精品解析：江苏省无锡市第一女子中学2024-2025学年高二下学期期中学情调研数学试卷

无锡市第一女子中学期中学情调研 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 8 2. 已知随机变量的分布列为 X 4 8 10 P 0.3 0.6 01 则（ ） A. 7 B. 5 C. 4.8 D. 4.2 3. 在展开式中，常数项为（ ） A. B. 4 C. D. 32 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 6. 甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 7. 7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有 （ ）种. A. 720 B. 1050 C. 1440 D. 360 8. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（ ） A. 0.2 B. 0.05 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法错误的是（ ） A B. C. D. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数： ①；②；③；④． 其中只有一个“新不动点”的函数有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则n值是______． 13. 函数，其导函数为函数，则__________． 14. 已知，若，，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数及系数； （2）奇数项的二项式系数和； （3）求系数绝对值最大的项． 16. 现有10名学生，其中女生4名，男生6名． （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 17. 设函数的导数满足，. （1）求的单调区间； （2）在区间上最大值为，求的值. （3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围. 18. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 19. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为． （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市第一女子中学期中学情调研 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式计算即得. 【详解】. 故选：A 2. 已知随机变量的分布列为 X 4 8 10 P 0.3 0.6 0.1 则（ ） A. 7 B. 5 C. 4.8 D. 4.2 【答案】D 【解析】 【分析】利用随机变量的数学期望与方差公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 4 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】写出的展开式的通项，求出常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得， 所以常数项 故选：C 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】求导函数， 当时，， ∴曲线在点处的切线方程为：， 即. 故选：A. 5. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果. 【详解】函数的定义域为：， 因为， 令并且，得：， 所以函数的单调递减区间为(0，3). 故本题正确答案为C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题. 6. 甲、乙、丙3人各自从A，B，C这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出、，再应用条件概率公式求概率即可. 【详解】由题设，“3个人都没去A景点且甲独自去一个景点”，甲与乙丙看作两组安排到2个景点有2种方法， “甲独自去一个景点”，甲在3个景点任选一个，其它两人在余下的2个景点任选， 又3人在3个景点任选有种，所以，， 所以. 故选：B 7. 7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有 （ ）种. A. 720 B. 1050 C. 1440 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】考虑7人的分组情况, 即按人数为分为3组分到三个研究舱,或者是按人数为分为3组分到三个研究舱,根据分类计数加法原理即可求得答案. 【详解】由题意可知,7名研究员的安排可以是按人数为分为3组分到三个研究舱, 或者是按人数为分为3组分到三个研究舱, 按人数为分为3组分到三个研究舱,共有(种)安排方案, 按人数为分为3组分到三个研究舱时,共有 (种)安排方案, 故共有(种) 安排方案. 故选:B. 8. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（ ） A. 0.2 B. 0.05 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可. 【详解】根据题意可得：； ； 由全概率公式可得： ； 故. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用条件概率公式及概率的性质判断A、C、D；由事件运算有，进而有判断B. 【详解】A：由，，显然不一定相等，错； B：由，则，而不一定为0，错； 由条件概率公式有，而不一定相等，但有，C错，D对； 故选：ABC 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答. 【详解】因，则，A正确； 展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，， 则，B正确； ，而，则，C不正确； ，而，则，D正确. 故选：ABD 11. 定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数： ①；②；③；④． 其中只有一个“新不动点”的函数有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用定义分别判断的解得个数即可得出答案. 【详解】对于①，，由， 得，解得， ∴只有一个“新不动点”； 对于②，， 由，得，解得， ∴只有一个“新不动点”； 对于③，， 易知和的图象在第一象限内只有一个交点， ∴只有一个“新不动点”； 对于④，， 由，得， 即，易知方程有无数个解， ∵有无数个“新不动点”． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则n的值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据组合数的性质，结合条件，即可得答案. 【详解】根据组合数的性质，且， 所以. 故答案为：10 13. 函数，其导函数为函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案. 【详解】∵， ∴， ∴. 故答案为：. 14. 已知，若，，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，设，数形结合可知范围，转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】作函数图象，如图， 设，则， ， 又， ， ， 设， 当时，，函数为增函数， ， 即实数的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数及系数； （2）奇数项二项式系数和； （3）求系数绝对值最大的项． 【答案】（1）二项式系数为，第3项的系数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【小问1详解】 二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； 【小问2详解】 奇数项的二项式系数和； 【小问3详解】 设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 16. 现有10名学生，其中女生4名，男生6名． （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 【答案】（1）30种； （2）90种； （3）140种. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用分步分类计数原理，及组合数和间接法求不同选法数. 【小问1详解】 由题设，2名代表都是女生或2人有一个人时女生，则必须有女生不同选法有种； 【小问2详解】 由题设，选出男、女各2名的不同选法有种； 【小问3详解】 从10人中任选4人有种，若甲乙都没被选中有种， 所以选4人甲与乙至少有1人在内有种. 17. 设函数导数满足，. （1）求的单调区间； （2）在区间上的最大值为，求的值. （3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间； （2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值. （3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围. 【小问1详解】 由可得， 因为，， 所以，解得：，， 所以，， 由即可得：， 由即可得：或， 所以的单调递增区间为，单减区间为和. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， ， ， 则在区间上的最大值为， 所以. 【小问3详解】 由（1）知当时，取得极小值， 当时，取得极大值 ， 若函数的图象与轴有三个交点， 则得，解得， 即的范围是. 18. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5） （2）见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值. （1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元 ∴蓄水池的总建造成本为元 所以即 ∴ ∴ 又由可得 故函数的定义域为 （2）由（1）中， 可得（） 令，则 ∴当时，，函数为增函数 当，函数为减函数 所以当时该蓄水池的体积最大 考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数. 19. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为． （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，． 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得； （2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明； （ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论． 【详解】解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”， 则“第天不选择米饭套餐”． 根据题意，，，． 由全概率公式，得． （2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，． 由全概率公式，得． 因此． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （ii）由（i）可得． 当为大于的奇数时，． 当为正偶数时，． 因此当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$