【中考真题】 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 3．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．      6．（2023·湖北·中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 8．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【模拟训练】 1．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，、分别与相切与，两点，为上一点，连接、、，若，，的半径为，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，是的内切圆，若，，则图中的面积为（   ） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，、、分别与相切，切点分别为A、B、C，点 D、E 分别在、上，且．若的周长为4， ，则图中阴影部分（、与 所围）的面积为（   ） A． B． C．π-3 D． 4．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 6．（2025·北京·一模）如图，，分别与相切于点，，交于点，四边形是平行四边形，若，则 ，劣弧 ． 7．（2025·山东滨州·一模）【初步发现】 如图1，的内切圆与斜边相切于点，与相切于点，求的面积． 解：设线段的长为，根据切线长定理得， 在中， 根据勾股定理得， 整理得， 所以． 请同学们想一想的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 （1）已知：如图2，的内切圆与相切于点，与相切于点． ①若，求证：的面积等于； ②若，求证：． 【拓展延伸】 （2）已知：的内切圆与相切于点．请直接写出的面积． 8．（2025·安徽合肥·一模）如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 【题型三】圆的综合 【中考真题】 1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求的长； (2)求的半径． 2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．    (1)求证：． (2)求证：． (3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长． 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．    (1)填空：的度数是_________，的长为_________； (2)求的面积； (3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值． 4．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【模拟训练】 1．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于，若，，求的值． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在平行四边形中，对角线相交成的锐角为．若，求平行四边形的面积． （2）如图②，是某公园的圆形空地，为圆心，为直径，，规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点和点，点和点分别关于对称，与交于点，且，四边形为牡丹园，设的长为，牡丹园的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？ 3．（2025·云南曲靖·二模）如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，． (1)若，求（用含的式子表示）； (2)求证：是的切线； (3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长． 4．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 5．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】 （1）如图①，点A是外一点，点是上一动点．若的半径为3，长度为5，根据，得到点到点A的最短距离为_____________； （2）如图②，已知正方形的边长为4，点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点和运动，连接和交于点．求点到点的最短距离． 【问题解决】 （3）如图③，某老小区有一个矩形活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在上取一点，在上留一条小路与小路交于点，并将绕点逆时针旋转得到线段，与交于点，连接与交于点，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺07 圆中的计算及其综合（7大题型） 考点一： 圆中的角度、线段计算问题 【题型一】圆中常见的角度计算问题 1）圆中角度定理都有一个大前提--在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的 1）遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线 ①作同弧所对的两个圆周角； ②作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角； ③连接多个半径，构造等腰三角形. 2）圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明. 3）圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 4）在同圆中，已知弧中点是最常见的给等弧的方式. 【中考真题】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 8．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 【模拟训练】 1．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 2．（2025·广东清远·一模）如图，四边形内接于，点C是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理的应用，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，于是． 【详解】解：∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．先判定是等腰直角三角形，求得，由四边形是圆内接四边形，求得，再根据圆周角定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，，，， 由格点图可知为直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·河北邯郸·二模）如图，内接于，是的内心，的延长线交于点，连接、，若是的直径，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据条件证得，可得，由是的直径，得到，由于，于是求得，设，根据勾股定理即可得到 ，根据三角函数即可得出答案． 【详解】解：连接， 点是的内心， ，， ， ， ， ，， ， ， 设 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，能正确作出辅助线并求出是解此题的关键． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为 【答案】52 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆圆周角定理是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形的外角性质计算求出，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， 是的外角，， ， 的度数为：， 故答案为：． 6．（2025·陕西西安·二模）如图，点均在圆上．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，连接，取中点，连接，，先由圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质得，进而可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵点均在圆上， ∴是圆的内接四边形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型二】垂径定理 【基础模型】在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD与点E 图示： 模型结论：CE=DE， 【模型进阶】①AB过圆心O；②CD⊥AB；③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分. 模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二得二”，解题过程中应灵活运用该定理. 常见辅助线做法（考点）： 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE,弦长CD，拱高BE四个量知二推二. 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 【中考真题】 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 2．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，    得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在中，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】连接，由圆周角定理得，由得，，，在中，由，计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示，   ，， ， ， ，， 在中，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线． 4．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可； （2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证； 法二：连接，证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为3； （2）证明：法一：过O作于F， ∴， ∵ ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 法二：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则圆柱形木材半径是（   ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理：由垂径定理，可知，设的半径为寸，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，尺寸； ∴寸， 设的半径为寸，则：寸， ∴寸， 在中，由勾股定理，得：， ∴；即：圆的半径为13寸； 故选：B． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，是垂直于直径的弦，垂足为，若，，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．由，则，根据外角性质可得，又的直径垂直于弦，，，然后证明，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成如图，它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点O作于点G，交于点E，交于点利用垂径定理，勾股定理求出，再求出可得结论． 本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图2，连接，过点O作于点G，交于点E，交于点 ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 圆盘离桌面最近的距离是， 故选：D． 4．（2025·广西来宾·一模）如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意连接，则，，利用勾股定理即可求得，最后由完成解答． 【详解】解：连接， 则， ∴， 由勾股定理得： ∴ 故选：D． 5．（2025·河南南阳·一模）边长为的等边三角形内接于，长度为2的线段绕点C在平面内旋转．当点D落在上时的长为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形．分当点在上和点在上两种情况讨论，利用垂径定理求得半径为2，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：当点在上时，连接，作，垂足为，连接， ∵， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点在半径上， ∴是线段的垂直平分线， ∴； 当点在上时， 同理，， ∴是等边三角形， ∴， 综上，的长为2或4． 故答案为：2或4． 6．（2025·上海金山·二模）圆是的外接圆，，，垂足分别是点、，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”以及“三角形的中位线等于第三边的一半”． 根据垂径定理可知点和点分别为的中点，根据中位线定理即可进行求解． 【详解】解：∵， ∴点和点分别为的中点， ， ， 故答案为：． 7（2025·安徽亳州·二模）在中，为的弦，连接，， (1)如图1，若半径于点D，，求弦的长； (2)如图2，为的切线，点P为切点，且，过点P作于点F，与半径相交于点E．若的半径是3，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理可得，再根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得，进而可列，解得，，再根据勾股定理可得弦的长． （2）连接，由切线的性质，平行线的性质，可得，再由对顶角相等可得，即可由直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得，由勾股定理可得． 【详解】（1）解：， ． ， ． ，，， ． ，， 在中，由勾股定理得， ． （2）解：如图，连接． 为的切线， ，即． ， ． ， ， ， ，， ， ． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，平行线的性质，对顶角相等，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型三】弧长与扇形面积 1）熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给条件求得. 2）当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式 3）圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个. 【中考真题】 1．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 圆锥的体积为， 故选：D． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 32．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 6．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 40 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质可得的度数；先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为：40；2． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别是． (1)将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质， （1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可， （2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，运动到点所经过的路径长即为弧长即可可求解 【详解】（1）解：如下图所示： 由图可知：； （2）解：如上图所示： 运动到点所经过的路径为： 【模拟训练】 1．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转，使点正好落在边上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，特殊角的锐角三角函数、弧长公式，首先根据矩形的性质可以得到：，，根据特殊角的锐角三角函数可得：，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由旋转可知， 又， ， ， ， 的长为． 故选：C． 2．（2025·云南保山·模拟预测）孩子为妈妈制作一个圆锥形生日帽，已知帽子的底面直径为，展开后的侧面是一个扇形，扇形的半径为．则该圆锥形生日帽的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算．圆锥体的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积（l为扇形弧长，r为扇形半径）进行计算即可． 【详解】解：圆锥体的侧面积为． 故选：D 3．（2025·云南·模拟预测）若一个圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥的母线与其底面圆的半径之比为，则这个圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：D． 4．（2025·福建龙岩·一模）滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，定滑轮半径为，现需将重物拉升（取），则滑轮旋转的情况为（    ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：B． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 6．（2025·甘肃·一模）一个吊灯的外罩呈圆锥形（如图），如图是这个吊灯的外罩的主视图，则该吊灯外罩的侧面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥母线长，以及扇形面积公式． 根据图形可知圆锥底面半径为，圆锥的高为，求出圆锥母线长为，再由求圆锥的侧面公式即可求解． 【详解】解：根据图形可知，圆锥底面半径为，圆锥的高为， ∴圆锥母线长为：， ∴该吊灯外罩的侧面积是， 故答案为：． 7．（2025·河北邯郸·一模）如图，量角器的直径，点对应刻度，点对应刻度，的中点即量角器的外轮廓所在圆的圆心为点，点为右下方上一点，弧所对应的圆心角为，射线从与重合的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，射线与，分别相交于点，点． (1)当点处的刻度为时，直接写出的度数； (2)当射线刚好经过点时，求在量角器上扫过部分的面积； (3)当射线旋转至与相切时，求射线旋转的时间． 【答案】(1) (2) (3)当射线旋转至与相切时，射线旋转的时间为秒或秒 【分析】本题考查扇形面积公式，圆心角度数，圆周角定理，切线性质等． （1）连接，点处的刻度为时，继而得到邻补角，再利用圆周角定理即可得到本题答案； （2）连接并延长，交于点，后得到，再利用扇形面积公式即可得到； （3）过点作，利用切线性质分两种情况讨论，继而得到答案． 【详解】（1）解：连接，点处的刻度为时， ，， ， ； （2）解：如图，连接并延长，交于点， ，， ， 在量角器上扫过部分为扇形， ∴； （3）解：过点作， ，． ， 情况一：． 射线旋转的时间为秒； 情况二：． 射线转过的角度为． 射线旋转的时间为秒， 综上所述，当射线旋转至与相切时，射线旋转的时间为秒或秒． 【题型四】不规则图形面积的计算 1）求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积． 【中考真题】 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接．          图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，连接．           图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接．          图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，连接．           图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 考点二： 圆与直线的位置关系 【题型一】切线性质与判定综合 1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”. 2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”. 3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”. 4）运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度 【中考真题】 1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可． 【详解】解：连接、、，交于，如图，   ，与相切，切点分别为，， ，，平分， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴在中，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又 ， 在中，， ， 解得： 4．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论； （2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， ，是的中点， 为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径， ， 又， ， 即为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于点， 点为的圆心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 5．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．    (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D，求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）根据，即可得证； （3）根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴ 如图所示，连接    在与中， ∴ ∵为上的一点． ∴是的切线； （2）∵是的切线； ∴， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求得，然后根据阴影部分的面积计算即可求解． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 2．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到，再根据切线的性质得到，则，接着在中利用正弦的定义求出，然后在中利用正弦定义可求出的长． 【详解】解：连接，如图， ∵， ， ， ， ， ， ∵为切线， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形． 3．（2024·河南郑州·二模）如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，过于点，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到，则，再根据切线的性质得到，于是可判断，所以，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的性质和扇形的面积计算． 【详解】解：连接，过于点，如图， ，， ， ， 与相切于点， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 4．（2022·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答． 【详解】解：设与相切于点F，连接，， ∵，， ∴， 中， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴若与相切时，和一定相交； 若与相切时，和一定相离． 同理当与相切于点M时，连接，，计算得， ∴此时， ∴当时，与矩形的各边都没有公共点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算． 5．（2025·广西桂林·一模）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点D作于点H，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）先由三角形外角的性质求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点D作于点H． 为的切线， ． 又 平分， ． 是的切线． （2）解： 平分，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题关键． 6．（2025·山东枣庄·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点O作的平行线，交于点E，作射线交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质和扇形的面积： （1）连接，根据平行得到，，从而可得，然后证明即可求出答案； （2）证明，求出长，由正切得到，根据阴影部分面积可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 【题型二】利用切线长定理求解 1）如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，所以PA=PB，此外还一块得到以下结论：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB； 2）切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 【中考真题】 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 3．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，，由面积关系可求解． 【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，， 切于， ，， ， 同理：， ， ， ， ， 故选A 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键． 4．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵是的内心， ∴， 设， ∵BD＝10， ∴， ∴,， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键． 5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．      【答案】 【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点A，B．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可． 【详解】解：设圆心为O，过O作，，和相交于点，连接，如图，    ∵，分别与所在圆相切于点A，B． ∴， ∵， ∴，， ∴优弧对应的圆心角为，， ∵该圆半径是， ∴， ∴主视图的面积为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题的关键． 6．（2023·湖北·中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【答案】/度 【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则． 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与分别相切于点，， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴，即， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)30 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）解：， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 8．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； （2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线． 【详解】（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，、分别与相切与，两点，为上一点，连接、、，若，，的半径为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键：连接、，，过点作于，切线的性质结合垂径，定理和解直角三角形，求出的长，进而求出的长，切线长定理结合等边对等角，推出，得到，求出的长，过作于，得到为等腰直角三角形，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可。 【详解】解：连接、，，过点作于， 、分别与相切与，两点， ， ， ， ∵的半径为， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 或不合题意舍去， ， 故选：B． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，是的内切圆，若，，则图中的面积为（   ） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 【答案】D 【分析】本题考查与圆内切三角形．熟练掌握圆内切三角形性质，切线性质，切线长定理，正方形判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 设的半径为r，分别切的三边于D、E、F，连接，证明四边形是正方形，得，得，，由，得，解得，即得． 【详解】解：设分别切的三边于D、E、F，半径为r，连接， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，、、分别与相切，切点分别为A、B、C，点 D、E 分别在、上，且．若的周长为4， ，则图中阴影部分（、与 所围）的面积为（   ） A． B． C．π-3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，圆的切线的性质，解直角三角形的应用，扇形面积公式，掌握切线长定理是解题关键．连接、，根据切线的性质，证明四边形是正方形，由的正切值设，，则，再结合的周长，求出的值，得出，利用切线长定理，得到，，，进而得到，则，最后利用阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 、分别与相切，切点分别为A、C，且， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 在中，， 设，， ， 的周长为4， ， ， ， 、、分别与相切，切点分别为A、B、C， ，，， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：A 4．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键． 6．（2025·北京·一模）如图，，分别与相切于点，，交于点，四边形是平行四边形，若，则 ，劣弧 ． 【答案】 / 【分析】根据切线长定理得，结合平行四边形的性质推得、，通过三角函数可求得的长，通过弧长公式可求得劣弧的长． 【详解】解：如图，连接， ，分别与相切于点，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 劣弧， 在中，， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，平行四边形的性质，弧长公式，特殊角的三角函数值，熟练掌握切线长定理是解题关键． 7．（2025·山东滨州·一模）【初步发现】 如图1，的内切圆与斜边相切于点，与相切于点，求的面积． 解：设线段的长为，根据切线长定理得， 在中， 根据勾股定理得， 整理得， 所以． 请同学们想一想的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 【深入探索】 （1）已知：如图2，的内切圆与相切于点，与相切于点． ①若，求证：的面积等于； ②若，求证：． 【拓展延伸】 （2）已知：的内切圆与相切于点．请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先设，根据切线长定理得，，，再根据勾股定理，得，整理，得，然后根据，整体代入可得答案； （2）先由，得，整理，得，再求出，最后根据勾股定理逆定理可得答案； （3）作，在中，根据特殊角三角函数值分别表示出，，再根据，然后根据勾股定理得，最后根据整体代入可得答案． 【详解】设，根据题意，． （1）由题意得，， 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， 所以； （2）由，得， 整理，得， ∴ ． 根据勾股定理逆定理可得； （3）如图，过点A作于点G． 依题意，， 设， 在中，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 整理，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，求三角形的面积，整体代入思想等，理解题目中给出的解题方法是解题的关键． 8．（2025·安徽合肥·一模）如图，为圆外一点，、分别切圆于、．连接，交圆于点，延长，交圆于点．连接，．连接并延长，交于点． (1)证明：点是的中点． (2)若点是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30度 【分析】本题考查了圆的切线性质，垂径定理以及相关角度计算，解题的关键是熟练运用圆的切线性质和垂径定理等知识进行推理和计算． （1）利用切线长定理证明，从而得出，得到即可得结果； （2）通过点是中点推出，，由（1）得，，是等边三角形，得到，再结合圆的性质和平行线性质，求出的度数． 【详解】（1）证明： 、分别切圆于、， ，． 又 ， ， ，即点是的中点． （2）点是的中点 ， 垂直平分，连接，则， 由（1）得， 是等边三角形， 是圆的切线， ， 【题型三】圆的综合 【中考真题】 1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求的长； (2)求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理． （1）易证，得到，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ，即 ，D为AB中点， ， ∴ ． （2）解：过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接， 在中，． 又， ． ∴在中，． ， ． 设，则，． ∵在中，， ，即， 解得，（舍去）． ，． ∵， ． 为的直径， ． ． ，即的半径为． 2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．    (1)求证：． (2)求证：． (3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可； （2）连接，交于点，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可； （3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可． 【详解】（1） 和是所对的圆周角， ， ， ∴， ∴， ∴． （2）连接，交于点，    与为一组平行弦，即：， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ． （3）连接、，过点作，垂足为，设点的对称点，连接、，    ，， ∴， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形． 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．    (1)填空：的度数是_________，的长为_________； (2)求的面积； (3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值． 【答案】(1)，5； (2) (3) 【分析】（1）根据切线性质和勾股定理分别求解即可； （2）由面积法求出，再利用勾股定理求，则的面积可求； （3）先证明，得到，利用，分别得到，进而计算，，在分别求出则问题可解； 【详解】（1）解：∵是的直径，是的切线， ∴的度数是； ∵， ∴； 故答案为：，5； （2）如图，    ∵是的直径， ∴， ， ∴由面积法， ∴ ， ； （3）方法一：如图，    由 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形 ， ∴， ∴， ， ， ， ． 方法二：如图    由 设 ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质和相似三角形的性质和判定，解答关键是根据条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质解答问题． 4．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出的长． （2）根据等弧所对圆周角相等推出，再根据角平分线的性质定理推出，利用直角三角形的性质即可求出，通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明和，从而推出和，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案 【详解】（1）解：如图1，连接，设的度数为．   ，的长为， ． ，即． ． 直线是的切线， ． ∴． （2）解：如图2，连接，过点作于点，   为直径， ． ． ， ． ，， ． ，， ． ． （3）解：，理由如下： 如图3，连接BQ，     ，， ，， ， ， ． ， ， ．① ，， ， ．② ， 得，． ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 【模拟训练】 1．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角，掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，根据等边对等角的性质，得到，从而得出，即可证明结论； （2）连接，先证明，，从而得到，，再结合直径所对的圆周角是直角，得到，推出，从而得出点是的中点，求出，最后证明，得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）解：如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 2．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在平行四边形中，对角线相交成的锐角为．若，求平行四边形的面积． （2）如图②，是某公园的圆形空地，为圆心，为直径，，规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点和点，点和点分别关于对称，与交于点，且，四边形为牡丹园，设的长为，牡丹园的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？ 【答案】（1）平行四边形的面积为；（2）①；②政府的预算一定够用，理由见解析． 【分析】1）过点作于点，由题意可知，，根据解直角三角形求出，即可求解； （2）①在中，，在中，求出 ，在中，求出，再根据三角形面积公式即可求解； ②设种植牧丹园的总费用为元，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，由题意可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形的面积为； （2）①如图，连接，过点作， ∵，     ∴的半径为， ∴ 由题可知点和点，点和点分别关于对称， ∴，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴在中，， ， ∵， ∴， ， ，， ， ∵点和点，点和点分别关于对称， ∴， ， ∴； ②设种植牧丹园的总费用为元， 由①可知， ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 综上，， ∴政府的预算一定够用． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．（2025·云南曲靖·二模）如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，． (1)若，求（用含的式子表示）； (2)求证：是的切线； (3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解； （2）连接，根据，可得，再由以及，可得，从而得到，即可求证； （3）先证明四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理可得 ，设，则，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即． 【点睛】本题主要查了圆的综合题，涉及了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 4．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3 (2)，证明见解析； (3)或． 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 5．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】 （1）如图①，点A是外一点，点是上一动点．若的半径为3，长度为5，根据，得到点到点A的最短距离为_____________； （2）如图②，已知正方形的边长为4，点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点和运动，连接和交于点．求点到点的最短距离． 【问题解决】 （3）如图③，某老小区有一个矩形活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在上取一点，在上留一条小路与小路交于点，并将绕点逆时针旋转得到线段，与交于点，连接与交于点，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）存在，面积的最小值为19200 【分析】本题考查了正方形、勾股定理、圆、旋转、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆、全等三角形、相似三角形的性质； （1）结合题意，当三点共线时，最小值，从而得到答案； （2）根据题意得，在根据全等三角形的性质，通过证明，推导得，在结合圆的性质，得点在以为直径的圆上，当三点共线时，有最小值；再结合正方形和勾股定理计算，即可得到答案； （3）根据圆的性质，得为定值，再根据相似三角形的性质，通过证明，得，设的半径为，从而计算得，结合一元一次不等式，当共线时，即可得到答案． 【详解】（1）当三点共线时，有最小值为， 故答案为：2； （2）根据题意，得， 又∵， 和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴点在以为直径的圆上． 如图，取的中点，连接． ∴． 当三点共线时，有最小值为， ∵已知正方形的边长为4， ∴， ∴． ∴的最短距离为． （3）存在． 如图，作的外接圆，连接，过点A作，垂足为，过点作，垂足为S． ∵， ∴四边形四点共圆． ∴为定值． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， 设的半径为， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 由图可知，即，解得． ∴． 当共线，即时取等号，即面积的最小值为19200． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$